專題04全等模型-半角模型(原卷版+解析)2

專題04全等模型-半角模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。半角模型概念：過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.模型1.半角模型（90°-45°型）【模型展示】1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；例1．（2022·福建·龍巖九年級(jí)期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合時(shí)能夠證明，請你給出證明過程．（2）【類比引申】①如圖2，在正方形中，如果點(diǎn)，分別是，延長線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系______（不要求證明）②如圖3，如果點(diǎn)，分別是，延長線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則，，之間的數(shù)量關(guān)系是_____（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1，若正方形的邊長為6，，求的長．例2．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC，△DEP是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP的頂點(diǎn)P與△ABC的頂點(diǎn)A重合，PD，PE分別與BC相交于點(diǎn)F、G，若BF＝6，CG＝4，則FG＝_____．例3．（2022春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長為_____．例4．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．(1)【問題背景】已知：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上，，連接，則之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

（分析：我們把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)G、B、C在一條直線上．）于是易證得：和，所以．直接應(yīng)用：正方形的邊長為6，，則的值為．(2)【變式練習(xí)】已知：如圖2，在中，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，請寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【拓展延伸】在（2）的條件下，當(dāng)繞著點(diǎn)A逆時(shí)針一定角度后，點(diǎn)D落在線段BC上，點(diǎn)E落在線段BC的延長線上，如圖3，此時(shí)（2）的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的結(jié)論．

模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型）1）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周長=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。2）等邊三角形半角模型（60°-30°型）例1．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點(diǎn)、，為外一點(diǎn)，且，，．當(dāng)點(diǎn)、分別在直線、上移動(dòng)時(shí)，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系以及的周長與等邊的周長的關(guān)系．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)、在邊、上，且時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系式為______；此時(shí)的值是______．（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)、在邊、上，且時(shí)，猜想（1）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)、分別在邊、的延長線上時(shí)，若，試用含、的代數(shù)式表示．例2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，在AC邊上取兩點(diǎn)使．若，，，則以為邊長的三角形的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨的值而定例3．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線l上依次有，，，四點(diǎn)，且，以為邊作等邊，連接，；若，，則的長是．例4．（2022·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法，通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問題．已知，中，，點(diǎn)D、E在邊BC上，且．(1)如圖a，當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連結(jié)．①；②求證：；(2)如圖b，當(dāng)時(shí)，猜想的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．模型3.半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。例1.（2023.上海七年級(jí)期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且.（1）求證：；（2）連結(jié)AC，若，求度數(shù).例2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：___________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．例3．（2022秋·陜西延安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：；【問題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.例4.（2023.山東八年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·成都市·八年級(jí)期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E在BD上，連接CE，作EF⊥CE交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，連接CF交BD于點(diǎn)H，延長CE交AD于點(diǎn)M，連接FM，則下列結(jié)論：①點(diǎn)E到AB，BC的距離相等；②∠FCE=45°；③∠DMC=∠FMC；④若DM=2，則BF=．正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．42．（2022春·廣東河源·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在邊長為6的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，若，則的長為______．3．（2023春·江蘇·八年級(jí)期中）請閱讀下列材料：已知：如圖（1）在中，，點(diǎn)D、E分別為線段上兩動(dòng)點(diǎn)，若．探究線段三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明的思路是：把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，使問題得到解決．請你參考小明的思路探究并解決下列問題：(1)猜想三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段延長線上時(shí)，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明；(3)已知：如圖（3），等邊三角形中，點(diǎn)D、E在邊上，且，請你找出一個(gè)條件，使線段能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)．4．（2022·江蘇南京·九年級(jí)專題練習(xí)）（1）閱讀理解：如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點(diǎn)，∠EAF＝45°，則我們常會(huì)想到：把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．易證△AEF≌_______，得出線段BF，DE，EF之間的數(shù)量關(guān)系為____________；（2）類比探究：如圖2，在等邊△ABC中，D，E為BC邊上的點(diǎn)，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求線段DE的長；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，點(diǎn)D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰長，請直接寫出BD：CE的值．5．（2022秋·重慶綦江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形中，，分別是邊上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形中，，分別是邊上的點(diǎn)，且；求證：，（3）如圖3，在四邊形中，，分別是邊延長線上的點(diǎn)，且，寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．6．（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．7．（2022·湖北十堰·中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在，上，若，則．【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形．已知，，，，道路，上分別有景點(diǎn)，，且，，若在，之間修一條直路，則路線的長比路線的長少_________（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．8．（2022·山東青島九年級(jí)期中）【模型引入】當(dāng)幾何圖形中，兩個(gè)共頂點(diǎn)的角所在角度是公共大角一半的關(guān)系，我們稱之為“半角模型”【模型探究】（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，探究圖中線段EF，AE，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，如果四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的長．【拓展提高】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，點(diǎn)E、F分別在射線CB、DC上，且∠EAF∠BAD．當(dāng)BC＝4，DC＝7，CF＝1時(shí)，CEF的周長等于．（4）如圖4，正方形ABCD中，AMN的頂點(diǎn)M、N分別在BC、CD邊上，AH⊥MN，且AH＝AB，連接BD分別交AM、AN于點(diǎn)E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝2，求EF的長．（5）如圖5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，點(diǎn)E、F分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且∠EAF=60°．連接BD分別與邊AE、AF交于M、N，當(dāng)∠DAF＝15°時(shí)，求證：MN2+DN2=BM2．9．（2022·江西九江·一模）如圖（1），在四邊形ABCD中，，，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作，且，連接EF．(1)觀察猜想

如圖（2），當(dāng)時(shí)，①四邊形ABCD是______（填特殊四邊形的名稱）；②BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系為______．(2)類比探究

如圖（1），線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．(3)解決問題

如圖（3），在中，，，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且，若，求DE的長．10．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的長．小明發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90o，得到△ACF，聯(lián)結(jié)EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE＝45°，可證△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長．(1)請回答：在圖2中，∠FCE的度數(shù)是，DE的長為．參考小明思考問題的方法，解決問題：(2)如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．猜想線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．11．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）（1）如圖1，在正方形中，，分別為，邊上的點(diǎn)，且滿足，連接，則，，之間的數(shù)量關(guān)系為________．（2）如圖2，將沿斜邊翻折得到，，分別為，邊上的點(diǎn)，且，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）將兩個(gè)全等的等腰直角和按如圖3所示擺放在一起，為公共頂點(diǎn)，，，與邊的交點(diǎn)分別為，，求證：．

12．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的長．小明發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90o，得到△ACF，聯(lián)結(jié)EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE＝45°，可證△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長．(1)請回答：在圖2中，∠FCE的度數(shù)是，DE的長為．參考小明思考問題的方法，解決問題：(2)如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．猜想線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．13．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合時(shí)能夠證明，請你給出證明過程．（2）【類比引申】①如圖2，在正方形中，如果點(diǎn)，分別是，延長線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系______（不要求證明）②如圖3，如果點(diǎn)，分別是，延長線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則，，之間的數(shù)量關(guān)系是______（不要求證明）（3）【聯(lián)想拓展】如圖1，若正方形的邊長為6，，求的長．14．（2022·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考期末）旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法，通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問題.已知，中，，，點(diǎn)、在邊上，且.（1）如圖，當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，①求的度數(shù)；②求證：；（2）如圖，當(dāng)時(shí)，猜想、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖，當(dāng)，，時(shí)，請直接寫出的長為________.15．（2022秋·江西宜春·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形中，，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，小王同學(xué)探究此問題的方法是:延長到點(diǎn)G，使，連接，證明．請直接寫出、、條線段之間的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖2，若在四邊形中，，與互補(bǔ)，E、F分別是，上的點(diǎn)，、、是否還存在上述關(guān)系，若存在，請證明；若不存在，請說明理由．（3）如圖3，四邊形是邊長為5的正方形，，求的周長．

專題04全等模型-半角模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。半角模型概念：過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.模型1.半角模型（90°-45°型）【模型展示】1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；例1．（2022·福建·龍巖九年級(jí)期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合時(shí)能夠證明，請你給出證明過程．（2）【類比引申】①如圖2，在正方形中，如果點(diǎn)，分別是，延長線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系______（不要求證明）②如圖3，如果點(diǎn)，分別是，延長線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則，，之間的數(shù)量關(guān)系是_____（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1，若正方形的邊長為6，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）①不成立，結(jié)論：；②，見解析；（3）【分析】（1）證明，可得出，則結(jié)論得證；（2）①將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至根據(jù)可證明，可得，則結(jié)論得證；②將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，證明，可得出，則結(jié)論得證；（3）求出，設(shè)，則，，在中，得出關(guān)于的方程，解出則可得解．【詳解】（1）證明：把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，如圖1，，，，，，，三點(diǎn)共線，，，，，，，，；（2）①不成立，結(jié)論：；證明：如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，，，，，，，；②如圖3，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，，，，，，，，．即．故答案為：．（3）解：由（1）可知，正方形的邊長為6，，．，，設(shè)，則，，在中，，，解得：．，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)．例2．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC，△DEP是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP的頂點(diǎn)P與△ABC的頂點(diǎn)A重合，PD，PE分別與BC相交于點(diǎn)F、G，若BF＝6，CG＝4，則FG＝_____．【答案】【分析】將△ABF繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，即可構(gòu)建出直角三角形CGH，由勾股定理可求出GH的長度，再證明△FAG≌△GAH即可．【詳解】解：將△ABF繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，∵△ACH由△ABF旋轉(zhuǎn)得到，∴∠BAF=∠CAH，CH=BF=6，AF=AH，∠B=∠ACH∵△ABC，△DEP是兩個(gè)全等的等腰直角三角形∴∠B=45°，∠ACB=45°∴∠HCG=90°在Rt△HCG中，由勾股定理得：GH=，∵∠FAG=45°∴∠BAF+∠GAC=45°∴∠CAH+∠GAC=45°，即∠GAH=45°在△FAG和△GAH中，AF=AH，∠FAG=∠GAH，AG=AG∴△FAG≌△GAH∴FG=GH=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的旋轉(zhuǎn)，通過旋轉(zhuǎn)后構(gòu)建出直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵，解題的關(guān)鍵是注意旋轉(zhuǎn)是一種全等的變化，旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．例3．（2022春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長為_____．【答案】2【分析】延長BA到點(diǎn)G，使AG=CF，連接DG，EF，利用SAS證明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再證明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，設(shè)AE=x，則BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解決問題．【詳解】解：延長BA到點(diǎn)G，使AG＝CF，連接DG，EF，∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°，∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE（SAS），∴GE＝EF，∵F是BC的中點(diǎn)，∴AG=CF=BF=3，設(shè)AE＝x，則BE＝6﹣x，EF＝x+3，由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2，∴DE＝，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握半角模型的處理策略是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．(1)【問題背景】已知：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上，，連接，則之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

（分析：我們把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)G、B、C在一條直線上．）于是易證得：和，所以．直接應(yīng)用：正方形的邊長為6，，則的值為．(2)【變式練習(xí)】已知：如圖2，在中，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，請寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

(3)【拓展延伸】在（2）的條件下，當(dāng)繞著點(diǎn)A逆時(shí)針一定角度后，點(diǎn)D落在線段BC上，點(diǎn)E落在線段BC的延長線上，如圖3，此時(shí)（2）的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的結(jié)論．

【答案】(1)(2)，見解析(3)成立，見解析【分析】（1）根據(jù)分析過程及圖形分析即可；（2），把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置此時(shí)與重合，連接，證，得，再證是直角三角形，然后由勾股定理即可解決問題；（3）根據(jù)第（2）問的輔助線畫出圖形即可證明．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則與重合，∴∴，∴點(diǎn)G、B、C在一條直線上∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；∵正方形的邊長為6，，∴，∴，，在中，，∴，解得，∴故答案為：；（2），理由如下：把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置此時(shí)與重合，連接，

則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．（3）依然成立，理由如下：把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置此時(shí)與重合，連接，

則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性比較強(qiáng)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型）1）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周長=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。2）等邊三角形半角模型（60°-30°型）例1．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點(diǎn)、，為外一點(diǎn)，且，，．當(dāng)點(diǎn)、分別在直線、上移動(dòng)時(shí)，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系以及的周長與等邊的周長的關(guān)系．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)、在邊、上，且時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系式為______；此時(shí)的值是______．（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)、在邊、上，且時(shí)，猜想（1）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)、分別在邊、的延長線上時(shí)，若，試用含、的代數(shù)式表示．【答案】（1），；（2）結(jié)論仍然成立，證明見解析；（3）．【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可證得△MDN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD＝BD，易證得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN，此時(shí)；（2）在CN的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1．可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易證得∠CDN＝∠MDN＝60°，則可證得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后證得∠CDN＝∠MDN＝60°，易證得△MDN≌△M1DN，則可得NC﹣BM＝MN；然后根據(jù)的周長，表示出AB的長，然后根據(jù)的周長，應(yīng)用等量代換即可求解．【詳解】解：（1）如圖①，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN．此時(shí)．理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等邊三角形，∵AB＝AM+BM，∴AM：AB＝2：3，∴；（2）猜想：結(jié)論仍然成立．證明：在NC的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，∴△AMN的周長為：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴；（3）證明：在CN上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N．∴NC﹣BM＝MN．∵等邊的周長為，∴，的周長．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理．例2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，在AC邊上取兩點(diǎn)使．若，，，則以為邊長的三角形的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨的值而定【答案】C【分析】將△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBH，連接HN，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及各角之間的等量關(guān)系可得：∠NBM=∠NBH，然后依據(jù)全等三角形的判定定理可得△NBM≌△NBH，由全等三角形的性質(zhì)可將x、m、n放在△NCH中，即可確定三角形的形狀．【詳解】解：如圖所示：將△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBH，連接HN，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，BM=BH，CH=AM，，，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠MBN=30°，∴∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH，在△NBM與△NBH中，，∴△NBM≌△NBH（SAS），∴MN=NH=x，∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，∴∠NCH=120°，∴以x，m，n為邊長的三角形△NCH是鈍角三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，例3．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線l上依次有，，，四點(diǎn)，且，以為邊作等邊，連接，；若，，則的長是．【答案】/【分析】設(shè)則把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，再證明得到，過點(diǎn)作于，如圖，由于，則，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，然后在中，利用含度的直角三角形三邊的關(guān)系以及勾股定理求得，從而得到的長．【詳解】解：設(shè)則為等邊三角形，，，，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，在和中，，，，，，，過點(diǎn)作于，如圖，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，在中，，即，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法，通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問題．已知，中，，點(diǎn)D、E在邊BC上，且．(1)如圖a，當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連結(jié)．①；②求證：；(2)如圖b，當(dāng)時(shí)，猜想的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①；②見解析(2)，見解析【分析】（1）①先求出，再求出，即可求出答案；②用判斷出，即可得出結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連結(jié)，得出，進(jìn)而判斷出，得出，再判斷出，用勾股定理，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①解：由旋轉(zhuǎn)知，，∵，∴，∴，∴，故答案為：；②證明：由①知，，∵，∴，∴；（2）解：，理由如下：如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連結(jié)，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，根據(jù)勾股定理得，，∴，同（1）②的方法得，，∴．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出是解本題的關(guān)鍵．模型3.半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。例1.（2023.上海七年級(jí)期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且.（1）求證：；（2）連結(jié)AC，若，求度數(shù).【答案】（1）見解析；（2）20°【詳解】（1）旋轉(zhuǎn)△BCF使BC與CD重合，∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD為等腰梯形，∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，由旋轉(zhuǎn)可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′為平角，∴A，D，F(xiàn)′共線，∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD，∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED；（2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．例2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：___________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3）圖形見解析，【分析】（1）延長到，使，連接．證明，則，，，證明，得出，由此可得，；（2）思路和作輔助線的方法同（1）；（3）根據(jù)（1）的證法，可得出，，那么．【詳解】解：（1）延長至，使，連接，∵，，，∴，∴，，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，且∴，故答案為：．（）解：（）中的結(jié)論仍成立，證明：如圖所示，延長至，使，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，即．（），證明：如圖所示，在上截取使，連接，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，在和中，

，∴，∴，∵，且，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時(shí)，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三角形．例3．（2022秋·陜西延安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：；【問題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是理由見解析【分析】（1）延長到點(diǎn)，使，連接，由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，，繼續(xù)利用全等三角形的判定得出，結(jié)合圖形及題意即可證明；（2）在上截取，使，連接，結(jié)合圖形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）證明：如圖①，延長到點(diǎn)，使，連接.又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是，理由：如圖②，在上截取，使，連接，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．例4．（2023.山東八年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由見解析；（3）MN=CN-AM，理由見解析【詳解】解：（1）如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC

，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（2）MN=AM+CN；理由如下：如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，∴∠CBN+∠M'BC=∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（3）MN=CN-AM，理由如下：如圖，在NC上截取CM'=AM，連接BM'，∵在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBM'，∴AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，∴∠MAM'=∠ABC，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MAM'=∠M'BN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=CN-CM'，

∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·成都市·八年級(jí)期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E在BD上，連接CE，作EF⊥CE交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，連接CF交BD于點(diǎn)H，延長CE交AD于點(diǎn)M，連接FM，則下列結(jié)論：①點(diǎn)E到AB，BC的距離相等；②∠FCE=45°；③∠DMC=∠FMC；④若DM=2，則BF=．正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】過E點(diǎn)作、，由正方形對角線平分每一組對角以及角平分線性質(zhì)可得點(diǎn)E到AB，BC的距離相等，故①正確；再證明（AAS）可得是等腰直角三角形，得，故②正確；然后延長MD至P，使，（SAS）再證明（SAS）即可得，故③正確；由全等三角形性質(zhì)和勾股定理列方程可求．【詳解】解：如圖1，過E點(diǎn)作、，∴，∵在正方形ABCD中，，，∴，即點(diǎn)E到AB，BC的距離相等，故①正確；；∴，由∵，∴，∴，∴（AAS）∴，∴，故②正確；如圖2，延長MD至P，使，連接，易證（SAS）∴，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，，故③正確，在邊長為4的正方形ABCD中，，若，則，設(shè)，則，，在中，∴，解得：，故；④錯(cuò)誤，綜上所述，正確的①②③，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形和三角形綜合知識(shí)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造全都三角形轉(zhuǎn)換邊角關(guān)系．2．（2022春·廣東河源·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為6的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，若，則的長為______．【答案】5【分析】由題意易得，則有，然后可證，則有，設(shè)，則有，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為6，∴，∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴，∴點(diǎn)G、B、E三點(diǎn)共線，∵，∴，∵AE=AE，∴，∴，設(shè)，則有，∴在Rt△ECF中，由勾股定理可得，即，解得：，∴；故答案為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇·八年級(jí)期中）請閱讀下列材料：已知：如圖（1）在中，，點(diǎn)D、E分別為線段上兩動(dòng)點(diǎn)，若．探究線段三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明的思路是：把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，使問題得到解決．請你參考小明的思路探究并解決下列問題：(1)猜想三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段延長線上時(shí)，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明；(3)已知：如圖（3），等邊三角形中，點(diǎn)D、E在邊上，且，請你找出一個(gè)條件，使線段能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)．【答案】(1)(2)不變，見解析(3)，【分析】（1）將繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后成，根據(jù)題意證明，故，因?yàn)橹?，，所以，從而可得，在中，由勾股定理得線段之間的等量關(guān)系式；（2）解法一：將沿直線對折，得，連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，然后進(jìn)一步證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可；解法二：將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，根據(jù)題意證明，進(jìn)而求解即可；（3）與（2）類似，以為一邊，作，在上截取，證明出，然后根據(jù)等腰三角形的概念求解即可．【詳解】（1），證明如下：將繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后成，連接，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，∴；故答案為：；（2）關(guān)系式仍然成立．證明：將沿直線對折，得，連接∴，∴，，又∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴∴，∴在中，，即；解法二：將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接．∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴；（3）當(dāng)時(shí)，線段能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形．如圖，與（2）類似，以為一邊，作，在上截取，可得．∴．∴．若使為等腰三角形，只需，即，∴當(dāng)時(shí)，線段能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角為．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形．4．（2022·江蘇南京·九年級(jí)專題練習(xí)）（1）閱讀理解：如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點(diǎn)，∠EAF＝45°，則我們常會(huì)想到：把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．易證△AEF≌_______，得出線段BF，DE，EF之間的數(shù)量關(guān)系為____________；（2）類比探究：如圖2，在等邊△ABC中，D，E為BC邊上的點(diǎn)，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求線段DE的長；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，點(diǎn)D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰長，請直接寫出BD：CE的值．【答案】（1）；；（2）；（3）或【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而得到，由全等三角形的性質(zhì)可得，即可解答；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，進(jìn)而證≌，得到，即可求出和，再根據(jù)勾股定理即可解答；（3）用的方法，分類討論是等腰的腰長，求出：的值即可．【詳解】解：（1）把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可知：，，，，，在和中，≌，，，，故答案為；．（2）如圖，將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABF，連接DF，過點(diǎn)F作FG⊥BC，交CB的延長線于點(diǎn)G，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠C＝60°，AB=AC，∵∠DAE＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝30°，∴∠DAF＝30°，又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∵∠ABF＝∠ABC＝∠C＝60°，∠FBG＝60°，∵BF=CE=4，∠G＝90°，∴BG＝BF=2，F(xiàn)G＝=，∴DG＝5，∴在Rt△DFG中，DF=，∴線段DF的長為．（3）如圖，將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°，得到△ABG，連接DG，過點(diǎn)D作DH⊥BG，交BG的于點(diǎn)H，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，∠ADE為頂角，則∠ADE=30°，∵AB=AC，∠BAC=150°，∴∠ABC=∠C=（180°-150°）=15°，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得△ABG≌△ACE，∴BG=CE，AG=AE，∠ABG=∠C=15°，∴∠DBG=30°，∵將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°，得到△ABG，∴∠EAG=150°，∵∠DAE＝75°，∴∠GAD=75°，∴∠ADE=30°，在△ADE和△ADG中，，∴△ADE≌△ADG，∴∠GDA=∠ADE=30°，∴∠GDE=60°，∵∠GDE=∠GBD+∠BGD，∴∠BGD=60°-30°=30°，∴BD=DG，∴BH=GH=BG=CE，在Rt△BHD中，設(shè)HD=x，∵∠DBG=30°，∴BD=2x，由勾股定理得：BH=，∴BG=2，∴CE=2，∴BD：CE=：3；如圖將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°，得到△ABM，連接DM，過點(diǎn)M作MN⊥BD，交BD于點(diǎn)N，∵∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰長，∠E為頂角，∴∠E=30°，∵AB=AC，∠BAC＝150°，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠CAE=15°，∴AE=CE=DE，∴∠BAD=150°-75°-15°=60°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知△ABM≌△ACE，∴∠BAM=∠CAE=15°，∠ABM=∠ACE=15°，AM=AE，BM=CE，∴∠MAD=15°+60°=75°=∠DAE，在△MAD和△EAD中，，∴△MAD≌△EAD，∴DM=DE=CE=BM，∵M(jìn)N⊥BD，∴BN=DN=BD，∵∠MBD=∠ABM＋∠ABC=15°+15°=30°，∴在Rt△BNM中，設(shè)MN=a，∴BM=2a，∴CE=2a，由勾股定理得：BN=，∴BD=2a，∴BD：CE=2a：2a=：1=．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·重慶綦江·八年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形中，，分別是邊上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形中，，分別是邊上的點(diǎn)，且；求證：，（3）如圖3，在四邊形中，，分別是邊延長線上的點(diǎn)，且，寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）；理由見解析【分析】（1）延長到G，使，連接．證明，可得，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）延長至M，使，連接．證明．可得．然后根據(jù)，證明．可得．進(jìn)而可以得到結(jié)論；（3）在上截取，使，連接．證明．可得．然后可得出，那么．【詳解】（1）證明：如圖1中，延長到G，使，連接．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）證明：如圖2，延長至M，使，連接．∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，在與中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：．證明：如圖3，在上截取，使，連接．∵，∴．在與中，，∴．∴．∴，∴，∴．∵，∴．∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)變換的思想添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，解題時(shí)注意一些題目雖然圖形發(fā)生變化，但是證明思路和方法是類似的，屬于中考?jí)狠S題．6．（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3）圖形見解析，【分析】（1）延長EB到G，使BG=DF，連接AG．證明△AGE和△AEF全等，則EF=GE，則EF=BE+DF，證明△ABE和△AEF中全等，那么AG=AF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．從而得出EF=GE；（2）思路和作輔助線的方法同（1）；（3）根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．【詳解】（1）延長至，使，連接，∵，，∴≌，∴，，∴，∴，在和中，∵，∴≌，∴，∵，∴．故答案為：（）（）中的結(jié)論仍成立，證明：延長至，使，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，,∵，∴，∴即，在和中，，∴≌，∴，即．（），證明：在上截取使，連接，∵，，∴，∵在和中，，∴≌，∴，，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時(shí)，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三角形.7．（2022·湖北十堰·中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在，上，若，則．【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形．已知，，，，道路，上分別有景點(diǎn)，，且，，若在，之間修一條直路，則路線的長比路線的長少_________（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】370【分析】延長交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件求得,進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得，，從而求得的長，根據(jù)材料可得，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)，連接，，，，，，是等邊三角形，,,在中，，，，，，中，，，，，，中，是等腰直角三角形由閱讀材料可得，路線的長比路線的長少．答案：370．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解題意是解題的關(guān)鍵．8．（2022·山東青島九年級(jí)期中）【模型引入】當(dāng)幾何圖形中，兩個(gè)共頂點(diǎn)的角所在角度是公共大角一半的關(guān)系，我們稱之為“半角模型”【模型探究】（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，探究圖中線段EF，AE，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，如果四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的長．【拓展提高】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，點(diǎn)E、F分別在射線CB、DC上，且∠EAF∠BAD．當(dāng)BC＝4，DC＝7，CF＝1時(shí)，CEF的周長等于．（4）如圖4，正方形ABCD中，AMN的頂點(diǎn)M、N分別在BC、CD邊上，AH⊥MN，且AH＝AB，連接BD分別交AM、AN于點(diǎn)E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝2，求EF的長．（5）如圖5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，點(diǎn)E、F分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且∠EAF=60°．連接BD分別與邊AE、AF交于M、N，當(dāng)∠DAF＝15°時(shí)，求證：MN2+DN2=BM2．【答案】（1）EF=FC+AE，理由見解析；（2）BE=5；（3）13；（4）EF=；（5）見解析【分析】（1）求證△DEF≌△DMF，即可推出EF與FM的數(shù)量關(guān)系；（2）在DC上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，證明△ABE≌△ADG（SAS），推出AE=AG，∠BAE=∠DAG，證明△AFE≌△AFG（SAS），推出EF=FG，設(shè)BE=x，則CG=13-x，EF=FG=18-x，在Rt△ECF中，根據(jù)EF2=EC2+CF2，構(gòu)建方程求出x即可解決問題；（3）證明△ADM≌△ABE（SAS）和△EAF≌△MAF，即可求解；（4）先求出BM，DN，進(jìn)而求出正方形的邊長，再判斷出∠EAF=45°，借助探究的結(jié)論即可得出結(jié)論．（5）將△ADF繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，AD與AB重合，F(xiàn)轉(zhuǎn)到G，在AG上取AH=AN，連接BH、MH，利用△ABH≌△ADN和△AMH≌△AMN，證明MN=MH，DN=BH，再證明△BMH為直角三角形即可．【詳解】（1）EF=FC+AE，理由如下：證明：將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM，∴△DAE≌△DCM，∴DE=DM，AE=CM，∠ADE=∠CDM，B、C、M三點(diǎn)共線，∵∠EDF=45°，∴∠ADE+∠FDC=∠CDM+∠FDC=∠MDF=45°，在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=FM∴EF=FM=FC+CM=FC+AE；（2）解：如圖，在DC上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠ABC+∠D=180°，∠ABE+∠ABC=180°，∴∠ABE=∠D，∵AB=AD，BE=DG，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=45°，∴∠EAB+∠BAF=∠DAG+∠BAF=45°，∵∠BAD=90°，∴∠FAG=∠FAE=45°，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，設(shè)BE=x，則EC=EB+BC=x+7，EF=FG=18-x，在Rt△ECF中，∵EF2=EC2+CF2，∴52+（7+x）2=（18-x）2，∴x=5，∴BE=5；（3）解：在DF上截取DM=BE，∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，∴∠D=∠ABE，∵AD=AB，∴△ADM≌△ABE（SAS），∴AM=AE，∠DAM=∠BAE；∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAD，∴∠MAF=∠BAD，∴∠EAF=∠MAF；∵AF是△EAF與△MAF的公共邊，∴△EAF≌△MAF，∴EF=MF；∵M(jìn)F=DF-DM=DF-BE，∴EF=DF-BE．∴△CEF的周長=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF=13，故答案為：13；（4）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∵AH⊥MN，∴∠AHM=∠ABC=90°，在Rt△AMB和Rt△AMH中，，∴Rt△AMB≌Rt△AMH，∴∠MAB=∠MAH，BM=MH=2，同理可證Rt△AND≌Rt△ANH，∴∠NAD=∠NAH，DN=NH=3，∴2∠MAH+2∠NAH=90°，∴∠MAH+∠NAH=45°，∴∠MAN=45°．設(shè)正方形的邊長為a，∴CM=a-2，CN=a-3，根據(jù)勾股定理得，（a-2）2+（a-3）2=25，∴a=-1（舍）或a=6，∴BC=6，∴BD=6，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABE至△ADG，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠ABE=∠ADG=45°，∴∠GDF=∠ADG+∠ADB=90°，連接GF，根據(jù)勾股定理得，GF2=DG2+DF2=BE2+DF2，∵△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF，∴GF=EF，∴EF2=BE2+AD2；設(shè)EF=x，∵BD=6，DF=2．∴BE=6-2-x=4-x，∴（4-x）2+（2）2=x2，解得x=，∴EF=；（3）將△ADF繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)AD與AB重合，F(xiàn)轉(zhuǎn)到G，在AG上取AH=AN，連接BH、MH，如圖：∵△ADF繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△ABG，∴∠BAG=∠DAF，又AH=AN，AB=AD，∴△ABH≌△ADN（SAS），∴DN=BH，∠ABH=∠ADN，∵∠B=60°，且∠EAF=60°．∴∠BAD=120°，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF=60°，∴∠BAG+∠BAE=∠EAF，即∠MAH=∠MAN，而AH=AN，AM=AM，∴△AMH≌△AMN（SAS），∴MN=MH，∠AMN=∠AMH，∵菱形ABCD，∠B=60°，∴∠ABD=∠ADB=30°，∴∠HBD=∠ABH+∠ABD=60°，∵∠DAF=15°，∠EAF=60°，∴△ADM中，∠DAM=∠AMD=75°，∴∠AMN=∠AMH=75°，∴∠HMB=180°-∠AMN-∠AMH=30°，∴∠BHM=90°，∴BH2+MH2=BM2，∴DN2+MN2=BM2．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用探究的結(jié)論解決新的問題，屬于中考?jí)狠S題．9．（2022·江西九江·一模）如圖（1），在四邊形ABCD中，，，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作，且，連接EF．(1)觀察猜想

如圖（2），當(dāng)時(shí)，①四邊形ABCD是______（填特殊四邊形的名稱）；②BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系為______．(2)類比探究

如圖（1），線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．(3)解決問題

如圖（3），在中，，，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且，若，求DE的長．【答案】(1)①正方形；②BE+DF=EF(2)詳見解析(3)詳見解析【分析】（1）①根據(jù)正方形的判定定理即可得出；②延長CD至點(diǎn)G，使得DG=BE，證得，得出，由，證得，從而得出BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）同（1）②即可得出BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系；（3）作,且，證得，同（1）②證得，在中，由勾股定理可解得DE的長．（1）解：①∵，∴四邊形ABCD是矩形，又∵，∴矩形ABCD是正方形．②如下圖，延長CD至點(diǎn)G，使得DG=BE，∵，，∴，∴，∴，，，∵，∴，∴，即，又∵，∴，∴，即∴．（2）如下圖，延長CD至點(diǎn)H，使得DH=BE，∵，∴，同（1）②的證明方法得，同理證，從而得．（3）如圖過點(diǎn)C作,且，在中，由，，∴，∴，∴，同（1）②的證明方法得，∴，∵，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，，解得，即．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊的平行四邊形的判定、全等三角形的性質(zhì)和判定及勾股定理的應(yīng)用，熟練應(yīng)用相關(guān)定理和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的長．小明發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90o，得到△ACF，聯(lián)結(jié)EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE＝45°，可證△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長．(1)請回答：在圖2中，∠FCE的度數(shù)是，DE的長為．參考小明思考問題的方法，解決問題：(2)如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．猜想線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)90°，；(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，勾股定理解△FCE，可求得FE（即DE）的長；（2）將△ABE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，證明點(diǎn)F，D，G在同一條直線上，進(jìn)而證明△AEF≌△AGF，EF＝FG，由FG＝DG＋FD＝BE＋DF，即可證明EF＝BE＋FD．(1)解：∵將△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90o，得到△ACF，∴在中，BD＝3，CE＝1，故答案為：90°；(2)猜想：EF=BE＋FD；理由如下：如圖，將△ABE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG，∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即點(diǎn)F，D，G在同一條直線上．∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，即∠GAF＝∠EAF．在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF，∴EF＝BE＋FD【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握性質(zhì)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）（1）如圖1，在正方形中，，分別為，邊上的點(diǎn)，且滿足，連接，則，，之間的數(shù)量關(guān)系為________．（2）如圖2，將沿斜邊翻折得到，，分別為，邊上的點(diǎn)，且，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）將兩個(gè)全等的等腰直角和按如圖3所示擺放在一起，為公共頂點(diǎn)，，，與邊的交點(diǎn)分別為，，求證：．

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）證明見解析【分析】(1)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，證出，進(jìn)而證出，得出結(jié)論；(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，證出，進(jìn)而證出，得出結(jié)論；(3)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，證出，由勾股定理得出結(jié)論．【詳解】解：（1）．理由如下：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，

由旋轉(zhuǎn)可得，．，．在和中，，∴，∴．∵，∴．（2），理由如下：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，

由旋轉(zhuǎn)可得，，．∵，∴，，三點(diǎn)共線．∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．（3）證明：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，

則，，，旋轉(zhuǎn)角．連接，在和中，∵，，．∴，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．其中準(zhǔn)確作出輔助圖形是解題關(guān)鍵．12．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的長．小明發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90o，得到△ACF，聯(lián)結(jié)EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE＝45°，可證△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長．(1)請回答：在圖2中，∠FCE的度數(shù)是，DE的長為．參考小明思