廣東省梅州市梅雁中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

梅雁中學(xué)12月月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．3 C． D．53．已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（

）A．B．C．D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．已知是兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°6．已函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．7．設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式aeax?1≥lnxe對(duì)任意A． B． C． D．8．設(shè)是公比不為1的無窮等比數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（

）A．B．C．關(guān)于對(duì)稱D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)10．已知球是棱長為2的正方體的內(nèi)切球，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是球的球面上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為B．三棱錐的體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，則的大小為定值11．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的最小正周期為2 D.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則．13．中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是______________．14．在四面體中，是邊長為的等邊三角形，，，，點(diǎn)在棱上，且，過點(diǎn)作四面體的外接球的截面，則所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（13分）已知等差數(shù)列滿足，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足首項(xiàng)為1，前3項(xiàng)和為7.（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和16．（15分）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為且求的取值范圍.17.（15分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在恒成立，求整數(shù)a的最大值.．18．（17分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，為棱BC上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面PAC；(2)求點(diǎn)到平面PCD的距離；(3)設(shè)為棱CP上的點(diǎn)（不與C，P重合），且直線QE與平面PAC所成角的正弦值為，求的值．.19．（17分）已知（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程，(2)當(dāng)時(shí)，判斷是否存在極值，并說明理由；(3)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.數(shù)學(xué)月考試卷答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】D3．已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（

）A．B．C．D．【答案】A4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A5．已知是兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B6．已函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C7．設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式aeax?1≥lnxeA． B． C． D．【答案】C8．設(shè)是公比不為1的無窮等比數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（

）A．B．C．關(guān)于對(duì)稱D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)【答案】AC10．已知球是棱長為2的正方體的內(nèi)切球，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是球的球面上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為B．三棱錐的體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，則的大小為定值【答案】ACD11．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的最小正周期為2 D.【答案】ABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則.【答案】1013．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是______________．【答案】14．在四面體中，是邊長為的等邊三角形，，，，點(diǎn)在棱上，且，過點(diǎn)作四面體的外接球的截面，則所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為．【答案】/1：8四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）已知等差數(shù)列滿足，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足首項(xiàng)為1，前3項(xiàng)和為7.（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.16．（15分）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為且求的取值范圍.【解】（1）.因?yàn)樗怨?由解得當(dāng)時(shí)又所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由得（所以.因?yàn)樗杂炙杂秩切螢殇J角三角形，則，則，所以，又，，則，所以的取值范圍為.17．（15分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在恒成立，求整數(shù)a的最大值.【解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，……?分所以.………2分當(dāng)，即時(shí)，；………3分當(dāng)，即時(shí)，由得，得.………5分綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；………6分（2）因?yàn)?，即，所?所以對(duì)恒成立.令，則，……8分令，則，因?yàn)?，所以，…?0分所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在滿足，即.………12分當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，………13分所以，所以，………14分因?yàn)?，，所以的最大值?………15分18．（17分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，為棱BC上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面PAC；(2)求點(diǎn)到平面PCD的距離；(3)設(shè)為棱CP上的點(diǎn)（不與C，P重合），且直線QE與平面PAC所成角的正弦值為，求的值．【解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，平面所以?因?yàn)閯t以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．由已知可得，，，，，．所以，，．因?yàn)?，所?，所以．又，平面，平面．所以平面；（2）由（1）可知，設(shè)平面的法向量因?yàn)?，．所以，即不妨設(shè)，得點(diǎn)到平面的距離．所以點(diǎn)到平面的距離為．．（3）設(shè)，即．則，即.則.由（1）可取為平面PAC法向量.因與平面夾角正弦值為，則即解得，即.19．（17分）已知（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程，(2)當(dāng)時(shí)，判斷是否存在極值，并說明理由；(3)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，可得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）解：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，可得，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，在上遞增，所以，又由，