2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(1)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期QJ課題二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（1）教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義；2.理解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到函數(shù)的重要性，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性；3.能夠體會(huì)歸納，概括的方法，把握三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，借助二次函數(shù)，求解一元二次不等式，滲透數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程、一元二次不等式，在建立二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的聯(lián)系中，獲得用二次函數(shù)求解一元二次不等式的一般性方法.教學(xué)難點(diǎn)：從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程、一元二次不等式，并歸納概括出一元二次不等式的一般性解法.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)51521引入給出定義探索解法練習(xí)總結(jié)與提升同學(xué)們，大家好，今天我們來一起學(xué)習(xí)第二章第三節(jié)，二次函數(shù)與一元二次方程、不等式.二次函數(shù)與一元二次方程我們已在初中學(xué)過，你還記得它們嗎？我們先來復(fù)習(xí)二次函數(shù)y=ax2圖象為一條拋物線，開口向上（a>0）或者向下（a<0），是軸對(duì)稱圖形，這條拋物線與x軸是否相交以及交點(diǎn)個(gè)數(shù)我們可以由判別式?=b當(dāng)?>0時(shí)，這條拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；當(dāng)?=0時(shí)，這條拋物線與當(dāng)?<0時(shí)，這條拋物線與那么我們?nèi)绾吻蠼饨稽c(diǎn)的橫坐標(biāo)呢？借助一元二次方程：a當(dāng)?>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1=?b+當(dāng)?=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：當(dāng)?<0時(shí)，下面我給出一個(gè)新的定義，二次函數(shù)的零點(diǎn).二次函數(shù)的零點(diǎn)：一般地，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，我們把使ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)的零點(diǎn).所以，求解二次函數(shù)的零點(diǎn)，就是求解二次函數(shù)圖象與x軸交那何為一元二次不等式呢？顧名思義，它也應(yīng)該是一元二次大家族里的一個(gè)成員，同時(shí)它又屬于不等式的范疇，在介紹他之前，我們先來看一個(gè)實(shí)際問題！引例：我家里有一塊空地，根據(jù)它的大小我買了一段24米長(zhǎng)的柵欄.我想用這段柵欄圍成一個(gè)面積大于20平方米的矩形苗圃.設(shè)該矩形的一邊長(zhǎng)為a米，請(qǐng)你確定實(shí)數(shù)a可以取哪些值？我們?cè)O(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為a米，其鄰邊的長(zhǎng)度就為12?a學(xué)生活動(dòng)一：同學(xué)們，你能把這道題中對(duì)于矩形面積的要求轉(zhuǎn)化為一個(gè)不等式嗎？對(duì)矩形面積的限制可以用不等式表示：a大家在處理實(shí)際問題時(shí)一定要注意未知數(shù)的實(shí)際意義，這往往會(huì)帶給未知數(shù)一些限制：a與12?a均表示柵欄的長(zhǎng)度，所以怎么解這個(gè)不等式呢，很多同學(xué)是不是已經(jīng)躍躍欲試了？！嘗試一：觀察這個(gè)不等式的形式，左側(cè)是兩個(gè)因式a與12?a相乘的形式，右側(cè)的20可以分解為20=a34612986沒什么有用的規(guī)律，所以從這個(gè)特征出發(fā)不易求解，即便現(xiàn)在解出來了，如果把20換成非常大的數(shù)字就不好解了.嘗試二：有些同學(xué)注意到a>0且12?a>0這個(gè)特征，運(yùn)用不等式同解原理，兩側(cè)同時(shí)除以a12?a>雖然左側(cè)化為了一元一次形式，但右側(cè)是分式形式，仍然不能求解！顯然這是一類我們不曾接觸過的不等式，用我們已學(xué)的方法解決不了.我們先來研究一下，應(yīng)該如何為它命名.我們回想一下一元一次不等式，它只含有一個(gè)未知數(shù)，所以叫做“一元”.我們?cè)賮砜催@個(gè)不等式（用手指著屏幕），它也只含有一個(gè)未知數(shù)a，所以它是一元的.接下來看它的次數(shù)，不等式經(jīng)過去括號(hào)運(yùn)算，再將左側(cè)的12a?a2移至右側(cè)，整理為a定義：我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，他的一般形式是：ax2+bx+c>0當(dāng)然，還包括ax2+bx+c≥0其中，a,b,c為常數(shù)，這道實(shí)際問題中涉及的一元二次不等式的一般形式：a怎么求解呢？讓我們來觀察它左式的特征吧，如果把未知數(shù)a換成x，你是不是會(huì)聯(lián)想到二次函數(shù)y=x2?12x+20？那么這二者之間是否存在關(guān)聯(lián)呢？如果你想不到的話，可以換成一次函數(shù)y=12x+20首先，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)a2?12a+20<0就是解不等式，就是求解未知數(shù)a取哪些值能使a2?12a+20<0，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，就是求解自變量x取哪些值能使函數(shù)值y<0.這時(shí)右圖是這個(gè)二次函數(shù)的圖象，很顯然，自變量x在這一范圍（用手指著屏幕比劃）內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)值y<0.由圖可知，x的可能取值有無窮多個(gè)，不可能一一求出，要想表達(dá)x的取值范圍，必須求出這個(gè)范圍的邊界值！如何求解邊界值呢？我想這可難不倒聰明的同學(xué)們，對(duì)不對(duì)？這些邊界值正是二次函數(shù)的零點(diǎn)值，也是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根??！我們用一元二次方程a2?計(jì)算判別式?=?求根公式：a1=12?所以邊界值為a1=2，所以不等式的解集為a2<a<10答：這個(gè)矩形苗圃的邊長(zhǎng)a取大于2且小于10的數(shù)時(shí)，苗圃的面積會(huì)大于20平方米.學(xué)生活動(dòng)二：借助這個(gè)例題，我們認(rèn)識(shí)了一種新的不等式—一元二次不等式，并且嘗試?yán)枚魏瘮?shù)與一元二次方程解出了它的解集.同學(xué)們，現(xiàn)在你們能否自己寫出一個(gè)一元二次不等式并把它解出來呢？你們看，我寫出了兩個(gè)一元二次不等式，你能把它們解出來嗎？例1.求解下列關(guān)于x的一元二次不等式（1）x2特征：這個(gè)不等式的不等號(hào)是“>”號(hào).分析：設(shè)二次函數(shù)y=x2?5x+6，繪出其圖象開口方向與零點(diǎn).解一元二次方程x2?5x+6=0，得到二次函數(shù)的零點(diǎn)：看函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集：xx>3（2）2x?x特征：一般式，?x2+2x+3<0分析：有兩種解法，法一：設(shè)二次函數(shù)y=?x2+2x+3，繪出其圖象解一元二次方程?x2+2x+3x1=?看函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集：xx>3法二：一般式x2?2x?3>設(shè)二次函數(shù)y=x2?2x?3，繪出其圖象解一元二次方程x2?2x?3=0，與x1=?看函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集：xx>3學(xué)生活動(dòng)三：通過這兩個(gè)例子，我們發(fā)現(xiàn)在解一元二次不等式的過程中，二次函數(shù)與一元二次方程起到了舉足輕重的作用，更確切地說，我們?cè)诙魏瘮?shù)的圖象中看出未知數(shù)x的取值范圍，利用一元二次方程解出這個(gè)范圍的邊界值.由此可以看出，二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式，這三者是緊密聯(lián)系在一起的，我們應(yīng)該如何描述他們之間的關(guān)系呢？二次函數(shù)y=a一元二次方程：a一元二次不等式：ax2+bx+c>0或通過每一個(gè)二次函數(shù)，我們可以構(gòu)造與之對(duì)應(yīng)的一元二次方程與一元二次不等式，它們左側(cè)的代數(shù)式與函數(shù)的解析式是完全相同的.從這個(gè)角度來說，方程本質(zhì)上就是在解自變量取何值時(shí)函數(shù)值等于零，對(duì)應(yīng)的就是二次函數(shù)的零點(diǎn)，不等式就是在解自變量取何值時(shí)函數(shù)值大于零或小于零，不等式解集的邊界值就是二次函數(shù)的零點(diǎn)，也就是方程的解，方程與不等式合在一起解決了自變量取何值時(shí)函數(shù)值為正、為零、為負(fù)的問題！從這個(gè)角度思考，在解一元二次不等式時(shí)，我們回歸到二次函數(shù)是很自然的事情??！二次函數(shù)是本質(zhì)嘛！接下來，我們就嘗試初步得出一元二次不等式的通用解法：對(duì)于一元二次不等式ax2+bx+c>0或第一步，我們?cè)O(shè)二次函數(shù)y=a觀察開口方向，并計(jì)算零點(diǎn).其實(shí)我們可以改進(jìn)這一步，通過例1（2）我們不難發(fā)現(xiàn)，開口向下的情形可以通過在不等式兩側(cè)同乘?1轉(zhuǎn)化一元二次不等式ax2+bx+c>0的通用解法.第二步，通過解一元二次方程：ax2+bx+c=0當(dāng)?>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，x1=?b+當(dāng)?=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，當(dāng)?<0時(shí)，方程無實(shí)根，函數(shù)無零點(diǎn).那么這三種情況下，不等式的解集分別是什么呢？請(qǐng)各位同學(xué)完成下表：一元二次不等式ax2+bx+c>0或判別式?=b??=0?<0二次函數(shù)y=a的圖象一元二次方程a的根x1,2（不妨設(shè)x1x無實(shí)根a的解集xxa的解集x練習(xí).求解下列關(guān)于x的一元二次不等式（1）9解：設(shè)二次函數(shù)y=9開口向上，?=36?4×9觀察函數(shù)圖象，得到不等式的解集為：xx≠（2）x解：設(shè)二次函數(shù)y=開口向上，?=4?觀察函數(shù)圖象，得到不等式的解集為：x回歸二次函數(shù)，求解一元二次不等式的方法是不是非常神奇呢？解一個(gè)不等式的過程竟然用到了函數(shù)的圖象.有些同學(xué)們肯定聯(lián)想到了什么，請(qǐng)大家也想一想，在初中，咱們還遇到過哪三個(gè)數(shù)學(xué)概念間有類似的聯(lián)系？與本節(jié)課內(nèi)容非常相似，只不過不是一元二次的！正確，就是一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式這三者的關(guān)系！一次函數(shù)y=ax+b一元一次方程：ax+b一元一次