2024-2025學年高一【數(shù)學(人教A版)】函數(shù)模型的應(yīng)用(2)-教學設(shè)計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高一學期第一學期課題函數(shù)模型的應(yīng)用（2）教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：1.了解各函數(shù)模型的的特點，能根據(jù)實際問題的需求，合理選擇函數(shù)模型解決實際問題；2.準確把握用函數(shù)建立數(shù)學模型解決實際問題的基本過程；3.在實際問題的解決過程中，感悟數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值，提升數(shù)據(jù)分析與數(shù)學建模的數(shù)學素養(yǎng).教學重點：選擇合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學模型，體會建立數(shù)學模型解決實際問題的一般過程．教學難點：如何選擇合適的函數(shù)類型建立實際問題的數(shù)學模型．教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動2分鐘（一）溫故知新回顧一下我們曾經(jīng)用過的函數(shù)模型(1)y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)(2)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(3)y＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)(4)y＝mlogax＋n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1)(5)y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)師生活動：學生獨立思考、討論交流．教師提問：我們一起回顧常見函數(shù)模型，而在實際問題中，有的能應(yīng)用已知的函數(shù)模型解決，有的需要根據(jù)問題的條件建立函數(shù)模型加以解決．設(shè)計意圖：通過對常見函數(shù)模型的回顧，提出新的問題，運用函數(shù)模型分析解決實際問題．14分鐘例題教學例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．請問，你會選擇哪種投資方案？問題1：請初步選擇一種你認為合適的投資方案．追問：（1）你能根據(jù)例題提供的三種投資方案的描述，分析出其中的常量、變量及其相互關(guān)系，并建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型嗎？（2）三個方案的本質(zhì)是三個不同的函數(shù)模型，如何選擇一個標準來比較它們的差異，從而選擇合適的函數(shù)模型？（3）根據(jù)例1中的表格提供的數(shù)據(jù)，你對三種投資方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認識？（4）你能借助計算工具作出函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象描述一下三種方案的特點嗎？師生活動：教師可提出進一步的問題，指導學生分析其中的數(shù)量關(guān)系，引導學生正確寫出三種投資方案所對應(yīng)的每天回報金額關(guān)于天數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．再利用表格和圖象比較分析三種函數(shù)模型的增長情況，作出需要分投資天數(shù)進行選擇的初步判斷．設(shè)計意圖：例題教學除了關(guān)注例題本身承載的教學目的外，還要注意不同層次的學生在學習上的差異，本例設(shè)問意在分層次、有針對性地給出不同的臺階，做到“總體引導，分層指導”，結(jié)合學生的實際情況，利用追問逐步深入．追問（1）意在指導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；追問（2）意在引導學生根據(jù)不同函數(shù)的增長差異選擇合適的函數(shù)模型；追問（3）意在引導學生利用數(shù)表對三種模型的增長情況進行分析，借助增加量初步發(fā)現(xiàn)當自變量變得很大時，指數(shù)函數(shù)比一次函數(shù)增長得快，一次函數(shù)比對數(shù)函數(shù)增長得快，尤其是引導學生通過觀察增加量體會指數(shù)函數(shù)（x）的增長速度；追問（4）意在借助計算結(jié)果與圖象直觀理解“指數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的實際含義，并通過描述三種方案的特點，為下一個問題埋下伏筆．這里可以提示學生，用數(shù)表和圖象分別呈現(xiàn)它們的變化趨勢，各有優(yōu)勢，數(shù)表準確，但對于趨勢的刻畫并不直觀，而圖象則可以直觀刻畫出三者的變化趨勢，但從圖中并不能準確讀出精確數(shù)據(jù)。讓學生學會在不同場景，不同需求下作出正確選擇．問題2：僅僅分析每天的回報數(shù)就能準確作出選擇嗎？關(guān)于三種投資方案的選擇，你應(yīng)當如何判斷？追問：教科書152頁邊空的問題中，是根據(jù)投資天數(shù)作出不同方案的選擇，劃分天數(shù)的標準是什么？這種劃分正確嗎？師生活動：教師可根據(jù)學生的思考，指出計算每月回報的增加量（或增長率）是對數(shù)據(jù)的基本處理方法，本例提供的表格和圖象都可以直觀看出三種函數(shù)模型的增長差異，但要具體到投資的天數(shù)，回報的增加量還不足以作為選擇投資方案的依據(jù)，然后利用下述追問引導學生選擇累計的回報數(shù)進行判斷，作出正確的回答．最后，在問題2的基礎(chǔ)上，給出本題的完整解答．指數(shù)增長用在收入上是好事，但如果是借錢還款的模式，后果不堪設(shè)想，提醒學生警惕生活中的陷阱，例如“校園貸”、“套路貸”等騙局，要學會用數(shù)學知識保護自己！設(shè)計意圖：教師進一步引導學生分析影響方案選擇的因素，使學生認識到要作出正確選擇，除了考慮每天的收益外，還要考慮一段時間內(nèi)累計的回報．最后借助計算工具，得出總收益并作出正確判斷．例2某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．三個獎勵模型：，，，其中哪個模型能符合公司的要求？提示學生注意，題目的兩個條件有選擇的先驗證，即不能超過五萬；要讓學生從思想的角度給出判斷和理由，因為這也是在處理實際問題時必須要關(guān)注的一件事，先驗證比較容易實現(xiàn)的，或者可以快速篩選下去不符合條件的選項．問題3：根據(jù)題目條件，你認為應(yīng)該選擇哪個獎勵模型才符合公司的要求？追問：（1）公司提出的要求與函數(shù)的什么性質(zhì)有關(guān)？這對選擇函數(shù)模型有什么幫助？（2）函數(shù)圖象能直觀反映函數(shù)的性質(zhì)特征，從而可以直觀判斷函數(shù)模型是否符合公司的要求．為此，你能否作出函數(shù)圖象，并通過觀察作出初步的判斷嗎？師生活動：教師可以在學生思考問題3的基礎(chǔ)上，提出追問中的問題，進一步指導學生結(jié)合題目條件，分析例題中隱藏的數(shù)量關(guān)系，引導學生根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定符合公司要求的函數(shù)模型．設(shè)計意圖：這里依然關(guān)注教學的生成，繼續(xù)在總體指導下有針對性地給出不同臺階的分層問題．追問（1）意在引導學生關(guān)注實際問題的變化規(guī)律，并建立與函數(shù)性質(zhì)的聯(lián)系，為選擇合適模型做好準備；追問（2）意在引導學生作出函數(shù)圖象，并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)作出初步判斷，從而實現(xiàn)將實際問題向函數(shù)模型轉(zhuǎn)化．問題4：你能說明選擇模型的理由，并給出本題的解答嗎？在給出解答這個環(huán)節(jié)要注意方法的選擇，有的可以通過直接計算得出結(jié)論，有的則需借助趨勢判斷，有的借助計算工具完成估算，要注意這里的細節(jié)處理．特別是第二個條件的驗證，中間包含了很多數(shù)學問題的等價轉(zhuǎn)化策略，如何利用函數(shù)性質(zhì)和信息技術(shù)配合論證等，這些對于處理復雜的實際問題都有指導意義，注意挖掘．追問：（1）你是如何判定所選擇的獎勵模型是否符合要求？（2）能否給出本題的解答過程？師生活動：教師在學生嘗試給出解答的基礎(chǔ)上，通過追問中的問題作進一步的指導，幫助學生從畫函數(shù)圖象入手，通過觀察函數(shù)的圖象，得出初步的判斷，再通過具體計算求解得出正確結(jié)果．設(shè)計意圖：教師進一步引導學生分析實際問題，并根據(jù)函數(shù)性質(zhì)選擇合適的函數(shù)模型，給出正確解答．追問（1）意在引導學生指出判斷依據(jù)；追問（2）意在指導學生確認解題基本思路，從而學習運用函數(shù)觀點分析問題．5分鐘（三）課堂練習1．為了能在規(guī)定時間內(nèi)完成預期的運輸量，某運輸公司提出了五種運輸方案，每種方案的運輸量Q與時間t的關(guān)系如下圖所示．運輸效率（單位時間內(nèi)的運輸量）逐步提高的圖象編號是______________．②2．某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次，存車費為：電動自行車0.3元/輛，普通自行車0.2元/輛．若該天普通自行車存車x輛次，存車費總收入為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為()A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C3．若等腰三角形的周長為20，底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，則它的解析式為()A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)D設(shè)計意圖：考查根據(jù)題