2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】對數(shù)的運(yùn)算(1)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期課題對數(shù)運(yùn)算（1）教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.理解并掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并進(jìn)行簡單的計(jì)算；2.在運(yùn)算中進(jìn)一步理解對數(shù)的概念，體會(huì)對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系；3.在運(yùn)算中培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：理解對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)：恰當(dāng)使用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)5分鐘復(fù)習(xí)引入一．復(fù)習(xí)對數(shù)概念及指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)對數(shù)的概念一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù).例如，如果，那么其中2叫做對數(shù)的底數(shù)，5叫做真數(shù).對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：例如，，即指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)對于任意實(shí)數(shù)，，均有下面的運(yùn)算性質(zhì).二．提出問題：依據(jù)對數(shù)和指數(shù)的關(guān)系，能否利用指數(shù)冪運(yùn)算的性質(zhì)得出相應(yīng)的對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)？10分鐘探究新知利用同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)觀察同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)：等式左邊兩個(gè)同底數(shù)冪相乘，等式右邊指數(shù)相加.利用指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到對數(shù)運(yùn)算的第一個(gè)性質(zhì).思考：對數(shù)的這個(gè)性質(zhì)還可以怎樣證明？利用同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)觀察同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)：等式左邊兩個(gè)同底數(shù)冪，等式右邊指數(shù)相減.利用指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到對數(shù)運(yùn)算的第二個(gè)性質(zhì).從除法與乘法之間的關(guān)系證明：利用冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)觀察冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)：等式左邊冪，等式右邊指數(shù)相乘.利用指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到對數(shù)運(yùn)算的第三個(gè)性質(zhì).綜上所述，對數(shù)運(yùn)算具有如下性質(zhì).在上述推理過程中應(yīng)關(guān)注以下幾個(gè)問題：（1）進(jìn)一步理解對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系正像加法與減法、乘法與除法關(guān)系一樣，我們通過加法運(yùn)算學(xué)習(xí)了減法運(yùn)算，通過乘法運(yùn)算學(xué)習(xí)了除法運(yùn)算.對于對數(shù)運(yùn)算，也是通過指數(shù)冪運(yùn)算推導(dǎo)對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)。在三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)過程中，都利用了對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系，即，將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，利用指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)得到對數(shù)運(yùn)算性質(zhì).（2）進(jìn)一步理解對數(shù)的概念基于對數(shù)概念的理解，對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)（1）等式的左邊是乘積的指數(shù)，等式的右邊是指數(shù)之和，因?yàn)槭峭讛?shù)冪的乘積，所以乘積中的指數(shù)是每個(gè)冪的指數(shù)的和，因此性質(zhì)（1）等式左右兩邊用兩種方式分別刻畫了指數(shù)之和.同理，性質(zhì)（2）等式左右兩邊用兩種方式分別刻畫了指數(shù)之差，性質(zhì)（3）等式左右兩邊用兩種方式分別刻畫了指數(shù)之積.（3）進(jìn)一步理解對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)在數(shù)學(xué)發(fā)展史中的意義從對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可以看出，通過對數(shù)運(yùn)算可以把乘法轉(zhuǎn)化為加法，把除法轉(zhuǎn)化為減法，把乘方轉(zhuǎn)化為乘法.從運(yùn)算的角度看，加、減是一級運(yùn)算，乘、除是二級運(yùn)算，乘方、開方是三級運(yùn)算.運(yùn)算數(shù)量級的不同決定了運(yùn)算的復(fù)雜度，一般來說，運(yùn)算的數(shù)量級越高，運(yùn)算的復(fù)雜度越高.對數(shù)運(yùn)算降低了運(yùn)算的級別，簡化了運(yùn)算.現(xiàn)代社會(huì)由于有了計(jì)算機(jī)等工具，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的這種作用似乎顯得有些微不足道.但在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，由于當(dāng)時(shí)沒有計(jì)算工具，對于天文學(xué)中大數(shù)的乘、除等運(yùn)算，僅靠紙筆運(yùn)算是相當(dāng)繁瑣、復(fù)雜的，而對數(shù)的發(fā)明“延長了天文學(xué)家的壽命”.因此，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)堪稱數(shù)學(xué)發(fā)展史上的偉大成就.5分鐘鞏固提升例1求下列各式的值：分析：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察運(yùn)算結(jié)構(gòu)，運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值.（1）求的值：這是求以10為底的對數(shù)，注意觀察真數(shù)的形式，真數(shù)是根式的形式，根式的被開方數(shù)是100，是10的平方，是對數(shù)的底數(shù)的平方，即找到了真數(shù)與底數(shù)之間的關(guān)系.所以選擇對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)完成求值.（2）求的值：這是求以2為底的對數(shù)，真數(shù)是2的冪的乘積，所以先選擇對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，將乘積的對數(shù)轉(zhuǎn)化為因子的對數(shù)和的形式，再求每一個(gè)因子的對數(shù)，進(jìn)而完成求值.分析：本體的關(guān)鍵在于建立之間的聯(lián)系，商的對數(shù)轉(zhuǎn)化為被除式的對數(shù)與除式的對數(shù)的差，然后在運(yùn)用性質(zhì)，進(jìn)而完成化簡.小結(jié)：在上述求值過程中，觀察運(yùn)算結(jié)構(gòu)，尋求真數(shù)與底數(shù)之間的聯(lián)系，正確選擇對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)是非常重要的求值步驟.練習(xí)：求下列各式的值：2分鐘課堂小結(jié)本節(jié)課基于對數(shù)概念和指數(shù)冪運(yùn)算的性質(zhì)推出對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，并運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行簡單的計(jì)算.建議不要機(jī)械地記憶運(yùn)