2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第九章第六節(jié)　二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布

第六節(jié)二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布1.通過具體實(shí)例，了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2.通過具體實(shí)例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.3.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；通過具體實(shí)例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征；了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.1.伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布（1）伯努利試驗(yàn)：只包含可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為；（2）二項(xiàng)分布：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p（0＜p＜1），用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝，k＝0，1，2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作.2.超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝CMkCN－Mn－kCNn，k＝其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.提醒超幾何分布中的隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).主要特征為：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.3.正態(tài)分布若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正態(tài)密度函數(shù)為f（x）＝1σ2πe－（x－μ）22（1）正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值；④曲線與x軸之間的面積為；⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.（2）正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827；②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545；③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）n重伯努利試驗(yàn)中各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.（）（2）若X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布.（）（3）超幾何分布的總體里只有兩類物品.（）（4）正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的.（）（5）正態(tài)分布是對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量而言的.（）2.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B（6，13），則P（X＝2）＝（A.80243 B.C.4243 D.3.（2024·南京六校聯(lián)考）某校高三年級(jí)有1000人參加期末考試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N（100，σ2），且成績(jī)不低于110分的人數(shù)為200，則此次考試數(shù)學(xué)成績(jī)高于90分的人數(shù)約為（）A.700 B.800C.900 D.9504.甲、乙兩羽毛球運(yùn)動(dòng)員之間的訓(xùn)練，要進(jìn)行三場(chǎng)比賽，且這三場(chǎng)比賽可看作三次伯努利試驗(yàn)，若甲至少取勝一次的概率為6364，則甲恰好取勝一次的概率為（A.14 B.C.964 D.5.某產(chǎn)品有5件正品和3件次品混在了一起（產(chǎn)品外觀上看不出有任何區(qū)別），現(xiàn)從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，則取出的3件產(chǎn)品中恰有1件是次品的概率為.1.對(duì)于二項(xiàng)分布X～B（n，p），E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.2.對(duì)于超幾何分布X～H（n，M，N），則E（X）＝nMN，D（X）＝nMN·（1－MN3.對(duì)于正態(tài)分布X～N（μ，σ2），E（X）＝μ，D（X）＝σ2.1.已知一盒子中有棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，若X表示取得白子的個(gè)數(shù)，則X的均值E（X）＝，方差D（X）＝.2.在一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題.乙能正確完成每道題的概率為23，且每道題完成與否互不影響.記乙能答對(duì)的題數(shù)為Y，則E（Y）＝，D（Y）＝n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考向1n重伯努利試驗(yàn)【例1】（1）下列事件是n重伯努利試驗(yàn)的是（）A.運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目標(biāo)”D.在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)（2）在4重伯努利試驗(yàn)中，若事件A至少發(fā)生1次的概率為6581，則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為聽課記錄解題技法n重伯努利試驗(yàn)的判斷及相應(yīng)概率的求解策略（1）符合n重伯努利試驗(yàn)必須滿足的兩個(gè)特征：①每次試驗(yàn)的條件完全相同，有關(guān)事件的概率保持不變；②各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即各次試驗(yàn)相互獨(dú)立；（2）在求n重伯努利試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n，p和k的值，再準(zhǔn)確利用公式P（X＝k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n考向2二項(xiàng)分布【例2】設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為23，假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立（1）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和期望；（2）設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.解題技法二項(xiàng)分布的期望與方差的求解策略（1）如果ξ～B（n，p），則用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大減少計(jì)算量；（2）有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同樣還可求出D（aξ＋b）.1.位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，并且向上、向右移?dòng)的概率都是12.則質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)（2，3）的概率是2.為貫徹“不忘立德樹人初心，牢記為黨育人、為國(guó)育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3＋1＋2”模式，“3”是語(yǔ)文、外語(yǔ)、數(shù)學(xué)三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科作為高考科目.某學(xué)校為做好選課走班教學(xué)，給出三種可供選擇的組合進(jìn)行模擬選課，其中A組合：物理、化學(xué)、生物，B組合：歷史、政治、地理，C組合：物理、化學(xué)、地理，根據(jù)選課數(shù)據(jù)得到，選擇A組合的概率為35，選擇B組合的概率為15，選擇C組合的概率為15（1）求這三位同學(xué)恰好選擇互不相同的組合的概率；（2）記η表示這三人中選擇含地理的組合的人數(shù)，求η的分布列及均值.超幾何分布【例3】某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)（每位同學(xué)被選到的可能性相同）.（1）求選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率；（2）設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及期望.解題技法求超幾何分布的分布列的3個(gè)步驟（1）驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；（3）用表格的形式列出分布列.為營(yíng)造濃厚的全國(guó)文明城市創(chuàng)建氛圍，積極響應(yīng)創(chuàng)建全國(guó)文明城市號(hào)召，提高對(duì)創(chuàng)城行動(dòng)的責(zé)任感和參與度，學(xué)校號(hào)召師生利用周末參與創(chuàng)城志愿活動(dòng).高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機(jī)選取2人作為志愿者參加活動(dòng).（1）求在有女生參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女生參加活動(dòng)的概率；（2）記參加活動(dòng)的女生人數(shù)為X，求X的分布列及期望E（X），方差D（X）.正態(tài)分布【例4】（2021·新高考Ⅱ卷6題）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），下列結(jié)論中不正確的是（）A.σ越小，該物理量在一次測(cè)量中在（9.9，10.1）的概率越大B.σ越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C.σ越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小，該物理量在一次測(cè)量中落在（9.9，10.2）與落在（10，10.3）的概率相等聽課記錄解題技法解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）對(duì)稱軸x＝μ；（2）標(biāo)準(zhǔn)差σ；（3）分布區(qū)間.利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.1.若隨機(jī)變量X～B（3，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.657，P（0＜Y＜2）＝p，則P（Y＞4）＝（）A.0.2 B.0.3