《工程力學》課件第4章

4.1軸力和軸力圖4.2桿件橫截面上的正應力4.3軸向載荷作用下材料的力學性能4.4強度計算4.5變形分析與計算4.6拉壓簡單超靜定問題4.7應力集中的概念第4章

軸向載荷作用下桿件的材料力學問題

在工程結(jié)構(gòu)和機械中，由于受軸向載荷作用而產(chǎn)生拉伸和壓縮變形的構(gòu)件是很多的，例如，桁架中的桿件，起重機械中的鋼纜，用作各種緊固件的螺栓及各種連桿機構(gòu)中的連桿等。這些構(gòu)件的共同特點是：作用于桿件上的外力合力的作用線與桿件軸線重合，桿件變形是沿軸線方向的伸長或縮短。若把這些桿件的形狀和受力情況進行簡化，可得到如圖4.1(a)、(b)所示的力學模型，其中實線和虛線分別表示變形前、后的形狀。圖4.14.1軸力和軸力圖

1．內(nèi)力與截面法內(nèi)力是指物體內(nèi)部各部分之間相互作用的力。物體在未受外力作用時，其內(nèi)部各質(zhì)點之間本來就有力在相互作用。當物體受到外力作用而變形時，其內(nèi)部各質(zhì)點之間的相對位置將有變化，與此同時，各質(zhì)點之間相互作用的力也有所改變。這種原有內(nèi)力的改變，是物體在外力作用下產(chǎn)生的附加內(nèi)力。材料力學中討論和計算的只是這種附加內(nèi)力，故通常簡稱其為內(nèi)力。這種內(nèi)力既不同于物體中固有的內(nèi)力，也不同于剛體系統(tǒng)中的內(nèi)力。前者是分子、原子等基本粒子相互作用產(chǎn)生的內(nèi)力，后者則是各個剛體相互機械作用產(chǎn)生的內(nèi)力。變形體的內(nèi)力則是由宏觀變形引起的內(nèi)力。根據(jù)材料的連續(xù)性假設，內(nèi)力在構(gòu)件內(nèi)連續(xù)分布。通常，首先需研究構(gòu)件橫截面上分布內(nèi)力的合力。為顯示內(nèi)力并確定其大小和方向，可采用截面法進行分析。欲求構(gòu)件某處的內(nèi)力，需用假想截面從該處將構(gòu)件截成兩部分，并將其中任一部分分離出來，在截開的截面上用內(nèi)力代替另一部分對它的作用。由于整個構(gòu)件是平衡的，因此它的任何一部分也必然是平衡的。據(jù)此，考察截開后任一部分的平衡，由平衡條件即可確定截面上內(nèi)力的大小和方向。以上所述即為求內(nèi)力的截面法。

2．軸力與軸力圖現(xiàn)在研究軸向拉、壓桿件的內(nèi)力?？紤]圖4.2(a)所示的軸向受拉桿件，用m—m截面將桿件截成Ⅰ、Ⅱ兩部分，考察其中任一部分(Ⅰ或Ⅱ)的平衡。由平衡條件可得該截面上分布內(nèi)力的合力為

FN=F

其作用線與桿的軸線一致，方向如圖4.2(b)、(c)所示。這種軸向內(nèi)力簡稱為軸力。對于軸向受壓桿件，同樣可通過上述過程求得其任一截面上的軸力FN，如圖4.3(a)、(b)、(c)所示。圖4.2圖4.3綜上所述，截面法求內(nèi)力的步驟可歸納如下：

(1)截開：在欲求內(nèi)力處用假想截面將桿件截為兩部分。

(2)代替：任取其中一部分作為研究對象，并用欲求的內(nèi)力代替另一部分對它的作用。

(3)平衡：考察研究對象的平衡，由靜力平衡方程確定橫截面上內(nèi)力的大小和方向。需要指出的是，截面法求內(nèi)力的實質(zhì)是考察平衡問題，并且在建立平衡方程時無需考慮物體的變形。內(nèi)力的正負號依變形情況來規(guī)定。對于軸力，規(guī)定產(chǎn)生伸長變形者為正，即軸力方向與桿件橫截面的外法線方向一致時為正(圖4.4(a))；產(chǎn)生縮短變形者為負，即軸力方向與桿件橫截面的外法線方向相反時為負(圖4.4(b))。軸力的正負號規(guī)則可簡述為：拉為正，壓為負。一般，在計算時一律假設為正軸力，而據(jù)計算結(jié)果的正負號來確定軸力是拉力還是壓力。軸力的量綱為［力］，在國際單位制中采用的單位是牛頓(N)或千牛(kN)。若沿桿件軸線作用的外力多于2個，則桿件各段的軸力將不盡相同，這時需分段應用截面法確定各段內(nèi)的軸力。表示軸力沿軸線方向變化的圖線稱為軸力圖。圖4.4

【例4.1】圖4.5(a)所示桿件在A、C、D三處受力，B處為固定端約束。試求此桿各段的軸力，并繪出軸力圖。

解根據(jù)桿件AB所受外力的情況，需分別計算AC、CD、DB段的軸力。

AC段：假想用1—1截面將桿截開，取左段為研究對象，設其上軸力為正方向，受力圖如圖4.5(b)所示。由靜力平衡條件：解得AC段的軸力為

FN1=F(拉力)

CD段：假想用2—2截面將桿截開，取左段為研究對象，設其上軸力為正方向，受力圖如圖4.5(c)所示。由靜力平衡條件：∑X=0，F(xiàn)N2+3F－F=0解得CD段的軸力為FN2=－2F(壓力)

DB段：類似地，假想用3—3截面將桿截開，取左段為研究對象，設其上軸力為正方向，受力圖如圖4.5(d)所示。由靜力平衡條件：∑X=0，F(xiàn)N3+2F+3F－F=0解得DB段的軸力為FN3=－4F(壓力)根據(jù)上述軸力計算結(jié)果可繪制軸力圖。首先建立FN—x坐標，其中x沿桿軸線方向，F(xiàn)N為軸力。將軸力計算結(jié)果標于F=—x坐標中，便得到該桿的軸力圖(圖4.5(e))。需要指出的是，桿各段的軸力也可取截面右段為研究對象來分析，這時需考察整個桿的平衡，由靜力平衡條件來確定B處的約束力。讀者不妨一試。圖4.54.2桿件橫截面上的正應力

1．應力由截面法可以確定桿件橫截面上分布內(nèi)力系的合力。這一結(jié)果可以說明截面上的內(nèi)力與外力的平衡關(guān)系，但不能反映分布內(nèi)力系在截面上某一點處的強弱程度。為此，引入一個新的物理量——應力，以度量橫截面上分布內(nèi)力的集度。圖4.6(a)所示為從任意受力構(gòu)件中取出的分離體，截面m—m上作用有連續(xù)分布的內(nèi)力。圍繞任一點C取微小面積ΔA，ΔA上作用的內(nèi)力設為ΔF，ΔF的大小和方向與C點的位置和ΔA的大小有關(guān)。ΔF與ΔA的比值為(4.1a)圖4.6

pm是一個矢量，代表微面積ΔA上分布內(nèi)力的平均集度，稱為平均應力。隨著ΔA的逐漸縮小，pm的大小和方向都將逐漸變化。當ΔA趨于零時，pm的大小和方向都將趨于一定的極限。這樣得到(4.1b)p稱為m—m截面上C點的應力(又稱為全應力)，它是分布內(nèi)力系在C點的集度，反映內(nèi)力系在C點的強弱程度。通常將p分解為兩個分量，如圖4.6(b)所示。其中,與截面垂直的分量稱為正應力，用符號σ表示；切于截面的分量稱為切應力，用符號τ表示。三者之間的關(guān)系為σ=pcosα

(4.1(c))τ=psinα(4.1(d))應力的量綱為[力]/[長度]2，國際制單位為Pa(N/m2)或MPa(N/mm2)。

2.拉、壓桿橫截面上的正應力現(xiàn)在研究軸向拉、壓桿件橫截面上的應力。首先觀察拉(壓)桿的變形情況。圖4.7所示等截面直桿受軸向拉力作用。變形前，在等直桿的側(cè)面上畫垂直于桿軸的直線ab和cd。拉伸變形后，發(fā)現(xiàn)ab和cd仍為直線，且仍然垂直于軸線，只是分別平行地移至a′b′和c′d′。根據(jù)這一現(xiàn)象，可以假設：變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線。這就是平面假設。由此可以推斷，拉桿所有縱向纖維的伸長是相等的，即軸向變形均勻分布。因材料是均勻連續(xù)的，所以所有縱向纖維的力學性能相同。由它們的變形相同和力學性能相同，可以推想各縱向纖維的受力是一樣的。據(jù)以上分析可以推知，在橫截面上將只有沿軸向的正應力，并在整個橫截面上均勻分布。于是，有

式(4.2)同樣適用于軸向受壓的情況。該式即為計算軸向拉、壓等截面直桿橫截面上正應力的公式。其中，F(xiàn)N為軸力，A為橫截面面積。正應力的正負號規(guī)則與軸力一致，即拉應力為正，壓應力為負。圖4.7除等直桿外，軸向拉、壓小錐度直桿橫截面上的應力也可按公式(4.2)計算。需要指出的是，當作用在桿件上的外力沿橫截面均勻分布時，桿橫截面上的應力將均勻分布，公式(4.2)適用。而當作用在桿件上的外力沿橫截面非均勻分布時，外力作用點附近橫截面上的應力也是非均勻分布的，則相應區(qū)域橫截面上的應力不能用公式(4.2)計算。但是，大量理論計算和實驗研究均表明：如果桿端的兩種外加載荷靜力等效，則桿端部以外區(qū)域的應力差異甚微。這一論斷就是著名的“圣維南原理”。在工程常規(guī)設計和計算中，一般不考慮端部加載方式的影響。對于拉、壓桿，只要外力合力的作用線沿桿軸線方向，即可應用式(4.2)計算橫截面上的應力。

【例4.2】圖4.8(a)為一懸臂吊車的簡圖，斜桿AB為直徑d=20mm的鋼桿，載荷W=15kN。當W

移到A點時，求斜桿橫截面上的應力。

解斜桿AB為軸向受拉桿件。當載荷W移到A點時，桿AB受到的拉力最大(圖4.8(b))，設其值為Fmax。根據(jù)橫梁(圖4.8(c))的平衡方程∑mC=0,得圖4.8由△ABC求出:故有斜桿AB的軸力為FN=Fmax=38.7kN由此求得AB

桿橫截面上的應力為4.3軸向載荷作用下材料的力學性能

1.材料拉伸時的力學性能

1)低碳鋼的拉伸試驗及其力學性能拉伸試驗一般是將試件裝在萬能試驗機上進行的。為了便于比較不同材料的試驗結(jié)果，應按國家規(guī)定，將材料做成標準試件。對于金屬材料，通常采用圓柱形試件，其形狀如圖4.9所示。試件中部一段為等截面，在該段中標出長度為L的一段，稱為工作段，試驗時測量工作段的變形量。工作段長度L(稱標距)與試件橫截面尺寸有規(guī)定的比例，例如對圓截面標準試件，通常規(guī)定L=5d

或L=10d。圖4.9試驗時，將試件兩端安裝在試驗機的夾具中，然后緩慢加載，試件逐漸伸長，直至拉斷為止。載荷可由試驗機上讀出，伸長量可通過測量變形的引伸儀量得。在試驗過程中，記下一系列載荷F的數(shù)值和與它對應的工作段的伸長量ΔL值。以ΔL為橫坐標、F為縱坐標，可畫出F—ΔL曲線，此曲線稱為試件的拉伸圖。多數(shù)萬能試驗機上附有自動繪圖設備，可自動繪出F—ΔL曲線。圖4.10為低碳鋼試件的拉伸圖。圖4.10試件的拉伸圖中，F(xiàn)與ΔL的對應關(guān)系與試件尺寸有關(guān)，例如，如果標距L不同，則同一載荷引起的伸長量ΔL也將不同，因而F—ΔL圖不能反映材料的力學性能。為了消除試件尺寸的影響，常按照工作段的原始尺寸L、A，以F/A=σ作為縱坐標、ΔL/L=ε作為橫坐標，將F—ΔL曲線改畫為σ—ε曲線。這樣得到的曲線與試件的尺寸無關(guān)，而只反映材料本身的力學性能。此曲線稱為應力—應變曲線。由于A及L均為常數(shù)，故σ—ε曲線應與F—ΔL曲線相似，只是后者縱、橫坐標的比例尺與前者的有所不同。低碳鋼拉伸時的σ—ε曲線如圖4.11所示。圖4.11由低碳鋼的F—ΔL曲線和σ—ε曲線可以看出，整個加載和變形過程呈現(xiàn)四個階段。下面從σ—ε曲線(圖4.11)來研究各階段中的幾個特殊點及其所對應的應力值的含義。

(1)彈性階段。相應于圖中的Ob段，材料的變形全部是彈性的，這一階段稱為彈性階段。若加載不超過b

點的應力值，然后卸載，變形可全部消失，故b

點的應力值為材料只產(chǎn)生彈性變形時應力的最高限，稱為彈性極限，以σe表示。圖中的Oa段為直線段，在Oa段內(nèi)，應力與應變成正比，即材料符合胡克定律，這一段又可稱為線彈性階段。該段中應力的最高限即a

點的應力值，稱為比例極限，以σp表示。彈性極限與比例極限雖有不同的物理含義，但由于它們的數(shù)值十分接近，故工程中通常將這兩個名詞互相通用而不加嚴格區(qū)分。

(2)屈服階段。應力超過彈性極限后，σ—ε曲線明顯變彎，接著就出現(xiàn)一段接近于水平直線的小鋸齒形線段(bc)。此時應力停止增長而應變卻繼續(xù)增大，這表明材料已失去抵抗繼續(xù)變形的能力，故將這種現(xiàn)象稱為屈服或流動。這一階段稱為屈服階段或流動階段。在屈服階段內(nèi)的最高應力和最低應力分別稱為上屈服極限和下屈服極限。上屈服極限的數(shù)值與試件形狀、加載速度等因素有關(guān)，一般是不穩(wěn)定的。下屈服極限則有比較穩(wěn)定的數(shù)值，能夠反映材料的性能。通常就把下屈服極限稱為屈服極限或流動極限，以σs表示。這一階段里材料的變形主要是塑性變形。若試件的表面經(jīng)過拋光，則當材料進入屈服階段時，在試件表面上將出現(xiàn)一系列與軸線大致成45°傾角的跡線(圖4.12)，稱為滑移線，它是材料內(nèi)部晶格間發(fā)生滑移的結(jié)果。圖4.12

(3)強化階段。圖中向上升的曲線ce說明，過了屈服階段后，應力又隨應變而增長，這表明材料又恢復了對繼續(xù)變形的抵抗能力。這種現(xiàn)象稱為材料的強化。這一階段稱為強化階段。在σ—ε曲線上最高點e的應力值稱為強度極限，用σb表示。

(4)頸縮階段。在應力到達最大值σb時，σ—ε曲線開始下降。試件的某一局部開始顯著變細，出現(xiàn)所謂頸縮現(xiàn)象(圖4.13)。這一階段(ef)稱為頸縮階段。由于頸縮部分的橫截面急劇減小，因而使試件繼續(xù)變形所需的載荷也減小了，相應的σ—ε曲線也明顯下降，到達f點時，試件在頸縮處被拉斷。圖4.13前面提到的σs和σb是衡量低碳鋼等材料強度的重要指標。Q235鋼的σs為216～235MPa，σb為373～461MPa。試件斷裂后，其原來變形中的彈性變形部分消失，但塑性變形部分則不能消失。以δ表示試件拉斷后塑性變形的程度，這個量等于試件在拉斷后其工作段的塑性變形量與工作段原長之比的百分率，即式中的L1為試件工作段在拉斷后的長度，L為工作段的原長。δ稱為伸長率，是衡量材料塑性的一個重要指標。低碳鋼的伸長率很高，其平均值約為20%~30%，這說明低碳鋼的塑性性能很好。有時也采用斷面收縮率ψ作為衡量材料塑性的另一個指標：式中的A1為試件在拉斷后斷口的橫截面面積，A為試件原橫截面面積。

δ、ψ愈大，說明材料的塑性性能愈好。工程上通常按伸長率的大小把材料分成兩大類。一般將δ＞5%的材料，如鋼材、銅、鋁等，稱為塑性材料；δ＜5%的材料，如鑄鐵、磚、石料等，稱為脆性材料。這種劃分是以常溫、靜載為前提的。在上述試驗過程中，如果加載至材料的強化階段中的任一點d(圖4.11)時，逐漸卸載，則卸載過程中應力與應變之間沿著直線dd′的關(guān)系變化，此直線段與Oa幾乎平行。由此可見，在強化階段中，試件的應變包括了彈性應變和塑性應變；在卸載后，彈性應變(d′g)消失，只留下塑性應變(Od′)。塑性應變又稱為殘余應變。如果卸載后，立即再緩慢加載，則在加載過程中，應力、應變之間基本上仍沿著卸載時的同一直線關(guān)系變化，直到開始卸載時的d點為止；然后，大體上沿著原來路徑def的關(guān)系變化。由此可見，試件在強化階段中，經(jīng)過卸載，然后再加載時，其σ—ε圖應是圖4.11中的d′def。圖中直線部分最高點d的應力值，可以認為是材料經(jīng)過卸載而又重新加載時的比例極限。它顯然比原來的比例極限提高了，但拉斷后的殘余應變則較原來的δ為小。材料在常溫、靜載下，經(jīng)過前述的卸載后發(fā)生的這兩個現(xiàn)象稱為材料的冷作硬化。工程中常利用冷作硬化來提高某些構(gòu)件在彈性階段內(nèi)所能承受的最大載荷。

2)其它材料在拉伸時的力學性能圖4.14給出了其它幾種金屬材料拉伸時的σ—ε曲線，它們是經(jīng)過與低碳鋼相同的試驗方法得到的。為了便于比較，將它們畫在同一個坐標系內(nèi)。由圖4.14可知，這些材料的共同特點是伸長率都較大，因此它們都是塑性材料。但與低碳鋼比較，這些材料大多沒有明顯的屈服階段。對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，按國家標準規(guī)定，取產(chǎn)生0.2%殘余應變時的應力值作為材料的屈服極限，稱為名義屈服極限，以σ0.2表示(圖4.15)。圖4.14圖4.15圖4.16為灰口鑄鐵拉伸時的σ—ε曲線，其特點是沒有明顯的直線部分，也無屈服階段；此外，直到拉斷時應變都很小。因此，通常近似地用一條割線來代替原來曲線的開始部分，從而認為在這一段中，材料符合胡克定律，并可求得其彈性模量E?；铱阼T鐵拉伸時的強度指標只有強度極限σb，其值為120～175MPa。它的伸長率δ遠小于5%，故它屬于脆性材料。鑄鐵試件拉斷時，大體上是沿試件橫截面斷裂的。圖4.16

2.材料壓縮時的力學性能壓縮試驗是在壓縮試驗機或萬能試驗機上進行的。金屬材料的壓縮試件通常做成短圓柱形。為了避免壓彎，試件不能太長，其長度一般為直徑的1.5～3倍。試驗時，將試件置于試驗機的兩壓座間，并使之產(chǎn)生壓縮變形。采用與拉伸試驗相類似的方法，可得到材料在壓縮時的σ—ε曲線。低碳鋼在壓縮時的σ—ε曲線如圖4.17所示。圖4.17試驗結(jié)果表明，低碳鋼在壓縮時的σp、σs和E分別與拉伸時的相同。當應力超過屈服極限以后，試件出現(xiàn)顯著的塑性變形；如果繼續(xù)增加壓力，試件將愈壓愈扁，直至壓成薄塊狀而不會斷裂，故測不出其抗壓強度極限。其它塑性材料亦有上述特點。由上述情況可知，對于低碳鋼這一類塑性材料，可直接從拉伸試驗的結(jié)果了解它在壓縮時的主要力學性能，而不必再做壓縮試驗。但有些塑性材料(如鉻鉬硅合金鋼)在拉伸和壓縮時的屈服極限并不相同，因此，對它們就需通過壓縮試驗以測定其壓縮屈服極限。脆性材料在壓縮時的力學性能與拉伸時有很大差別。以鑄鐵為例，由壓縮試驗得到的σ—ε

曲線如圖4.18所示。鑄鐵壓縮時的伸長率和強度極限都比其拉伸時的大得多，灰口鑄鐵壓縮時的強度極限σb為640～1300MPa。鑄鐵壓縮時，試件破壞時的斷口與軸線約成45°角，與其在拉伸時的破壞現(xiàn)象不同。其它脆性材料，如混凝土、石料等，它們的抗壓強度也遠高于抗拉強度。圖4.18脆性材料抗拉強度低，塑性性能差，但抗壓能力強，且價格低廉，宜于作為抗壓構(gòu)件的材料。鑄鐵堅硬耐磨，易于澆鑄成形狀復雜的零部件，廣泛用于鑄造機床床身、機座、缸體及軸承座等受壓零部件。因此，其壓縮試驗比拉伸試驗更為重要。綜上所述，衡量材料力學性能的指標主要有：比例極限σp、屈服極限σs、強度極限σb、彈性模量E、伸長率δ和斷面收縮率ψ等。對很多金屬來說，這些量往往受溫度、熱處理等條件的影響。表4.1列出了幾種常用材料在常溫、靜載下σs、σb和δ的數(shù)值。表4.1幾種常用材料的主要力學性能4.4強度計算由前面的分析可知，拉(壓)桿橫截面上的正應力為此應力又稱為工作應力，是拉(壓)桿工作時由載荷引起的應力。由前面的試驗還可知：當應力達到強度極限σb時，會引起斷裂；當應力達到屈服極限σs(或σ0.2)時，將出現(xiàn)顯著的塑性變形。顯然，構(gòu)件工作時發(fā)生斷裂或顯著的塑性變形一般都是不允許的。所以，σb和σs(或σ0.2)統(tǒng)稱為材料的極限應力，并用σu表示。對于脆性材料，斷裂是其破壞的重要標志，強度極限σb為其唯一的強度指標，故以σb為極限應力；對于塑性材料，發(fā)生明顯的塑性變形往往是其破壞的重要標志，故通常以σs(或σ0.2)為極限應力。在理想情況下，為了充分利用材料的強度，最好使構(gòu)件的工作應力接近于材料的極限應力。但實際上很難做到這一點，這是因為：作用在構(gòu)件上的載荷常常估計不準確；應力的計算通常都帶有一定的近似性；材料也并不像所假設的那樣絕對均勻，等等。所有這些因素都有可能使構(gòu)件的實際工作條件比設想的要偏于不安全。除上述因素外，為了確保安全，構(gòu)件還應具有適當?shù)膹姸葍?，特別是對于那些因損壞會帶來嚴重后果的構(gòu)件，更應給予較大的強度儲備。(4.3)式中，n是一個大于1的系數(shù)，稱為安全系數(shù)。因此，拉(壓)桿工作應力的最大允許值，只能是材料極限應力σu的若干分之一，此允許值稱為材料的許用應力，用［σ］表示，即安全系數(shù)的選取應具合理性。如果將安全系數(shù)選得過小，構(gòu)件的正常工作將得不到可靠的保證；但若選得過大，又不符合節(jié)約的原則。實際中，需要根據(jù)具體工程問題進行權(quán)衡比較，統(tǒng)一而又有所側(cè)重地考慮。各種材料在不同工作條件下的安全系數(shù)或許用應力值，可從有關(guān)規(guī)范或設計手冊中查到。在靜載荷下的強度計算中，對于塑性材料，可取屈服安全系數(shù)ns=1.5～2.0；對于脆性材料，可取強度安全系數(shù)nb=2.5～5.0。nb比ns更大些，其原因之一是脆性材料的破壞以斷裂為標志，而塑性材料的破壞則以開始發(fā)生塑性變形為標志。兩者的危險程度顯然不同，前者的后果要嚴重得多。因此，對脆性材料有必要多給一些強度儲備。幾種常用材料的許用應力值列于表4.2中。表4.2幾種常用材料的許用應力綜上所述，為了保證拉(壓)桿不致因強度不夠而破壞，桿內(nèi)最大工作應力不得超過材料在拉伸(壓縮)時的許用應力，即要求(4.4)此條件稱為拉(壓)桿的強度條件。對于等截面拉(壓)桿，上式則變?yōu)?4.5)根據(jù)以上條件，可以進行下列形式的強度計算。

1．校核強度當已知桿件尺寸、材料許用應力和所受外力時，檢驗其是否滿足強度條件的要求，即判斷該桿在已知外力作用下能否安全工作。

2．選擇截面尺寸如果已知桿件所受外力和材料許用應力，且截面形狀確定，則可根據(jù)強度條件設計該桿的橫截面尺寸。例如，對于等截面拉(壓)桿來說，其所需橫截面面積應為(4.6)

3．確定許可載荷如果已知桿件尺寸和材料許用應力，則根據(jù)強度條件可以確定該桿所能承受的最大軸力，其值為［FN］=A［σ］(4.7)進而可確定機器和工程結(jié)構(gòu)所能承受的載荷。最后還應指出，如果最大工作應力σmax超過了許用應力［σ］，但只要超過量(即σmax－［σ］)小于許用應力［σ］的5%，在工程計算中仍然是允許的。下面舉例說明強度條件的具體應用。

【例4.3】圖4.19(a)所示氣動夾具，最大拉力F=300kN。活塞桿用40鉻合金鋼制成，其許用應力［σ］=300MPa，活塞桿的直徑d=44mm。試校核活塞桿的強度。圖4.19

解活塞桿的受力情況如圖4.19(b)所示?；钊麠U內(nèi)各橫截面的軸力均為FN=F=300kN根據(jù)公式(4.2)可知，活塞桿截面上的正應力為可見,工作應力小于許用應力,活塞桿符合拉伸強度要求。

【例4.4】圖4.20(a)所示吊環(huán)，由斜桿AB、AC與梁BC組成，α=20°。已知吊環(huán)的最大吊重F=500kN，斜桿用鍛鋼制成，其許用應力[σ]=120MPa。試確定斜桿的直徑d。圖4.20

解

(1)內(nèi)力分析。吊環(huán)的計算簡圖和節(jié)點A的受力情況分別如圖4.20(b)、(c)所示。由節(jié)點A

的平衡方程：∑Y=0，F(xiàn)－2FNcosα=0可知，斜桿的軸力為

(2)截面設計。根據(jù)公式(4.6)，得斜桿橫截面的面積為即由此得斜桿橫截面的直徑為取d=54mm。

【例4.5】圖4.21(a)所示簡易旋臂式吊車，斜桿由兩根50×50×5的等邊角鋼組成，水平桿由兩根10號槽鋼組成，材料都是Q235鋼，許用應力[σ]=120MPa。整個三角架能繞OO1軸轉(zhuǎn)動，電葫蘆能沿水平桿移動。當電葫蘆在圖示位置時，求允許的最大起吊重量G(包括電葫蘆自重)。兩桿自重略去不計。圖4.21

解(1)受力分析。

AB、AC兩桿的兩端均可簡化為鉸鏈連接，故吊車的計算簡圖如圖4.21(b)所示。取節(jié)點A為研究對象，其分離體受力圖如圖4.21(c)所示。圖中設AC桿受拉力，AB桿受壓力。由匯交力系的平衡條件:根據(jù)所給尺寸求得α=30°，代入上式解得:

(2)應用強度條件求許可起吊重量G。對于AC桿，由型鋼表查得AAC=2×4.8×102mm2。根據(jù)強度條件有由此解得:對于AB桿，由型鋼表查得AAB=2×12.74×102mm2。根據(jù)強度條件有由此解得：為保證整個吊車的強度安全，取上述兩個起吊重量中的較小者，即最大起吊重量不得超過57.6kN。最后請讀者分析：在電葫蘆可移動的情形下，對于拉桿AC，圖示電葫蘆的位置是否為可能的最危險位置？4.5變形分析與計算

1.縱向變形與線應變軸向拉、壓桿件如圖4.22所示。設桿的原長為L，在軸向載荷F

作用下，其長度變?yōu)長1，桿的縱向變形為ΔL=L1－L(4.8)圖4.22

ΔL稱為桿的絕對變形。其正負號規(guī)定為：伸長變形為正，縮短變形為負。對于變形不均勻的情形，ΔL并不能反映桿件的變形程度。為此，需引入新的物理量——線應變，用ε表示。設AB為受力前桿件上的微小線段，長為s，如圖4.23所示。桿件受力后，假定A點固定不動，則AB變?yōu)锳B′，變形量為Δs，定義(4.9)為A點沿s方向的線應變。線應變ε為無量綱量，規(guī)定拉為正，壓為負。圖4.23對于在長度L內(nèi)變形均勻的拉、壓桿件，縱向線應變?yōu)?4.10)

2.胡克定律工程上使用的大多數(shù)材料，其應力與應變關(guān)系的初始階段都是線彈性的。即：當應力不超過材料的比例極限時，應力與應變成正比，這就是胡克定律，可以寫成:σ=Eε(4.11)式中，彈性模量E

的值隨材料而不同。幾種常用材料的E值已列入表4.3中。表4.3幾種常用材料的E和μ的約值拉(壓)桿橫截面上的應力為將式(4.10)和式(4.12)代入式(4.11)，得這表示：當應力不超過比例極限時，桿件的變形量ΔL與軸力FN和桿件的原長度L成正比，與橫截面面積A成反比。這是胡克定律的另一表達形式。從式(4.13)可以看出，對長度相同、受力相等的桿件，EA越大，則變形ΔL越小，故稱EA為桿件的抗拉(或抗壓)剛度。

3.橫向變形與泊松比在受到拉伸、壓縮時，桿件不僅有縱向變形，還有橫向變形。如圖4.22所示，拉、壓桿的橫向變形量為Δd=d1－d(4.14)式中的d、d1分別為變形前、后桿的橫向尺寸。與縱向線應變ε的概念相似，拉、壓桿的橫向線應變ε′為(4.15)實驗結(jié)果表明，當應力不超過材料的比例極限時，桿件的橫向線應變與縱向線應變之比的絕對值為一常數(shù)，即(4.16(a))μ稱為橫向變形系數(shù)或泊松比。它是一個無量綱的量，其值隨材料而異，可由試驗測定。由于ε′與ε的正、負號總是相反的，故上式又可寫為ε′=－με(4.16(b))彈性模量E和橫向變形系數(shù)μ都是材料的彈性常數(shù)。對于各向同性材料，各個方向上的μ值均相同。在彈性范圍內(nèi)，μ基本為定值，其數(shù)值范圍為0＜μ＜0.5；超出彈性范圍時，μ值逐步增大至0.5。表4.3中給出了幾種常用材料的μ值。

【例4.6】圖4.24(a)所示為一圓截面軸向拉、壓桿件。已知F=4kN，L1=L2=100mm，d=10mm，該桿用45號鋼制成，E=210GPa。試計算該桿的總伸長。圖4.24

解桿件的軸力圖如圖4.24(b)所示，AB和BC段的軸力分別為由于兩段桿的軸力不同，為了計算桿的總伸長，首先需要求出每一段桿的軸向變形(即縱向變形)。根據(jù)式(4.13)可知，AB與BC段的軸向變形分別為:所以，桿的總伸長為

【例4.7】圖4.25中的M12螺栓內(nèi)徑d1=10.1mm，擰緊后在計算長度L=80mm內(nèi)產(chǎn)生的總伸長為ΔL=0.03mm，鋼的彈性模量E=210GPa。試計算螺栓內(nèi)的應力和螺栓的預緊力。圖4.25

解擰緊后螺栓的應變?yōu)橛珊硕汕蟪雎菟M截面上的拉應力為σ=Eε=210×109×0.000375=78.8×106Pa=78.8MPa螺栓的預緊力為F=Aσ=

(10.1×10－3)2×78.8×106=6310N=6.31kN4.6拉壓簡單超靜定問題

1.超靜定問題的概念和一般解法在前面所研究的桿或桿系問題中，支反力或內(nèi)力等未知力都可通過靜力平衡方程求得，這類問題屬于靜定問題。例如，求解圖4.26(a)所示桿的約束力和求解圖4.26(b)所示結(jié)構(gòu)中1、2兩桿的軸力都是靜定問題。圖4.26為了提高結(jié)構(gòu)的強度和剛度，有時需要增加一些約束。例如，對圖4.26(a)中的桿在B端增加剛性支承(圖4.27(a))；又如，對圖4.26(b)中的構(gòu)架增添一根桿AD(圖4.27(b))。對于這種在靜定結(jié)構(gòu)基礎上增加的支座或桿，習慣上稱為多余約束。多余約束必然帶來相應的未知力，因此，全部未知力的數(shù)目必然超過可能列出的獨立平衡方程的數(shù)目。這樣，也就無法單憑靜力平衡方程求得確定的解答。通常將這類不能單憑靜力平衡方程求得確定解答的問題稱為超靜定問題。超過獨立平衡方程數(shù)目的未知力個數(shù)，稱為超靜定次數(shù)。圖4.27(a)及圖4.27(b)中的問題均為一次超靜定問題。圖4.27顯然，要確定超靜定問題的全部未知力，除列出靜力平衡方程外，還需建立與超靜定次數(shù)相同數(shù)目的補充方程，才能進一步求得確定的解答。那么，如何建立補充方程呢？多余約束使結(jié)構(gòu)由靜定變?yōu)槌o定，問題由靜力學可解變?yōu)殪o力學不可解，這只是問題的一方面。問題的另一方面是，多余約束對結(jié)構(gòu)的變形有著限制作用，而變形和力又是緊密相聯(lián)的，這就為求解超靜定問題提供了補充條件。為此，可以在多余約束處尋找各構(gòu)件變形之間的關(guān)系，即所謂“變形協(xié)調(diào)條件”，進而根據(jù)力和變形之間的“物理條件”(胡克定律)建立補充方程?？傊蠼獬o定問題需要綜合考察平衡、變形和物理三個方面，這是分析超靜定問題的基本方法?，F(xiàn)舉例說明求解超靜定問題的一般過程。

【例4.8】圖4.28(a)所示為一簡單桁架，1、2桿具有相同的彈性模量E和截面積A，且長度相等；3桿的彈性模量為E3，截面積為A3，長度為L。若F、E、A、L、E3、A3和α均為已知，求三桿的內(nèi)力。

解(1)受力分析。取節(jié)點A為研究對象，其受力情況如圖4.28(b)所示。設三桿的軸力分別為FN1、FN2、FN3，此為平面匯交力系，有兩個獨立的平衡方程：(a)(b)但未知力有三個，故為一次超靜定，尚需一個補充方程。圖4.28

(2)變形協(xié)調(diào)條件。桁架受力后，為保持變形協(xié)調(diào)一致，三桿變形后必須聯(lián)結(jié)在A1點，因而三桿的內(nèi)力除滿足平衡條件外，還必須使三桿的變形滿足協(xié)調(diào)條件。由于桁架左、右對稱，故可設加力后節(jié)點A垂直下移至A1，如圖4.28(a)所示。圖中的虛線表示桿件變形后的位置，3桿的伸長量ΔL3=。以B點為圓心,1桿的原長L/cosα為半徑作圓弧,圓弧以外的線段即為1桿的伸長量ΔL1。由于變形很小，可用垂直于A1B的直線AE代替上述弧線，且仍可認為∠AA1B=α。另由對稱性知，2桿的伸長量ΔL2與1桿的伸長量ΔL1相等。于是ΔL1=ΔL2=ΔL3cosα(c)此即變形協(xié)調(diào)條件。

(3)物理條件。根據(jù)胡克定律，在彈性范圍內(nèi)有(d)將式(d)代入式(c)，得到：此即求解未知力的補充方程。將其與平衡方程(a)、(b)聯(lián)立，解得:(e)

2.裝配應力和溫度應力超靜定結(jié)構(gòu)的另一重要特性是：制造誤差的存在以及溫度的變化也會在超靜定結(jié)構(gòu)中引起應力。這些應力分別稱為裝配應力與溫度應力。構(gòu)件在制成后，有微小的尺寸誤差是常見的。對于靜定問題，這種微小誤差不會在構(gòu)件內(nèi)引起內(nèi)力。例如圖4.26(a)所示的桿，如果制造得稍長了一些，則并不會影響該桿軸力的大小。但是，對于超靜定問題，由于有了多余約束，情況就會不同。例如，要將長度為L+Δ

的桿(圖4.29(a)，Δ為一微小量)裝入相距為L的兩剛性支座A、B(圖4.29(b))之間，則在裝好之后，桿必縮短Δ。此時，剛性支座A、B必對該桿施加軸向壓力FR

(圖4.29(c))，從而在該桿內(nèi)引起軸力(壓力)。相應地，桿