《工程力學(xué)》課件第9章

第9章應(yīng)力狀態(tài)、強(qiáng)度理論及其工程應(yīng)用

9.1應(yīng)力狀態(tài)概述9.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法9.3三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介9.4廣義胡克定律9.5強(qiáng)度理論概述9.6四種常用強(qiáng)度理論9.1應(yīng)力狀態(tài)概述

1.應(yīng)力狀態(tài)的概念對(duì)扭轉(zhuǎn)和彎曲的研究表明，桿件內(nèi)不同位置的點(diǎn)，一般情況下具有不同的應(yīng)力。所以，一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力是該點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。然而就一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，通過(guò)這個(gè)點(diǎn)可以有無(wú)數(shù)個(gè)截面，在不同方位截面上，這個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力也不同，即截面上的應(yīng)力又隨截面方位的不同而變化，是截面方位角的函數(shù)。因此，凡提到“應(yīng)力”，必須指明是哪個(gè)點(diǎn)、在哪個(gè)方位上。所謂“一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)”就是指過(guò)一點(diǎn)各個(gè)方位截面上的“應(yīng)力情況”。應(yīng)力狀態(tài)理論就是研究通過(guò)一點(diǎn)的不同截面上的應(yīng)力隨截面方位的變化規(guī)律。

2.單元體為了表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，一般是圍繞該點(diǎn)取出一個(gè)三個(gè)方向尺寸均為無(wú)窮小的正六面體，簡(jiǎn)稱為該點(diǎn)的單元體。在單元體的每個(gè)表面上標(biāo)出已知的應(yīng)力，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力單元體。由于單元體是無(wú)限小的，因此可以認(rèn)為：①單元體各面上的應(yīng)力是均勻的；②單元體相互平行的截面上的應(yīng)力相同，且同等于通過(guò)該點(diǎn)的平行面上的應(yīng)力。所以，一個(gè)點(diǎn)的單元體的應(yīng)力狀態(tài)完全可以代表該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。受力構(gòu)件上一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力單元體不是唯一的，在取單元體時(shí)，應(yīng)盡量使其三對(duì)面上的應(yīng)力容易確定。一般取三對(duì)面中的一對(duì)面為桿的橫截面，另外兩對(duì)面分別為垂直于橫截面的縱向截面。圖9.1給出了直桿在軸向拉伸時(shí)的應(yīng)力單元體。圖9.2給出了直桿在同時(shí)發(fā)生扭轉(zhuǎn)和軸向壓縮時(shí)某些點(diǎn)的應(yīng)力單元體。圖9.1圖9.2

3.主應(yīng)力、主平面、主單元體在構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)總可以取出一個(gè)特殊的單元體，其三個(gè)相互垂直的面上都無(wú)切應(yīng)力。這種切應(yīng)力為零的截面稱為主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。這種特殊的單元體稱為主應(yīng)力單元體。主應(yīng)力單元體上三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)值的大小排列為σ1≥σ2≥σ3。一般來(lái)說(shuō)，受力構(gòu)件上的任意點(diǎn)都可以找到三個(gè)互相垂直的主平面，因而每一點(diǎn)都有三個(gè)主應(yīng)力。

4.應(yīng)力狀態(tài)分類應(yīng)力狀態(tài)可分為單向應(yīng)力狀態(tài)、二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)，如圖9.3所示。單向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)不等于零的情況稱為單向應(yīng)力狀態(tài)，也稱為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)。二向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)不等于零的情況稱為二向應(yīng)力狀態(tài)，也稱為平面應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力都不等于零的情況稱為三向應(yīng)力狀態(tài)。二向和三向應(yīng)力狀態(tài)也統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。圖9.39.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法

問(wèn)題的提出二向應(yīng)力狀態(tài)下，已知通過(guò)受力構(gòu)件上一點(diǎn)的某些截面上的應(yīng)力：(1)求通過(guò)該點(diǎn)的其他截面上的應(yīng)力；(2)確定主平面和主應(yīng)力。

1.二向應(yīng)力狀態(tài)下單元體斜截面上的應(yīng)力

分析方法用一個(gè)假想的截面將單元體從所考察的斜面處截為兩部分，考察其中任意一部分的平衡，即可由平衡條件求得該斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。這就是截面法，是分析單元體斜截面上應(yīng)力的基本方法。

公式推導(dǎo)設(shè)單元體處于二向應(yīng)力狀態(tài)，如圖9.4(a)所示，圖9.4(b)是單元體的正投影。已知：σx,σy,τxy,τyx,斜面傾角為α。求：斜面α上的正應(yīng)力σα和切應(yīng)力τα。圖9.4應(yīng)力正、負(fù)號(hào)規(guī)定：正應(yīng)力拉為正，壓為負(fù)；對(duì)單元體內(nèi)任意點(diǎn)的矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。斜面傾角α從x軸正向轉(zhuǎn)到斜截面外法線為逆時(shí)針時(shí)為正。按照上述規(guī)定，在圖9.4(a)(或圖9.4(b))中，σx、σy、τxy和α都是正的，而τyx是負(fù)的。應(yīng)力符號(hào)角標(biāo)的含義：σx、σy分別表示法線與x、y軸平行的平面上的正應(yīng)力；切應(yīng)力τxy(或τyx)的第一個(gè)角標(biāo)x(或y)表示切應(yīng)力作用平面的外法線的方向，第二個(gè)角標(biāo)表示切應(yīng)力的方向平行于y軸(或x軸)。用截面把單元體沿ef面(截面ef平行于z軸，與坐標(biāo)平面xy垂直)截開(kāi)，保留eaf部分，如圖9.4(c)所示。設(shè)ef面的面積是dA，則af面和ae面的面積應(yīng)分別是dAsinα和dAcosα，如圖9.4(d)所示。研究三棱柱單元eaf的平衡得：∑Fn=0σadA+(τxydAcosα)sinα－(σxdAcosα)cosα

+(τyxdAsinα)cosα－(σydAsinα)sinα=0∑Ft=0

τadA－(τxydAcosα)cosα－(σxdAcosα)sinα

+(τyxdAsinα)sinα+(σydAsinα)cosα=0根據(jù)切應(yīng)力互等定理，τyx和τxy在數(shù)值上相等，代入上面兩式，化簡(jiǎn)后得到：(9.1)(9.2)公式(9.1)和(9.2)就是二向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)任意斜截面上正應(yīng)力和切應(yīng)力的計(jì)算公式。它適用于所有二向應(yīng)力狀態(tài)，包括單向、純剪切等特殊的二向應(yīng)力狀態(tài)。

2.主平面和主應(yīng)力從公式(9.1)和(9.2)中可以看出，斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力都是斜面傾角α的函數(shù)，通過(guò)函數(shù)求極值的方法就可以得到正應(yīng)力和切應(yīng)力的極值，并確定它們所在平面的位置。令(a)則可以得到：(9.3)由上式可以求出相差90°的兩個(gè)角度：α0、α0+90°，確定相互垂直的兩個(gè)平面，對(duì)應(yīng)截面上的正應(yīng)力的極大值和極小值。比較式(a)和公式(9.2)可以看出：正應(yīng)力的極大值和極小值對(duì)應(yīng)的平面正好是切應(yīng)力為零的平面，即該平面是主平面。所以，主應(yīng)力就是最大或最小的正應(yīng)力，這也證明了主應(yīng)力是相互垂直的。

結(jié)論：在切應(yīng)力為零的平面上正應(yīng)力取極大值和極小值，即最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力就是主應(yīng)力，所在的平面為主平面。將從公式(9.3)中求出的sin2α0和cos2α0代入公式(9.1)，就可以求出最大和最小的正應(yīng)力為(9.4)在α0、α0+90°所確定的兩個(gè)互相垂直的平面中，究竟哪個(gè)平面上是σmax，哪個(gè)平面上是σmin呢？這個(gè)問(wèn)題的判別方法有許多種，這里僅介紹其中的一種方法。σmax所在主平面的外法線矢量總是在τxy矢量所指向的那一側(cè)，即如果應(yīng)力單元體右面上的τxy向下(τxy>0)，則Ⅱ、Ⅳ象限的主平面就是σmax所在平面；如果應(yīng)力單元體右面上的τxy向上(τxy<0)，則Ⅰ、Ⅲ象限的主平面就是σmax所在平面。公式(9.4)用于計(jì)算單元體主應(yīng)力的大?。?/p>

(1)若σmax>0,σmin<0,則σ1=σmax,σ2=0,σ3=σmin。

(2)若σmax>0,σmin>0,則σ1=σmax,σ2=σmin,σ3=0。

(3)若σmax<0,σmin<0,則σ1=0,σ2=σmax,σ3=σmin。

3.最大和最小切應(yīng)力用完全相同的求函數(shù)極值的方法，可以求出切應(yīng)力的最大值和最小值為(9.5)對(duì)應(yīng)的平面傾角為(9.6)由上式可以求出兩個(gè)相差90°的平面，分別對(duì)應(yīng)最大和最小切應(yīng)力。比較公式(9.3)和(9.6)可以看出：2α1=2α0+90°，α1=α0+45°，即最大和最小切應(yīng)力所在平面與主平面的夾角為45°。需要特別指出的是，公式(9.5)所求出的最大切應(yīng)力，只是垂直于xy平面的斜截面上的切應(yīng)力之最大值，它不一定是過(guò)一點(diǎn)的所有斜截面上的切應(yīng)力之最大值。9.3三向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介本節(jié)簡(jiǎn)單介紹一下三向應(yīng)力狀態(tài)。設(shè)受力構(gòu)件上某點(diǎn)處于三向應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力單元體如圖9.5(a)所示。圖9.5在平行于主應(yīng)力σ1的任意斜截面上，正應(yīng)力和切應(yīng)力都與σ1無(wú)關(guān)。因此，當(dāng)研究平行于σ1的這一組方位面上的應(yīng)力時(shí)，所研究的應(yīng)力狀態(tài)可以看做如圖9.5(b)所示的平面應(yīng)力狀態(tài)，其斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力可以由公式(9.1)和(9.2)計(jì)算。這時(shí)，式中的σx=σ3，σy=σ2，τxy=0。同理，對(duì)于平行于主應(yīng)力σ2和σ3方向的另外兩組斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，則分別與σ2和σ3無(wú)關(guān)。當(dāng)研究這兩組斜截面上的應(yīng)力時(shí)，也可以將所研究的應(yīng)力狀態(tài)看做如圖9.5(c)和圖9.5(d)所示的平面應(yīng)力狀態(tài)。其斜截面上的應(yīng)力同樣可以由公式(9.1)和(9.2)計(jì)算。應(yīng)用公式(9.5)可以計(jì)算出分別平行于σ1、σ2和σ3三組斜截面上的最大切應(yīng)力為(9.7)進(jìn)一步的分析可以證明，過(guò)一點(diǎn)的所有斜截面上的切應(yīng)力之最大值是上述三個(gè)切應(yīng)力中的最大值，即：(9.8)平面應(yīng)力狀態(tài)是三向應(yīng)力狀態(tài)的特殊情況，因此，計(jì)算最大切應(yīng)力時(shí)應(yīng)該在三向應(yīng)力狀態(tài)下考慮，即應(yīng)根據(jù)公式(9.8)來(lái)計(jì)算。

【例9.1】分析軸向拉伸桿件的最大切應(yīng)力的作用面，說(shuō)明低碳鋼拉伸時(shí)發(fā)生屈服的主要原因。

解軸向拉伸時(shí)，桿件上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)，如圖9.1所示。σx=σ，σy=0，τxy=0。根據(jù)公式(9.1)和(9.2)可得，任意斜截面上的應(yīng)力為可見(jiàn)，當(dāng)α=45°時(shí)，切應(yīng)力τα取最大值：。本題還可直接根據(jù)公式(9.8)求出：結(jié)果表明，最大切應(yīng)力發(fā)生在與軸線成45°角的斜面上，這正是屈服時(shí)試件表面出現(xiàn)滑移線的方向。因此可以認(rèn)為，屈服是由最大切應(yīng)力引起的。

【例9.2】受力構(gòu)件上某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖9.6所示。

(1)求45°斜截面上的應(yīng)力；

(2)求主應(yīng)力并確定主平面；

(3)求最大切應(yīng)力。圖9.6

解根據(jù)應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定可以看出：σx=25MPaσy=－75MPaτxy=－40MPa

(1)45°斜截面上的應(yīng)力：

(2)主應(yīng)力：所以σ1=39MPa，σ2=0，σ3=－89MPa所以取2α0=38.66°，α0=19.33°因?yàn)閼?yīng)力單元體右面上的τxy向上，則Ⅰ、Ⅲ象限的主平面就是σmax所在平面，由此作出主應(yīng)力單元體如圖9.6所示。

(3)最大切應(yīng)力：

【例9.3】受力構(gòu)件上某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖9.7(a)所示,應(yīng)力單位是MPa。圖9.7

(1)求主應(yīng)力；

(2)求最大切應(yīng)力。

解(1)主應(yīng)力。這是一個(gè)三向應(yīng)力狀態(tài)，可以看出左、右面就是主平面，對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力σ′=50MPa就是一個(gè)主應(yīng)力。其余的應(yīng)力構(gòu)成一個(gè)二向應(yīng)力狀態(tài)，左視圖如圖9.7(b)所示。根據(jù)應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定可以看出：σ1=52.2MPa，σ2=50MPa，σ3=－42.2MPa

(2)最大切應(yīng)力：9.4廣義胡克定律前面已經(jīng)介紹了軸向拉伸或壓縮的胡克定律：

σ=Eε

或橫向線應(yīng)變?yōu)楝F(xiàn)在介紹復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下σ和ε之間的關(guān)系。設(shè)受力構(gòu)件上某點(diǎn)處于三向應(yīng)力狀態(tài)，它的主應(yīng)力單元體如圖9.8所示，求沿三個(gè)主應(yīng)力σ1、σ2和σ3方向的三個(gè)線應(yīng)變。這種沿主應(yīng)力方向的線應(yīng)變稱為主應(yīng)變，分別用ε1、ε2和ε3表示。圖9.8對(duì)于各向同性材料，在最大正應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限條件下，可以應(yīng)用胡克定律和疊加法來(lái)求主應(yīng)變。為此，將此三向應(yīng)力狀態(tài)看做是三個(gè)單向應(yīng)力狀態(tài)的組合(如圖9.8所示)。σ1、σ2和σ3分別作用時(shí)，在σ1方向引起的線應(yīng)變分別為、和，將這三項(xiàng)疊加即得：，同理可以求出ε2和ε3。經(jīng)整理后即得(9.9)公式(9.9)就是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下主應(yīng)力和主應(yīng)變之間的關(guān)系。它是以主應(yīng)力表示的廣義胡克定律，式中E和μ分別為材料的拉壓彈性模量和泊松比?？梢宰C明，由公式(9.9)求出的主應(yīng)變滿足關(guān)系ε1≥ε2≥ε3。ε1是一點(diǎn)處的最大線應(yīng)變，即εmax=ε1

(9.10)(9.11)

可以證明，在線彈性范圍內(nèi)，對(duì)于任意相互垂直的三個(gè)方向x、y和z，胡克定律同樣成立，即

【例9.4】在一個(gè)體積比較大的鋼塊上有一個(gè)直徑為5.001cm的凹座，凹座內(nèi)放置一個(gè)直徑為5cm的鋼制圓柱(圖9.9(a))，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，已知E=200GPa，μ=0.3。試求該圓柱的主應(yīng)力。圖9.9

解圓柱體橫截面上的正應(yīng)力為在軸向壓縮下，圓柱將產(chǎn)生橫向膨脹。在它脹到塞滿凹座后，凹座與柱體之間將產(chǎn)生徑向均勻壓力p(圖9.9(b))。在圓柱體內(nèi)任取一點(diǎn)，可以證明該點(diǎn)所受的徑向壓應(yīng)力和環(huán)向壓應(yīng)力相等，即：σ″=σ=－p又因?yàn)榧僭O(shè)鋼塊不變形，所以柱體在徑向只能發(fā)生由于塞滿凹座而引起的應(yīng)變，其數(shù)值為根據(jù)廣義胡克定律得：由此求出P=8.43MPa所以，柱體內(nèi)各點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為σ1=σ2=－p=－8.43MPa，σ3=－153MPa，如圖9.9(c)所示。9.5強(qiáng)度理論概述

1.材料的破壞形式在強(qiáng)度問(wèn)題中，失效或破壞形式大致可以分為兩種，即脆性斷裂和塑性屈服。脆性斷裂是指在外力作用下，由于應(yīng)力過(guò)大而產(chǎn)生裂縫并導(dǎo)致斷裂，例如，鑄鐵在拉伸和扭轉(zhuǎn)時(shí)的破壞屬于脆性斷裂。這種破壞的特點(diǎn)是，在沒(méi)有明顯的塑性變形的情況下突然發(fā)生斷裂，斷裂發(fā)生在最大正應(yīng)力的作用面上。塑性屈服是指在構(gòu)件上出現(xiàn)一定量的塑性變形，例如，低碳鋼在拉伸和扭轉(zhuǎn)時(shí)的屈服破壞。材料無(wú)論出現(xiàn)脆性斷裂或塑性屈服，構(gòu)件都會(huì)喪失正常工作能力。

2.簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件在前面幾章各基本變形的強(qiáng)度分析中，建立了相應(yīng)的強(qiáng)度條件，它們可以概括為或其中：n是安全系數(shù)；極限應(yīng)力σ0或τ0是通過(guò)試驗(yàn)測(cè)定出來(lái)的，稱為失效應(yīng)力。對(duì)于脆性材料，σ0就是強(qiáng)度極限σb；對(duì)于塑性材料，σ0就是屈服極限σs。

3.復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度理論在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，σ1、σ2和σ3的比值可以有無(wú)數(shù)多種組合形式，即使對(duì)于同一種材料，在不同的主應(yīng)力比值下，材料的失效應(yīng)力值也是各不相同的。例如三向等拉時(shí)，在很小的應(yīng)力數(shù)值下材料就會(huì)失效；三向等壓(靜水壓力)時(shí)，應(yīng)力數(shù)值達(dá)到很大時(shí)材料都不會(huì)失效。所以，根本不可能對(duì)每一種主應(yīng)力比值一一進(jìn)行試驗(yàn)來(lái)測(cè)定材料破壞時(shí)的極限應(yīng)力。對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，一般是依據(jù)部分試驗(yàn)結(jié)果，經(jīng)過(guò)推理、分析來(lái)建立失效準(zhǔn)則。推理思路是：將簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)看成復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的特殊情況，將簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)與復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)聯(lián)系在一起，然后利用簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下試驗(yàn)得到的材料破壞時(shí)的極限應(yīng)力，根據(jù)材料的破壞規(guī)律，尋找同一種失效形式的共同因素，經(jīng)過(guò)推理來(lái)建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的破壞準(zhǔn)則和強(qiáng)度條件。于是，對(duì)材料在不同應(yīng)力狀態(tài)下失效的共同原因提出了各種不同的假說(shuō)，來(lái)推測(cè)材料失效的原因。這類假說(shuō)稱為強(qiáng)度理論。強(qiáng)度理論既然是推測(cè)強(qiáng)度失效的一些假說(shuō)，它正確與否，適用于什么情況，必須由生產(chǎn)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)。經(jīng)常是適用于某種材料的強(qiáng)度理論，并不一定適用于另一種材料；在某種條件下適用的理論，卻并不一定適用于另一種條件。9.6四種常用強(qiáng)度理論

1.關(guān)于斷裂失效的強(qiáng)度理論

1)第一強(qiáng)度理論(最大拉應(yīng)力理論)這一理論認(rèn)為最大拉應(yīng)力是引起斷裂的主要因素。即認(rèn)為無(wú)論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，則材料就發(fā)生斷裂。既然該理論認(rèn)為斷裂失效與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)力狀態(tài)的最大拉應(yīng)力和試驗(yàn)結(jié)果來(lái)得到斷裂準(zhǔn)則為

σ1=σb(9.12)將極限應(yīng)力σb除以安全系數(shù)即可得到許用應(yīng)力［σ］。所以，第一強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件是σ1≤［σ］(9.13)討論：第一強(qiáng)度理論基本上能反映脆性材料的實(shí)際情況，適用于鑄鐵、硅石、陶瓷、玻璃等脆性材料有拉應(yīng)力存在的情況；對(duì)于一點(diǎn)在任何截面上都沒(méi)有拉應(yīng)力時(shí)，該理論就不適用。脆性材料扭轉(zhuǎn)也是沿拉應(yīng)力最大的斜截面發(fā)生斷裂，與此理論相符合。

2)第二強(qiáng)度理論(最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論)這一理論認(rèn)為最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。即認(rèn)為無(wú)論什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變?chǔ)?達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，則材料就發(fā)生斷裂。既然該理論認(rèn)為斷裂失效與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)力狀態(tài)的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變和試驗(yàn)結(jié)果來(lái)得到斷裂準(zhǔn)則為(a)利用廣義胡克定律得到：將上式代入(a)式就得到斷裂準(zhǔn)則為σ1－μ(σ2+σ3)=σb(9.14)將極限應(yīng)力σb除以安全系數(shù)即可得到許用應(yīng)力［σ］。所以，第二強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件是σ1－μ(σ2+σ3)=［σ］(9.15)討論：第二強(qiáng)度理論適用于鑄鐵在拉—壓二向應(yīng)力狀態(tài)且壓應(yīng)力較大的情況；適用于石料、混凝土等脆性材料的單向壓縮。在一般情況下，第二強(qiáng)度理論并不比第一強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果。

2.關(guān)于屈服失效的強(qiáng)度理論

1)第三強(qiáng)度理論(最大切應(yīng)力理論)這一理論認(rèn)為最大切應(yīng)力是引起屈服的主要因素。即認(rèn)為無(wú)論什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大切應(yīng)力τmax達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值時(shí)，材料就發(fā)生屈服。既然該理論認(rèn)為屈服失效與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)力狀態(tài)的最大切應(yīng)力和試驗(yàn)結(jié)果來(lái)得到屈服準(zhǔn)則為τmax=τ0(b)根據(jù)公式(9.8)知：(c)在單向應(yīng)力狀態(tài)下：(d)將(c)式和(d)式代入(b)式，就得到屈服準(zhǔn)則為σ1－σ3=σs

(9.16)將極限應(yīng)力σs除以安全系數(shù)即可得到許用應(yīng)力［σ］。所以，第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件是σ1－σ3≤［σ］(9.17)討論：試驗(yàn)表明，第三強(qiáng)度理論與有關(guān)塑性材料的許多試驗(yàn)結(jié)果比較接近，結(jié)果偏于安全。由于其形式簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，因而應(yīng)用相當(dāng)廣泛。

2)第四強(qiáng)度理論(形狀改變比能理論)彈性體在外力作用下將發(fā)生變形，載荷作用點(diǎn)隨之產(chǎn)生位移，因此在彈性體變形過(guò)程中，載荷在相應(yīng)位移上作功。由能量守恒定律可知，如果所加外載荷是靜載荷，則載荷所作之功全部轉(zhuǎn)化為積蓄在彈性體內(nèi)部的能量，稱之為彈性變形能。處在應(yīng)力作用下的單元體，其形狀和體積一般都會(huì)發(fā)生改變，所以變形能又可以分解為體積改變能和形狀改變能，而單位體積內(nèi)的體積改變能和形狀改變能分別稱為體積改變比能和形狀改變比能。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，形狀改變比能的計(jì)算公式為(省略推導(dǎo))：(9.18)形狀改變比能理論認(rèn)為形狀改變比能是引起屈服的主要因素。即認(rèn)為無(wú)論什么應(yīng)力狀態(tài)，只要形狀改變比能vd達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生屈服。既然該理論認(rèn)為屈服失效與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)力狀態(tài)的形狀改變比能和試驗(yàn)結(jié)果來(lái)得到屈服準(zhǔn)則為(e)在單向應(yīng)力狀態(tài)下：(f)將(f)式代入(e)式，整理后就得到屈服準(zhǔn)則為(9.19)將極限應(yīng)力σs除以安全系數(shù)即可得到許用應(yīng)力[σ]。所以，第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件是(9.20)討論：第四強(qiáng)度理論是從反映受力和變形綜合影響的變形能出發(fā)來(lái)研究材料強(qiáng)度的，因此更全面和完善。試驗(yàn)表明，對(duì)塑性材料，第四強(qiáng)度理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果，工程上應(yīng)用也較為廣泛。

3.強(qiáng)度條件的統(tǒng)一表達(dá)式上面所述的四種強(qiáng)度理論可以用一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式表示為σr≤［σ］(9.21)式中σr稱為相當(dāng)應(yīng)力，它并不是實(shí)際存在的應(yīng)力，而是由強(qiáng)度理論得出的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下三個(gè)主應(yīng)力按照一定形式的組合值，相當(dāng)于把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)化為強(qiáng)度相當(dāng)?shù)膯蜗驊?yīng)力狀態(tài)，然后建立強(qiáng)度條件。按照從第一強(qiáng)度理論到第四強(qiáng)度理論的順序，相當(dāng)應(yīng)力分別為(9