2024年上海高一數(shù)學(xué)試題分類匯編：三角（解析版）

專題01三角

三角函數(shù)

三角函數(shù)的值、誘導(dǎo)公式

三角恒等變換

解三角形

三角函數(shù)與解三角形綜合解答題

題型1:三角函數(shù)

已知尸（）在角的終邊上，則「+

1.（2023上?上海?高三校考期中）5,12acosa

12

【答案】

【分析】利用三角函數(shù)的定義式,結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡得解.

【解析】由點(diǎn)尸（5,12）在角e的終邊上,

1212

則sina=

A/52+12213

iI乃12

貝Ucosl—+cr=-sina=-----,

13

12

故答案為:

2.（2023下?上海嘉定?高一?？计谥校τ谡T導(dǎo)公式中的角a,下列說法正確的是（）

A.。一定是銳角B.。是使公式有意義的任意角

C.&一定是正角D.0Wa<2兀

【答案】B

【分析】由誘導(dǎo)公式成立條件直接判斷即可.

【解析】誘導(dǎo)公式中的角。是使公式有意義的任意角，故B正確.

故選：B.

3.（2023上?上海閔行?高三校聯(lián)考期中）已知角。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與工軸的非負(fù)半軸重合,

且終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（-2,1）,貝ijtana=.

【答案】--/-0.5

【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)及三角函數(shù)的定義求tana即可.

【解析】由題設(shè)及正切函數(shù)的定義知：tanc=e=-1.

-22

故答案為：

4.（2023上?上海松江?高三?？计谥校┤粢簧刃蔚膱A心角為A,半徑為2,則扇形的弧長為.

【答案】3771兀

66

【分析】直接根據(jù)扇形的弧長公式求解即可.

【解析】?:a=—,R=2,.*./=l^zl,7?=—x2=—,

1211126

IT

故答案為：7*

6

5.（2023上?上海?高三校考期中）母線長為5、底面半徑為2的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)

為.

【答案】。/g萬

【分析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為a,根據(jù)底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長計算可

得.

【解析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為

又母線/=5,底面半徑尸=2

471

則al-2Tlz,即5a=4兀，解得a=—.

、47r

故答案為：—

6.（2023下?上海嘉定?高一?？计谥校?50度=（填弧度）；

5冗5

【答案】

66

【分析】根據(jù)角度與弧度之間的換算關(guān)系計算即可.

【解析】150度=旦TT乂150=S3ir.

1806

故答案為：子57r.

O

題型2：三角形函數(shù)值、誘導(dǎo)公式

7.（2023下?上海嘉定?高一?？计谥校┡c-15。角終邊重合的角的集合是.

【答案】?=人360°-15°,左eZ}

【分析】根據(jù)終邊相同角的概念直接求解即可.

【解析】與-15。角終邊重合的角的集合是同a=心360。-15。,左€2}.

故答案為：同打=心360。-15。,左€2}

8.（2023下?上海松江?高一統(tǒng)考期中）滿足cosx=g,xe[0,可的角x為.

【答案】j

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值求解即可

【解析】因為cosx=g,xe[0,兀],

所以x=（,

IT

故答案為：y

9.（2023下?上海楊浦?高二同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谥校┤魋ina=g,夕是第二象限角，則

cosa=.

【答案】一迪

3

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得.

【解析】因為sin1=g,。是第二象限角，

所以cosa--V1-sin2a--?

3

故答案為：-迪

3

10.（2023下?上海青浦?高一上海市朱家角中學(xué)?？计谥校┮阎猼ana=2,則

sin（兀-a）-sin[]+a]

=

-cosI—+aiI+cos（IT-a?）—

【答案】1

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式直接求解即可.

71

sin（兀一a）—sin—F（X

2sina-cosa

【解析】—-----------二I-

g+a/\sina-cosa

COS+cos（兀一a）

故答案為:1.

11.（2023下?上海?高一上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┮阎?3,4）為角a終邊上一點(diǎn)，則

sina+cosa二

【答案】1/0.2

【分析】求出P到原點(diǎn)的距離，利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sina,cosa的值，再求出

sina+cosa即可.

【解析】???尸（T4）為角a終邊上一點(diǎn),

.-.|OP|=79+16=5,

.43

ln/rilijsincr=—,COS6Z=

.431

/.sma+cosa=------=—

555

故答案為：—

1.（3兀]

12.（2023下?上海青浦?高一上海市青浦高級中學(xué)?？计谥校┮阎猚osa=則niIsm[a+Ej=

2

【答案】

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡求值.

【解析】SinL+y1

=-cosa=——

3

故答案為：

13.（2023上?上海閔行?高三上海市七寶中學(xué)校考期中）已知tanx=2,則2sinxcosx=

4

【答案】?/0-8

>_2sinxcosX—.*I.>=>,__-八、、、t/口

【分析】由2sinxcos%=「-------,再將弦r化切，取后代入計算可r得.

sinx+cosx

2sinxcosx2tanx2x24

【解析】因為tanx=2,所以2sinxcosx=

sin2x+cos2xtan2x+122+15

一，4

故答案為：—

14.（2023下?上海嘉定"IWJ—'校考期中）已知cosa=---，且兀<。<—，貝!Jtana=；

32

【答案】V2

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，先求出sina,然后求得tana.

【解析】因為cosa=-4^,且兀<a<當(dāng)，所以sina=-J1一cos2a=一1^,

323

misinar：

則tana=----=V2.

cosa

故答案為：V2.

15.（2023下?上海靜安?高一?？计谥校┮阎?sina：3cos"=上,貝（］tana的值為________.

sina-2coscr4

【答案】-2

【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系將正余弦化為正切求解即可

■2since+3coscz1?八

【解析】由一----------=-,得zcoscwO,

sina—2cosa4

2tana+31&力,門八

所以-------,解得tana二一2,

tana-24

故答案為：-2

16.（2023下?上海?高一上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┮阎?為第二象限角，若sin,=-sin5,則￡在

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

TTTLf）71

【分析】由2E+—<喋兀+兀,左￡Z,得到左兀+―<—<E+—,左EZ,再對左賦值，根據(jù)

2422

I,11rr

si.n—9=_s.m^0判斷.

【解析】解：因為。為第二象限角，

兀

所以2左兀+—<0<2kn+R,kGZ,

2

7兀87兀7丁

貝（JkuH—<_<kitH—，左wZ,

422

、,T--t_7T071、“T<?i.5710371

當(dāng)tk=0時，一<一<一,當(dāng)k=1時，——<—<——，

422422

廠生

因為si.n9—=-sm萬6,

nn

所以sin7vO,所以7在第三象限，

22

故選:C

sin（24-a）tan（%+a）cot（-a一萬）

17.（2022下?上海浦東新?高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┗?

cos（萬一a）tan（3萬一a）

的結(jié)果為（）

A.1B.-1C.-cosaD.cota

【答案】A

【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式直接化簡即可.

一sin（2TT-）tan（7r+a）cot（-a）

【解析】cos（…）tan（3i）

_sinatanacota_sinacosa

一cosatan（一a）cosasina

故選：A

題型3：三角恒等變換

18.（2023下■上海?高一上海市七寶中學(xué)校考期中）cos57°cos12。+sin57°sin12。的值為.

【答案】旦

2

【分析】由兩角差的余弦公式化簡求值.

【解析1cos57°cos120+sin57°sin12°=cos（57°-12°）=cos45°=-^-.

故答案為:".

2

19.（2022下?上海長寧?高一?？计谥校┘褐堑谒南笙薜慕牵嗀衔?叵近的結(jié)果

V1-sin6/V1+sina

是（）

2222

A.-...B.—；C.-------D.-----

sinorsinacosacosa

【答案】D

【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，化簡求值.

［解析］原式=j（l+s-a）2二+JQ-sy匚

\（l-sina）（l+sina）,（1+sina）Q-sina

2

|costz|?

因為。是第四象限的角，所以cosa〉0,

2

所以原式化簡的結(jié)果是

cosa

故選：D

20.（2023上?上海松江?高三上海市松江一中?？计谥校┮阎猼ana=g,tan￡=，且。，〃u（0,7t）,

則tan(2cr-0)=

【答案】1

【分析】由二倍角的正切公式求出tan2a,最后根據(jù)兩角差的正切公式計算可得.

【解析】因為tana=g,tan，=—；,且，u（0,兀），

2x-

2tana3

所以tan2a=3

1-tan2a

1--4

9

tan2a-tanP

,tan(2a-fJ)二

1+tan2atanp

故答案為：1

21.（2023上?上海浦東新?高三華師大二附中校考期中）已知"'|>0卜。53-1]=：,則

sin2a=.

【答案】--/-0.96

【分析】先求得sina=3-cosa=g4,再利用二倍角正弦公式即可求得sin2a的值.

【解析】因為a,且os[a—]）=sina=—1,貝ljcosa='1,

324

則sin2a=2sinacosa=2x

525

故答案為：一行，

TT

22.（2023上?上海浦東新?高三?？计谥校┰凇?C中，C=~,貝!Jcos/+cosB的取值范圍

是.

【答案】6,1

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及內(nèi)角的性質(zhì)，利用等量代換以及三角恒等變換，可得答案.

n27r

【解析】在及45。中，A+B+C=71,則3=兀一C—4=兀----A=----A,

33

27r27t

由0<4<兀，0<3<兀，貝1JO<A<71解得0<A<—,

3f3

2兀,1,2兀..271..

cosZ+cosB=cos/+cos-----A=cos24+cos-eosZ+sm-smZ

,3J33

=cosA——cosAH-----sinA=—cosAH-----sinA=si]

2222

由0<N<=,則+多，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，所以：<sin]/+%l.

36662I6J

故答案為：(gl

23.(2023下?上海虹口?高一上外附中校考期中)若cose+sin￡=g,則sina+sin"的取值范圍

是.

【答案】-?+；,母+；

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合輔助角公式，化簡得到sinc+sin/=V^sin(a-；)+：,利用正弦函數(shù)

42

的性質(zhì)，即可求解.

【解析】由cosa+sin0=—,可得sina+sin夕=sina-cosa+—=V2sin(cr--)+—,

2242

因為sin(a——)G[—1,1],可得J^sin(a——)G[―6",應(yīng)],

所以V^sin(a—)H—G—5/2H—,V2H—.

42L22j

故答案為：-血+；,血+；.

24.(2023下?上海虹口?高一上外附中?？计谥?若方程3f+5x-7=0的兩根為tana與tan/，則

sin(a+￡)_

cos(cr-(J).

【答案】4

4

【分析】根據(jù)兩角和差的正余弦公式化簡后轉(zhuǎn)化為正切函數(shù)即可得解.

57

【解析】由題意，tancr+tantanctr-tan=—,

_5

sin(a+P)_sincosP+cosasin/?_tana+tanyff_3_5

cos(6Z-P)cosacos尸+sinasin/l+tanatan/774

-3

故答案為：y

4

25.（2。23下?上海徐匯?高一上海中學(xué)校考期中）若tan*2則陪配

【答案】I

0

【分析】利用正余的倍角公式，將冷寒券轉(zhuǎn)化成齊次式即可求出結(jié)果.

cos26-sin2。_cos20-sin20-2sin0cose_1-tan20-2tan<9

【解析】因為，又tan6=—2,所以

l+cos202cos20+sin202+tan20

cos26-sin2e1-4+4

l+cos202+4~6

故答案為：—

6

7137171

26.（2023下?上海松江?高一上海市松江二中校考期中）若a?5,且3cos2a=cos---FCC

2T4

則sin2a可以為（)

4T8V3517

B.一r

918

【答案】D

［分析】利用兩角和的余弦公式及二倍角公式得到3（cos2a-sina），即可得到

6

cosa+sina=——或cosa-sina=0,再將上式平方即可得解;

6

71

【解析】因為3cos2a=cos—Fa

4

7171

所以3(COS2a-sin?a)=cosacos——sinacos—,

44

所以3(cos2a-sin?a)=^^(cosa-sina),

即3(cosa—sina)(cosa+sina)=(cosa-sina),

,、

解得cosa+sina=----或cosa-sina=0,

6

?\212c??71

當(dāng)cosa+sina=時，(cosa+sina=—,cosa+2cosasina+sma=一,

671818

117

即l+sin2a=—,解得sin2a=-----

1818

22

當(dāng)cosa—sina=0時，(cosa-sina『=0,cosa-2coscrsincr+sina=0,

即l—sin2a=0，解得sin2a=1.

故選：D

27.（2021上?上海靜安?高三?？计谥校┮阎?。、力是不同的兩個銳角，則下列各式中一定不成立的

是（）

A.sin(a+/)+2cosasin￡+sin(a-，)>0

B.cos(a+/)+2sinasin/+cos(a-/)<0

C.cos(a+/)-2sinasin/+cos(a-/)>0

D.sin(a+〃)-2cosasin〃+sin(a-〃)<0

【答案】B

【分析】先根據(jù)題意得到《+力與夕-4的范圍，再利用正余弦函數(shù)的和差公式，對選項逐一進(jìn)行化

簡，從而利用正余弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

【解析】因為&、。是不同的兩個銳角，即0<a<],0</?<F，

所以0<a+￡<7i,--<a-/3<—,

22

對于A,因為sin(a+〃)+sin(a-〃)=(sinacosP+cosasinP)+(sinacosP-cosasin/3)=2sinacos〃,

所以sin(a+夕)+2cosasin〃+sin(a-尸)=2sinacos+2cosasin/?=2sin(a+>0一定成立，故A錯

誤；

對于D,sin(a+/3)-2cosasinj3+sin(a-fj)=2sinacos4一2cosasin尸=2sin(a-4)<0可能成立,故D

錯誤；

對于B,Hcos(a++cos(a-P)=(cosacos-sin?sinP)+(cosacos/?+sinsinP)=2cosacos/7,

所以cos(a+〃)+2sinasin0+cos(a-P)=2cosacos〃+2sinasin/?=2cos(a-〃)〉0恒成立，

即853+/)+2$11105111/+3(0-尸)<0一定不成立，故B正確；

對于C,cos(a+〃)一2sinasin〃+cos(a—尸)=2cosacos/-2sinasin/=2cos(a+/)>0可能成立，故

C錯誤.

故選：B.

題型4：解三角形

28.(2023上?上海寶山?高三?？计谥?己知的角/、B、C對應(yīng)邊長分別為a、b、c,a=4,

b=5,c=6,貝Isin/=

【答案】

44

【分析】由余弦定理求出cos/,由平方關(guān)系求得結(jié)果.

【解析】由余弦定理可得cos/="+c?-/+6?-4?=3,

2bc2x5x64

/.sin2^4=1-cos24=1一=又0</<兀，

⑷16

SHI4=——.

4

故答案為：叵.

4

jr

29.(2023上?上海閔行?高三上海市文來中學(xué)?？计谥?在AASC中，NA=—,AB=2,AC=3,

3

則BC邊上的高為.

【答案】WH/3⑨

77

【分析】利用余弦定理求出3C,再由等面積法計算可得.

JT

【解析】在“3C中，N4=—，AB=2,AC=3,

3

由余弦定理3c2=AC2+AB2-2AC-ABcosA,IP5C2=32+22-2x3x2xi=7,

2

所以=

設(shè)BC邊上的高為h,則S.ABC=^BC-h=^ABACsinA,

即LXV7〃='X2X3X@,解得〃=^H.

2227

故答案為：3包

7

30.(2023上?上海普陀?高三曹楊二中?？计谥?在“8c中，(a+c)(sin4-sinC)=b(sin4-sin8),

貝U/C=.

【答案】y

【分析】由正弦定理化角為邊后，利用余弦定理求解.

【解析】因為(a+c)(siiL4—sinC)=b(sin4—sin5),由正弦定理得(a+c)(。-c)=6(。-6),

變形得/+/一。2=必，所以cosC=/+/_c'=

2ab2

TT

又0＜。＜兀，所以C=],

TT

故答案為：y.

31.(2023上?上海虹口?高三?？计谥?設(shè)“3C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若6=26,

c=8,4=30。，則“8C的面積為.

【答案】4拒

【分析】根據(jù)面積公式直徑運(yùn)算求解即可.

【解析】由題意可得』的面積為S=Lcsin/=Lx26x8x-=4^.

222

故答案為：4G.

32.（2023上?上海黃浦?高三統(tǒng)考期中）在418c中，三個內(nèi)角48,C的對邊分別為。也。，若

5a2-5b2+6A-5c2=0,貝Isin24的值為.

24

【答案】lj/0.96

【分析】根據(jù)余弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角的正弦公式即可得到答案.

【解析】5a2-5b2+6bc—5c2=0,—be=b2+c2-a1,

則b2+c2-a2；bc3因為/e（o,勸，所以/joA〕，

cosA=--------------=-----=—>0'/I2/

2bc2bc5

44324

所以sinZ=—,所以sin2/=2sin/cos/=2x—x—=——,

55525

故答案為：—.

33.（2023下?上海奉賢?高一?？计谥校┰?。中，若sin4:sinB:sinC=3:4:6,貝（JcosC二

【答案】

24

【分析】根據(jù)正弦定理可知a:b:c=3:4:6,設(shè)〃=3左1=4后,c=6后,利用余弦定理即可求出.

【解析】由正弦定理，且sin/:sinB:sinC=3:4:6,則〃：6:c=3:4:6,設(shè)〃=31b=4左,。=6左,

222

由余弦定理，可得cosC==9k+16k-36k=_1￡.

2ab23kAk24

故答案為：

24

34.（2023下?上海徐匯?高一上海市第二中學(xué)?？计谥校┰谥校珺C=6,/C=8,ZA=40°,

則ZB的解的個數(shù)是個.

【答案】2

【分析】利用正弦定理即可判斷三角形有兩解.

【解析】在。中，BC=6,/C=8,//=40。，

：.a=6,b=S,,由30。</=40。<45。,貝1」加吊4<.<6,如圖:

c

故答案為:2.

35.（2023下?上海奉賢?高一?？计谥校?C的內(nèi)角/,B,C所對的邊分別是a,b,c,則下列命

題正確的序號是.

①.若a+6>2c,則Cg

②.若1+62>°2,則“8C是銳角三角形

③.若cos?4=空，則”8C是直角三角形

22c

?.若一]=—4,則。8C為等腰三角形

cosBcosA

⑤.若銳角中，貝!]sin/+sinB+tanC>gcos/+gcos8+；cotC恒成立

【答案】①③

【分析】根據(jù)正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用逐一判斷各個選項即可.

【解析】對于①，若a+b>2c,貝|一（二±]2<一/,

2,24+6）2

ca2+b2-c2a+-12J^（a2+b2）-2ab初一Zb1.

2ab2ab8ab8ab2

V=cosx在（0,兀）遞減，所以。故①正確；

對于②，。中，:>o2,則cosC="+'——J>0,???角。為銳角，

2ab

但銳角三角形需判定三個頂角均為銳角，所以。8C不一定是銳角三角形，故②錯誤；

對于③，若cos24=l+c°s4=叱,即c.cos/=6,化簡可得‘2=/+〃，所以“3C是直角三角

222c

形，故③正確；

對于④，由正弦定理及一^=上-,得sin2/=sin28所以4=8或/+5=巴，

cosBcosA2

則春8C為等腰三角形或直角三角形，故④錯誤.

對于⑤.角力,B,C分別取89。,89。,2°,代入不成立.

故選：①③.

題型5：三角函數(shù)與解三角形綜合解答題

36.(2023下?上海嘉定?高一校考期中)解答下列問題：

⑴化簡2sin0r-a)cosg+a)sin(|-a)cos^-a)

sin(7i+a)COS(JI+a)

3

⑵在LABC中，若sinZ+cosZ=-,求cos/—sin/的值.

【答案】(1)sina；

(2)--.

5

【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式化簡即可；

(2)sinA+cosA=—兩邊平方得2sin/cos/=,從而可得

5f25

sinA>0,cosA<0,cos-sin<0,再由cos/—sin/=—J(cos4—sin,求解即可.

【解析】⑴解：原式二型吆史皿+空會吧=2sma-sma=sma；

-sina-cosa

(2)解：sinA+cosA=—,兩邊平方得2sin/cos4=-竺■<(),

525

0<A<7i,

/.sinA>0,/.cosA<0,/.cos/一sin/<0,

/.cosA-sinA=-^(cos^-sin^)2=-Jl-2sin4cos/=,

4

37.(2023上?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)?？计谥?已知角。和耳滿足cosa+cos/?=-§.

(1)若尸=2。，求cosa的值：

JT

(2)若/=0+5,求sin2a的值.

【答案】(l)cosc=(或-3

36

【分析】⑴利用二倍角的余弦公式求出2cos2a+cosa-求出cosa的值；

4

(2)利用誘導(dǎo)公式得到cosa-sina=-平方后結(jié)合二倍角的正弦公式求出答案.

4

【解析】(1)因為夕=2a,cosa+cos/?=--

4

所以cosa+cos2a=—,可得cosa+(2cos2

9

BP2cos2a+cosa--=0,解得cosa=§或一石.

兀(兀、4

(2)因為〃=a+—,故cosa+cosa+大二一二,

416

可得cosa-sina=——即(cosa-sinaf

981

故cos2a-2sinacosa+sin2a=1-sin2a=3

81

故sin2a=1-----=—.

8181

38.（2023上?上海?高三?？计谥校┰诙蜝C中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,b=y/6,

⑴若a=2,求sirU的值；

⑵小的面積等于百，求。的值.

【答案】⑴蟲；

2

（2）a=V2或a=2A/2-

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理求解即得.

（2）利用三角形面積公式、余弦定理列出方程組求解即得.

V3

ab?

【解析】（1）在小3C中，由正弦定理，得.，asin5V2,

sinAsinB

ba2

所以siib4的值是它.

2

(2)由。的面積等于,WS=—acsinB=-^-ac=yj3,解得ac=4,

AzBlzCiC24

由余弦定理=02+c?-2accos8,a2+c2-ac=6>即q2+c2=l(),

解得q=20,c=6,或a=V2,c=272,

所以a=也或a=2VL

39.（2023上?上海楊浦?高三復(fù)旦附中?？计谥校?我將來要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群孩

子在一大塊麥田里玩，幾千幾萬的小孩子，附近沒有一個大人，我是說，除了我《麥田里的守望

者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田.假設(shè)霍爾頓在一塊平面四邊形

4BCD的麥田里成為守望者.如圖所示，為了分割麥田，他將3、。連接，經(jīng)測量知48=BC=CD=1,

AD=2.

(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論8。多長，2cos/-cosC都為一個定值.請你證明霍爾頓的結(jié)論，并求出這個定值;

⑵霍爾頓發(fā)現(xiàn)小麥的生長和發(fā)育與分割土地面積的平方和呈正相關(guān)關(guān)系.記與的面積

分別為百和邑,為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出s；+￡的最大值.

【答案】⑴證明見解析，!3

嗚

【分析】（1）利用余弦定理，整理等式，可得答案；

（2）利用三角形面積公式，結(jié)合三角函數(shù)恒等式，可得答案.

【解析】（1）在ZUB。中，BD2=AD2+AB2-1AD-ABcosA=5-4cos^

在ABCD中，BD2=CD2+CB--2CDCScosC=2-2cosC,

3

4cos/-3=2cosC,則2cosA-cosC=—為定值.

2

（2）S^+Sl=-AB2-AD2-sin2A+-BC2-CD2?sin2C=sin2^+-sin2C

12444

=sin2/+--—cos2C=（1-cos2/）+—f2cos/-—

44I，44（2）

c2,3,11

=-2cosA-\■一COS/H---,

216

因為Z￡（0/）,設(shè)"COS力￡（一1,1）

貝Uy=—2/+十+——2ft3I+||，,

aa”

所以，當(dāng)以釬(-1,1)時,歹=_2/+于+而取得最大值友,

331

即cosZ=z時，S；+S；的最大值為二.

832

優(yōu)選提升題

一、填空題

1.（2023下?上海浦東新?高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┰谛比切伟?8。中，內(nèi)角4,B,C所對

的邊分別為a,b,c,若4ccos/=6,W_+￡的最小值為_____________

tanC?tanBtanA

【答案】HLRM

22

【分析】利用正弦定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和基本不等式即可求解.

【解析】因為4ccos4=6,由正弦定理可得4sinCcos/=sinB,

又因為sin3=sin（Z+C）,所以4sinCcosA=sinCcos/+sin/cosC,

整理可得3sinCcos/=sin/cosC,因為/w（0,兀）,CG（0,兀），

所以tan4=3tanC,且tan/〉0,tanC>0,

tanA+tanC4tanC

tanB=-tan(A+C)=

tanAtanC-l3tan*I2C-l

m,itan463tanC6329tant-32

tanC-tan5tanAtanC-tan53tanCtan5tanC4tanCtanC

9tanC519tanC―13r5

=-----1-----221-----?-----=----，

44tanCv44tanC2

當(dāng)且僅當(dāng)駕￡=二^,即tanC=好時取等號，此時取得最小值逃，

44tanC32

故答案為：莊.

2

2.（2022下?上海黃浦?高三上海市大同中學(xué)?？计谥校┮阎！?,3tan[8+：)=-■|tane,則

sin8cos2。_

sin0+cos0-

_3

【答案】-1/-0.6

【分析】利用和差公式計算得到tan。=3,再化簡得到原式為tan"tan*,代入計算得到答案.

tan-0+l

【解析】6J。，』，tan(0+m=4tan0,所以^±l^=-：tanO,

II3l-tan6>3

所以Ztan?e_5tan6-3=0,所以tan。=3或tan。=一不(舍去)，

2

匚匕“sin0cos20sin0(cos29-sin20).八/八.八、

所以----------=-----------------=sin6>(cos6-sin。)

sin0+cos0sin。+cos0

_sin0（cos6-sin0）_tan3-tan20_3

sin20+cos20tan2<9+15

_3

故答案為：

3.（2023下?上海徐匯?高一上海市第二中學(xué)?？计谥校┰阡J角段BC中，內(nèi)角4,B,。所對應(yīng)的邊

分別是a,b,C,且2csin（B-/）=2asin/cosB+6sin2/,則亍的取值范圍是.

【答案】（1,2）

【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式將已知化為sin（8-N）=sinN,根據(jù)小8C為銳角三角形可得

8=2/,C=7t-3N以及女<N<：,再由正弦定理可得￡=皿=義曾，利用兩角和的正弦展開

64asin^4sinA

式和cos/的范圍可得答案.

【解析】由正弦定理和正弦二倍角公式可得

2sinCsin（5-^4）=2sinAsinAcosS+sinJ3sin2A

=2sin4sinAcos8+2sin5sinAcos力=2sin4（sin4cos5+sin8cosA）

=2sinZsin（%+5）,

因為OVCVI^TT—C=4+5,所以sin（兀一C）=sin（Z+5）=sinCw0,

可得sin（5—4）=sin4,

jrTTjrjr

因為0</<—,0<B〈一,所以——<B—A<—,

2222

所以5=24,C=TI-3A,

jrjrirTT

由0<B=2/<—,0<。=兀-34〈一可得一<Z<一,

2264

所以<cos4<,—<cos2A<—,

2224

csinCsin3Asin（24+4）sin2AcosARos24sin/

由正弦定理得一=-=-----=一------L=---------；------------

asinAsinAsinAsinA

=2cos2+cos2^4=4cos2A-le（1,2）.

故答案為：（1,2）.

4.（2022下?上海浦東新?高一上海市川沙中學(xué)?？计谥校┪覈糯鷶?shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中

記述了〃三斜求積術(shù)〃，用現(xiàn)代式子表示即為：在力