2024年北京某中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷及答案

2024北京五十五中高一（上）期中

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，共150分，考試時(shí)長(zhǎng)100分鐘

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng)，把答案填在答題紙上）

1.已知全集°={123,4,集合A={1,2,3}B={3,4},則A(C*)=()

A.{0,4}B.{3,4}C.{152}D.0

2.設(shè)命題p:VxeR,|X|+2>0,則R為

A.3x0G7?,|X|+2>0B.3x0e7?,|x|+2<0

C.3x0e7?,|x|+2<0D.VxwR，k|+2W0

3.若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閧xIOWxWl},值域?yàn)閧y|0Wy〈l},那么函數(shù)y=/（x）的圖象可能是（）

abab

C.k>2a+b/---

D.------->y/ab

ab2

5.已知函數(shù)/（x—l）=4x+3,則/（2）值為()

A.7B.9C.11D.15

6.如果偶函數(shù)在［2,5］上是減函數(shù)且最小值是4,那么“X）在［-5,-2］上是（）

A.減函數(shù)且最小值是4B.減函數(shù)且最大值是4

C.增函數(shù)且最小值是4D.增函數(shù)且最大值是4

7.設(shè)函數(shù)/（%）的定義域?yàn)椋?,1］,貝『"（x）在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增”是““X）在區(qū)間［0』上的最大值為

/⑴”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.若一元二次不等式ak+H+cvOmaCER)的解集為{引一1<%<2},則人一。十，的最小值為()

a

A.-4B.-2C.2D.4

2%〉tn

9.已知函數(shù)/(%)={2/c的圖象與直線>=%恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

'7x+4x+2,x<m

()

A.[-2,-1)[2,+oo)B.

c.[-2,-1]D.[2,+S)

10.用Card(A)表示非空集合A中的元素的個(gè)數(shù)，定義A*3=|Card(A)—Card(B)|,若&={-1[},

3=1|(加+3x)(f+ax+2)=0},若A*3=1,設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成集合S.則Card(S)=

()

A.6B.5C.4D.3

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題紙上)

11.函數(shù)〃彳)=?71+’的定義域?yàn)開___.

x2

12.已知集合A={2a—I,/,。},B={l-a,a-5,9},若滿足Ac3={9},則實(shí)數(shù)a的值為.

13.已知函數(shù)/(%)=g2一%+機(jī)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x,/(x)<0恒成立，則加的一個(gè)值可以為

14.定義max{a,仇c}為。，b,c中的最大值，設(shè)/?(x)=max卜2,；匕6—x1,則九(x)的最小值為

JQ

15.函數(shù)f(x)=一~；(xeR),給出下列四個(gè)結(jié)論

l+|x|

①/(X)的值域是(T，l);

②任意和％eR且苞#%，都有\(zhòng)"八，〉0；

石一々

③任意xpx2e(0,+oo)且Xw/，都有〉'芯+%]；

2V2J

④規(guī)定力(x)=/(x),力+i(x)=/(力(x)),其中〃eN*，則幾

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題(共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.)

16.已知集合4={%|必一5%一14<0},B={x\m+l<x<m+3,m&R}.

(1)當(dāng)相=5時(shí)，求A8和BC[RA；

(2)若AcRB=A,求〃?的取值范圍.

17.已知函數(shù)/(x)=x|x|-2x

(1)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性并用定義證明;

(2)用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)/(%)的解析式，并直接在本題給出的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)/(x)的圖象

A

18.已知函數(shù)/(x)=改+巳的圖像經(jīng)過點(diǎn)4L3),3(2,0).

x

(1)求函數(shù)F(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)/(%)在(0,+co)上的單調(diào)性并證明；

(3)當(dāng)xeg,m時(shí)，的最小值為3,求機(jī)的值.

19.已知二次函數(shù)/(x)的最小值為1,且〃0)=〃2)=3.

(1)求“X)的解析式：

(2)解關(guān)于x的不等式：f(x)+2ax-3>0,其中ae[3a,a+l]；

(3)當(dāng)xe[—1,1]時(shí)，f(x)〉2x+2/n+l恒成立，試確定實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

20.已知某公司生產(chǎn)某款產(chǎn)品的年固定成本為40萬元，每生產(chǎn)1件產(chǎn)品還需另外投入16萬元，設(shè)該公司一

年內(nèi)共生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品并全部銷售完，每萬件產(chǎn)品的銷售收入為R(x)萬元，且已知

400-6%,0<x<40

夫(%)=d740040000,c

--,x>40

、XX"

(1)求利潤(rùn)W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量X(萬件)的函數(shù)解析式：

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)？公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).

21.已知集合P^Z,且集合尸具有以下性質(zhì)：

①尸中的元素有正整數(shù)，也有負(fù)整數(shù)；

②尸中的元素有奇數(shù)，也有偶數(shù)；

③若則x+yeP；

@-UP,

回答下列問題.

(1)若x€P,求證：3xeP；

(2)判斷集合尸是有限集還是無限集，并說明理由;

(3)判斷0和2與集合尸的關(guān)系，并說明理由.

參考答案

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng)，把答案填在答題紙上）

1.【答案】C

【分析】求出4邑再求解與A的交集.

【詳解】根據(jù)題意可得。3={1,2},則4八（弓3）={1,2}.

故選：C

2.【答案】B

【詳解】命題是全稱命題，則命題的否定是特稱命題即3x0e7?,|x|+2<0

故選8

3.【答案】C

【分析】根據(jù)各選項(xiàng)一一判斷其定義域與值域，即可得解.

【詳解】對(duì)于A：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0Wx〈l},但是值域不是{y|OVy<l},故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：函數(shù)的定義域不是{x|0Wx〈l},值域?yàn)閧ylOWyWl},故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|04xWl},值域?yàn)閧y|OWy<l},故C正確；

對(duì)于D：不滿足函數(shù)的定義，不是一個(gè)函數(shù)的圖象，故D錯(cuò)誤.

故選：C

4.【答案】C

【分析】由。<6<0,可得A錯(cuò)：利用作差法判斷B錯(cuò)；利用基本不等式可得C正確；由

ab

g￡<o,而而>o,可得D錯(cuò).

【詳解】a<b<0,—>—,故A錯(cuò)；

ab

a<b<0,/.a2>b2即/—/<0,>0,可得2—@=——<0,—<—，故B錯(cuò)；

ababab

a<b<0,.-.->0,->0,且2/處,則2+q〉2耳^=2,故C正確；

ababab\ab

a<b<0,巴叱<0,而4ab>0，則巴吆<4ab,故D錯(cuò).

22

故選：C

5.【答案】D

【分析】令x=3,結(jié)合題意即可求解.

【詳解】令xT=2,得x=3,

所以〃2)=4x3+3=15.

故選：D.

6.【答案】C

【分析】由偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反求解即可.

【詳解】偶函數(shù)/(x)在［2,5］上是減函數(shù)且最小值是4,所以"5)=4,

則/(x)在［-5,-2］上是增函數(shù)且最小值為/(-5)=4,

故選：C

7.【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、最值以及充分和必要條件等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】若“/(%)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增”，

則““X)在區(qū)間［0』上的最大值為了⑴”；

若“/(x)在區(qū)間［0』上的最大值為了⑴”，

則/(%)在區(qū)間［0』］上不一定單調(diào).

所以“/(%)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增”是“八可在區(qū)間［0,1］上的最大值為“1)”的充分不必要條件

故選：A

8.【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的解集求得dc與。的關(guān)系，結(jié)合基本不等式即可求得答案.

【詳解】一元二次不等式+bx+c<0(a,b,ceR)的解集為{x［—l<x<2},

即一1,2為。必+bx+c=0(a,。,ceR)的兩實(shí)數(shù)根,

f-1+2=--

1a'b=-a

故彳—1x2=*，即c=-2a,

Iaa>0

va>0

4444

則b—c+—=a+—22jax—=4,當(dāng)且僅當(dāng)〃=—時(shí)，即。=2時(shí)取等號(hào),

aa\aa

4

即b-c+一的最小值為4.

a

故選：D

9.【答案】A

【分析】將原問題等價(jià)轉(zhuǎn)換為令g(x)=〃x)r,g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，注意到

2—％=0=%=2,九2+3%+2=0=%=—2或%=—1,從而對(duì)m分類討論即可求角軍.

2—冗X>771

【詳解】令g(x)=〃x)-x,則g(x)=<y，由題意g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),

+3x+2,x<m

2-X=0=>X=2,X2+3X+2=0=>X=-2§KX=-1,

當(dāng)機(jī)<一2時(shí)，g(x)=0=>x=2,

當(dāng)/”=一2時(shí)，g(x)=0=>x=±2,

當(dāng)-2<加<一1時(shí)，g(x)=0=>x=±2,

當(dāng)相=一1時(shí)，g(x)=0=>x=±2,或》=-1,

當(dāng)一1</力<2時(shí)，g(x)=0=>x=±2,或％=-1,

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，g(x)-Q=>x=-2,或x=_］,

當(dāng)機(jī)>2時(shí)，g(x)=0=>x=-2,或％=-1,

綜上所述，滿足題意的根的取值范圍為［-2,-1)［2,+8).

故選：A.

10.【答案】B

【分析】先求得Card(B)的可能取值，然后對(duì)。進(jìn)行分類討論來求得。，進(jìn)而求得Card(S).

【詳解】Card(A)=2,要使A*B=|Card(A)—Card(3)|=|2—Card(3)|=l,

則Card(B)=1或Card(B)=3.

當(dāng)a=O時(shí)，=卜|3*(*2+2)=o}={0},滿足Card(B)=l.

當(dāng)aw0時(shí)，首先ad+3x=x(〃％+3)=0有兩個(gè)不同的解1=0或%=——,

a

其次，對(duì)于％2+〃％+2=0，A=〃2-8,

當(dāng)A=。時(shí),a=2V2或a=—2V2,

當(dāng)a=2V2時(shí),%2+ax+2=+2A/2X+2=(%+V2)=0,x——yf2,

此時(shí)3=|-V2,0,金}=<-V2,0,孚］,滿足Card(B)=3.

當(dāng)a=—2A/2時(shí)，％?+ax+2=—2^/Zx+2=(%—*\/2)=0,x-,\/2，

此時(shí)3=1V2,0,-=］后內(nèi)「手>，滿足Card(3)=3.

當(dāng)A<0,即-2啦<"2拒時(shí)，/+°》+2=0無解，Card(B)=2不符合題意.

當(dāng)A〉0,即a<—2行或a〉20時(shí)，

%2+ax+2=0的解為x=—a—而三或x=—a+萬百

22

x=0不是x2+ax+2=0的解，

當(dāng)a=3時(shí)，B-{0,-1,-2},滿足Card（B）=3,

當(dāng)a=-3時(shí)，3={0,1,2},滿足Card（3）=3,

當(dāng)_3M_3,_2閭u（2夜,3）u（3,+e）時(shí),Card⑻=4,不符合題意.

綜上所述，S={0,2夜,3,—2也一3},Card（S）=5.

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解新定義題型的步驟：（1）理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、

步驟和結(jié)論.（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的解題

方法.歸納“舉例”提供的分類情況.（3）類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題紙上）

11.【答案】［1,2）。（2,+8）

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列不等式求函數(shù)的定義域.

%-1>0

【詳解】函數(shù)的定義域需滿足〈cC，解得：xNl且XW2,

x—2/0

所以函數(shù)的定義域是［1,2）。（2,+⑹.

故答案為：［1,2）u（2,+8）

12.【答案】一3

【分析】根據(jù)交集定義，若AcB={9},則9eA且9e3,從而討論集合的情況，確定實(shí)數(shù)。的

值.

【詳解】由題意可得，9eA且9e3,

當(dāng)2a—1=9時(shí)，解得。=5,

此時(shí)A={9,25,0},B={-4,0,9},AnB={0,9},不符合題意,舍去;

當(dāng)/=9時(shí)，解得。=±3,

當(dāng)a=3時(shí)，A={5,9,0},B=［-2,-2,9）,8中元素不滿足互異性，不符合題意，舍去，

當(dāng)a=—3時(shí)，A={—7,9,0},B={4,-8,9},AnB={9},符合題意，

綜上所述，a=-3,

故答案為：一3.

13.【答案】一1(答案不唯一)

【分析】討論的取值，解相應(yīng)不等式，求出符合題意的機(jī)的范圍，即可求得答案.

【詳解】當(dāng)相=0時(shí)，f(%)=-%<0,.1.%>0,不合題意;

當(dāng)用中0時(shí)，對(duì)一切實(shí)數(shù)％,y(x)<o恒成立,

m＜01

需滿足<△=1-4?。?'解得.＜一5'

故加的一個(gè)值可以為一1,

故答案為：-1(答案不唯一)

14.【答案】4

【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)丸(可的圖象，再根據(jù)圖象即可得到函數(shù)丸(x)的最小值.

【詳解】分別畫出y=x2,y=(x,y=6—x的圖象，則函數(shù)可力的圖象為圖中實(shí)線部分,

\2x=-3x=2

由<),解得《或<，即4(2,4),

y=6-xy=9。=4

所以"(x)的最小值為4.

故答案為：4.

15.【答案】①②④

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合分式型函數(shù)的性質(zhì)、代入法逐一判斷即可;

X1

【詳解】①：當(dāng)時(shí)，f(x)=——=1-------

l+xX+1

當(dāng)xNO時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞增，所以有/(x"〃0)=0,

當(dāng)xNO時(shí)，因?yàn)?'(%)—1=1—---—1=—-—<0,

x+1x+1

所以/(x)—l<0n/(x)<l,因此當(dāng)x?o時(shí)，OWf(x)<l；

x1

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=^=-----1,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

1—X1—X

所以有/(x)<〃0)n/(x)<0,

/(x)-(-l)=^>0^/(x)>-l,所以有—l</(x)<0,

1-X

所以/(%)的值域是(-M),故①正確；

②:不妨設(shè)罰>%2，由‘°’>0n/(xJ-/(%2)>。0/(不)>/(%)，

*1—*2

所以該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，

由①可知：該函數(shù)在xNO時(shí)，單調(diào)遞增，且04/(x)<l,

當(dāng)x<0時(shí)，單調(diào)遞增，且-1</(%)<0,所以該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，符合題意，故②正確;

③：當(dāng)任意看,％2￡(°，+8)且再時(shí)，

13

令再=1,%2=3,/(%)+/(%2)=/(1)+/⑶二2.4二5,

2―2-2-8

斗〃2)=j顯然(<；，

'乙)DOJ

因此」(番);)(乙)〉)(生產(chǎn))不成立,故③不正確；

X

④：當(dāng)0時(shí)，/(%)=----，

1+X

X

力(%)=/(%)=］，

X+1

x

f2(x)=f(fSx))=^-=-^-

%I]2x+l

X+1

X

力(x)=/(力(x))=2%+1=x

%+]3%+1

2x+l

X

3x+l

￡

于是有力（x）=一因此九[；]=-彳一=77三=4,故④正確,

nx+1IOX^+110+212

2

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用分式型函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.）

16.【答案】（1）AB={x-<x<）|；=<x<8}

（2）/"卜九<-5或根〉6}

【分析】（1）求出集合A3后根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算；

（2）根據(jù)集合運(yùn)算得出集合間包含關(guān)系，再由包含關(guān)系求參數(shù)范圍.

【小問1詳解】

當(dāng)機(jī)=5時(shí)，8={x|6WxW8},

因?yàn)?={%|-2<%<7},所以AB={x-<x<）|；BnlRA={.r|7<x<8}

【小問2詳解】

因?yàn)?={x\m+l<x<m+3,meR},

所以={x|x+1或x>根+3},

因?yàn)锳C「RB=A,所以AN（R3,

因?yàn)锳={x[—2<x<7},

所以m+1〉7或相+3<-2,

得機(jī)>6或機(jī)<-5,

所以m的取值范圍為{川根<-5或m>6}.

17.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析

、（X2-2x,x>0一~

（2）/（%）=,,圖象見解析

''[-X2-2X,X<0

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷和證明.

（2）根據(jù)絕對(duì)值的知識(shí)化簡(jiǎn)/（x）的解析式，并畫出圖象.

【小問1詳解】

“X）是奇函數(shù)，證明如下：

函數(shù)%區(qū)—2%的定義域是R,

f(-x)=-中|+2x=-/(x),

所以“X)是奇函數(shù).

【小問2詳解】

依題意，(%)=巾-2x=-22x，xN0,

~x—2羽x<0

由此畫出/(X)的圖象如下圖所示：

-5

X

4

18.【答案】(1)f(x)=—xH—

X

(2)/(x)在(0,+co)上單調(diào)遞減；證明見解析

(3)1

【分析】(1)代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求得參數(shù)值得函數(shù)解析式;

(2)根據(jù)單調(diào)性定義證明;

(3)結(jié)合單調(diào)性得最小值從而可求解.

【小問1詳解】

由題意知函數(shù)/(X)="+9的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(l,3),B(2,0),

X

〃+/?=3

a=-1

故<b?解得＜

2〃+—=0Mb=4-

2

4

故f(x)=-x-\—；

X

【小問2詳解】

函數(shù)/(%)在(0,+s)上單調(diào)遞減；

證明：設(shè)V%,%￡(°，+00)，且不<%2，

貝U/(玉)一F(%2)=~X1■*(一九2H)

玉光2

/、4(%2一%)/、玉/+4

=(%2一%)+-------—二(犬2—九1)X—-----,

XxX2xrx2

YY+4

因?yàn)?-xl>0,x1x2>0,故(％一占)義>0,

即/(西)〉/(々)，故函數(shù)/(%)在(0,+°°)上單調(diào)遞減.

【小問3詳解】

由⑵知/(x)在［；,加是減函數(shù)，

4

因此/(x)5=f(m)=-m+—=3,解得加=1或m=—4,

m

又〃，〉*，所以帆=1.

19.【答案】(1)/(X)=2X2-4X+3

(2)(-00,0)u(2-a,+oo)

(3)(-oo,-l)

【分析】(1)根據(jù)題意，設(shè)/(x)=a(x—l『+l(awO),根據(jù)/(0)=3,求得a=2,即可得到函數(shù)的

解析式；

(2)原不等式等價(jià)于/+(a-2)久>0,進(jìn)一步確定。的范圍即可得解.

(3)依題意可得不等式相<妙一3%+1在區(qū)間［-1,1］上恒成立，令g(x)=%2-3x+l,結(jié)合二次函數(shù)的

性質(zhì)，即可求解.

【小問1詳解】

由題意，函數(shù)〃x)是二次函數(shù)，且〃0)=/(2),可得函數(shù)〃x)的對(duì)稱軸為x=l,

又由最小值為1,可設(shè)/(x)=a(x-iy+l(awO),

又/(0)=3,即ax(O—lj+i=3,解得。=2,

所以函數(shù)的解析式為〃X)=2(X—1)2+1=2X2—4X+3.

【小問2詳解】

f(x)+2ax-3>0Q2x2+(2a—4)x>0?%2+(a—2)x>0,

a>3a

因?yàn)椤ā闧3〃,a+l],所以<a<a-\-l=>o?0,

3a<a+1

所以％2+(a—2)%>00%<0或x>2-af

所以若ae[3a,a+l],則關(guān)于x的不等式：/(x)+2ax-3>0的解集為(一叫0)。(2-a,+e).

【小問3詳解】

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，/(%)>2%+2爪+1恒成立，

即當(dāng)xe[-1,1]時(shí)，2/—4%+3>2%+2加+1恒成立，

即當(dāng)尤時(shí)，根<%2一3x+l恒成立，

設(shè)函數(shù)g(x)=%2-3x+l,xe[-l,l],

則g(x)在區(qū)間[-L1]上單調(diào)遞減,

Ag("在區(qū)間[T1]上的最小值為g(1)=-1,

m<-1,

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為：(-00,-1).

—6%2+384%—40,0<x<40

20.【答案】(1)W40000”℃”c；

-----------16x4-7360,x>40

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為32萬件時(shí)，公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6104萬元.

【分析】(1)利用利潤(rùn)等于收入減去成本，分兩種情況討論得到分段函數(shù)的解析式；

(2)求