數(shù)學?？級狠S題九年級湘教版專題02反比例函數(shù)與幾何綜合問題的五種考法含答案及解析

專題02反比例函數(shù)與幾何綜合問題的五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、反比例函數(shù)與三角形的綜合問題 2類型二、反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題 12類型三、反比例函數(shù)與矩形的綜合問題 19類型四、反比例函數(shù)與菱形的綜合問題 28類型五、反比例函數(shù)與正方形的綜合問題 34壓軸能力測評（10題） 43解題知識必備1.反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；特別說明：反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號.2.反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過雙曲線()上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線()上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.要點詮釋：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點的位置如何變化，這一點與兩坐標軸的垂線和兩坐標軸圍成的面積始終是不變的.壓軸題型講練類型一、反比例函數(shù)與三角形的綜合問題例題：（2023·陜西西安·三模）如圖，點在雙曲線上，點C在雙曲線上，點A在x軸的正半軸上，且是以為斜邊的等腰直角三角形．

(1)填空：______；(2)求點A的坐標；(3)若點D是x軸上一點，且以點D、O、C為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出點D的坐標．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在中，，點A的坐標為，點在反比例函數(shù)的圖象上．若將線段AB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AC，點C恰好在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求，的值；(2)若P，Q分別為反比例函數(shù)，圖象上一點，且以點O，P，Q，A為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標．2．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習）定義：有一邊是另一邊的倍的三角形叫做智慧三角形，這兩邊中較長邊稱為智慧邊，這兩邊的夾角叫做智慧角(1)如圖①，在中，，，求證：是智慧三角形；(2)如圖②，已知是智慧三角形，BC為智慧邊，∠B為智慧角，且，，點B、C在函數(shù)的圖象上，點C在點B的上方，且點B的縱坐標為1，求k的值．3．（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）如圖，已知在平面直角坐標系中，其中，，且、、．(1)求點坐標；(2)將沿軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)、兩點的對應(yīng)點、正好落在某反比例函數(shù)圖像上．請求出這個反比例函數(shù)和此時的直線的解析式；(3)在（2）的條件下，直線交軸于點．若存在軸上的點和反比例函數(shù)圖像上的點，使得由、、、四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形．請直接寫出點和點的坐標；若不存在滿足題意的平行四邊形，請說明理由．類型二、反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題例題：（2024·江蘇常州·二模）如圖，四邊形是平行四邊形，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A和的中點D，，平行四邊形的面積是48．(1)點C的坐標為___________，點A的縱坐標為___________；(2)求反比例函數(shù)的表達式．【變式訓(xùn)練】1．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，四邊形是平行四邊形，原點是其對角線的交點，軸，點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，直線的解析式為．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)寫出不等式時，的取值范圍；(3)求圖中陰影部分的面積之和．2．（2024·江蘇常州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為，，，以A，B，C為頂點作平行四邊形，點D落在第二象限，與y軸交于點E，反比例函數(shù)()經(jīng)過點A，與邊交于點F，反比例函數(shù)()經(jīng)過點D．(1)求和的值；(2)連接，判斷四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由3．（2024·河南南陽·二模）如圖，平行四邊形的邊在軸正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，是邊的中點．(1)直接寫出的值為_________；點的坐標為_________；(2)尺規(guī)作圖：在邊上求作一點，連接，使軸（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)若交反比例函數(shù)的圖象于點．連接、，求．類型三、反比例函數(shù)與矩形的綜合問題例題：（23-24九年級下·吉林·階段練習）如圖，在矩形中，點，在軸上，軸，對角線，相交于點，，，若點的縱坐標為，解答下列問題．(1)點的坐標是，點的坐標是．（用含的代數(shù)式表示）(2)若反比例函數(shù)經(jīng)過，兩點，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·江蘇常州·期末）如圖，矩形在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)分別與邊、交于E、F兩點，連接、，作直線EF分別交y軸、x軸于點G、H．(1)_______（填“”、“”、“”）；(2)若，，，求k的值；(3)當，時，求的值．2．（23-24九年級上·四川成都·階段練習）如圖，矩形的頂點A，C分別在y軸和x軸的正半軸上，點B的坐標為，反比例函數(shù)的圖象與，分別交于點，點，連接，，．(1)若的面積為3，①當，求k的值和的面積；②當直線的解析式為，求的面積．(2)我們定義有一個內(nèi)角為的三角形稱為“半直角三角形”，這個角所對的邊為“半直角邊”．若，當為“半直角三角形”時，求反比例函數(shù)的解析式．3．（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，四邊形是矩形，，，反比例函數(shù)的圖象過點．

(1)求的值．(2)點為反比例圖象上的一點，作直線，軸，當四邊形是正方形時，求點的坐標．(3)點為坐標平面上的一點，在反比例函數(shù)的圖象上是否存在一點，使得以、、、為頂點組成的平行四邊形面積為14？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．類型四、反比例函數(shù)與菱形的綜合問題例題：（2024·河北唐山·三模）如圖，菱形的邊在x軸上，點A的坐標為，點在反比例函數(shù)的圖象上，直線經(jīng)過點C，與y軸交于點E，連接．(1)分別求B點、C點坐標；(2)求k，b的值；(3)求的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，四邊形為菱形，且點A在軸正半軸上，點的坐標為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與邊交于點．(1)求的值及點的坐標；(2)判斷點是否為邊的中點，并說明理由．2．（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，菱形的頂點A的坐標為，頂點O與坐標原點重合，頂點B在x軸正半軸上，點D是的中點，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點D．(1)求的長及k的值；(2)反比例的圖像上存在點E，使得的面積為，求點E的坐標．3．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點與原點重合，點在軸的正半軸上，點在反比例函數(shù)的圖象上，點的坐標為，設(shè)所在直線解析式為．(1)求的值，并根據(jù)圖象直接寫出關(guān)于的不等式的解集；(2)若將菱形沿x軸正方向平移個單位，在平移中，若反比例函數(shù)圖象與菱形的邊始終有交點，求m的取值范圍．類型五、反比例函數(shù)與正方形的綜合問題例題：（23-24八年級下·浙江金華·期末）如下圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點和點，以為邊作正方形（點A、B、C、D逆時針排列）．(1)求m的值和一次函數(shù)的解析式．(2)求點C的坐標．(3)將正方形平移得到正方形，在平移過程中，使點A的對應(yīng)頂點M始終在第一象限內(nèi)且在反比例函數(shù)的圖象上（點M與點A不重合），當正方形與正方形的重疊部分為正方形時，求重疊正方形的邊長．【變式訓(xùn)練】1．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，平面直角坐標系中，兩點在軸的正半軸上，以線段為邊向上作正方形，頂點在正比例函數(shù)的圖象上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與邊相交于點，連接交于點．(1)若，則點的坐標為______；(2)連接，若的面積為，求的值．2．（2023·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，正方形中，，過點作軸的垂線交過點的反比例函數(shù)圖象于點，交軸于點．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求點的坐標；(3)在坐標軸上是否存在一點，使是等腰三角形？若存在，直接寫出點坐標；不存在請說明理由．3．（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）在平面直角坐標系中，正方形的頂點A、B分別為、，頂點C在反比例函數(shù)上，頂點D在反比例函數(shù)上．(1)如圖1，當D點坐標為時．①求的值；②求m，n的值；(2)如圖2，當m，n滿足什么關(guān)系時，，并說明理由；(3)如圖3，當時，在的延長線上取一點E，過點E作交x軸于點F，交反比例函數(shù)圖象于點G，當G為的中點，對于每一個給定的m值，點E的縱坐標總是一個定值，則該定值為______．（用含m的代數(shù)式表示）壓軸能力測評（10題）一、單選題1．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖，將直角三角板放在平面直角坐標系中，點的坐標分別為將三角板沿軸正方向平移，點的對應(yīng)點剛好落在反比例函數(shù)的圖象上，則點平移的距離等于（

）A．3 B．4 C．7 D．102．（23-24八年級下·山西臨汾·期中）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知點均在反比例函數(shù)的圖象上，連接，，，過點作軸于點，過點作軸于點，則下列結(jié)論中正確的有（

）

①；②；③直線與軸的交點坐標為；④的值隨．的增大而增大．A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③二、填空題3．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期中）在平面直角坐標系中，對于不在坐標軸上的任意一點，我們把點稱為點A的“逆倒數(shù)點”．如圖，正方形的頂點C為，頂點E在y軸正半軸上，函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點D和點A，連結(jié)交正方形的一邊于點B，若點B是點A的“逆倒數(shù)點”，則點A的坐標為．4．（23-24八年級下·四川宜賓·期末）如圖，矩形頂點A、C分別在x、y軸上，雙曲線分別交于點D、E，連接并延長交x軸于點F，連接．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④若點E為的中點，且，則；其中正確的有．（填寫所有正確結(jié)論的序號）

三、解答題5．（2024·河南洛陽·二模）如圖，菱形的邊在x軸正半軸上，點A的坐標，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點D．(1)求k的值；(2)的垂直平分線交反比例函數(shù)的圖象于點E，連接、，求的面積．6．（2024·山西太原·三模）如圖示，矩形的邊分別在坐標軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過邊的中點D，與邊交于點E．(1)如果點D的坐標為，請直接寫出點E的坐標；(2)試判斷的中點是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．7．（2024·黑龍江大慶·一模）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，點在直線上，的頂點在軸上，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，．(1)______；______；點的坐標______；(2)直接寫出不等式的解集；(3)求的面積．8．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，B、C兩點在x軸的正半軸上，以線段為邊向上作正方形，頂點A在正比例函數(shù)的圖象上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，且與邊相交于點E．(1)當時，①若，求點E的坐標；②連接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．(2)若，求的值（用含n的代數(shù)式表示）．9．（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，直線與軸、軸分別交于點、，與反比例函數(shù)的圖象相交于點和．點為軸上一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)求與的值；(2)①點的坐標是______（用含的代數(shù)式表示）；②當點落在反比例函數(shù)圖象上，求的值；(3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(4)當為何值時，的值最小？請直接寫出的值．10．（23-24八年級下·江蘇常州·期中）如圖1，已知點，，且、滿足，平行四邊形的邊與軸交于點，且為中點，雙曲線上經(jīng)過、兩點．(1)________，_________；(2)求點的坐標；(3)點在雙曲線，點在軸上（如圖2），若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標_____________________；(4)以線段為對角線作正方形（如圖3），點是邊上一動點，是的中點，，交于，當在上運動時，的值是否發(fā)生改變？若改變，求出其變化范圍；若不改變，請求出其值，并給出你的證明．

專題02反比例函數(shù)與幾何綜合問題的五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、反比例函數(shù)與三角形的綜合問題 2類型二、反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題 12類型三、反比例函數(shù)與矩形的綜合問題 19類型四、反比例函數(shù)與菱形的綜合問題 28類型五、反比例函數(shù)與正方形的綜合問題 34壓軸能力測評（10題） 43解題知識必備1.反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而減?。唬?）如圖2，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；特別說明：反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號.2.反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過雙曲線()上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線()上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.要點詮釋：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點的位置如何變化，這一點與兩坐標軸的垂線和兩坐標軸圍成的面積始終是不變的.壓軸題型講練類型一、反比例函數(shù)與三角形的綜合問題例題：（2023·陜西西安·三模）如圖，點在雙曲線上，點C在雙曲線上，點A在x軸的正半軸上，且是以為斜邊的等腰直角三角形．

(1)填空：______；(2)求點A的坐標；(3)若點D是x軸上一點，且以點D、O、C為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出點D的坐標．【答案】(1)9(2)點A的坐標是(3)D點坐標為或或或【分析】（1）把B點代入雙曲線，可求得k的值；（2）過C作軸，過B作軸，可證明，結(jié)合B點坐標則可求得C點坐標，從而可求得的長，可求得A點坐標；（3）設(shè)，由C點坐標，則可分別表示出和，分、和三種情況，分別得到關(guān)于x的方程，可求得D點坐標．【詳解】（1）點在雙曲線上，，故答案為：9；（2）分別過點B、C作軸于N，軸于M，如圖，

則，三角形是等腰直角三角形，，，，，．，，設(shè)，，在上，，即．在和中，，，，，，即，，，，，即點A的坐標是；（3）設(shè)，則，由（2）可知，，，為等腰三角形，有、和三種情況，當時，則，解得舍去或，此時D點坐標為；當時，則，解得或，此時D點坐標為或；當時，則，解得，此時D點坐標為；綜上可知D點坐標為或或或．【點睛】本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意函數(shù)圖象上點的坐標滿足函數(shù)解析式，在（2）中構(gòu)造三角形全等求得C點坐標是解題的關(guān)鍵，在（3）中設(shè)出D點坐標，表示出和的長，得到關(guān)于D點坐標的方程是解題的關(guān)鍵，注意分三種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在中，，點A的坐標為，點在反比例函數(shù)的圖象上．若將線段AB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AC，點C恰好在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求，的值；(2)若P，Q分別為反比例函數(shù)，圖象上一點，且以點O，P，Q，A為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）過B作于E，得到，，，根據(jù)勾股定理得到，求得；過C作軸于F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，得到，求得；（2）由（1）知，，設(shè)，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列方程組即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：過B作于E，∵A的坐標為，點，∴，，，∴，∴，∴，∴；過C作軸于F，∴，∵將線段繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∵點C恰好在反比例函數(shù)的圖象上，∴；（2）解：由（1）知，，∵P，Q分別為反比例函數(shù)，圖象上一點，∴設(shè)，，∵以點O，P，Q，A為頂點的四邊形為平行四邊形，∴當為平行四邊形的對角線時，由圖象得這種情況不存在；當為平行四邊形的對角線時，，解得，∴；當AQ為平行四邊形的對角線時，，解得（不合題意），綜上所述，．【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．2．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習）定義：有一邊是另一邊的倍的三角形叫做智慧三角形，這兩邊中較長邊稱為智慧邊，這兩邊的夾角叫做智慧角(1)如圖①，在中，，，求證：是智慧三角形；(2)如圖②，已知是智慧三角形，BC為智慧邊，∠B為智慧角，且，，點B、C在函數(shù)的圖象上，點C在點B的上方，且點B的縱坐標為1，求k的值．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）過作邊的垂線，構(gòu)造兩個有特殊角的直角三角形，即能用把各邊關(guān)系表示出來，即可得是的倍．（2）由題意可知，過作軸于，過作軸于，由題意可知，根據(jù)勾股定理得出，再證明，得到，，然后設(shè)，則，則，，最后把，代入反比例函數(shù)解析式求解即可．【詳解】（1）證明：如圖①，過點作于點，，在中，，，，，，中，，，，即，是智慧三角形．（2）解：過作軸于，過作軸于，如圖②，是智慧三角形，為智慧邊，為智慧角，，∵，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，點、在函數(shù)上的圖象上，，解得：，．【點睛】本題考查了新定義的理解和運用，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象上點折坐標特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．解題關(guān)鍵是理解新定義并運用其性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件，在直角坐標系中把已知直角構(gòu)造在三垂直模型里是通常辦法．3．（23-24八年級下·江蘇無錫·期末）如圖，已知在平面直角坐標系中，其中，，且、、．(1)求點坐標；(2)將沿軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)、兩點的對應(yīng)點、正好落在某反比例函數(shù)圖像上．請求出這個反比例函數(shù)和此時的直線的解析式；(3)在（2）的條件下，直線交軸于點．若存在軸上的點和反比例函數(shù)圖像上的點，使得由、、、四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形．請直接寫出點和點的坐標；若不存在滿足題意的平行四邊形，請說明理由．【答案】(1)(2)反比例函數(shù)解析式為，此時的直線的解析式(3)存在點、點使得、、、四個點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，點的坐標為，點的坐標為或點的坐標為，點的坐標為【分析】（1）過點作軸于點，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，進而可得，即可求得答案；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，可設(shè)點的坐標為，則點的坐標為，結(jié)合點、正好落在反比例函數(shù)圖像上，可設(shè)該反比例函數(shù)解析式為，易得，解得，進而可得點，點，設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法求解即可；（3）分為平行四邊形的邊和為平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：過點作軸于點，如圖所示，∵、，∴，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴點的坐標為；（2）根據(jù)題意，將沿軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)、兩點的對應(yīng)點為、，設(shè)點的坐標為，則點的坐標為，∵點、正好落在反比例函數(shù)圖像上，設(shè)該反比例函數(shù)解析式為，則有，解得，∴點，點，∴，即反比例函數(shù)的解析式為，設(shè)直線的解析式為，將點，點代入，可得，解得∴直線的解析式為；（3）對于直線，當時，，∴，當為平行四邊形的邊時，如下圖，此時四邊形為平行四邊形，∵，，又∵點在軸上，即的縱坐標為0，點在反比例函數(shù)的圖像上，∴點的縱坐標為，∴，∴點的坐標為，點的坐標為；當為對角線時，如下圖，設(shè)是的中點，∵，，∴，過點作直線與軸交于點，與的圖像交于點，若四邊形是平行四邊形，則有，易知點的橫坐標大于，點的橫坐標小于，作軸于點，軸于點，與交于點，作軸于點，則，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，∴點的橫坐標，點的縱坐標，點的坐標是，∵在反比例函數(shù)的圖像上，即，解得，∴，．綜上所述：存在點、點使得、、、四個點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，點的坐標為，點的坐標為或點的坐標為，點的坐標為．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、全等三角形的判定與性質(zhì)、求反比函數(shù)解析、求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問題是解題關(guān)鍵．類型二、反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題例題：（2024·江蘇常州·二模）如圖，四邊形是平行四邊形，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A和的中點D，，平行四邊形的面積是48．(1)點C的坐標為___________，點A的縱坐標為___________；(2)求反比例函數(shù)的表達式．【答案】(1)；8(2)【分析】本題主要考查了坐標與圖形，平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)與幾何綜合：（1）過點A作于E，由平行四邊形的性質(zhì)得到，則，再根據(jù)平行四邊形面積計算公式求出，則點A的縱坐標為8；（2）設(shè)，則，，進而得到，解得，則，即反比例函數(shù)解析式為．【詳解】（1）解：如圖所示，過點A作于E，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平行四邊形的面積是48，∴，∴，∴點A的縱坐標為8，故答案為：；8；（2）解：設(shè)，則，∵，D為的中點，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A和的中點D，∴，∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為．【變式訓(xùn)練】1．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，四邊形是平行四邊形，原點是其對角線的交點，軸，點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，直線的解析式為．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)寫出不等式時，的取值范圍；(3)求圖中陰影部分的面積之和．【答案】(1)；(2)和；(3)．【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，求反比例函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法可求反比例函數(shù)解析式；（2）由原點是平行四邊形對角線的交點，可求出一次函數(shù)的解析式，再求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標即可求解；（3）由反比例函數(shù)圖象及平行四邊形的對稱性可得，陰影部分的面積之和為平行四邊形面積，即可求解．【詳解】（1）解：∵軸，點，∴將點代入，得：，解得：，∴反比例函數(shù)的表達式為．（2）解：∵原點是平行四邊形對角線的交點，∴點關(guān)于原點對稱，∵∴將代入直線的解析式中，得：，解得：，∴直線的解析式，聯(lián)立和得：，解得：，，∴反比例函數(shù)與的交點為：如圖：∴不等式時，即，的取值范圍是和．（3）解：設(shè)分別與軸交于點，如圖：由反比例函數(shù)圖象及平行四邊形的對稱性可得，陰影部分的面積之和為平行四邊形面積，∵點，∴點到軸的距離為，又∵，∴．2．（2024·江蘇常州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為，，，以A，B，C為頂點作平行四邊形，點D落在第二象限，與y軸交于點E，反比例函數(shù)()經(jīng)過點A，與邊交于點F，反比例函數(shù)()經(jīng)過點D．(1)求和的值；(2)連接，判斷四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由【答案】(1)，；(2)四邊形是平行四邊形，理由見解析．【分析】（1）把點代入解析式求得，根據(jù)，，，且四邊形是平行四邊形，設(shè)，根據(jù)題意，得，解得，繼而得到，代入解析式計算即可；（2）求得的坐標，判定，結(jié)合，即可判斷四邊形是平行四邊形．本題考查了反比例函數(shù)解析式的確定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）把點代入解析式，得，∵，，，且四邊形是平行四邊形，設(shè)，根據(jù)題意，得，解得，∴，代入解析式，得．（2）∵，，設(shè)直線的解析式為，根據(jù)題意，得，解得，∴，∴；∵，，設(shè)直線的解析式為，，根據(jù)題意，得，解得，∴，設(shè)，∴，解得(舍去)，∴；∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．3．（2024·河南南陽·二模）如圖，平行四邊形的邊在軸正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，是邊的中點．(1)直接寫出的值為_________；點的坐標為_________；(2)尺規(guī)作圖：在邊上求作一點，連接，使軸（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)若交反比例函數(shù)的圖象于點．連接、，求．【答案】(1)4；(2)見解析(3)3【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，三角形的面積公式．（1）把點代入求得的值，利用中點坐標公式，求出點的坐標；（2）作線段的垂直平分線交于點E，作直線，直線即為所求；（3）先求出的坐標，利用進行求解即可．【詳解】（1）解：把點代入得，∵，D是邊的中點，∴；（2）解：作線段的垂直平分線交于點E，作直線，直線即為所求，如圖所示：；（3）解：∵點，D是邊的中點，點，∴點的縱坐標為2，把代入，得．∴點．∴．∴．類型三、反比例函數(shù)與矩形的綜合問題例題：（23-24九年級下·吉林·階段練習）如圖，在矩形中，點，在軸上，軸，對角線，相交于點，，，若點的縱坐標為，解答下列問題．(1)點的坐標是，點的坐標是．（用含的代數(shù)式表示）(2)若反比例函數(shù)經(jīng)過，兩點，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了點的坐標與幾何圖形，矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等；（1）由矩形的性質(zhì)得，可得，，即可求解；（2）過作軸交于，作軸交于，由三角形的中位線定義得是的中位線，由三角形中位線定理得，可得，將，兩點的坐標分別代入即可求解；掌握矩形的性質(zhì)，求出點的坐標是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，點的縱坐標為，，，，；故答案：，；（2）解：過作軸交于，作軸交于，四邊形是矩形，，，四邊形是矩形，，，，是的中位線，，，，反比例函數(shù)經(jīng)過，兩點，，，，解得：，．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·江蘇常州·期末）如圖，矩形在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)分別與邊、交于E、F兩點，連接、，作直線EF分別交y軸、x軸于點G、H．(1)_______（填“”、“”、“”）；(2)若，，，求k的值；(3)當，時，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)k值意義，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）利用k的幾何意義求解即可；（2）先求出，，利用待定系數(shù)法求出的解析式，再求出H的坐標，然后根據(jù)得出關(guān)于k的方程，求解即可；（3）設(shè)，，利用矩形的性質(zhì)，k的幾何意義可求出，，，，，利用待定系數(shù)法求出的解析式，再求出H的坐標，即可求解．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)分別與矩形的邊、交于E、F兩點，∴，，∴，故答案為：；（2）解：∵反比例函數(shù)分別與矩形的邊、交于E、F兩點，，，∴，設(shè)的解析式為，則，解得，∴，當時，，解得，∴，∴，∴，∵，∴，解得；（3）解：設(shè)，，則，，∴，∴，∴，，設(shè)的解析式為，則，解得，∴，當時，，解得，∴，∴，∴．2．（23-24九年級上·四川成都·階段練習）如圖，矩形的頂點A，C分別在y軸和x軸的正半軸上，點B的坐標為，反比例函數(shù)的圖象與，分別交于點，點，連接，，．(1)若的面積為3，①當，求k的值和的面積；②當直線的解析式為，求的面積．(2)我們定義有一個內(nèi)角為的三角形稱為“半直角三角形”，這個角所對的邊為“半直角邊”．若，當為“半直角三角形”時，求反比例函數(shù)的解析式．【答案】(1)①k的值為6，的面積為8；②的面積為(2)或【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)三角形面積得出的值，求出點坐標，再根據(jù)的面積矩形的面積的面積的面積的面積計算三角形面積即可；②根據(jù)三角形面積得出的值，根據(jù)點和點的坐標在直線上，列方程組求解的值，再根據(jù)①中式子，計算三角形面積即可；（2）分和兩種情況討論，構(gòu)造全等三角形，然后根據(jù)交點坐標及直線解析式求出的值即可．【詳解】（1）解：①點的坐標為，，，，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，則，的面積為3，，解得，即反比例函數(shù)解析式為，，的面積矩形的面積的面積的面積的面積，的值為6，的面積為8；②設(shè)，的面積為3，，，，直線的解析式為，，解得或（不符合題意，舍去）或（舍去是負數(shù)的情況），的面積矩形的面積的面積的面積的面積，代入的值得，的面積為；（2）解：，，，，①當時，作，交延長線于點，作，交延長線于，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，，解得（舍去負值），②當時，作，交延長線于點，過點作軸于點，同理①可證，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得或，當時，點和點與點重合，此情況舍去，綜上所述，符合條件的值為或12，即反比例函數(shù)解析式為或．3．（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，四邊形是矩形，，，反比例函數(shù)的圖象過點．

(1)求的值．(2)點為反比例圖象上的一點，作直線，軸，當四邊形是正方形時，求點的坐標．(3)點為坐標平面上的一點，在反比例函數(shù)的圖象上是否存在一點，使得以、、、為頂點組成的平行四邊形面積為14？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)12(2)點坐標為或(3)點的坐標為或或或或或【分析】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點坐標公式，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．（1）先求出點坐標，代入解析式可求解；（2）分兩種情況討論，由正方形的性質(zhì)可求解；（3）由平行四邊形的面積為14，可求點坐標，再分為邊和對角線兩種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)和中點坐標公式可求解．【詳解】（1）解：，，點，點，點，反比例函數(shù)的圖象過點，；（2），反比例函數(shù)解析式為：，設(shè)點，四邊形是正方形，，當點在第一象限時，，，（舍去），點；當點在第三象限，，（舍去），，點；綜上所述：點坐標為或；（3）設(shè)點坐標為，若為邊，以、、、為頂點組成的平行四邊形面積為14，，，，點或，以、、、為頂點組成的四邊形是平行四邊形，，，點或或或；若為對角線，設(shè)點，以、、、為頂點組成的四邊形是平行四邊形，與互相平分，，或，，，，或，，點或，綜上所述：點的坐標為或或或或或．類型四、反比例函數(shù)與菱形的綜合問題例題：（2024·河北唐山·三模）如圖，菱形的邊在x軸上，點A的坐標為，點在反比例函數(shù)的圖象上，直線經(jīng)過點C，與y軸交于點E，連接．(1)分別求B點、C點坐標；(2)求k，b的值；(3)求的面積．【答案】(1)，；(2)，(3)6【分析】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)；能夠?qū)⒔柚庑蔚倪呴L和菱形邊的平行求點的坐標是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)勾股定理得到長，然后由菱形的性質(zhì)可解題；（2）點代入反比例函數(shù)，求出k；將點代入，求出b；（3）求出直線與x軸和y軸的交點，即可求的面積；【詳解】（1）過點D作軸，垂足為F，點A的坐標為，點，，，，，由勾股定理可得，四邊形是菱形，，，；（2）點在反比例函數(shù)的圖象上，，將點代入，解得：；（3）由（2）得，對于，令，則，，令，則，直線與軸交點為，．【變式訓(xùn)練】1．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，四邊形為菱形，且點A在軸正半軸上，點的坐標為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與邊交于點．(1)求的值及點的坐標；(2)判斷點是否為邊的中點，并說明理由．【答案】(1)，(2)點D不是邊的中點，理由見解析【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握圖象上點的坐標滿足函數(shù)解析式是關(guān)鍵．（1）根據(jù)點坐標求出菱形邊長，根據(jù)平移性質(zhì)得到點坐標即可；（2）先求出線段的中點坐標，再代入反比例函數(shù)解析式驗證即可．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴．∵四邊形為菱形，∴，根據(jù)平移性質(zhì)可得點B的坐標為．（2）解：由（1）可知，反比例函數(shù)解析式為：，，，線段的中點坐標為，在反比例函數(shù)中，當時，，點不是邊的中點2．（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，菱形的頂點A的坐標為，頂點O與坐標原點重合，頂點B在x軸正半軸上，點D是的中點，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點D．(1)求的長及k的值；(2)反比例的圖像上存在點E，使得的面積為，求點E的坐標．【答案】(1)5，22(2)或【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）利用兩點間距離公式求即可，利用平行四邊形的性質(zhì)可得出D的坐標，然后把D的坐標代入求解即可；（2）設(shè)E的縱坐標為，則E到的距離為，然后利用的面積求，在把代入反比例函數(shù)解析式求出E的橫坐標即可．【詳解】（1）解∶∵點A的坐標為∴，∵菱形，∴，軸，∵點D是的中點，∴，∴，代入，得；（2）解：設(shè)E的縱坐標為，則E到的距離為，∵的面積為，∴，解得或2，由（1）知：反比例函數(shù)解析式為，當時，，解得；當時，，解得；∴E的坐標為或．3．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點與原點重合，點在軸的正半軸上，點在反比例函數(shù)的圖象上，點的坐標為，設(shè)所在直線解析式為．(1)求的值，并根據(jù)圖象直接寫出關(guān)于的不等式的解集；(2)若將菱形沿x軸正方向平移個單位，在平移中，若反比例函數(shù)圖象與菱形的邊始終有交點，求m的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖形上點的坐標特點，坐標與圖形性質(zhì)和平移等知識點，能靈活運用知識點進行計算是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和D的坐標即可求出A的坐標，代入求出即可；（2）A和D可能落在反比例函數(shù)的圖象上，根據(jù)平移的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：延長交軸于，由題意得軸，點的坐標為，，，，，點坐標為，，由圖象得關(guān)于的不等式的解集為：；（2）將菱形沿x軸正方向平移m個單位，使得點落在函數(shù)的圖象點處，點的坐標為，點在的圖像上，，解得：，經(jīng)檢驗符合題意，．．類型五、反比例函數(shù)與正方形的綜合問題例題：（23-24八年級下·浙江金華·期末）如下圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點和點，以為邊作正方形（點A、B、C、D逆時針排列）．(1)求m的值和一次函數(shù)的解析式．(2)求點C的坐標．(3)將正方形平移得到正方形，在平移過程中，使點A的對應(yīng)頂點M始終在第一象限內(nèi)且在反比例函數(shù)的圖象上（點M與點A不重合），當正方形與正方形的重疊部分為正方形時，求重疊正方形的邊長．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運用，涉及到正方形的性質(zhì)、圖象的平移等，其中，確定點在上是解題的關(guān)鍵.（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）證明即可求解；（3）當正方形與正方形的重疊部分為正方形時，則點在上，進而求解.【詳解】（1）將點的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：，解得：將點、B的坐標代入函數(shù)表達式得：解得：則一次函數(shù)的表達式為：；（2）過點作軸的平行線交過點和軸的平行線于點，交故點和軸的平行線于點，，，，，∴∴點；（3）當正方形與正方形的重疊部分為正方形時,則點在上,由點的坐標得，直線的表達式為：由（1）知，反比例函數(shù)表達式為：，聯(lián)立上述兩個函數(shù)表達式得：，解得：(舍去)或，即點，由點的坐標得，則重疊正方形的邊長為．【變式訓(xùn)練】1．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，平面直角坐標系中，兩點在軸的正半軸上，以線段為邊向上作正方形，頂點在正比例函數(shù)的圖象上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與邊相交于點，連接交于點．(1)若，則點的坐標為______；(2)連接，若的面積為，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，求得，得到，得到反比例函數(shù)解析式為，進而可得點的坐標；（）設(shè)，則點，根據(jù)圖形可得，利用梯形的面積公式解答即可求解；本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．【詳解】（1）解：在正方形中，，把代入得，，解得，∴，∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，∵，把代入得，，∴點的坐標為，故答案為：；（2）解：設(shè)，則點，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義得，，∴，∴，∴，∴．2．（2023·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，正方形中，，過點作軸的垂線交過點的反比例函數(shù)圖象于點，交軸于點．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求點的坐標；(3)在坐標軸上是否存在一點，使是等腰三角形？若存在，直接寫出點坐標；不存在請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或或【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，分類討論和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）過點A作軸于點F，求出，證明，進一步求出點坐標為，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）證明，則，得到，則E點的橫坐標為，把代入得，即可得到答案；（3）分四種情況分別進行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點A作軸于點F，，，∵四邊形為正方形，，，軸，，，，在和中，，，，，點坐標為，設(shè)反比例函數(shù)解析式為，把代入得，∴反比例函數(shù)解析式為;（2）∵四邊形為正方形，，，又，，，在和中，，，，，∴E點的橫坐標為，把代入得，點坐標為;（3）如圖，∴∴當則，故點的坐標是，當則，當設(shè)，則，故在中，，即，解得，即點與點G重合，故，當則，綜上可知，符合題意的點的坐標為或或或3．（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）在平面直角坐標系中，正方形的頂點A、B分別為、，頂點C在反比例函數(shù)上，頂點D在反比例函數(shù)上．(1)如圖1，當D點坐標為時．①求的值；②求m，n的值；(2)如圖2，當m，n滿足什么關(guān)系時，，并說明理由；(3)如圖3，當時，在的延長線上取一點E，過點E作交x軸于點F，交反比例函數(shù)圖象于點G，當G為的中點，對于每一個給定的m值，點E的縱坐標總是一個定值，則該定值為______．（用含m的代數(shù)式表示）【答案】(1)①的值為4；②m，的值為1，3；(2)當時，；(3)【分析】（1）①將點的坐標代入反比例函數(shù)解析式即可得出結(jié)論；②過點作軸，可得，可用，表達點的坐標，建立關(guān)于，的二元一次方程組即可得出結(jié)論；（2）過點作軸于點，可得，可用，表達點的坐標，由此建立關(guān)于，的不等式，解之即可；（3）過點作軸于點，設(shè)，由等腰三角形的性質(zhì)可表達點和點的坐標，由此建立關(guān)于的方程，解之即可．【詳解】（1）解：①將點代入反比例函數(shù)解析式，；即的值為4；②如圖，過點作軸于點，，，，，，，，，，，，解得．，的值為1，3；（2）解：當時，，理由如下：如圖，過點作軸于點，同理（1）可得，，，，，，，若，則，，，，即當時，；（3）解：由（2）得，，又，∴，，，，即，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，如圖，過點作軸于點，是等腰直角三角形，，設(shè)，，，，點是的中點，；，，點在上，，整理得，（舍）或；故答案為：．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識，用，表達出點，的坐標是解題關(guān)鍵．壓軸能力測評（10題）一、單選題1．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖，將直角三角板放在平面直角坐標系中，點的坐標分別為將三角板沿軸正方向平移，點的對應(yīng)點剛好落在反比例函數(shù)的圖象上，則點平移的距離等于（

）A．3 B．4 C．7 D．10【答案】B【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、平移的性質(zhì)等知識點，掌握反比例函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標的積是定值k，即成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)平移的性質(zhì)得到點的縱坐標為1，，則利用反比例函數(shù)解析式可確定，則，從而得到的長度即可．【詳解】解：∵點A，B的坐標分別為．將沿軸正方向平移，∴點的縱坐標為1，，當時，，解得，∴，∴，∴．故選B．2．（23-24八年級下·山西臨汾·期中）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知點均在反比例函數(shù)的圖象上，連接，，，過點作軸于點，過點作軸于點，則下列結(jié)論中正確的有（

）

①；②；③直線與軸的交點坐標為；④的值隨．的增大而增大．A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)題意圖形即可判斷①正確，根據(jù)證明，先求得直線的函數(shù)表達式為，進而即可判斷③，分，兩種情形討論，即可求解．【詳解】提示：①點P，Q都在第一象限，，①正確；①，②正確；③設(shè)直線的函數(shù)表達式為,則，解得∴直線的函數(shù)表達式為，當時，直線與軸的交點坐標為，③正確；④直線的函數(shù)表達式為，直線的函數(shù)表達式為當時，的值隨的增大而減小，當時，的值隨的增大而增大，④錯誤．故選：D．二、填空題3．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期中）在平面直角坐標系中，對于不在坐標軸上的任意一點，我們把點稱為點A的“逆倒數(shù)點”．如圖，正方形的頂點C為，頂點E在y軸正半軸上，函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點D和點A，連結(jié)交正方形的一邊于點B，若點B是點A的“逆倒數(shù)點”，則點A的坐標為．【答案】或【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，正方形的性質(zhì)，新定義閱讀理解能力，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學的知識．根據(jù)正方形的性質(zhì)和點的坐標，可知正方形頂點的坐標為，從而得到反比例函數(shù)解析式為，設(shè)點的坐標為，則“逆倒數(shù)”點的坐標為，點在正方形的一邊上，分兩種情況：①點在上，得；②點在上，得，即可求出點的坐標．【詳解】解：在正方形上，點的坐標∴正方形頂點的坐標為將代入中，解得：，即反比例函數(shù)解析式為：，設(shè)點的坐標為，則“逆倒數(shù)”點的坐標為，點在正方形的一邊上，分兩種情況：①點在上，，即，，，；②點在上，，即，，，，故答案為：或．4．（23-24八年級下·四川宜賓·期末）如圖，矩形頂點A、C分別在x、y軸上，雙曲線分別交于點D、E，連接并延長交x軸于點F，連接．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④若點E為的中點，且，則；其中正確的有．（填寫所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①②④【分析】設(shè)，則，，，，待定系數(shù)法可得直線的解析式為；直線的解析式為；可得，可判斷①的正誤；如圖，連接，則，證明四邊形是平行四邊形，則，可判斷②的正誤；當時，，即，則，，，，，可得，可判斷③的正誤；當點E為的中點時，證明，則，，，同理③，，則，，可判斷④的正誤．【詳解】解：設(shè)，則，，∵點D、E在雙曲線上，∴，，待定系數(shù)法可得直線的解析式為；同理可得，直線的解析式為；∴，①正確，故符合要求；如圖，連接，

∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，②正確，故符合要求；當時，，即，∴，，，∴，，∴，③錯誤，故不符合要求；當點E為的中點時，∵，，，∴，∴，，∴，同理③，，∴，∴，④正確，故符合要求；故答案為：①②④．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，一次函數(shù)解析式，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義等知識．熟練掌握反比例函數(shù)與幾何綜合，一次函數(shù)解析式，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2024·河南洛陽·二模）如圖，菱形的邊在x軸正半軸上，點A的坐標，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點D．(1)求k的值；(2)的垂直平分線交反比例函數(shù)的圖象于點E，連接、，求的面積．【答案】(1)13(2)【分析】本題考查反比例函數(shù)的綜合，菱形的性質(zhì)，垂直平分線的定義，中點坐標公式，三角形的面積求法等知識，運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）先求出的長度，也就是菱形的邊長，從而求出點的坐標，再用中點公式求出點D的坐標，從而得解；（2）根據(jù)點的坐標求出點E的橫坐標，繼而求出點E的坐標，再利用割補法求面積即可．【詳解】（1）解：∵A點坐標，∴，四邊形是菱形，邊長為5，，的縱坐標為4，橫坐標為，，為的中點，在反比例函數(shù)上，的橫坐標為，縱坐標為，∴；（2）∵，∴反比例函數(shù)解析式是∵E在AB的垂直平分線上，A，，E點橫坐標為，把代入得：，，如圖，過A作⊥x軸于H，的垂直平分線交x軸于F，則，，，，，．6．（2024·山西太原·三模）如圖示，矩形的邊分別在坐標軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過邊的中點D，與邊交于點E．(1)如果點D的坐標為，請直接寫出點E的坐標；(2)試判斷的中點是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．【答案】(1)(2)在，理由見解析【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）求出反比例函數(shù)解析式為，得到點B的坐標為，則點E的橫坐標為4，求出點E的縱坐標，即可得到答案；（2）設(shè)點D的坐標為，則，即，求出的中點的坐標是，由即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：把點D的坐標代入得到，，解得

，∴反比例函數(shù)解析式為，∵四邊形是矩形，∴，∴點B的坐標為，∴點E的橫坐標為4，當時，，∴點E的坐標為；（2）中點在反比例函數(shù)圖象上，理由如下：設(shè)點D的坐標為，則，即，∵四邊形是矩形，∴，∴點B的坐標為，∴的中點的坐標是，∵∴的中點在反比例函數(shù)的圖象上．7．（2024·黑龍江大慶·一模）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，點在直線上，的頂點在軸上，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，．(1)______；______；點的坐標______；(2)直接寫出不等式的解集；(3)求的面積．【答案】(1)1；6；(2)(3)【分析】（1）將點代入直線，可解得，即可求得點坐標，利用待定系數(shù)法解得的值，易得該反比例函數(shù)解析式；確定點坐標，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)確定點的縱坐標，然后計算點坐標即可；（2）結(jié)合圖像，即可獲得答案；（3）延長交軸于點，分別確定點，，坐標，然后根據(jù)求解即可．【詳解】（1）解：將點代入直線，可得，解得，∴，將點代入反比例函數(shù)，可得，解得，∴該反比例函數(shù)解析式為，對于直線，當時，可得，即，∵四邊形為平行四邊形，點在軸上，∴，即，解得，將代入反比例函數(shù)，可得，解得，∴．故答案為：1；6；；（2）∵，，且直線與反比例函數(shù)的圖像交于點，∴結(jié)合圖像，可得不等式的解集為；（3）如下圖，延長交軸于點，∵四邊形為平行四邊形，，，，∴，對于直線，令，可得，解得，∴，設(shè)直線的解析式為，把、代入，得，解得，∴直線的解析式為，令，可得，解得，∴，又∵，，，，，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像交點問題、坐標與圖形、待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、利用函數(shù)圖像解求不等式的解集等知識，解題關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．8．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，B、C兩點在x軸的正半軸上，以線段為邊向上作正方形，頂點A在正比例函數(shù)的圖象上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，且與邊相交于點E．(1)當時，①若，求點E的坐標；②連接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．(2)若，求的值（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)①；②不存在，見解析(2)【分析】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：（1）①當時，，，得到，求出反比例函數(shù)的解析式為，將代入即可求出點E的坐標；②由，得到，證明，得到，由①可知，，則，表示出，求出，不符合題意；（2）設(shè)，得到，求得，當時，，求出，，計算出，即可求出比值．【詳解】（1）①當時，，當時，，解得，∴，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為，當時，，∴；②不存在，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由①可知，，則，∴，∴，∴，∴，∵，∴不符合題意，不存在；（2）設(shè)，∵，∴，∴將點代入，得，∴，當時，∴，，∴，∴．9．（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，直線與軸、軸分別交于點、，與反比例函數(shù)的圖象相交于點和．點為軸上一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)求與的值；(2)①點的坐標是______（用含的代數(shù)式表示）；②當點落在反比例函數(shù)圖象上，求的值；(3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(4)當為何值時，的值最??？請直接寫出的值．【答案】(1)，(2)①；②或(3)或(4)時最小值為【分析】（1）根據(jù)