數(shù)學常考壓軸題九年級人教版第二十四章圓（14大壓軸考法50題專練）原卷版含答案及解析

第二十四章圓（14大壓軸考法50題專練）目錄題型一：垂徑定理 1題型二：垂徑定理的應用 4題型三：圓心角、弧、弦的關(guān)系 7題型四：圓周角定理 9題型五：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 14題型六：點與圓的位置關(guān)系 17題型七：三角形的外接圓與外心 21題型八：直線與圓的位置關(guān)系 31題型九：切線的性質(zhì) 35題型十：切線的判定 40題型十一：切線的判定與性質(zhì) 45題型十二：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心 52題型十三：正多邊形和圓 59題型十四：扇形面積的計算 62一．垂徑定理1．（2023秋?六安期中）如圖，在中，已知是直徑，為上一點不與、兩點重合），弦過點，．（1）若，，則的長為；（2）當點在上運動時（保持不變），則．2．（2023秋?薩爾圖區(qū)校級期中）如圖，是弦的中點，是上的一點，與交于點，已知，．（1）求線段的長；（2）當時，求的長．3．（2023秋?湖北期中）如圖，在中，直徑于點，連接并延長交于點，且（1）求證：；（2）求的度數(shù)．二．垂徑定理的應用4．（2023秋?西平縣期中）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度米，拱高米．（1）求圓弧所在的圓的半徑的長；（2）當洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即米時，是否要采取緊急措施？5．（2023秋?江都區(qū)期中）如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦的垂直平分線交弧于點，交弦于點．已知：，．（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）求殘片所在圓的面積．6．（2023秋?大豐區(qū)期中）一座橋，橋拱是圓弧形（水面以上部分），測量時只測到橋下水面寬為（如圖），橋拱最高處離水面．（1）求橋拱半徑；（2）若大雨過后，橋下面河面寬度為，問水面漲高了多少？三．圓心角、弧、弦的關(guān)系7．（2023秋?海曙區(qū)期中）如圖，是的直徑，是的中點，于點，交于點．（1）求證：；（2）若，，求的半徑及的長．8．（2023秋?紹興期中）如圖，在中，弦、相交于點，連接，已知．（1）求證：；（2）如果的半徑為5，，，求的長．四．圓周角定理9．（2023秋?源匯區(qū)校級期中）如圖，點在半圓上，半徑，，點在弧上移動，連接，是上一點，，連接，點在移動的過程中，的最小值是A．5 B．6 C．7 D．810．（2023秋?大豐區(qū)期中）如圖，在中，點是劣弧的中點，點在劣弧上，且，于，當，則．11．（2023秋?路南區(qū)期中）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，，，是上的一個動點，連接．過點作于，連接，則的最小值是．12．（2023秋?梁溪區(qū)校級期中）關(guān)于的方程，如果、、滿足且，那么我們把這樣的方程稱為“勾股方程”．請解決下列問題：（1）請寫出一個“勾股方程”：；（2）求證：關(guān)于的“勾股方程”必有實數(shù)根；（3）如圖，已知、是半徑為1的的兩條平行弦，，，且關(guān)于的方程是“勾股方程”，求的度數(shù)．五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)13．（2023秋?源匯區(qū)校級期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，為延長線上一點，連接、，若，求證：平分．14．（2023秋?東湖區(qū)校級期中）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點是延長線上的一點，且平分，于點．（1）求證：．（2）若，，求的長．15．（2023秋?旌陽區(qū)校級期中）如圖，、、、是上四點，．（1）判斷的形狀并證明你的結(jié)論；（2）當點位于什么位置時，四邊形是菱形？并說明理由．（3）求證：．六．點與圓的位置關(guān)系16．（2023秋?宿城區(qū)期中）如圖，是的直徑，點在上，，垂足為，，點是上的動點（不與重合），點為的中點，若在運動過程中的最大值為4，則的值為A． B． C． D．17．（2023秋?東臺市期中）在矩形中，，，點是平面內(nèi)一動點，且滿足，為的中點，點運動過程中線段長度的取值范圍是．18．（2023秋?仙居縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，點是以，為圓心，1為半徑的上的一個動點，已知，，連接，，則的最小值是．七．三角形的外接圓與外心19．（2023秋?江陰市校級期中）如圖，為等邊的外心，四邊形為正方形．現(xiàn)有以下結(jié)論：①是外心；②是的外心；③；④設(shè)，則；⑤若點，分別在線段，上運動（不含端點），隨著點運動到每一個確定位置時，的周長都有最小值，．其中所有正確結(jié)論的序號是A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤20．（2023秋?湖里區(qū)校級期中）如圖，已知點是外接圓上的一點，于，連接，過點作直線交于，交于，若點是弧的中點，連接，，（1）求證：；（2）若，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．21．（2023秋?六安期中）如圖，等腰內(nèi)接于，的垂直平分線交邊于點，交于，垂足為，連接并延長交的延長線于點．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．22．（2023秋?竹山縣期中）如圖，等腰內(nèi)接于，，點為劣弧上一點，．（1）求證：為等邊三角形；（2）若，求四邊形的面積．23．（2023秋?集美區(qū)校級期中）如圖1，中，，是的外接圓，過點作，交于點，垂足為，連接．（1）求證：；（2）如圖2，連接，點在線段上，且，是的中點，連接，若，，求的半徑．八．直線與圓的位置關(guān)系24．（2023秋?旌陽區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，半徑為2的的圓心從點（點在直線上）出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿射線運動，設(shè)點運動的時間為秒，則當時，與坐標軸相切．25．（2023秋?旌陽區(qū)校級期中）如圖，半圓的圓心與坐標原點重合，半圓的半徑1，直線的解析式為．若直線與半圓只有一個交點，則的取值范圍是．26．（2023秋?新吳區(qū)期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，過點作，垂足為點，平分．（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，的半徑為4，請求出圖中陰影部分的面積．九．切線的性質(zhì)27．（2023秋?西城區(qū)校級期中）如圖，過點作的切線，，切點分別是，，連接．過上一點作的切線，交，于點，．若，△的周長為4，則的長為A．2 B． C．4 D．28．（2023秋?房縣期中）如圖，在中，，以為直徑的分別與，交于點，，過點作的切線，交于點．（1）求證：；（2）若的半徑為4，，求陰影部分的面積．29．（2023秋?青縣校級期中）已知：如圖是的直徑，是弦，直線是過點的的切線，于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．30．（2023秋?東昌府區(qū)校級期中）如圖，是的直徑，點和點是上的兩點，過點作的切線交延長線于點．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求半徑的長．31．（2023秋?海門市校級期中）如圖，在中，，以為直徑的交于點，過點作的切線，交于點，的反向延長線交于點．（1）求證：；（2）若，的半徑為10，求的長度．十．切線的判定32．（2023秋?新會區(qū)校級期中）如圖，是的直徑，是半圓上的一點，平分，，垂足為，交于，連接．（1）判斷與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若，，求的長；（3）若是弧的中點，的半徑為5，求圖中陰影部分的面積．33．（2023秋?陜州區(qū)期中）如圖，為正方形對角線上一點，以點為圓心，長為半徑的與相切于點．（1）求證：是的切線；（2）若正方形的邊長為10，求的半徑．34．（2023秋?新會區(qū)校級期中）如圖，已知是外一點，交圓于點，，弦，劣弧的度數(shù)為，連接．（1）求的長；（2）求證：是的切線．十一．切線的判定與性質(zhì)35．（2023秋?鐵山區(qū)期中）如圖，點在以為直徑的上，平分，且于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．36．（2023秋?麒麟?yún)^(qū)校級期中）如圖，，是的弦，平分．過點作的切線交的延長線于點，連接．延長交于點，交于點，連接，．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長．37．（2023秋?玉環(huán)市校級期中）如圖，是的直徑，點是上一點，的平分線交于點，過點作交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長度．38．（2023秋?惠陽區(qū)校級期中）如圖是的外接圓，，延長于，連接，使得，交于．（1）求證：與相切；（2）若，．求的半徑和的長度．39．（2023秋?中山市期中）如圖，已知是的直徑，點為延長線上一點，，．（1）求證：是的切線．（2）若的半徑為2，求的長．40．（2023秋?廣陽區(qū)校級期中）在等腰中，，以為直徑的分別與，相交于點，，過點作，垂足為點．（1）求證：是的切線；（2）分別延長，，相交于點，，的半徑為6，求陰影部分的面積．十二．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心41．（2023秋?懷仁市校級期中）如圖，點是的內(nèi)心，也是的外心．若，則的度數(shù)是A． B． C． D．43．（2023秋?五蓮縣期中）如圖，點是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點，與相交于點，則下列結(jié)論：①；②若，則；③若點為的中點，則；④．其中一定正確的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．443．（2023秋?東港區(qū)校級期中）在中，，，，直線經(jīng)過的內(nèi)心，過點作，垂足為，連接，則的最小值是．44．（2023秋?玄武區(qū)期中）如圖，在中，，，是的內(nèi)切圓，與邊，分別相切于點，，與的延長線交于點，則．45．（2023秋?旌陽區(qū)校級期中）如圖，為的直徑，、為的切線，、為切點，連接、，交于點，交于，的延長線交于點，以下結(jié)論：①；②點為△的內(nèi)心；③；④；⑤．其中正確的有．十三．正多邊形和圓46．（2023秋?東臺市期中）如圖，在邊長為的正八邊形中，已知，，，分別是邊，，，上的動點，且滿足，則四邊形面積的最大值為A． B． C． D．47．（2022秋?濱江區(qū)校級期中）如圖，正方形內(nèi)接于圓，，點在圓上且滿足，，則點到的距離為．十四．扇形面積的計算48．（2023秋?大豐區(qū)期中）如圖，四邊形，有，，，以中點為圓心作弧及弧，動點從點出發(fā)沿線段，弧，弧，線段的路線運動，點運動到點時，線段掃過的面積為A． B． C． D．49．（2023秋?湖州期中）如圖，在中，，點在圓上，交圓于點，與圓交于點，，交于點，為的直徑，．（1）求證：；（2）若平分，求的度數(shù)；（3）若，求圖中陰影部分的面積．50．（2023秋?冠縣期中）如圖，圓的直徑為，兩條直徑，相交成角，，是的平分線．（1）求圓心角的度數(shù)；（2）求扇形的面積．

第二十四章圓（14大壓軸考法50題專練）目錄題型一：垂徑定理 1題型二：垂徑定理的應用 4題型三：圓心角、弧、弦的關(guān)系 7題型四：圓周角定理 9題型五：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 14題型六：點與圓的位置關(guān)系 17題型七：三角形的外接圓與外心 21題型八：直線與圓的位置關(guān)系 31題型九：切線的性質(zhì) 35題型十：切線的判定 40題型十一：切線的判定與性質(zhì) 45題型十二：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心 52題型十三：正多邊形和圓 59題型十四：扇形面積的計算 62一．垂徑定理1．（2023秋?六安期中）如圖，在中，已知是直徑，為上一點不與、兩點重合），弦過點，．（1）若，，則的長為；（2）當點在上運動時（保持不變），則．【分析】（1）作于，得到，由，，得到圓的半徑長，由是等腰直角三角形，得到的長，由勾股定理求出的長，即可得到的長．（2）由，，得到，因此，得到，即可解決問題．【解答】解：（1）作于，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，．故答案為：．（2）由（1）知，，，，，，，，．故答案為：．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，完全平方公式，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，應用垂徑定理，勾股定理來解決問題．2．（2023秋?薩爾圖區(qū)校級期中）如圖，是弦的中點，是上的一點，與交于點，已知，．（1）求線段的長；（2）當時，求的長．【分析】（1）連接，先根據(jù)垂徑定理得出，，在中，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（2）在中，設(shè)，則，，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）連接．過圓心，且是弦中點，，，在中，．，．；（2）在中，．設(shè)，則，．，解得（舍，．則．【點評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023秋?湖北期中）如圖，在中，直徑于點，連接并延長交于點，且（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【分析】（1）連接，由垂徑定理可知是的垂直平分線，故可得出，同理可得，故，進而可得出結(jié)論；（2）由（1）知△是等邊三角形，再由垂徑定理可知，根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：連接，，，，同理可得，，，即；（2）由（1）知△是等邊三角形，，直徑于點，，，．【點評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．二．垂徑定理的應用4．（2023秋?西平縣期中）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度米，拱高米．（1）求圓弧所在的圓的半徑的長；（2）當洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即米時，是否要采取緊急措施？【分析】（1）連接，利用表示出的長，在中根據(jù)勾股定理求出的值即可；（2）連接，在△中，由勾股定理得出的長，進而可得出的長，據(jù)此可得出結(jié)論．【解答】解：（1）連接，由題意得：（米，米，在中，由勾股定理得：，解得，（米；（2）連接，米，在△中，由勾股定理得：，即：，解得：（米．（米．，不需要采取緊急措施．【點評】本題考查的是垂徑定理的應用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．5．（2023秋?江都區(qū)期中）如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦的垂直平分線交弧于點，交弦于點．已知：，．（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）求殘片所在圓的面積．【分析】（1）由垂徑定理知，垂直于弦的直徑是弦的中垂線，故作，的中垂線交于點，則點是弧所在圓的圓心；（2）在中，由勾股定理可求得半徑的長，由圓的面積公式進行計算即可．【解答】解：（1）作弦的垂直平分線與弦的垂直平分線交于點，以為圓心長為半徑作圓就是此殘片所在的圓，如圖．（2）連接，設(shè)，，，則根據(jù)勾股定理列方程：，解得：．即：圓的半徑為．所以圓的面積為：．【點評】本題考查的是垂徑定理和勾股定理的應用，垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．6．（2023秋?大豐區(qū)期中）一座橋，橋拱是圓弧形（水面以上部分），測量時只測到橋下水面寬為（如圖），橋拱最高處離水面．（1）求橋拱半徑；（2）若大雨過后，橋下面河面寬度為，問水面漲高了多少？【分析】已知到橋下水面寬為，即是已知圓的弦長，已知橋拱最高處離水面，就是已知弦心距，可以利用垂徑定理轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．【解答】解：（1）如圖所示，設(shè)點為的圓心，點為的中點，連接，，交于，由題意得，，由垂徑定理得，，設(shè)半徑為，則在中，，即，解得，所以橋拱的半徑為；（2）設(shè)河水上漲到位置（如圖所示），這時，，有（垂足為，，連接，則有，，．【點評】上漲高度即是弦心距的差．是正確解本題的關(guān)鍵．三．圓心角、弧、弦的關(guān)系7．（2023秋?海曙區(qū)期中）如圖，是的直徑，是的中點，于點，交于點．（1）求證：；（2）若，，求的半徑及的長．【分析】（1）要證明，可以證明；是的直徑，則，又知，則，則，，則；（2）在直角三角形中，，又知，，所以可以求得的長，即可求得圓的半徑；再利用面積法求得的長．【解答】（1）證明：是的直徑，，．，，，．又是的中點，，，，；（2）解：，，，，的半徑為5，，．【點評】此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．8．（2023秋?紹興期中）如圖，在中，弦、相交于點，連接，已知．（1）求證：；（2）如果的半徑為5，，，求的長．【分析】（1）根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）過作與，于，連接，，根據(jù)垂徑定理得到，，由于，于是得到，推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，證得四邊形是正方形，于是得到，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1），，在與中，，，；（2）過作與，于，連接，，根據(jù)垂徑定理得：，，，，在與中，，，，，四邊形是正方形，，設(shè)，則，，即：，解得：，（舍去），，．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，勾股定理，熟練則全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．四．圓周角定理9．（2023秋?源匯區(qū)校級期中）如圖，點在半圓上，半徑，，點在弧上移動，連接，是上一點，，連接，點在移動的過程中，的最小值是A．5 B．6 C．7 D．8【分析】如圖，取的中點，連接，，．由題意點在以為圓心，為半徑的上，推出當、、共線時，的值最??；【解答】解：如圖，取的中點，連接，，．，，點在以為圓心，為半徑的上，當、、共線時，的值最小，是直徑，，，，的最小值為．故選：．【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系、勾股定理、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，利用輔助線圓解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．10．（2023秋?大豐區(qū)期中）如圖，在中，點是劣弧的中點，點在劣弧上，且，于，當，則．【分析】在上截取，連接，，，，，可以證明，得到，由，得到，由圓周角定理得到，因此，得到，即可求解．【解答】解：在上截取，連接，，，，，是的中點，，，，，，，，，，，，．故答案為：．【點評】本題考查圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造全等三角形．11．（2023秋?路南區(qū)期中）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，，，是上的一個動點，連接．過點作于，連接，則的最小值是．【分析】如圖，連接、．在點移動的過程中，點在以為直徑的圓上運動，當、、共線時，的值最小，最小值為，利用勾股定理求出即可解決問題．【解答】解：如圖，取的中點，連接、．，，在點移動的過程中，點在以為直徑的圓上運動，是直徑，，在中，，，，在中，，，當、、共線時，的值最小，最小值為，故答案為：．【點評】本題考查圓周角定理、勾股定理、點與圓的位置關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是確定等的運動軌跡是以為直徑的圓上運動，屬于中考填空題中壓軸題．12．（2023秋?梁溪區(qū)校級期中）關(guān)于的方程，如果、、滿足且，那么我們把這樣的方程稱為“勾股方程”．請解決下列問題：（1）請寫出一個“勾股方程”：；（2）求證：關(guān)于的“勾股方程”必有實數(shù)根；（3）如圖，已知、是半徑為1的的兩條平行弦，，，且關(guān)于的方程是“勾股方程”，求的度數(shù)．【分析】（1）由“勾股方程”滿足的條件，即可寫出一個“顧神方程”；（2）由一元二次方程根的判別式，即可判斷；（3）由勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，即可求解．【解答】（1）解：寫出一個“勾股方程”：（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）；（2）證明：關(guān)于的方程是“勾股方程”，且，①當時，△，方程有兩個實數(shù)根，②當時，方程為，，該方程有實數(shù)根，“勾股方程”必有實數(shù)根；（3）解：作于，延長交于，連接，，，，，，，，是“勾股方程，，，，，，，，，．【點評】本題考查“勾股方程”的概念，一元二次方程根的判別式，勾股定理，關(guān)鍵是明白“勾股方程”的定義．五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)13．（2023秋?源匯區(qū)校級期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，為延長線上一點，連接、，若，求證：平分．【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)得出，故可得出，再由圓周角定理得出，故可得出，故可得出結(jié)論．【解答】證明：四邊形內(nèi)接于，．，，．與是同弧所對的圓周角，，，即平分．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解答此題的關(guān)鍵．14．（2023秋?東湖區(qū)校級期中）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點是延長線上的一點，且平分，于點．（1）求證：．（2）若，，求的長．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解答；（2）過點作，分別證明和，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)計算．【解答】（1）證明：平分，，，，，，，；（2）解：過點作，垂足為點．平分，，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋?旌陽區(qū)校級期中）如圖，、、、是上四點，．（1）判斷的形狀并證明你的結(jié)論；（2）當點位于什么位置時，四邊形是菱形？并說明理由．（3）求證：．【分析】（1）利用圓周角定理可得，，而，所以，從而可判斷的形狀；（2）當點位于中點時，四邊形是菱形，通過證明和均為等邊三角形，知，四邊形是菱形；（3）在上截取，則是等邊三角形，然后證明，證明，即可證得．【解答】解：（1）證明：（1）是等邊三角形．證明如下：在中，與是所對的圓周角，與是所對的圓周角，，，又，，為等邊三角形；（2）當點位于中點時，四邊形是菱形，連接，，是的中點，又，和均為等邊三角形，，四邊形是菱形；（3）如圖2，在上截取，又，是等邊三角形，，，即．又，，在和中，，，，又，．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．六．點與圓的位置關(guān)系16．（2023秋?宿城區(qū)期中）如圖，是的直徑，點在上，，垂足為，，點是上的動點（不與重合），點為的中點，若在運動過程中的最大值為4，則的值為A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)題意取的中點，根據(jù)點的運動軌跡，確定點的運動軌跡，根據(jù)，可確定當點、、三點共線時，有最大值4，此時，求出，再根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，則，聯(lián)立即可求出半徑的值，然后求出的長，利用勾股定理即可求出的長．【解答】解：方法一、如圖所示，連接、，取的中點，連接和，設(shè)的半徑為，點為的中點，，點是上的動點（不與重合），點為頂點，點的運動軌跡是以點圓心，以的長為半徑的圓上，則，當點、、三點共線時，有最大值4，此時，，，，點為的中點，，，解得：，，在△中，；方法二、如圖，延長交于，連接，，，是直徑，，又點是的中點，，當為直徑時，有最大值，，，，在△中，；故選：．【點評】本題主要考查的是圓的動點綜合題型，解題關(guān)鍵是確定點、、三點共線時，有最大值4．17．（2023秋?東臺市期中）在矩形中，，，點是平面內(nèi)一動點，且滿足，為的中點，點運動過程中線段長度的取值范圍是．【分析】連接，取的中點，連接，可知為的中位線，則可得，進而可知點在以為圓心，以1為半徑的圓上運動，在矩形中，根據(jù)進而得出答案．【解答】解：連接，取的中點，連接，，為的中點，為的中位線，，點在以為圓心，以1為半徑的圓上運動，在矩形中，，的取值范圍為，即，故答案為：．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，中位線定理，點和圓的位置關(guān)系等知識點，靈活運用所學知識點得出點的運動軌跡是解本題的關(guān)鍵．18．（2023秋?仙居縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，點是以，為圓心，1為半徑的上的一個動點，已知，，連接，，則的最小值是．【分析】設(shè)點，表示出的值，從而轉(zhuǎn)化為求的最值，畫出圖形后可直觀得出的最值，代入求解即可．【解答】解：設(shè)，，，，，，當點處于與圓的交點上時，取得最值，的最小值為，最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了圓的綜合，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出點坐標，將所求代數(shù)式的值轉(zhuǎn)化為求解的最小值，難度較大．七．三角形的外接圓與外心19．（2023秋?江陰市校級期中）如圖，為等邊的外心，四邊形為正方形．現(xiàn)有以下結(jié)論：①是外心；②是的外心；③；④設(shè)，則；⑤若點，分別在線段，上運動（不含端點），隨著點運動到每一個確定位置時，的周長都有最小值，．其中所有正確結(jié)論的序號是A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤【分析】本題命題思路是以等邊外心為背景，進而得到，，，四點共圓，從而對角互補，利用旋轉(zhuǎn)，可以轉(zhuǎn)化四邊形為一個規(guī)則的等邊三角形，最后利用軸對稱性可解決周長最小值的問題．【解答】解：連接，；為的外心；；正方形；；；是的外心；故①正確．對于②，連接，，，不是的外心；故②錯誤．對于③，連接，，，，，三點共圓；，，即；故③正確．對于④，，，，，四點共圓，如圖所示，以點為旋轉(zhuǎn)中心，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點的對應點為點，，，，即，，，，，三點共線；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，是等邊三角形；，過點作的垂線，垂足為，，；在中，，；；，，；故④正確．對于⑤，如圖所示；作和關(guān)于和的對稱線段，，；，當，，，四點共線時，周長最小：即，，連接，，連接，是等腰三角形；，；；，；三角形是以為頂角的等腰三角形；過點作的垂線，垂足為，，；在中；；即故⑤錯誤；綜上所述，①③④正確；故選：．【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)及其外心的性質(zhì)，圓周角定理，四點共圓及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，利用軸對稱解決周長最小值，等腰三角形的解法及解直角三角形，見外心連頂點，到三個頂點距離相等，判定外心只需確頂點是都到三角形三個頂點距離相等，四邊形對角互補要旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化定型求面積，求周長最小值利用軸對稱變換是關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化兩點間距離最短即可，最后牢記特殊三角形的邊長之比非常重要，例如等腰三角形三邊之比為．20．（2023秋?湖里區(qū)校級期中）如圖，已知點是外接圓上的一點，于，連接，過點作直線交于，交于，若點是弧的中點，連接，，（1）求證：；（2）若，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)及圓周角性質(zhì)直接得出結(jié)論．（2）作于點，連接．先證明，再根據(jù)與的關(guān)系推出，然后可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：，，，；（2）與之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由如下：作于點，連接．，，為中點，，，于，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，即．【點評】本題主要考查了三角形的外接圓及其性質(zhì)、圓中各種角度的相互轉(zhuǎn)化、含的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，判斷出以及證明是解答的關(guān)鍵．21．（2023秋?六安期中）如圖，等腰內(nèi)接于，的垂直平分線交邊于點，交于，垂足為，連接并延長交的延長線于點．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得，然后利用圓周角定理即可解決問題；（2）連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，結(jié)合（1）證明，設(shè)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，進而可以解決問題．【解答】（1）證明：是的垂直平分線，，；（2）解：如圖，連接，是的垂直平分線，，，由（1），設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，．【點評】本題考查了三角形外接圓與外心，線段垂直平分線的性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是得到．22．（2023秋?竹山縣期中）如圖，等腰內(nèi)接于，，點為劣弧上一點，．（1）求證：為等邊三角形；（2）若，求四邊形的面積．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)，則可判斷為等邊三角形；（2）過點作的延長線于點，證明，根據(jù)，可得，所以，，然后根據(jù)四邊形的面積的面積等邊三角形的面積，即可解決問題．【解答】（1）證明：，又，為等邊三角形；（2）解：如圖，過點作的延長線于點，為等邊三角形，，，，，，，，，，的面積，在中，，，根據(jù)勾股定理得：，等邊三角形的面積，四邊形的面積的面積等邊三角形的面積．四邊形的面積為．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練運用圓周角定理，垂徑定理．23．（2023秋?集美區(qū)校級期中）如圖1，中，，是的外接圓，過點作，交于點，垂足為，連接．（1）求證：；（2）如圖2，連接，點在線段上，且，是的中點，連接，若，，求的半徑．【分析】（1）作于，根據(jù)題意易求得，利用角的關(guān)系和圓周角定理可求得，即可求解；（2）連接并延長交延長線于點，連接，，，根據(jù)圓周角定理可求得垂直平分，再求證四邊形為平行四邊形，設(shè)半徑為，則，，根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】（1）證明：如圖1，作于，，，，，，，，，，，，；（2）解：如圖，連接并延長交延長線于點，連接，，，是的中點，，，，，，垂直平分，為直徑，，，，，，，，在中，，即，，，四邊形為平行四邊形，，設(shè)半徑為，則，，在中，，在中，，，，解得，的半徑為4．【點評】本題主要考查了圓的綜合知識，圓周角定理，勾股定理等知識點，熟練掌握關(guān)于圓的相關(guān)性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．八．直線與圓的位置關(guān)系24．（2023秋?旌陽區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，半徑為2的的圓心從點（點在直線上）出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿射線運動，設(shè)點運動的時間為秒，則當時，與坐標軸相切．【分析】設(shè)與坐標軸的切點為，根據(jù)已知條件得到，，，推出是等腰直角三角形，，①當與軸相切時，②如圖，與軸和軸都相切時，③當點只與軸相切時，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)與坐標軸的切點為，直線與軸、軸分別交于點、，點，時，，時，，時，，，，，，，，是等腰直角三角形，，①當與軸相切時，點是切點，的半徑是2，軸，，是等腰直角三角形，，，，點的速度為每秒個單位長度，；②如圖，與軸和軸都相切時，，，點的速度為每秒個單位長度，；③當點只與軸相切時，，，點的速度為每秒個單位長度，．綜上所述，則當或6或10秒時，與坐標軸相切，故答案為：2或6或10．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．25．（2023秋?旌陽區(qū)校級期中）如圖，半圓的圓心與坐標原點重合，半圓的半徑1，直線的解析式為．若直線與半圓只有一個交點，則的取值范圍是．【分析】若直線與半圓只有一個交點，則有兩種情況：直線和半圓相切于點或從直線過點開始到直線過點結(jié)束（不包括直線過點．當直線和半圓相切于點時，根據(jù)直線的解析式知直線與軸所形成的銳角是，從而求得，即可求出點的坐標，進一步求得的值；當直線過點時，直接根據(jù)待定系數(shù)法求得的值．【解答】解：若直線與半圓只有一個交點，則有兩種情況：直線和半圓相切于點或從直線過點開始到直線過點結(jié)束（不包括直線過點．直線與軸所形成的銳角是．當直線和半圓相切于點時，則垂直于直線，．又，則，即點，，把點的坐標代入直線解析式，得，當直線過點時，把點代入直線解析式，得．當直線過點時，把點代入直線解析式，得．即當或時，直線和圓只有一個公共點；故答案為或．【點評】此題綜合考查了直線和圓的位置關(guān)系，及用待定系數(shù)法求解直線的解析式等方法．26．（2023秋?新吳區(qū)期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，過點作，垂足為點，平分．（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，的半徑為4，請求出圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義得到，證明，根據(jù)切線的判定定理證明即可；（2）證明是等邊三角形，得到，根據(jù)勾股定理求出、，根據(jù)梯形的面積公式、扇形的面積公式計算即可．【解答】解：（1）與相切，理由：連接，，，平分，，，，，，，即，，與相切；（2），，，是等邊三角形，，，，，，．【點評】本題考查的是切線的判定、扇形面積的計算，掌握切線的判定定理、扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．九．切線的性質(zhì)27．（2023秋?西城區(qū)校級期中）如圖，過點作的切線，，切點分別是，，連接．過上一點作的切線，交，于點，．若，△的周長為4，則的長為A．2 B． C．4 D．【分析】根據(jù)切線長定理得到，再根據(jù)切線長定理、三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：、為的切線，，、為的切線，，同理，，△的周長，，．故選：．【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．28．（2023秋?房縣期中）如圖，在中，，以為直徑的分別與，交于點，，過點作的切線，交于點．（1）求證：；（2）若的半徑為4，，求陰影部分的面積．【分析】（1）連接，易得，由，易得，等量代換得，利用平行線的判定得，由切線的性質(zhì)得，得出結(jié)論；（2）連接，利用（1）的結(jié)論得，易得，得出，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結(jié)論．【解答】（1）證明：連接，，，，，，，是的切線，，．（2）解：連接，，，，，，，的半徑為4，，，．【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當?shù)妮o助線，利用切線性質(zhì)和圓周角定理，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．29．（2023秋?青縣校級期中）已知：如圖是的直徑，是弦，直線是過點的的切線，于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．【分析】（1）連接，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得，則可判定，所以，加上，則；（2）利用圓周角定理得，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得的長．【解答】（1）證明：連接，如圖，為切線，，而，，，，，；（2）解：為直徑，，在中，，．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理．30．（2023秋?東昌府區(qū)校級期中）如圖，是的直徑，點和點是上的兩點，過點作的切線交延長線于點．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求半徑的長．【分析】（1）連接，利用切線的性質(zhì)和角之間的關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）連接，是的切線，是的半徑，，，，，，；（2），，，，，，，，，，設(shè)的半徑為，，，解得：，的半徑為2．【點評】此題考查切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)進行解答．31．（2023秋?海門市校級期中）如圖，在中，，以為直徑的交于點，過點作的切線，交于點，的反向延長線交于點．（1）求證：；（2）若，的半徑為10，求的長度．【分析】（1）欲證明，只需推知即可；（2）如圖，過點作于點，構(gòu)建矩形，設(shè)．則由矩形的性質(zhì)推知：，．在中，由勾股定理知：，通過解方程得到的長度，結(jié)合，得到．【解答】（1）證明：，，，，，．是的切線，是半徑，，；（2）如圖，過點作于點，則，四邊形是矩形，，．設(shè)．，，，．在中，由勾股定理知：，即，解得，（不合題意，舍去）．．，，．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)．解題時，利用了方程思想，屬于中檔題．十．切線的判定32．（2023秋?新會區(qū)校級期中）如圖，是的直徑，是半圓上的一點，平分，，垂足為，交于，連接．（1）判斷與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若，，求的長；（3）若是弧的中點，的半徑為5，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）由平分得，加上，則，于是可判斷，由于，所以，則可根據(jù)切線的判定定理得到為的切線；（2）作與，如圖，根據(jù)垂徑定理得，再證明四邊形為矩形，得到，，在△中利用勾股定理計算出，則，然后在△中根據(jù)勾股定理可計算出的長；（3）由是弧的中點得到，根據(jù)垂徑定理得，由于，根據(jù)等腰三角形的判定得到，即，所以△為等邊三角形，易得△為等邊三角形，所以，，可計算出，于是可計算出，，由于，然后利用進行計算．【解答】解：（1）與相切．理由如下：平分，，，，，，，，為的切線；（2）作與，如圖，則，，，，四邊形為矩形，，，在△中，，，，，在△中，，，；（3）是弧的中點，，，，，，△為等邊三角形，同理可得△為等邊三角形，，，，，，，．【點評】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了扇形面積的計算．33．（2023秋?陜州區(qū)期中）如圖，為正方形對角線上一點，以點為圓心，長為半徑的與相切于點．（1）求證：是的切線；（2）若正方形的邊長為10，求的半徑．【分析】（1）首先連接，并過點作，由長為半徑的與相切于點，可得，，然后由為正方形的對角線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可證得，即可判定是的切線；（2）由正方形的邊長為10，可求得其對角線的長，然后由設(shè)，可得，由勾股定理求得，則可得方程，繼而求得答案．【解答】（1）證明：連接，并過點作．切于點，，，又為正方形的對角線，，，即：是的切線．（2）解：正方形的邊長為10，，，，，，，設(shè)，則，，，，解得：．的半徑為：．【點評】此題考查了切線的判定、正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．34．（2023秋?新會區(qū)校級期中）如圖，已知是外一點，交圓于點，，弦，劣弧的度數(shù)為，連接．（1）求的長；（2）求證：是的切線．【分析】（1）首先連接，由弦，劣弧的度數(shù)為，易證得是等邊三角形，則可求得的長；（2）由，是等邊三角形，可求得，即可得，又由等邊三角形的性質(zhì)，，，則可證得，繼而證得是的切線．【解答】（1）解：連接，弦，劣弧的度數(shù)為，弧與弧的度數(shù)為：，，，是等邊三角形，；（2）證明：，，，，是等邊三角形，，，，，點在上，是的切線．補：證明：，，由（1）可知：，，，是直角三角形，，，是的切線．【點評】此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．十一．切線的判定與性質(zhì)35．（2023秋?鐵山區(qū)期中）如圖，點在以為直徑的上，平分，且于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．【分析】（1）如圖1中，連接．只要證明，由，即可推出；（2）過點作于點，得矩形，然后利用勾股定理即可求出半徑的長．【解答】（1）證明：如圖中，連接．，，平分，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖，過點作于點，得矩形，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，，解得．的半徑為．【點評】此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定．36．（2023秋?麒麟?yún)^(qū)校級期中）如圖，，是的弦，平分．過點作的切線交的延長線于點，連接．延長交于點，交于點，連接，．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長．【分析】（1）欲證明是的切線，只要證明，由即可解決問題．（2）先證明，在中利用30度性質(zhì)以及勾股定理即可解決問題．【解答】（1）證明：如圖，連接．為圓的切線．平分，．，，，，，在和中，，，，是的切線；（2），，，，是直徑，，，，在中，，，，．【點評】本題考查切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，發(fā)現(xiàn)特殊角，屬于中考?？碱}型．37．（2023秋?玉環(huán)市校級期中）如圖，是的直徑，點是上一點，的平分線交于點，過點作交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長度．【分析】（1）連接，由等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得出，從而，由得，由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出，由切線的判定定理得出答案；（2）先由相等的圓周角所對的弧相等，進而得出，然后根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)果．【解答】（1）證明：如圖，連接，，則．平分，．．，為直徑，．，，，是的半徑，是的切線；（2）解：平分，．，，在中，，，根據(jù)勾股定理，得，．【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，熟練掌握圓的切線的判定與性質(zhì)及圓中的相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵．38．（2023秋?惠陽區(qū)校級期中）如圖是的外接圓，，延長于，連接，使得，交于．（1）求證：與相切；（2）若，．求的半徑和的長度．【分析】（1）連接，要證明切線，只需證明，根據(jù)，只需得到，根據(jù)圓周角定理即可證明；（2）設(shè)的半徑為，則，，，在中根據(jù)勾股定理可計算出；作于，根據(jù)垂徑定理得，再利用面積法計算出，然后根據(jù)勾股定理計算出，再利用垂徑定理得出．【解答】（1）證明：連接；，，；又，，是的切線．（2）解：設(shè)的半徑為，則，，，在中，，，解得，作于，如圖，，則，，，在中，，，．【點評】本題考查了切線的判定定理．綜合運用了圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、30度的直角三角形的性質(zhì)得到有關(guān)線段之間的關(guān)系，熟練運用平行線分線段成比例定理進行求解．39．（2023秋?中山市期中）如圖，已知是的直徑，點為延長線上一點，，．（1）求證：是的切線．（2）若的半徑為2，求的長．【分析】（1）連接，如圖所示，由，利用等邊對等角得到一對角相等，由的度數(shù)得出的度數(shù)，再由，利用等邊對等角得到一對角相等，確定出的度數(shù)，由為的外角，利用外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，在中，利用三角形的內(nèi)角和定理求出為，可得出為圓的切線，得證；（2）利用弧長公式求解．【解答】（1）證明：連接，如圖所示：，，，又，，，在中，，，可得，即，則為圓的切線；（2），，的長度．【點評】此題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，以及弧長公式的運用，切線的判定方法有兩種：有點連接，證明垂直；無點作垂線，證明垂線段等于半徑．40．（2023秋?廣陽區(qū)校級期中）在等腰中，，以為直徑的分別與，相交于點，，過點作，垂足為點．（1）求證：是的切線；（2）分別延長，，相交于點，，的半徑為6，求陰影部分的面積．【分析】（1）連接，由等腰三角形的性質(zhì)證出，得出，證出，即可得出結(jié)論；（2）證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，求出，由直角三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理得出，陰影部分的面積的面積扇形的面積，即可得出答案．【解答】（1）證明：連接，如圖所示：，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，，陰影部分的面積的面積扇形的面積．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合題，難度中等．十二．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心41．（2023秋?懷仁市校級期中）如圖，點是的內(nèi)心，也是的外心．若，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】連接，，根據(jù)點是的內(nèi)心，，可得，再根據(jù)點也是的外心，和圓周角定理即可解決問題．【解答】解：如圖，連接，，點是的內(nèi)心，，，是，的平分線，，，，點也是的外心，，則的度數(shù)為．故選：．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心與外心的區(qū)別．42．（2023秋?五蓮縣期中）如圖，點是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點，與相交于點，則下列結(jié)論：①；②若，則；③若點為的中點，則；④．其中一定正確的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到，則可對①進行判斷；直接利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)對②進行判斷；根據(jù)垂徑定理則可對③進行判斷；通過證明得到，則可對④進行判斷．【解答】解：是的內(nèi)心，平分，，故①正確；如圖，連接，，是的內(nèi)心，，，，，，故②正確；，，，點為的中點，一定在上，，故③正確；如圖，連接，平分，，，，，，故④正確．一定正確的①②③④，共4個．故選：．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)心與外心．43．（2023秋?東港區(qū)校級期中）在中，，，，直線經(jīng)過的內(nèi)心，過點作，垂足為，連接，則的最小值是．【分析】圓與三邊的切點分別為，，，連接，，，先根據(jù)圓是的內(nèi)切圓，，，，求出正方形的邊長為，根據(jù)勾股定理可得，連接，過點作于點，當點運動到線段上時，取得最小值，再利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：如圖，圓與三邊的切點分別為，，，連接，，，圓是的內(nèi)切圓，，，，，，，，四邊形是正方形，設(shè)正方形的邊長為，則，，根據(jù)題意，得，解得，，，，點在以為直徑的圓上，如圖，連接，過點作于點，當點運動到線段上時，取得最小值，，，圓的半徑，，的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心．44．（2023秋?玄武區(qū)期中）如圖，在中，，，是的內(nèi)切圓，與邊，分別相切于點，，與的延長線交于點，則．【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的定義和切線長定理，可以計算出的度數(shù)和的度數(shù)，然后即可計算出的度數(shù)．【解答】解：連接，，，交于點，，，點為的內(nèi)切圓的圓心，，，，，垂直平分，，，故答案為：．【點評】本題考查三角形內(nèi)切圓、切線長定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．45．