2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高一第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高一第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量

檢測(cè)試題

考生須知：

L本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.

選擇題部分

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知全集0=工2,3,4,5},集合M={1,2,3},N={2,3,4},則J(WnN)=()

A.{5}B.{2,3}

C.{1,4}D.{1,4,5)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)交集和補(bǔ)集的概念計(jì)算即可.

【詳解】?.?集合〃={1,2,3},N={2,3,4},；.河口N={2,3},

又全集U={1,2,3,4,5)，,I(WnN)={1,4,5)

故選：D.

2.下列說法正確的是()

A.VxeR,|x+l|>lB."x>2且y〉3”是“x+y>5”的充要條件

C.3x>0,x3D.》=0"是“x=i”的必要不充分條件

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)充分條件與必要條件的概念可判斷B,D；解方程可判斷C

【詳解】對(duì)于A,VxeR,|x+l|>0,當(dāng)x=—1時(shí)，取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)x>2且y〉3時(shí)，可得x+y>5,充分性成立;

當(dāng)x+y>5時(shí)，不一定有“x>2且y>3"，如x=l,y=6,

則“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由d=—%得武/+1)=0,因?yàn)楸?1/(),所以x=0,

則不存在x>0,使/=-x成立，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,X?—x=0=-=0=x=0或x=1,

則當(dāng)X之一》=0時(shí)不一定有x=l,充分性不成立；

當(dāng)X=1時(shí)，一定有-x=0，必要性成立，

則“必—X=0”是“X=1”的必要不充分條件，故D正確.

故選：D.

3.已知集合［1,。,：}={0,/,。+玨，則/024+62024的值為()

A.0B.1

C.-1D.1或一1

【答案】B

【解析】

【分析】利用集合相等和集合中元素的互異性，以已知的0」為突破口，分類討論求出6的值.

【詳解】集合］1,凡,,={0,。2,。+葉，兩個(gè)集合中元素完全相同，

由QW0,則有2=0,得6=0,有。+6=。，

a

1=/

所以12=0,由集合中元素的互異性，有得。=-1,6=0,

a

a=a+b

貝U有〃024+〃°24=1.

故選：B.

4.設(shè)函數(shù)/(x)=2、—二，則/(x)()

A.是奇函數(shù)，且在(-8,+8)上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-8,+8)上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(-8,+8)上單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在(-8,+8)上單調(diào)遞減

【答案】A

【解析】

【分析】由奇偶性的定義和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論.

【詳解】函數(shù)/(%)=2工—'的定義域?yàn)镽,

2

/(—x)=2__二=1_2、=_12工=-/(X),可得/(X)為奇函數(shù)，

函數(shù)y=2、和y=在(-甩+co)上都單調(diào)遞增，可得/(%)單調(diào)遞增，

故選：A.

5.下列函數(shù)中最小值為4的是()

4

A.y—x?+2x+4B.y=x-\~—

x

C.y=2X+22~XD.y=&+5+/—

VX2+5

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A；當(dāng)x<0時(shí)，即可判斷B；利用基本不等式可判斷C；根據(jù)對(duì)勾

函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,y=/+2x+4為二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=-l,

則x=-1時(shí)，V取最小值3,故A錯(cuò)誤；

,4

對(duì)于B,當(dāng)x<0時(shí)，y=x+—<0,故B錯(cuò)誤；

x

對(duì)于C,2X>0,22-x>0,則〃=2*+22T2242,x22一工=2萬=4，

當(dāng)且僅當(dāng)2X=22T，即x=l時(shí)等號(hào)成立，則y=2'+22f的最小值為4,故C正確；

對(duì)于D,令，丁+5=心也,則丁=/+；,

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)/2指時(shí)，^二/+1■單調(diào)遞增，

t

則/時(shí)，V取最小值罷，故D錯(cuò)誤.

故選：C

—6x

6.函數(shù)y=一^匕的圖象大致為（）

x2+2

【答案】B

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性及特值法可判定選項(xiàng).

一6xr/、6x6xr,、

［詳解］令則/（_》）==—>（"），

x+2（一口+2X+/

—6x

則^==一為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除C、D；

x+2

當(dāng)X=1時(shí)，了=m=—2<0,可排除A,從而B正確.

故選：B.

7.下列命題為真命題的是（）

A.若。>b>0,則a,>be1B.若a>b,貝!Ja?>/

C.若4<b<0,則/>ab〉/D.若a<b,則一>一

ab

【答案】C

【解析】

【分析】對(duì)于ABD：舉反例分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若。=0,則小=兒2=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：若。=11=-1滿足。>6,則/=〃=］,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C：若Q<Z?<0,則。2〉。仇/〉/,即/>仍>〃2,故C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D：若。=-11=1滿足。<6,則▲=—1<1=!，故D錯(cuò)誤;

ab

故選：c.

8.若定義在R上的偶函數(shù)/(x)在(—8,0]上單調(diào)遞減，且/(2)=0,則滿足(x-l)/(x-2)20的x的

取值范圍是()

A.[0,l]U[4,+oo)B.(-<X),-2]U[2,+OO)

C.[0,l]o[2,+?)D.[0,l]U[2,4]

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性得出/(x)取值情況，進(jìn)而解不等式即可.

【詳解】因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)/(x)在(-8,0]上單調(diào)遞減，且/(2)=0,

所以/(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，且/(-2)=0,

所以，當(dāng)2或x22時(shí)，/(x)>0；當(dāng)一2WxW2時(shí)，/(x)<0.

x-l>0x-l<0

不等式(x-l)/(x-2)>0可變形為〈,或4

U(x-2)>0乂[/(x-2)<0,

x-l>0x-l<0

所以或,

x—2<——222—2Vx—2?2

解得x24或0WXW1,即光的取值范圍是[0,1]U[4,+00),

故選：A.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.少選得部分分，錯(cuò)選得0分.

1

9.已知幕函數(shù)/(工)=%5,則以下結(jié)論正確的是(

A./(x)的定義域?yàn)閇0,+8)B./(x)是減函數(shù)

C./(x)的值域?yàn)閇0,+8)D./(x)是偶函數(shù)

【答案】AC

【解析】

1

【分析】由募函數(shù)的性質(zhì)，判斷的定義域值域單調(diào)性和奇偶性.

/(x)=x5

1

【詳解】幕函數(shù)/(盼=%5=4,函數(shù)定義域?yàn)閇0,+8),A選項(xiàng)正確;

1

由累函數(shù)的性質(zhì)可知，/（》）=%5在［°，+8）上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?，+8），

B選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；

函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/（x）不是偶函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.已知集合/={1,2,3,4,5},5={（x,y）|xe4ye4x-ye/},則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.集合A有32個(gè)子集B.（2,l）e5

C.2中所含元素的個(gè)數(shù)為10個(gè)D.（2,3）e8

【答案】ABC

【解析】

【分析】A選項(xiàng)由公式計(jì)算集合的子集個(gè)數(shù)；由定義列舉集合3中的元素，判斷選項(xiàng)BCD.

【詳解】集合A中有5個(gè)元素，則集合A有=32個(gè)子集，A選項(xiàng)正確；

由5={（x,j）|xeA,yeA,x-yeN},

則5={（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）},

8中所含元素的個(gè)數(shù)為10個(gè)，C選項(xiàng)正確；

（2,1）e5,（2,3）05,B選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（乃=!在定義域內(nèi)是減函數(shù)

x

14

B,若x<—,則函數(shù)y=2x+--------的最大值為一3

22x-l

,3

C.若不等式2A%2+區(qū)一一<0對(duì)一切實(shí)數(shù)無恒成立，貝ij-3<左<0

8

D.若x>0,y>0,x+y+xy=3,則x+N的最小值為2

【答案】BCD

【解析】

【分析】對(duì)于A取反例否定；對(duì)于B、D運(yùn)用基本不等式逐一判斷即可；對(duì)于C分兩種情況k=0與左W0

判斷是否恒成立即可

【詳解】對(duì)于A：取X1=1,%=—1,顯然/(西)〉/(%)，所以A不正確;

14

對(duì)于B：/.l-2x>0,y=2x+-----l-2x++1，

22x-l

4I44

因?yàn)?—2x+---->2j(l-2x)-----=4,當(dāng)且僅當(dāng)1—2%=「1時(shí)取等號(hào),

l-2xV7l-2xl~2x

當(dāng)工=一;時(shí)取等號(hào)，所以一(1一2%+7，]4—4

2Il-2xJ

所以y=2x+JT=_[l_2x+丁=]+1V—3,所以B正確;

2x-lIl-2x)

32左<0

對(duì)于C：當(dāng)左=0時(shí),—&<0恒成立；當(dāng)左W0時(shí),則(4=公+3左<0—3〈左<0.

所以—3〈左<0,故C正確;

對(duì)于D：因?yàn)閤>0,y>0,所以由

x+v+xy=3^>3-(x+j)=xy<"+'n(x+y+6)(x+y-2)N0nx+y22,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：BCD.

非選擇題部分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知/(x)的定義域?yàn)閇—1,3],則/(*)的定義域是.

【答案】卜逝,6]

【解析】

【分析】利用抽象函數(shù)定義域的解法求解即可.

【詳解】因?yàn)?(x)的定義域?yàn)閪1,3],

對(duì)于函數(shù)/(一)，需使fe[T3],解得xe[—G,G],

即f(x2)的定義域是[-AV3],

故答案為：[-G,百]

口-3

1C

13.計(jì)算+64-1+160萬+/x25

7

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)事和指數(shù)運(yùn)算可得.

(1Y3

+^4x25

7

1、一3

2石

)

23

31377

=—++4-+2+2X2

4

331

=------+-+8+2

444

41

T

41

故答案為：T

14.設(shè)x>O,y>0,x+2y=2,則的最大值為

(x-2)(j-l)+4

【答案】也

9

【解析】

【分析】利用已知條件化簡，再根據(jù)換元法轉(zhuǎn)化后根據(jù)基本不等式解答即可.

【詳解】門+2了=2,

(x-2)(v-1)+4xy-(x+2j)+2+4xy+4

.?.0</=再44,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=l時(shí)等號(hào)成立,

.而—t_1

"xy+4/+4/+3，

t

y=t—在0,-^—上單調(diào)遞減，

，121

42a,，4、972

??/=3時(shí)Vmin=(/+y)min=，

-(-J—)

,,\4/max

t+~9

的最大值為也.

(x—2XD+49

故答案為：立

9

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了換元法和基本不等式的知識(shí)點(diǎn)，通過“對(duì)勾函數(shù)”求解最值.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步器.

15.已知集合/={x|-2VxVl},5={x[-l<x<2a}.

(1)若a=l,求(1N)U8；

(2)若=求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)Nc8={x|-l<xVl},(耍/2)。8={司》<一2或%>一1}

(2)aV—

2

【解析】

【分析】(1)直接利用集合的運(yùn)算求解即可；

(2)由4n3=3,得B三4,分兩種情況討論求。的取值范圍.

【小問1詳解】

若a=1,則8={x1-1<x<2},

又/={xk2Vx<1},

Zc8={x1-1<x<1}；

：Q/Z={X|X<-2或X>1},

/.&N)u5={x[x<-2或x>-1}.

【小問2詳解】

若=則

當(dāng)8=0時(shí)，有一1之2。，解得。<—,，符合題意;

2

—1<2a11

當(dāng)3/0,由3uZ得I-，解得—<aV—

—2a<122

綜上，a的取值范圍為aV—.

2

16.已知/(x)=|x-a](x-2)+x(x-a>(aeR)

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式/(x)<0的解集；

(2)若/(x)在R上為增函數(shù)，求。的取值范圍.

【答案】(1)("J

(2)[l,+oo)

【解析】

【分析】(1)a=l代入/(x),零點(diǎn)分段去絕對(duì)值，解不等式/(x)<0；

(2)零點(diǎn)分段去絕對(duì)值，把/(x)表示成分段函數(shù)，利用/(x)在R上為增函數(shù)，求。的取值范圍.

【小問1詳解】

,,f2x-2,x<1

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=|x-l|(x-2)+x(x-l)=,

ZX—H-X-rZ,X1

x<1fx>l

/(x)<0等價(jià)于或24°n，解得X<L

2x-2<0[2x-4x+2<0

不等式/(X)<0的解集為(-8,1).

【小問2詳解】

..[2x-2a,x<a

/(x)=I…I(x-2)+M…)=,2_(2+2辦+2a,X*'

/（X）在R上為增函數(shù)，且/（X）的圖象是連續(xù)曲線,

函數(shù)歹=2x-2a在a）上單調(diào)遞增，符合題意;

函數(shù)了=2》2—（2+24卜+20在［2+00）上單調(diào)遞增，則有;解得aNl.

所以。的取值范圍為［1,+8）.

17.某工廠生產(chǎn)某種玩具車的固定成本為15000元，每生產(chǎn)一輛車需增加投入80元.已知總收入R（單

f12

、380x——x2（0<x<500）,

位：元）關(guān)于月產(chǎn)量無（單位：輛）滿足函數(shù)：R>）=2

75000（x>500）.

（1）將利潤尸（單位：元）表示為月產(chǎn)量無（單位：輛）的函數(shù)；

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收入=總成本+利潤）

/、--X2+300X-15000,（0<X<500）,

【答案】⑴尸（x）=2V7

60000-80x,（x>500）.

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為300輛時(shí)，利潤最大，最大利潤為30000元.

【解析】

【分析】（1）利用題中給出的總收入關(guān)于月產(chǎn)量的關(guān)系式，由利潤=總收入-總成本即可得到答案；

（2）分段函數(shù)尸（x）,分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性求出定義區(qū)間內(nèi)的最值，比較即可得到

答案.

【小問1詳解】

由題可知總成本為15000+80x,

1

--X2?+300X-15000(0<X<500)

利潤尸(%)=7?(x)-15000-80x=<,

60000-80x(x>500).

【小問2詳解】

12

當(dāng)04x4500,P(x)=--(x-300y+30000,.?.當(dāng)x=300時(shí)，/(x)有最大值30000；

當(dāng)x>500時(shí)，尸(x)=60000—80x是減函數(shù)，P(x)<60000—80x500=20000.

...當(dāng)x=300時(shí)，有最大值30000,

即當(dāng)月產(chǎn)量為300輛時(shí)，利潤最大，最大利潤為30000元.

114

18.(1)已知Q>0,b>0,且ab=l,求一H---1------的最小值;

aba+b

(2)設(shè)Q>0,b>l,若q+b=2,求一H—匚的最小值；

ab-1

(3)求函數(shù)/@)=3二；的最大值.

【答案】⑴4；

⑵3+2^；

(3)—.

3

【解析】

1144

【分析】(1)由題可將一+—+一化簡為Q+6+——,再利用基本不等式求解即可;

aba+ba+b

(2)利用換元思想，原式可化為2+_L=:二一+—-----,再利用基本不等式即可;

ab-12-bb-1-b2+3b-2

2

Ji_x上工T，可先求g(X)=J'在區(qū)間[-1』上的

(3)由/(')定義域[T』可得/(%)=----—

人十乙(x+2)-(x+2)LJ

最大值，令x+2=/e[l,3],利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解,

【詳解】(1)因?yàn)榍摇?=1,

xi、|l14a+b4/7、4、cE4~.

所以一H1-----=------1------=(Q+/7)H------>2.(a+b)x-----=4，

aba+baba+ba+bVa+b

4

當(dāng)且僅當(dāng)Q+b=——,即Q=6=1時(shí)，等號(hào)成立，

a+b

114

所以—H—H-----的最小值為4.

aba+b

(2)設(shè)Q>0,b>\,若q+b=2,則。=2-6,

2121b1、1rC式

—H-----=------1-----=—；--------=--------->/==3+2/2

2

ab-12-bb-1-b+3b-2_b_1+3-272+3，

b

2廠

當(dāng)且僅當(dāng)6=—,即/,=JI時(shí)等號(hào)成立，

b

2i

所以a=2—時(shí)，—I--的最小值為3+2j^；

ab-1’

2

A/l-Y..]_%220

(3)函數(shù)f(x)=7——有意義,貝第〈。八，解得—

八)x+2[x+2w0

/]_2\I1~X21-V

即函數(shù)/(x)=5二的定義域?yàn)閇-1』，有/(x)=———=

x+2%+2x+2)2'

/i_2/、1—x2「1

求函數(shù)/(x)=YAL三r的最大值，可先求g(x)=^一不在區(qū)間[-1』上的最大值,

x+2(x+2J

令x+2=，e[l,3],則1=/-2,

.//\/\T2+4/—3

故g(x)=%7⑺=—5—

再令；=s￡-,1,則〃⑺=/(s)=-3$2+4s—l=—(3s_°(s_l),

結(jié)合二次函數(shù)的圖象，當(dāng)s=g時(shí)，得G(s)有最大值0=

則時(shí)〃?)有最大值?，從而一;時(shí)/(x)=YE已的最大值為

232x+23

19.已知定義在R上的奇函數(shù)/(》)=華2,且

x+1⑶10

(1)求函數(shù)/(x)的解析式;

(2)判斷/(x)在[-1,1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)g(x)=(》2+1)[/(》)+1]+機(jī)(》+1)-2,若對(duì)\//e[-Li]，有

g(xj<2/(z)成立，求實(shí)數(shù)切的取值范圍.

X

【答案】(1)/(x)=丁匚

(2)單調(diào)遞增，證明見解析

(3)(-oo,-l]

【解析】

【分析】(1)利用函數(shù)為奇函數(shù)且鼻，求出6的值得函數(shù)/(x)的解析式；

(2)定義法判斷并證明/(x)在上的單調(diào)性;

(3)依題意有g(shù)(xJmm〈2/(x2)min，分類討論函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的最小值即可?

【小問1詳解】