2024-2025學(xué)年云南省昆明市五華區(qū)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年云南省昆明市五華區(qū)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=1,貝/在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為8y）,貝）

A.（X+1）2+y2=1B.（x—1）2+y2=1

C.x2+（y-l）2=1D.x2+（y+l）2=1

1

2.已知無，雨都為單位向量，若冕在專上的投影向量為霹，貝口無+專|=（）

A./B.A/3C.2D.3

3.在正方體ABC。-48停1。1中，下列說法錯(cuò)誤的是（）

7T

A.4D1141CBMDi與BD所成角為可

TT

C.〃平面BOQD.與平面ACCi所成角為彳

4.在踐行“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略的過程中，某地大力發(fā)展特色花卉種植業(yè).某農(nóng)戶種植一種觀賞花棄，為了解花

卉的長(zhǎng)勢(shì)，隨機(jī)測(cè)量了100枝花的高度（單位：CM）,得到花枝高度的頻率分布直方圖，如圖所示，貝N）

頻率/組距

A.樣本花卉高度的極差不超過20cm

B,樣本花卉高度的中位數(shù)不小于眾數(shù)

C.樣本花的高度的平均數(shù)不小于中位數(shù)

D.樣本花卉高度小于60on的占比不超過70%

5.設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,則“q>1”是"數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為4,高為體積為7"兀，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）

A.487TB.24TTC.207rD.10TT

7.已知4、B為直線Lt的兩個(gè)定點(diǎn)，\AB\=2,P為1上的動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，%（-3,0）、F2（3,0）,

以Fi為圓心，|PA|為半徑作圓力；以出為圓心，仍用為半徑作圓燈，則兩圓公共點(diǎn)的軌跡方程為（）

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A.x2-^=lB.-y2=1C.普+卷=1D系+川=1

8.已知函數(shù)/(x)=mX和兩點(diǎn)4(1,0),設(shè)曲線y=/(x)過原點(diǎn)的切線為，，S.I//AB,則小所在的

大致區(qū)間為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知函數(shù)/(%)=sinoox+acosa)x(a)>0)的最大值為"，其部分圖象如圖所

示,則()

A.a=1

TT

B.函數(shù)y=/(久一.)為偶函數(shù)

C.y=/(%)在［。洞上有4個(gè)零點(diǎn)，則等〈mV個(gè)

D.當(dāng)xe(0,勺時(shí)，函數(shù)y=盥的值域?yàn)?一1,避)

DCOSX

10.已知函數(shù)/"(%)=x3-ax+2(aER),則()

A./(-2)+/(2)=4

ia

B.若a>0,則/(%)的極大值點(diǎn)為工3

C.若至少有兩個(gè)零點(diǎn)，貝必23

D./(久)在區(qū)間(一8,-(1一1)上單調(diào)遞增

11.拋物線C：產(chǎn)=4久的準(zhǔn)線為過焦點(diǎn)F的直線與C交于4B兩點(diǎn)，分別過4B作/的垂線,垂足分別為

A',B',記△44'F,AA'B'F,△BB'F的面積分別為Si，S2,S3,則()

A.△AB'F為銳角三角形B.S2的最小值為4

C.S1，聶，S3成等差數(shù)列D.S1，聶，S3成等比數(shù)列

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

—.,4-sin2a3耳/，/,兀、

12'已知、cos2a=7則tan(a+.)=

13.在正項(xiàng)數(shù)列｛a九｝中，lnan+1=lnan+2,且。1的=?6,則斯=

14.甲口袋中有標(biāo)號(hào)為1、2、3的三張卡片，乙口袋中有標(biāo)號(hào)為4、5、6、7的四張卡片，從兩個(gè)口袋中不放

回地隨機(jī)抽出三張卡片，每個(gè)口袋至少抽一張，則抽到的三張卡片中至少有一張標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的不同抽法共

有種.(用數(shù)字作答)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

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15.(本小題13分)

在△4BC中，角4、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,且acosB—bcosA=c—b.

(1)求角A

(2)已知4的角平分線交8C于點(diǎn)。，若c=2,AB-AC=4,求4D.

16.(本小題15分)

如圖，在多面體力BC—4/iCi中，力遇，BiB,CiC均垂直于平面ABC,418c=120。，=4,的

B

(1)求證：平面Zi&Ci；

(2)求二面角的正弦值.

17.(本小題15分)

一項(xiàng)沒有平局的對(duì)抗賽分為兩個(gè)階段，參賽者在第一階段中共參加2場(chǎng)比賽，若至少有一場(chǎng)獲勝，則進(jìn)入

第二階段比賽，否則被淘汰，比賽結(jié)束；進(jìn)入第二階段比賽的參賽者共參加3場(chǎng)比賽.在兩個(gè)階段的每場(chǎng)比

賽中，獲勝方記1分，負(fù)方記0分，參賽者參賽總分是兩個(gè)階段得分的總和，若甲在第一階段比賽中每場(chǎng)獲

勝的概率都為p(0<p<1),在第二階段比賽中每場(chǎng)獲勝的概率都為看每場(chǎng)比賽是否獲勝相互獨(dú)立.已知

甲參賽總分為2分的概率為探

⑴求P；

(2)求甲參賽總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.(本小題17分)

設(shè)橢圓c：,+y2=l(a>1)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為4已知=向，其中。為原點(diǎn)，e為橢圓

的離心率.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)，過P作不與坐標(biāo)軸垂直的直線/.

⑷若/與C交于另一點(diǎn)T，E為PT中點(diǎn)，記/斜率為匕0E斜率為心，證明：k?為定值;

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（九）若I與C相切，且與直線x=2相交于點(diǎn)Q,以PQ為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若

否，請(qǐng)說明理由.

19.（本小題17分）

行列式最早起源于對(duì)線性方程組的研究，起初是一種速記的表達(dá)式，發(fā)展到現(xiàn)在已經(jīng)成為一種非常有用的

數(shù)學(xué)工具.已知巾表示二階行列式，規(guī)定fd|=ad-bc;||i.g|表示三分行列式，規(guī)定

W日后|=。底割-6檐制+C或卸設(shè)/（無）=；-X0久.

⑴求f。）；

（2）以4GM（今））為切點(diǎn)，作直線4+1交外幻的圖象于異于4的另一點(diǎn)4+1（g+1/（如+D），其中幾eN.

若第o=O，當(dāng)九21時(shí)，設(shè)點(diǎn)/九的橫坐標(biāo)久n構(gòu)成數(shù)列｛。九｝.

①求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

-1-1-1

②證明：ln（l+|ai+1|）+ln（l+出+1|）+…+M（1+⑸+1|）＜

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參考答案

1.5

2.B

3.0

4.D

5.D

6.C

7.4

8.C

9.BC

IQ.ACD

11.ABD

12-

13/nT

14.26

15.解：(1)因?yàn)閍cosB—bcosZ=c—b,

由正弦定理可得siTL4cos8—s譏BcosA=sinC—sinB,

又A+B=ri—C,貝UsinC=sin(i4+B),

貝IJsiTL4cosB—s譏BcosA=sinAcosB+cosAsinB—sinB,

整理得2cosZs譏B—=0,

因?yàn)?、BG(OX),貝1|s勿8>0,

可得2cosZ-1=0,貝!JcosA=1>

故4=p

(2)因?yàn)閏=2,=p

所以ZB?AC-\AB\?\AC\co^=^bc=b=4,

因?yàn)镾4/BC=ABD+S^ACD'

即17?csi錯(cuò)=|-c?ADsirv^+-ADsirc^,

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即爭(zhēng)C=1c-AD+|b-AD,

整理可得=回￡=%=包但

16.解：（1）證明：過點(diǎn)B在平面4BC內(nèi)作一條直線與BC垂直，

則以B為原點(diǎn)，直線BC為%軸，過點(diǎn)B作直線BC的垂線為y軸，直線B為為z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

???8(0。0),C(2,0,0),

???乙ABC=120°,

???4(-1,m,0)，

???4式—1，避,4),81(0,0,2),”2,0,1),

.-.^=(1-73,2),瓦瓦=(2,0,-1),瓦否=(-1,信2),

(麗=2-2=0

?吐麗?=-1-3+4=0，

日/Bi1B\Ci

即(福)1瓦工’

?*?_LAB\_LB,

又???BiQr3遇1=81，&C1U平面為B1C1，8遇1<=平面&B1C1，

?*?AB1_L平面Ai&Ci；

(2)由(1)可知：福=(1,—8,2),宿=(3,-避,1),B^=(2,0-2),,=(0,0,1),

設(shè)平面43停1的一個(gè)法向量為元1=(%i,yi,zi),

設(shè)平面CB1C1的一個(gè)法向量為元2=(乂2/2/2)，

麗1再質(zhì)，放

則血T打1時(shí)

日口[比1一楠1+2Z1=0(2X2-2Z2=0

?(3%i-避yi+Zi=O'[z2=0

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%i=%2=0

則可取以=5yi=i,

UI=2A/3㈤=o

即丐=(8,5,28),n2=(0,1,0),

設(shè)二面角a-BiCi—c為e,則|cos8|=停普=島,

sind—^/l—cos20=J1—1=

17.解：(1)甲參賽總分為2分有兩種情況：

第一種情況是在第一階段兩場(chǎng)比賽一勝一負(fù)(概率為C切(l-p)),

然后在第二階段三場(chǎng)比賽一勝兩負(fù)(概率為己x9x(1-孑)，

第二種情況是在第一階段兩場(chǎng)比賽全勝(概率為p2),

然后在第二階段三場(chǎng)比賽全負(fù)(概率為(1-93),

所以C如(l-p)xC|x|x(1-1)2+p2x(1-1)3=蒜

1

解得P=萬或2=1,

因?yàn)閛vpv1,

所以P=|；

(2)甲參賽總分X的可能取值為0,1,2,3,4,5,

X=0包括：在第一階段兩場(chǎng)全輸，

則P(X=0)=(1-p)2=(1-1)2=p

x=l包括：在第一階段一勝一負(fù)(概率為C加(1—p)=2x|x|=|),

然后在第二階段三場(chǎng)全輸(概率為(1-》3=捺)，

所以P(X=1)=^*5=5，

由(1)可知P(X=2)=5，

X=3包括：在第一階段兩場(chǎng)全勝(概率為p2=》，

然后在第二階段一勝兩負(fù)(概率為乙x|x(1-1)2=I),此時(shí)Pi=3x9=今

也包括在第一階段一勝一負(fù)(概率為C加(1—p)=2x|x|=|),

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然后在第二階段兩勝一負(fù)(概率為髭X(|)2X此時(shí)P2=

則P(X=3)=/齊申

X=4包括：在第一階段兩場(chǎng)全勝(概率為p2=》,

在第二階段兩勝一負(fù)(概率為髭X(1)2X(1-|)=1),此時(shí)P3=[x齊表,

也包括在第一階段一勝一負(fù)(概率為C加(1—p)=2x|x|=|),

然后在第二階段三場(chǎng)全勝(概率為《)3=畀,此時(shí)P4=5X今=擊，

112

WX=4)

X=5包括：在第一階段兩場(chǎng)全勝(概率為p2=》，

然后在第二階段三場(chǎng)全勝(概率為《)3=務(wù),

所以P(X=5)=[x*=焉,

所以X的分布列為：

X012345

148221

P

42727927108

所以E(X)=0x1+lx^+2x^+3x|+4x^+5xI^=y1|=^.

18.(1)解：因?yàn)闄E圓C：今+必=1缶＞1)的右焦點(diǎn)為凡右頂點(diǎn)為4

貝|J|OF|=c,\0A\=a,\AF\=a-c,

因?yàn)橼A+向=而，

整理可得工-e=e,

e

可得2e2=l,

即至=237=.

1a2a2-

解得a=",

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2

即橢圓C的方程為會(huì)+y2=i.

（2）（i）證明：設(shè)點(diǎn)P（%i，yi）、7（久2，及），

則點(diǎn)E號(hào)尹，歿聆,

因?yàn)橹本€匕不與坐標(biāo)軸垂直，則猶不好，無中禿,

yi-y2中-oyi+丫2

所以々=

%1~%2，%l+、2—0Xl+%2

2

君

一+71=1

馬

因

強(qiáng)

2+y?=1"

將這兩個(gè)等式作差可得/&+濟(jì)-送=0,

yi+y_yj-yj

yi-y221

所以k?k0=

Xl-X2Xl+%2%22

(ii)解:設(shè)P(%o，yo)，

先證明出橢圓今+y2=1在點(diǎn)P處的切線方程為等+y0y=1，

Z/

（^+yoy=i

聯(lián)立J+y2=1，

可得嚶+（1—罷）2=%,

整理可得白2_%0%+1-yl=0,

即#一汽0%+1%o=0，

即（%-％0）2=0,

解得％=第0，

所以橢圓4+y2=l在點(diǎn)P處的切線方程為等+y0y=1,

因?yàn)橹本€罷+y0y=1與直線X=2交于點(diǎn)Q,

則Vo大0,

號(hào)+y0y=1

聯(lián)立，

x=2

可得y1一久0

yo'

即點(diǎn)Q（2,￡）,

由對(duì)稱性可知，以PQ為直徑的圓過x軸上的定點(diǎn)

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則PM1QM,

且由=(m-xo,-yo),QM=(m-2,^^),

2

則西？-QM=(m-x0)(m-2)-(x0-l)=(l-m)x0+(m-l)=0,

所以o，

解得m=1,

因此，以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)M(l,0).

19.解:(1)由題意可得：/(%)=3-x30=川二:°|-o|i°|+3x|iZ?|=x(x2

1—1—%

)+3x(-3+%)=x3+3%2—9%.

(2)①由(1)可知：/(x)=x3+3x2—9%,/'(%)=3x2+6x-9,

則切點(diǎn)410rl潟+3/一9%九)，切線斜率：k=/'(%九)=3%2+6%九一9,

故切線方程為y-(13+3%2-9%n)=(