2024-2025學年云南省昆明市五華區(qū)高三（上）期中數學試卷（含答案）

2024-2025學年云南省昆明市五華區(qū)高三（上）期中數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.設復數z滿足|z-1|=1,貝/在復平面內對應的點為8y）,貝）

A.（X+1）2+y2=1B.（x—1）2+y2=1

C.x2+（y-l）2=1D.x2+（y+l）2=1

1

2.已知無，雨都為單位向量，若冕在專上的投影向量為霹，貝口無+專|=（）

A./B.A/3C.2D.3

3.在正方體ABC。-48停1。1中，下列說法錯誤的是（）

7T

A.4D1141CBMDi與BD所成角為可

TT

C.〃平面BOQD.與平面ACCi所成角為彳

4.在踐行“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略的過程中，某地大力發(fā)展特色花卉種植業(yè).某農戶種植一種觀賞花棄，為了解花

卉的長勢，隨機測量了100枝花的高度（單位：CM）,得到花枝高度的頻率分布直方圖，如圖所示，貝N）

頻率/組距

A.樣本花卉高度的極差不超過20cm

B,樣本花卉高度的中位數不小于眾數

C.樣本花的高度的平均數不小于中位數

D.樣本花卉高度小于60on的占比不超過70%

5.設等比數列｛an｝的公比為q,則“q>1”是"數列｛an｝為遞增數列”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知圓臺的母線長為4,高為體積為7"兀，則圓臺的側面積為（）

A.487TB.24TTC.207rD.10TT

7.已知4、B為直線Lt的兩個定點，\AB\=2,P為1上的動點在平面直角坐標系中，%（-3,0）、F2（3,0）,

以Fi為圓心，|PA|為半徑作圓力；以出為圓心，仍用為半徑作圓燈，則兩圓公共點的軌跡方程為（）

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A.x2-^=lB.-y2=1C.普+卷=1D系+川=1

8.已知函數/(x)=mX和兩點4(1,0),設曲線y=/(x)過原點的切線為，，S.I//AB,則小所在的

大致區(qū)間為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數/(%)=sinoox+acosa)x(a)>0)的最大值為"，其部分圖象如圖所

示,則()

A.a=1

TT

B.函數y=/(久一.)為偶函數

C.y=/(%)在［。洞上有4個零點，則等〈mV個

D.當xe(0,勺時，函數y=盥的值域為(一1,避)

DCOSX

10.已知函數/"(%)=x3-ax+2(aER),則()

A./(-2)+/(2)=4

ia

B.若a>0,則/(%)的極大值點為工3

C.若至少有兩個零點，貝必23

D./(久)在區(qū)間(一8,-(1一1)上單調遞增

11.拋物線C：產=4久的準線為過焦點F的直線與C交于4B兩點，分別過4B作/的垂線,垂足分別為

A',B',記△44'F,AA'B'F,△BB'F的面積分別為Si，S2,S3,則()

A.△AB'F為銳角三角形B.S2的最小值為4

C.S1，聶，S3成等差數列D.S1，聶，S3成等比數列

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

—.,4-sin2a3耳/，/,兀、

12'已知、cos2a=7則tan(a+.)=

13.在正項數列｛a九｝中，lnan+1=lnan+2,且。1的=?6,則斯=

14.甲口袋中有標號為1、2、3的三張卡片，乙口袋中有標號為4、5、6、7的四張卡片，從兩個口袋中不放

回地隨機抽出三張卡片，每個口袋至少抽一張，則抽到的三張卡片中至少有一張標號為偶數的不同抽法共

有種.(用數字作答)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

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15.(本小題13分)

在△4BC中，角4、B、C所對的邊分別是a、b、c,且acosB—bcosA=c—b.

(1)求角A

(2)已知4的角平分線交8C于點。，若c=2,AB-AC=4,求4D.

16.(本小題15分)

如圖，在多面體力BC—4/iCi中，力遇，BiB,CiC均垂直于平面ABC,418c=120。，=4,的

B

(1)求證：平面Zi&Ci；

(2)求二面角的正弦值.

17.(本小題15分)

一項沒有平局的對抗賽分為兩個階段，參賽者在第一階段中共參加2場比賽，若至少有一場獲勝，則進入

第二階段比賽，否則被淘汰，比賽結束；進入第二階段比賽的參賽者共參加3場比賽.在兩個階段的每場比

賽中，獲勝方記1分，負方記0分，參賽者參賽總分是兩個階段得分的總和，若甲在第一階段比賽中每場獲

勝的概率都為p(0<p<1),在第二階段比賽中每場獲勝的概率都為看每場比賽是否獲勝相互獨立.已知

甲參賽總分為2分的概率為探

⑴求P；

(2)求甲參賽總分X的分布列和數學期望.

18.(本小題17分)

設橢圓c：,+y2=l(a>1)的右焦點為F,右頂點為4已知=向，其中。為原點，e為橢圓

的離心率.

(1)求C的方程；

(2)設點P為C上一動點，過P作不與坐標軸垂直的直線/.

⑷若/與C交于另一點T，E為PT中點，記/斜率為匕0E斜率為心，證明：k?為定值;

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（九）若I與C相切，且與直線x=2相交于點Q,以PQ為直徑的圓是否恒過定點？若是，請求出定點坐標；若

否，請說明理由.

19.（本小題17分）

行列式最早起源于對線性方程組的研究，起初是一種速記的表達式，發(fā)展到現(xiàn)在已經成為一種非常有用的

數學工具.已知巾表示二階行列式，規(guī)定fd|=ad-bc;||i.g|表示三分行列式，規(guī)定

W日后|=。底割-6檐制+C或卸設/（無）=；-X0久.

⑴求f。）；

（2）以4GM（今））為切點，作直線4+1交外幻的圖象于異于4的另一點4+1（g+1/（如+D），其中幾eN.

若第o=O，當九21時，設點/九的橫坐標久n構成數列｛。九｝.

①求｛冊｝的通項公式；

-1-1-1

②證明：ln（l+|ai+1|）+ln（l+出+1|）+…+M（1+⑸+1|）＜

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參考答案

1.5

2.B

3.0

4.D

5.D

6.C

7.4

8.C

9.BC

IQ.ACD

11.ABD

12-

13/nT

14.26

15.解：(1)因為acosB—bcosZ=c—b,

由正弦定理可得siTL4cos8—s譏BcosA=sinC—sinB,

又A+B=ri—C,貝UsinC=sin(i4+B),

貝IJsiTL4cosB—s譏BcosA=sinAcosB+cosAsinB—sinB,

整理得2cosZs譏B—=0,

因為4、BG(OX),貝1|s勿8>0,

可得2cosZ-1=0,貝!JcosA=1>

故4=p

(2)因為c=2,=p

所以ZB?AC-\AB\?\AC\co^=^bc=b=4,

因為S4/BC=ABD+S^ACD'

即17?csi錯=|-c?ADsirv^+-ADsirc^,

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即爭C=1c-AD+|b-AD,

整理可得=回￡=%=包但

16.解：（1）證明：過點B在平面4BC內作一條直線與BC垂直，

則以B為原點，直線BC為%軸，過點B作直線BC的垂線為y軸，直線B為為z軸如圖建立空間直角坐標系,

???8(0。0),C(2,0,0),

???乙ABC=120°,

???4(-1,m,0)，

???4式—1，避,4),81(0,0,2),”2,0,1),

.-.^=(1-73,2),瓦瓦=(2,0,-1),瓦否=(-1,信2),

(麗=2-2=0

?吐麗?=-1-3+4=0，

日/Bi1B\Ci

即(福)1瓦工’

?*?_LAB\_LB,

又???BiQr3遇1=81，&C1U平面為B1C1，8遇1<=平面&B1C1，

?*?AB1_L平面Ai&Ci；

(2)由(1)可知：福=(1,—8,2),宿=(3,-避,1),B^=(2,0-2),,=(0,0,1),

設平面43停1的一個法向量為元1=(%i,yi,zi),

設平面CB1C1的一個法向量為元2=(乂2/2/2)，

麗1再質，放

則血T打1時

日口[比1一楠1+2Z1=0(2X2-2Z2=0

?(3%i-避yi+Zi=O'[z2=0

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%i=%2=0

則可取以=5yi=i,

UI=2A/3㈤=o

即丐=(8,5,28),n2=(0,1,0),

設二面角a-BiCi—c為e,則|cos8|=停普=島,

sind—^/l—cos20=J1—1=

17.解：(1)甲參賽總分為2分有兩種情況：

第一種情況是在第一階段兩場比賽一勝一負(概率為C切(l-p)),

然后在第二階段三場比賽一勝兩負(概率為己x9x(1-孑)，

第二種情況是在第一階段兩場比賽全勝(概率為p2),

然后在第二階段三場比賽全負(概率為(1-93),

所以C如(l-p)xC|x|x(1-1)2+p2x(1-1)3=蒜

1

解得P=萬或2=1,

因為ovpv1,

所以P=|；

(2)甲參賽總分X的可能取值為0,1,2,3,4,5,

X=0包括：在第一階段兩場全輸，

則P(X=0)=(1-p)2=(1-1)2=p

x=l包括：在第一階段一勝一負(概率為C加(1—p)=2x|x|=|),

然后在第二階段三場全輸(概率為(1-》3=捺)，

所以P(X=1)=^*5=5，

由(1)可知P(X=2)=5，

X=3包括：在第一階段兩場全勝(概率為p2=》，

然后在第二階段一勝兩負(概率為乙x|x(1-1)2=I),此時Pi=3x9=今

也包括在第一階段一勝一負(概率為C加(1—p)=2x|x|=|),

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然后在第二階段兩勝一負(概率為髭X(|)2X此時P2=

則P(X=3)=/齊申

X=4包括：在第一階段兩場全勝(概率為p2=》,

在第二階段兩勝一負(概率為髭X(1)2X(1-|)=1),此時P3=[x齊表,

也包括在第一階段一勝一負(概率為C加(1—p)=2x|x|=|),

然后在第二階段三場全勝(概率為《)3=畀,此時P4=5X今=擊，

112

WX=4)

X=5包括：在第一階段兩場全勝(概率為p2=》，

然后在第二階段三場全勝(概率為《)3=務,

所以P(X=5)=[x*=焉,

所以X的分布列為：

X012345

148221

P

42727927108

所以E(X)=0x1+lx^+2x^+3x|+4x^+5xI^=y1|=^.

18.(1)解：因為橢圓C：今+必=1缶＞1)的右焦點為凡右頂點為4

貝|J|OF|=c,\0A\=a,\AF\=a-c,

因為贏+向=而，

整理可得工-e=e,

e

可得2e2=l,

即至=237=.

1a2a2-

解得a=",

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2

即橢圓C的方程為會+y2=i.

（2）（i）證明：設點P（%i，yi）、7（久2，及），

則點E號尹，歿聆,

因為直線匕不與坐標軸垂直，則猶不好，無中禿,

yi-y2中-oyi+丫2

所以々=

%1~%2，%l+、2—0Xl+%2

2

君

一+71=1

馬

因

強

2+y?=1"

將這兩個等式作差可得/&+濟-送=0,

yi+y_yj-yj

yi-y221

所以k?k0=

Xl-X2Xl+%2%22

(ii)解:設P(%o，yo)，

先證明出橢圓今+y2=1在點P處的切線方程為等+y0y=1，

Z/

（^+yoy=i

聯(lián)立J+y2=1，

可得嚶+（1—罷）2=%,

整理可得白2_%0%+1-yl=0,

即#一汽0%+1%o=0，

即（%-％0）2=0,

解得％=第0，

所以橢圓4+y2=l在點P處的切線方程為等+y0y=1,

因為直線罷+y0y=1與直線X=2交于點Q,

則Vo大0,

號+y0y=1

聯(lián)立，

x=2

可得y1一久0

yo'

即點Q（2,￡）,

由對稱性可知，以PQ為直徑的圓過x軸上的定點

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則PM1QM,

且由=(m-xo,-yo),QM=(m-2,^^),

2

則西？-QM=(m-x0)(m-2)-(x0-l)=(l-m)x0+(m-l)=0,

所以o，

解得m=1,

因此，以PQ為直徑的圓過定點M(l,0).

19.解:(1)由題意可得：/(%)=3-x30=川二:°|-o|i°|+3x|iZ?|=x(x2

1—1—%

)+3x(-3+%)=x3+3%2—9%.

(2)①由(1)可知：/(x)=x3+3x2—9%,/'(%)=3x2+6x-9,

則切點410rl潟+3/一9%九)，切線斜率：k=/'(%九)=3%2+6%九一9,

故切線方程為y-(13+3%2-9%n)=(