高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題92 概率與統(tǒng)計(jì) 綜合應(yīng)用（解析版）

！2019年高考數(shù)學(xué)（理）高頻考點(diǎn)名師揭秘與仿真測(cè)試92概率與統(tǒng)計(jì)綜合應(yīng)用【考點(diǎn)講解】具本目標(biāo)：（1）理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，認(rèn)識(shí)分布列刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性，會(huì)求某些取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的分布列.（2）了解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.（3）了解條件概率的概念，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.（4）理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡(jiǎn)單問題.（5）借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.（6）了解回歸的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.（7）了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想、方法及其初步應(yīng)用.二、知識(shí)概述：1..古典概型：具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概型：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）為有限個(gè)，且每次試驗(yàn)只能出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果（基本事件）；（2）每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（基本事件）出現(xiàn)的可能性相等.【溫馨提示】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：（1）列舉法；（2）樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求．對(duì)于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法；（3）列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化；（4）排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目．2.幾何概型的基本特性：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限個(gè)；（2）每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（基本事件）出現(xiàn)的可能性相等.3.離散型隨機(jī)變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對(duì)于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其概率分布然后代入相應(yīng)公式計(jì)算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率間的對(duì)應(yīng)．求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合與概率知識(shí)求出取各個(gè)值時(shí)的概率．對(duì)于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．4.二項(xiàng)分布的判斷與應(yīng)用.二項(xiàng)分布，實(shí)際是對(duì)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布.當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對(duì)于總體來說又比較小，而每次抽取時(shí)又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列.5.判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法：（1）利用散點(diǎn)圖直觀判斷；（2）將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)的公式求出，然后根據(jù)的大小進(jìn)行判斷．求線性回歸方程時(shí)，在嚴(yán)格按照公式求解時(shí)，一定要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性．【真題分析】1.【2018年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）A． B． C． D．【解析】不超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種方法，其和等于30的有3種方法，分別是7和23，11和19，13和17，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率為，選C．【答案】C2.【2018年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．【解析】不超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種方法，因?yàn)椋噪S機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故所求概率為，故選C．【答案】C3.【2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例則下面結(jié)論中不正確的是（）A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半【解析】設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M，而新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M，則新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M，而新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A項(xiàng)不正確；新農(nóng)村建設(shè)前其他收入為0.04M，新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B項(xiàng)正確；新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M，新農(nóng)村建設(shè)后為0.6M，所以增加了一倍，所以C項(xiàng)正確；新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的綜合占經(jīng)濟(jì)收入的，所以超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半，所以D正確；故選A．【答案】A4.【2018年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則（）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3【解析】∵，∴或，，，可知，故．故選B．【答案】B5．【2018年高考浙江卷】設(shè)，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012P則當(dāng)p在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，A．D（ξ）減小 B．D（ξ）增大C．D（ξ）先減小后增大 D．D（ξ）先增大后減小【解析】，∴先增大后減小，故選D．【答案】D6．【2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（）A．p1=p2 B．p1=p3C．p2=p3 D．p1=p2+p3【解析】設(shè)，則有，從而可以求得的面積為，黑色部分的面積為，其余部分的面積為，所以有，根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A．【答案】A7.【2017年高考浙江卷】已知隨機(jī)變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1–pi，i=1，2．若0<p1<p2<，則A．<，< B．<，>C．>，< D．>，>【解析】∵，∴，∵，∴，故選A．【答案】A8.【2017年高考山東卷理數(shù)】為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)（單位：厘米）和身高（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為．已知，，．該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24，據(jù)此估計(jì)其身高為（）A．B．C．D．【解析】由已知得則當(dāng)時(shí)，，故選C．【答案】C9.【2018年高考江蘇卷）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為__________．【解析】從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有種方法，其中恰好選中2名女生的方法有種，因此所求概率為．故答案為：．【答案】10.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)0.851.251.51.752設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值．【分析】（Ⅰ）根據(jù)互斥事件的概率公式求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；（Ⅱ）一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，由條件概率公式求解；（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為，求的分布列，再根據(jù)期望公式求解.【解析】（Ⅰ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故（Ⅱ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故又，故因此所求概率為（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為，則的分布列為因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為11.【2016山東理19】甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得分；如果兩人都沒猜對(duì)，則“星隊(duì)”得分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：（1）“星隊(duì)”至少猜對(duì)個(gè)成語(yǔ)的概率；（2）“星隊(duì)”兩輪得分之和為的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）記事件:“甲第一輪猜對(duì)”，記事件：“乙第一輪猜對(duì)”，記事件：“甲第二輪猜對(duì)”，記事件：“乙第二輪猜對(duì)”，記事件：“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”.由題意，由事件的獨(dú)立性與互斥性，，所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為.（2）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得，，，，，.可得隨機(jī)變量X的分布列為012346所以數(shù)學(xué)期望.12.【2016全國(guó)乙理19】某公司計(jì)劃購(gòu)買臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購(gòu)買臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).（1）求的分布列；（2）若要求，確定的最小值；（3）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？【解析】（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為，，，的概率分別為，，，.從而：；；；；；；.所以的分布列為：（2）由（1）知，，，故的最小值為.（3）記表示臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元）.當(dāng)時(shí)，得.當(dāng)時(shí)，.可知當(dāng)時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選.13.【2018年高考北京卷理數(shù)】電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立．（1）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；（2）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；（3）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關(guān)系．【解析】（1）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000，第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50．故所求概率為．（2）設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”，事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”．故所求概率為P（）=P（）+P（）=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．由題意知：P（A）估計(jì)為0.25，P（B）估計(jì)為0.2．故所求概率估計(jì)為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．（3）>>=>>．14．【2018年高考天津卷理數(shù)】已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查．（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（2）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．（ii）設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A發(fā)生的概率為．15．【2017年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，．用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01）．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件知一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，則零件的尺寸在之外的概率為0.0026，而，進(jìn)而可以求出的數(shù)學(xué)期望．（2）（i）判斷監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性，重點(diǎn)是考慮一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率是大還是小，若小即合理；（ii）根據(jù)題設(shè)條件算出的估計(jì)值和的估計(jì)值，剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為的估計(jì)值，剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差，即為的估計(jì)值．【解析】（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故．因此．的數(shù)學(xué)期望為．（2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的．（ii）由，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計(jì)值為10.02．，剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計(jì)值為．【模擬考場(chǎng)】1.【2018年高考江蘇卷】已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為______________．【解析】由莖葉圖可知，5位裁判打出的分?jǐn)?shù)分別為，故平均數(shù)為．【答案】902．【2018年高考江蘇卷】某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為______________．【解析】從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有10種方法，其中恰好選中2名女生的方法有3種，因此所求概率為．【答案】4.【2017年高考江蘇卷】記函數(shù)的定義域?yàn)椋趨^(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率是______________．【解析】由，即，得，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得的概率是．【答案】5.【2017年高考江蘇卷】______________【解析】應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取件，故答案為18．【答案】186．【2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則______________．【解析】由題意可得，抽到二等品的件數(shù)符合二項(xiàng)分布，即，由二項(xiàng)分布的期望公式可得．【答案】7.某廠有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修．每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為．（1）問該廠至少有多少名工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資．每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，就使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤(rùn)，否則將不產(chǎn)生利潤(rùn)．若該廠現(xiàn)有2名工人．求該廠每月獲利的均值．【解析】（1）一臺(tái)機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障可看作一次實(shí)驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中，機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)為事件A，則事件A的概率為；該廠有4臺(tái)機(jī)器就相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為X，則，，，，，則X的分布列為：X01234P設(shè)該廠有n名工人，則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修”為X≤n，則X＝0，X＝1，X＝2，…，X＝n，這n+1個(gè)互斥事件的和事件，則n01234P（X≤n）1∵，∴至少要3名工人，才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%；（2）設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為：18，13，8，P（Y＝18）＝P（X＝0），，；則Y的分布列為：Y18138P則；故該廠獲利的均值為．8.有7位歌手(1至7號(hào))參加一場(chǎng)歌唱比賽，由500名大眾評(píng)委現(xiàn)場(chǎng)投票決定歌手名次．根據(jù)年齡將大眾評(píng)委分為5組，各組的人數(shù)如下：組別ABCDE人數(shù)5010015015050(1)為了調(diào)查評(píng)委對(duì)7位歌手的支持情況，現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評(píng)委，其中從B組抽取了6人，請(qǐng)將其余各組抽取的人數(shù)填入下表.組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6(2)在(1)中，若A，B兩組被抽到的評(píng)委中各有2人支持1號(hào)歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的評(píng)委中分別任選1人，求這2人都支持1號(hào)歌手的概率.【分析】已知總?cè)藬?shù)和各組人數(shù)在第一問中是分層抽樣，抽樣比為eq\f(6,100)，第二問針對(duì)A，B組各選1人．解題目標(biāo)：(1)求各組分層抽樣的人數(shù)．(2)求A，B組中支持1號(hào)的概率．關(guān)系探究：第一問中由B組得出抽樣比，其它各組按這個(gè)抽樣比抽取人數(shù)．第二問把A，B兩組被抽到的人員用字母表示，把事件用符號(hào)表示，由古典概型計(jì)算概率．【解析】(1)由題設(shè)知，分層抽樣的抽取比例為6%，所以各組抽取的人數(shù)如下表：組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993(2)記從A組抽到的3位評(píng)委分別為a1，a2，a3，其中a1，a2支持1號(hào)歌手；從B組抽到的6位評(píng)委分別為b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1號(hào)歌手，從{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有結(jié)果如圖：由樹狀圖知所有結(jié)果共18種，其中2人都支持1號(hào)歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4種，故所求概率P＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).9.在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào)Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績(jī)分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)．某考場(chǎng)考生的兩科考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)等級(jí)為B的考生有10人．(1)求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)；(2)若等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分，求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；(3)已知參加本考場(chǎng)測(cè)試的考生中，恰有2人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A.在至少一科成績(jī)等級(jí)為A的考生中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求這2人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A的概率．設(shè)“隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，這2人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A”為事件M，所以事件M中包含的基本事件有1個(gè)，為(甲，乙)，則P(M)＝eq\f(1,6).10.經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的均值．【解析】(1)當(dāng)X∈[100,130)時(shí)，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.當(dāng)X∈[130,150]時(shí)，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800X－39000，100≤X<130，,65000，130≤X≤150.))(2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57000元當(dāng)且僅