2024-2025學(xué)年上海市某中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

上海市進(jìn)才中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試

高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷

（時(shí)間90分鐘，滿分100分）

2024年11月5日

命題教師畢仁偉審題教師姚紅

一,填空題（本大題共12題，滿分36分，每題3分，請(qǐng)將正確答案直接填寫在答題紙相應(yīng)空格上）

1.函數(shù)y=-=L=的定義域?yàn)榧螦,集合3={0,2,4}，則A'3=.

2.已知指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2,4）,則該指數(shù)函數(shù)的解析式為.

3.已知a>0,化簡〃7.

x+y>0[x>0久_

4.若17，則1，這是一個(gè)______命題.（填“真”或“假”）.

xy>0[y>o

5.已知9e{0,3a,a2卜則實(shí)數(shù)々=.

6.若幕函數(shù)y=（m2-3m+3）xm的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)相=.

7.若關(guān)于x的不等式（無―1）（5—%）K加對(duì)任意xeR恒成立，則m的最小值為.

9.已知實(shí)數(shù)a,。滿足lg（2a+3〃）=lga+lgZ?,則a+3的最小值為.

eR,若x+二一++—K4,則無+y的取值范圍為.

X-1

11.若集合卜卜2+ax+q=2,a力eR}中有且只有3個(gè)元素，且這3個(gè)元素恰為直角三角形的三邊，則4a+3=.

12.設(shè)函數(shù)/(%)=+左=0,左￡R，則下列命題正確的有

-x+3,x>1

①當(dāng)左=3時(shí)，集合M={4,6},

②當(dāng)上上4時(shí),〃=0,

③當(dāng)Af={a,b,c}，則k的取值范圍是（—12,—5）,

④若M={a,仇c,d}（其中a<b<c<d），則3"+3）+c+d=12.

二,選擇題（本大題共4題，每題3分，滿分12分，每小題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填涂在

答題紙對(duì)應(yīng)位置。）

13.如圖是塞函數(shù)y=V的部分圖像，已知a分別?。?4,-4，-;這四個(gè)值，則與曲線C},C2,C3,C4相應(yīng)的a依次為

11,“11

A.4,—4B,-4,--,—,4

4444

1,11”1

C.--,4,-4,—D.4,—4,--

4444

14.已知集合74={%[1<%<2},5={1[1<%<7〃},若504,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（2,+8）B.（l,2]C.（—oo,2]D.[2,+oo）

15.已知上wR,則“對(duì)任意a、Z?eR,都有片+/上族人”是“左〈2”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

16.已知a,。，c是三角形的三邊，對(duì)于代數(shù)式—+—+—，有下列說法：

b+ca+ca+b

3

①有最小值一，②有最大值3,則（）

2

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，為②假命題D.①為假命題，②為真命題

三,解答題（本大題共5題，滿分52分，解答要有詳細(xì)的論證過程與運(yùn)算步驟,請(qǐng)將解答過程寫在答題紙對(duì)

應(yīng)位置。）

17.（本題滿分8分，第1小題滿分4分,第二小題滿分4分）

已知函數(shù)/（%）="（其中。>0,且a2l）.

（1）若/（b）+/（―b）=3,求/（?）+/（必）的值.

（2）求關(guān)于x的方程/（2x）-2/（x）+l=0的解

18.（本題滿分8分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分）

117

（1）己知2*=6〉=2平=/>1,求證：-----=-.

zyx

（2）證明：log20242025是無理數(shù).

19.（本小題滿分10分，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分）

隨著城市居民汽車使用率的增加，交通擁堵問題日益嚴(yán)重，而建設(shè)高架道路，地下隧道以及城市軌道公共運(yùn)輸系統(tǒng)等是解

決交通擁堵問題的有效措施.某市城市規(guī)劃部門為提高早晚高峰期間某條地下隧道的車輛通行能力，研究了該隧道內(nèi)的

車流速度v（單位：千米/小時(shí)）和車流密度x（單位：輛/千米）所滿足的關(guān)系式：

60,0<x<30

v2450.研究表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到105輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)車流速度是。千米/

70--------,30<%<105

I140-%

小時(shí).

（1）若車流速度v不小于20千米/小時(shí)，求車流密度x的取值范圍，

（2）隧道內(nèi)的車流量y（單位時(shí)間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù),單位：輛/小時(shí)）滿足y=求隧道內(nèi)車流量的最大值（精

確到1輛/小時(shí)），并指出當(dāng)車流量最大時(shí)的車流密度（精確到1輛/千米）.

20.（本題滿分13分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分5分）

已知函數(shù)〃力=k—24+a.

（1）若不等式/（x）<6的解集為（0,8）,求0的值，

（2）當(dāng)a=3時(shí),若存在/eR,使得/（%）</—/（—1）,求才的取值范圍，

⑶若/（%）之砒,對(duì)任意xeR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

21.（本題滿分13分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分5分）

若函數(shù)y=f（x）對(duì)任意的xeR均有"x—l）+/（x+l）>2/（x）,則稱函數(shù)具有性質(zhì)P.

（1）判斷函數(shù)y=ax（a>1）是否具有性質(zhì)尸,并說明理由，

Xx卜X

（2）全集為R,函數(shù)g（尤）=<2-G1一，試證明y=g（x）具有性質(zhì)尸.

X。

,x

（3）y=/（力具有性質(zhì)尸,且/（0）=/（"）=0（九>2,九€2,求證：對(duì)任意1〈左〈〃一1,kwN均有/（左）KO.

上海市進(jìn)才中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試

高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷參考答案

(時(shí)間90分鐘，滿分100分)

2024年11月5日

一,填空題(本大題共12題，滿分36分，每題3分，請(qǐng)將正確答案直接填寫在答題紙相應(yīng)空格上)

1.{4}.2.y=2、'3.a4.真5.—3

6.27.48.-59.-5+2y/610.[2,3]

11.-212.①④

二,選擇題(本大題共4題，每題3分，滿分12分，每小題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填涂在

答題紙對(duì)應(yīng)位置。)

13.A14.C15.A16.C

三,解答題(本大題共5題，滿分52分，解答要有詳細(xì)的論證過程與運(yùn)算步驟,請(qǐng)將解答過程寫在答題紙對(duì)

應(yīng)位置。)

17.⑴解：f(b)+f(-b)=ab+ah=3.

則(/+〃)2=消+戶+2=9.

所以/(23)+/(―2與=j+a~2b=7

(2)解：/(2x)-2/(x)+1=a2x-2ax+1=0.

貝.優(yōu)一I)?=0.

所以優(yōu)=1.

所以尤=0

18.(1)證：x=log21,y=log61,z=log241.

左式=----=log,24-log,6=log,4.

log241log61

右式=—--=21ogf2=log,4.

log2?

所以左式=右式.

(2)證：假設(shè)log2G242025是有理數(shù)

則log2?！?025=R淇中R為既約分?jǐn)?shù).

qq

p_

則2024,=2025.

則2024P=2025g.

這與2024”為偶數(shù),2025’為奇數(shù)相矛盾.

所以假設(shè)不成立，所以log20242025是無理數(shù).

19.(1)解:當(dāng)0<x430時(shí),v=60220,符合題意，

2450

當(dāng)30<x4105時(shí)，令70------------220,解得1491,所以30<%〈91.

140-x

所以，若車流速度v不小于20千米/小時(shí)，則車流密度x的取值范圍是(0,94

60x,0<x<30

(2)解：由題意得丁=2450%_/…，

70%-------------,30<%<105

I140—x

當(dāng)0<x430時(shí),y=60x為增函數(shù)，所以y?1800,當(dāng)x=30時(shí)等號(hào)成立,

當(dāng)30<x4105時(shí),y=70x—^1^=7o|x—35%-35x140+35x140

140-%

4900

=70x++35

x—140

“，，八4900…

=70X-140H-------------1-175

_x—140

4900

又因?yàn)?40—x+>140

140-x

所以yW70(-140+175)=2450

4900

當(dāng)且僅當(dāng)140—x即x=70時(shí)等號(hào)成立.

140-x

所以，隧道內(nèi)車流量的最大值為2450輛/小時(shí)，此時(shí)車流密度約為70輛/千米.

20.(1)解：不等式/(%)<6的解集為(0,8),

所以卜—2a|<6—a的解集為(0,8),

由,一24<6-a,可得a—6<x-2a<6—求得3a—64x46+a,

故有3a—6=0,6+a=2,

故a=2.

(2)解：當(dāng)a=3時(shí),/(%)二上一6|+3,

存在毛eR,使得了(%0)〈/―/(一%)

存在％eR,使得+

令g(x)=/(x)+/(f)=卜-6|+卜+6|+6

故g(x)的最小值＜?.

|x—6|+|x+6|+6218,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)工￡卜6,6]

g(%)的最小值為18.

故使”力4%)有解的實(shí)數(shù)1的范圍為[18,zo).

(3)解：,一2同+〃2辦

貝生-24>ax-a

貝Ux-ZiNav—a或無一勿—

(1一〃)%2〃或(1+〃)]?3〃.

①當(dāng)。>1時(shí)XV，一或x<M-解集不為R(舍)

1—Cl1+6Z

3

②當(dāng)〃=1時(shí)021或入?—,解集不為R(舍)

2

③當(dāng)—1<。<1時(shí)x2，一或x<上,解集為R

1—a1+a

Q1

則產(chǎn)</，所以為。—a)〈a(i+a),解得0<a<5

④當(dāng)a=—1時(shí)—4或0<—3,解集不為R(舍)

2

⑤當(dāng)。<一1時(shí)x2，一或生，解集不為R(舍)

1—a1+a

綜上：。的取值范圍是0,-

_2_

21.(1)y=a*(a>l),

則/(.v-l)+/(x