新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練專題11 平面向量小題全歸類（13大核心考點(diǎn)）（講義）（解析版）

專題11平面向量小題全歸類【目錄】 ④三角形的重心分中線兩段線段長(zhǎng)度比為2:1，且分的三個(gè)三角形面積相等．2、奔馳定理：若，則；3、垂心定理：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn)故點(diǎn)O是的垂心，則一定有．，即，以此類推即可證明．4、外心向量定理：（1），；；（2），，；（3），，5、內(nèi)心定理①角平分線的交點(diǎn)，到三條邊的距離相等；②；③例34．（多選題）（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈九中?？计谀氨捡Y定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的是（

）．A．若，則O為的重心B．若，則C．若O為（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A，設(shè)的中點(diǎn)為D，則，即三點(diǎn)共線，則，設(shè)為的中點(diǎn)，同理可得，故O為的重心，A正確；對(duì)于B，若，結(jié)合，可知，B正確；對(duì)于C，，，，又O為（不為直角三角形）的垂心，設(shè)延長(zhǎng)后交與G，則,同理，則，即，同理，故，同理，又，，又O為（不為直角三角形）的垂心，則，故，即，同理，則，同理，故，又，可得，C正確；對(duì)于D，中，，，則，又，故，則，故，D錯(cuò)誤，故選：ABC例35．（多選題）（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)，分別是的外心?垂心，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若且，則B．若，且，則C．若，，則的取值范圍為D．若，則【答案】BCD【解析】A.由，可知，點(diǎn)共線，又可知，點(diǎn)在的角平分線上，所以為的角平分線，與不一定相等，故A錯(cuò)誤；B.若，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)又是的外心，所以，，故B正確；C.因?yàn)?，所以，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，得，，，，，，則，故C正確；D.因?yàn)椋?，即，則，同理，，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，則，，即，則，，，故D正確.故選：BCD例36．（多選題）（2023·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）已知的重心為，外心為，內(nèi)心為，垂心為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若是中點(diǎn)，則B．若，則C．與不共線D．若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，連接，所以，所以，可得，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)辄c(diǎn)為外心，所以，所以，若，則，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)為垂心，所以，因?yàn)?，所以，而，所以與共線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，分別做、交、于、點(diǎn)，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可得，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，所以，，所以，即①，，所以，即②，由①②可得，在中由余弦定理可得，因?yàn)?，可得，所以，故D正確.故選：ABD.例37．（多選題）（2023·遼寧·高三朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在所在的平面上存在一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過(guò)的外心B．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過(guò)的垂心C．若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過(guò)的重心D．若，，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的外心【答案】ABD【解析】若，根據(jù)向量共線的推論知：共線，即在直線上，中，則的中點(diǎn)為三角形外心，故有可能為外心，A錯(cuò)；中或，則或?yàn)槿切未剐模视锌赡転榇剐模珺錯(cuò)；若為的重心，必有，此時(shí)，C對(duì)；若，，結(jié)合，則點(diǎn)在一個(gè)以AB、AC為鄰邊的平行四邊形內(nèi)（含邊界），為銳角三角形，其外心在內(nèi)，則必過(guò)外心；為直角三角形，其外心為斜邊中點(diǎn)，則必過(guò)外心；為鈍角三角形且，其外心在外，即邊的另一側(cè)，如下圖示，點(diǎn)在平行四邊形內(nèi)（含邊界），此時(shí)，當(dāng)外心在內(nèi)（含邊界），則必過(guò)外心；當(dāng)外心在外（如下圖為的中垂線），則不過(guò)外心；所以，，，的軌跡不一定過(guò)的外心，D錯(cuò).故選：ABD例38．（多選題）（2023·福建福州·高一福建省福州格致中學(xué)校考期末）已知為所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為銳角的外心，且，則C．若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的重心D．若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的內(nèi)心【答案】ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，又因?yàn)闉榈拇剐模?，所以，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)榍?，所以，整理得：，即，設(shè)為中點(diǎn)，則，所以三點(diǎn)共線，又因?yàn)?，所以垂直平分，故，正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由正弦定理得，所以，設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，所以三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在邊的中線上，故點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的重心，正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，所以，所以，即，所以，故在中垂線上，故點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的外心，錯(cuò)誤.故選：ABC考點(diǎn)十一：阿波羅尼斯圓問(wèn)題在平面上給定兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，稱之為阿波羅尼斯圓（時(shí)點(diǎn)的軌跡是線段AB的中垂線）．例39．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，即，整理得，又，所以，即，所以，即，又，所以?dāng)與反向時(shí)，取得最大值，且最大值為.故選：D.例40．（2023·貴州貴陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A、B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P與A、B距離之比為，當(dāng)面積最大時(shí)，（

）A． B． C．8 D．16【答案】B【解析】由題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以過(guò)垂直于直線的直線為軸，建立坐標(biāo)系，則，設(shè)，故，則，整理可得：，即的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，如下圖：由共線，則當(dāng)時(shí)，的面積最大，不妨設(shè)在第一象限，此時(shí)，可得，，.故選：B.例41．（2023·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為3，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的范圍為.【答案】【解析】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以?設(shè)，因?yàn)椋?，整理得，?.又，則，則.故答案為：考點(diǎn)十二：平行四邊形大法1、中線長(zhǎng)定理2、為空間中任意一點(diǎn)，由中線長(zhǎng)定理得：兩式相減：例42．如圖，C，D在半徑為1的上，線段是的直徑，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】以點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，則，，則，其中，所以的最大值為：，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，最小值為，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，綜上，的取值范圍為.故答案為：.例43．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）半徑為的兩圓和圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的取值范圍為_______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)在圓上，所以，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)、同向且、反向時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，所以，，所以，，所以，，因?yàn)椋瑒t，故當(dāng)且四邊形為菱形時(shí)，，因此，.故答案為：.例44．如圖，圓是半徑為1的圓，，設(shè)，為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】連接，，設(shè)是線段的中點(diǎn)，連接，則有.設(shè)為和的夾角.則，，（當(dāng)即時(shí)取等）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值.，（當(dāng)即時(shí)取等）當(dāng)時(shí)，有最大值為3，即有最大值3，所以的取值范圍是.故答案為：考點(diǎn)十三：向量對(duì)角線定理例45．已知平行四邊形，，，，與交于點(diǎn)，若記，，，則（）B．C．D．【答案】C【解析】由對(duì)角線向量定理得，所以，而，所以，選擇C．例46．如圖，在圓中，若弦，弦，則的值是（） B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，由對(duì)角向量定理得所以選D．例47．如圖，在四邊形ABCD中，，若，，，則等于（）A．