高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章數(shù)列5閱讀與欣賞（五）教案理

5閱讀與欣賞（五）解決數(shù)列問(wèn)題的七大常用技巧巧用性質(zhì)減少運(yùn)算等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式中均涉及多個(gè)量，解題中可以不必求出每個(gè)量，從整體上使用公式．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SkSk＋1<0的正整數(shù)k＝__________．[思路點(diǎn)撥]利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)．【解析】依題意得a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6<0，a6＋a7＝S7－S5>0，則S11＝eq\f(11（a1＋a11）,2)＝11a6>0，S12＝eq\f(12（a1＋a12）,2)＝eq\f(12（a6＋a7）,2)>0，S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝13a7<0，所以S12S13<0，即滿足SkSk＋1<0的正整數(shù)k＝12.【答案】12巧用升降角標(biāo)法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化在含有an，Sn對(duì)任意正整數(shù)n恒成立的等式中，可以通過(guò)升降角標(biāo)的方法再得出一個(gè)等式，通過(guò)兩式相減得出數(shù)列遞推式，再根據(jù)遞推式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式和解決其他問(wèn)題．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解】當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋1＝2Sn＋3，得an＝2Sn－1＋3，兩式相減，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，所以an＋1＝3an，所以eq\f(an＋1,an)＝3.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，則eq\f(a2,a1)＝3.所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．所以an＝3×3n－1＝3n.巧用不完全歸納找規(guī)律解數(shù)列問(wèn)題時(shí)要注意歸納推理的應(yīng)用，通過(guò)數(shù)列前面若干項(xiàng)滿足的規(guī)律推出其一般性規(guī)律．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos[(n＋1)π]，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2018＝__________．[思路點(diǎn)撥]根據(jù)遞推式計(jì)算數(shù)列的前面若干項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后求S2018的值．【解析】由a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos[(n＋1)π]，得a2＝a1＋cos2π＝1＋1＝2，a3＝－a2＋cos3π＝－2－1＝－3，a4＝a3＋cos4π＝－3＋1＝－2，a5＝－a4＋cos5π＝2－1＝1，…由此可知，數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2，所以S2018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2017＋a2018＝504×(－2)＋a1＋a2＝－1005.【答案】－1005巧用輔助數(shù)列求通項(xiàng)已知數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，基本思想就是通過(guò)變換遞推式把其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列(輔助數(shù)列)，求出輔助數(shù)列的通項(xiàng)，再通過(guò)變換求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式．(1)當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋m(n≥2)時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；(2)當(dāng)出現(xiàn)an＝xan－1＋y(n≥2)時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列．(1)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－4an＝3×2n＋1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(an,an＋3)(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解】(1)由an＋1－4an＝3×2n＋1得，eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(2an,2n)＝3，設(shè)bn＝eq\f(an,2n)，則bn＋1＝2bn＋3，設(shè)bn＋1＋t＝2(bn＋t)，所以2t－t＝3，解得t＝3，所以bn＋1＋3＝2(bn＋3)，所以eq\f(bn＋1＋3,bn＋3)＝2，又b1＋3＝eq\f(a1,2)＋3＝1＋3＝4，所以數(shù)列{bn＋3}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以bn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－3，所以an＝bn·2n＝(2n＋1－3)×2n＝22n＋1－3×2n.(2)因?yàn)閍n＋1＝eq\f(an,an＋3)(n∈N*)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(3,an)＋1，設(shè)eq\f(1,an＋1)＋t＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋t))，所以3t－t＝1，解得t＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,an＋1)＋eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋\f(1,2)))，又eq\f(1,a1)＋eq\f(1,2)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋\f(1,2)))是以eq\f(3,2)為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以eq\f(1,an)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)×3n－1＝eq\f(3n,2)，所以an＝eq\f(2,3n－1).巧用裂項(xiàng)求和裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和的基本方法之一，在通項(xiàng)為分式的情況下，注意嘗試裂項(xiàng)，裂項(xiàng)的基本原則是an＝f(n)－f(n＋1)．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3，若數(shù)列{Sn＋1}是公比為4的等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(an＋1,（an＋1－3）·Sn＋1)，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.[思路點(diǎn)撥](1)先求Sn，再利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求an；(2)把通項(xiàng)分解為兩項(xiàng)的差，再消項(xiàng)求和．【解】(1)由題意知Sn＋1＝(S1＋1)·4n－1＝4n，所以Sn＝4n－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1，且a1＝3滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3·4n－1.(2)bn＝eq\f(an＋1,（an＋1－3）·Sn＋1)＝eq\f(4n,（4n－1）（4n＋1－1）)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4n－1)－\f(1,4n＋1－1)))，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,41－1)－\f(1,42－1)))＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,42－1)－\f(1,43－1)))＋…＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4n－1)－\f(1,4n＋1－1)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,41－1)－\f(1,4n＋1－1)))＝eq\f(1,9)－eq\f(1,3（4n＋1－1）).巧用分組妙求和分組求和方法是分類(lèi)與整合思想在數(shù)列求和問(wèn)題中的具體體現(xiàn)，其基本特點(diǎn)是把求和目標(biāo)分成若干部分，先求出部分和，再整合部分和的結(jié)果得出整體和．(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2018＝____________．(2)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝22n＋1，令bn＝(－1)n－1×eq\f(4（n＋1）,log2anlog2an＋1)，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝____________．【解析】(1)由an＋1·an＝2n，得an＋1·an＋2＝2n＋1，則eq\f(an＋1·an＋2,an·an＋1)＝2，即eq\f(an＋2,an)＝2，所以數(shù)列a1，a3，a5，…，a2k＋1，…是以a1＝1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；數(shù)列a2，a4，a6，…，a2k，…是以a2＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則S2018＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2018)＝eq\f(1－21009,1－2)＋eq\f(2（1－21009）,1－2)＝3×21009－3.(2)由題意得bn＝(－1)n－1eq\f(4（n＋1）,log2anlog2an＋1)＝(－1)n－1eq\f(4（n＋1）,（2n＋1）（2n＋3）)＝(－1)n－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)＋\f(1,2n＋3)))，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋\f(1,7)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)＋\f(1,2n＋3)))＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2n＋3)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,5)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋\f(1,7)))＋…－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)＋\f(1,2n＋3)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2n＋3)，所以Tn＝eq\f(1,3)－(－1)neq\f(1,2n＋3).【答案】(1)3×21009－3(2)eq\f(1,3)－(－1)neq\f(1,2n＋3)巧用特值驗(yàn)算保準(zhǔn)確使用“錯(cuò)位相減法”求和的方法學(xué)生都能夠掌握，但求解的結(jié)果容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，應(yīng)該在求出結(jié)果后使用a1＝S1進(jìn)行檢驗(yàn)，如果出現(xiàn)a1≠S1，則說(shuō)明運(yùn)算結(jié)果一定錯(cuò)誤，這時(shí)可以檢查解題過(guò)程找出錯(cuò)誤、矯正運(yùn)算結(jié)果．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(3n－1,2n)，則其前n項(xiàng)和Sn＝__________．【解析】Sn＝eq\f(2,21)＋eq\f(5,22)＋eq\f(8,23)＋…＋eq\f(3n－1,2n)，2Sn＝2＋eq\f(5,2