河北省承德市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷【含答案解析】

承德市高三年級期中考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容（不含圓錐曲線、統(tǒng)計(jì)、概率）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出集合，再根據(jù)交集定義求解.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：C.2.如圖，在下列正方體中，M，N為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，P，Q分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，M，N，P，Q四點(diǎn)共面的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖形及平行公理判斷即可.【詳解】對于A：顯然、、在正方體的上底面，且三點(diǎn)不共線，不在正方體的上底面，所以、、、四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；對于B：如圖，，即、、、四點(diǎn)共面，即、、三點(diǎn)共面，且三點(diǎn)不共線，又平面，所以、、、四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；對于C：顯然、、在正方體的下底面，且三點(diǎn)不共線，不在正方體的下底面，所以、、、四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤；對于D：如圖，連接，則，又，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，故D正確故選：D3.設(shè)是無窮數(shù)列，記，則“是等比數(shù)列”是“是等比數(shù)列”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】分別從非充分性和非必要性兩方面分析.【詳解】非充分性：若的項(xiàng)為1，1，1，1，…，則的項(xiàng)為0，0，0，0，…．此時(shí)是等比數(shù)列，但不是等比數(shù)列．非必要性：若的項(xiàng)為1，1，1，1，…，則．此時(shí)是等比數(shù)列，但是公差為1的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列．所以“是等比數(shù)列”是“是等比數(shù)列”的既不充分也不必要條件．故選：D．4.已知平面向量，滿足，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式得到方程，求出，進(jìn)而由向量夾角余弦公式求出，得到夾角.【詳解】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，即，所以，又，，所以，且，則．故選：B．5.在棱長為2的正四面體中，為棱AD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將立體圖形展開為平面圖形可確定最小時(shí)，點(diǎn)E位置，然后可得體積.【詳解】將側(cè)面如圖展開，由平面幾何性質(zhì)可得，當(dāng)為AD的中點(diǎn)時(shí)，滿足題意.又如圖，過A向平面BCD作垂線，垂足為O，則O為中心，連接OC，則OC為外接圓半徑，由正弦定理，.則正四面體的高為，又E為AD中點(diǎn)，所以．故選：A．6.已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性和奇偶性得到，根據(jù)基本不等式“1”的妙用求解最小值，【詳解】的定義域?yàn)镽，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞增，由，得，則，即，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值是．故選：B．7.如圖，圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)C，B在圓O上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，．若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義得到三角函數(shù)值，然后利用二倍角公式和輔助角公式計(jì)算.【詳解】，，圓的半徑為1．根據(jù)三角函數(shù)的定義，易得，，又，為等邊三角形，則，且為銳角，．故選：A．8.設(shè)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，，，，對任意的整數(shù)x，y均有，則（）A.0 B.1012 C.2024 D.4048【答案】B【解析】【分析】由條件，利用賦值分別求出，，，并得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，得到函數(shù)的周期，進(jìn)而通過分類討論求解即可.【詳解】令，則，∴．令，則，又，．令，則，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．令，則，∴∴的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．∴，∴是周期的函數(shù)．又，，，，∴當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，也為偶數(shù)，此時(shí)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，，則．．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是通過對抽象函數(shù)關(guān)系進(jìn)行賦值法求出特殊函數(shù)值，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的周期，利用函數(shù)周期性結(jié)合分類討論思想來求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知為等邊三角形，直線，的斜率分別為，，則（）A.直線的斜率為 B.邊上的高所在直線的斜率為C.邊上的高所在直線的傾斜角為 D.邊上的高所在直線的傾斜角為【答案】ABC【解析】【分析】將三角形的頂點(diǎn)放到坐標(biāo)原點(diǎn)，畫出圖象，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)及直線的斜率、傾斜角的定義判斷即可.【詳解】依題意，不妨將三角形的頂點(diǎn)放到坐標(biāo)原點(diǎn)，則在軸上（如下圖所示），則，所以直線的斜率為，故A正確；因?yàn)檫吷系母咭矠榈钠椒志€，所以邊上的高所在直線的斜率為，故B正確；邊上的高所在直線的傾斜角為，故C正確；邊上的高所在直線的傾斜角為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.設(shè)函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程為B.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)C.若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則D.若，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】A由題可得點(diǎn)處的切線方程的斜率和，即可得切線方程；B，由題可得，，即可判斷選項(xiàng)正誤；C，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)整根，即可得取值范圍；D，可化為，后由及單調(diào)性可得的取值范圍.【詳解】對于A，設(shè)切線方程為：.當(dāng)時(shí)，，則，，即切線方程為，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，；或.則在上遞增，在上遞減，得，，又注意到當(dāng)趨近于負(fù)無窮大時(shí)，趨近于正無窮大，趨近于正無窮大時(shí)，趨近于負(fù)無窮大，則分別在上有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對于C，，，令，因有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不等正根，，故C錯(cuò)誤；對于D，，即，可化為，令，因，則hx在0,+∞上單調(diào)遞增，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，則，即，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于三次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，常利用函數(shù)極大值與函數(shù)極小值存在性及符號可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；極值點(diǎn)相關(guān)問題，常轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題解決；指對函數(shù)含參問題，常利用指對互化以產(chǎn)生相同結(jié)構(gòu)，從而簡化問題.11.如圖，在棱長為2正方體中，是的中點(diǎn)，（與點(diǎn)不重合）是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.平面平面B.若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分C.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作該正方體的外接球的截面，其截面面積的最小值為D.線段AD繞旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，AD與所成角的正切值的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)：由線面垂直證明面面垂直；B選項(xiàng)：由角與角相等轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)，由平行于軸的平面與圓錐的截面是雙曲線的一支可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分；C選項(xiàng)：由向量關(guān)系找到點(diǎn)的位置，因?yàn)榍蛐牡矫娴木嚯x最大時(shí)，截面面積最小，所以為截面圓心，勾股定理求出得到截面圓半徑，求得最小截面面積；D選項(xiàng)：旋轉(zhuǎn)得到的圓錐與旋轉(zhuǎn)軸夾角恒為，在正方體中求出角的正切值，從而找到旋轉(zhuǎn)過程中形成的最大角和最小角，從而求出范圍.【詳解】對于A，在正方形中，，在正方體中平面，∵平面，∴，∵，∵平面，平面，∴平面，同理可證平面，∵平面，平面，∴，，且，平面，平面，∴平面，平面，所以平面平面，故A正確；對于B，滿足條件的點(diǎn)應(yīng)在以AM為旋轉(zhuǎn)軸，繞其旋轉(zhuǎn)所得的圓錐的側(cè)面上，旋轉(zhuǎn)軸AM與平面平行，又是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支的一部分，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，如圖1，易知正方體的外接球的球心為正方體的中心，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，∵，，則，球的半徑若要截面面積最小，需球心到截面的距離最大，最大為OP，此時(shí)，故C正確；對于D，線段繞旋轉(zhuǎn)一周后得到一個(gè)母線與旋轉(zhuǎn)軸所成的角為的圓錐，設(shè)，，，在旋轉(zhuǎn)過程中，與所成的角在如圖2所示的軸截面內(nèi)分別取得最值，，，所以在旋轉(zhuǎn)過程中，與所成角的正切值的取值范圍為，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間圖像中角的旋轉(zhuǎn)會(huì)形成一個(gè)圓錐，因?yàn)閳A錐母線和旋轉(zhuǎn)軸夾角不變，所求的另一條直線與旋轉(zhuǎn)軸夾角也為固定值，所以三線共面時(shí)，兩直線夾角取最大和最小值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.將扇形紙殼OCD剪掉扇形OAB后得到扇環(huán)，，，如圖1，用扇環(huán)制成一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面，如圖2，則該圓臺(tái)的高為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓臺(tái)的上下底面圓半徑，再利用等腰梯形的性質(zhì)求出高.【詳解】依題意，圓臺(tái)上底面圓周長為，則圓臺(tái)上底半徑，圓臺(tái)下底面圓周長為，則圓臺(tái)下底半徑，圓臺(tái)軸截面等腰梯形，上下底邊長分別為，，腰長為，所以圓臺(tái)的高，即等腰梯形的高為.故答案為：13.已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線，則函數(shù)的零點(diǎn)的最小正值為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式可得，即可根據(jù)對稱求解，進(jìn)而根據(jù)求解.【詳解】，，令，則，得，所以，所以，令，則，得，由可得．故答案為：．14.過曲線C上一點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若，則曲線C的方程為___________．【答案】（且）【解析】【分析】設(shè)及切線方程，由直線與圓相切得出關(guān)于斜率k的方程，由判別式得出，再由斜率關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則過點(diǎn)的切線方程為，即，所以，得，則，是此方程的兩根，，，即，所以，得，又，所以，即曲線的方程為（且）．故答案為：（且）.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在軸上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，且是直角三角形，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出、，即可求出圓的方程；（2）首先分析出為直角，從而求出到的距離為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出.【小問1詳解】依題意設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為.【小問2詳解】圓：的圓心為，半徑，因?yàn)?，若為直角三角形，則直角一定為，所以為等腰直角三角形，所以，則到的距離為，即圓心到直線的距離，解得或，即或.16.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，交AC于點(diǎn)，且．（1）若，求的面積；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理得到，然后利用三角形面積公式計(jì)算；（2）利用面積相等的思路得到，然后利用基本不等式求最值即可.【小問1詳解】由，，可得．在中，由余弦定理得，即，可得．故．【小問2詳解】，，，，．，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立．故的最小值為．17.如圖，四邊形為梯形，，，四邊形為矩形，且平面，，為FB的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）在線段FD（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)M，使得直線BM與平面所成角的正弦值為？若存在，求出BM的長；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由（1）中坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線面角的向量求法列式求解判斷即得.【小問1詳解】由，平面，得直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，于是，而平面，所以平面．【小問2詳解】假設(shè)在線段FD上存在一點(diǎn)M，使得直線BM與平面所成角的正弦值為．設(shè)，，，則，由（1）知，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線BM與平面所成的角為，則，整理得，而，解得，所以存在滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若且在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的極大值與極小值之和的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為恒成立，然后利用基本不等式求最值即可；（2）根據(jù)對稱性得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，根據(jù)有兩個(gè)極值點(diǎn)得到，然后利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性得到極值，最后結(jié)合對稱性求極大值和極小值之和的范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，．單調(diào)遞增，恒成立，即恒成立．令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．，．【小問2詳解】，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．，令，則，，單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．．要使有兩個(gè)極值點(diǎn)，必有，即，得．令，，，．令，，，．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，即的極大值與極小值之和的取值范圍為．19.復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入的，經(jīng)過達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸被數(shù)學(xué)家接受．形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，而任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角，我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作argz．復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)的三角形式．由復(fù)數(shù)的三角形式可得出，若，，則．其幾何意義是把向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮埜鶕?jù)所學(xué)知識(shí)，回答下列問題：（1）試將寫成三角形式（輻角取主值）．（2）類比高中函數(shù)的定義，引入虛數(shù)單位，自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)稱之為復(fù)變函數(shù)．已知復(fù)變函數(shù)，，．①當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的方程；②當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)部不為0，且虛部大于0的復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)，使得成立，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，點(diǎn)，以PA為邊作等邊，且在的上方，求線段的最大值．【答案】（1）（2）①；②3.【解析】【分析】（1）計(jì)算出，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值得到，寫出答案；（2）①整理得到，由復(fù)數(shù)形式根公式計(jì)