廣西壯族自治區(qū)容縣七校高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024年秋季期高一年級(jí)期中七校聯(lián)考質(zhì)量評(píng)價(jià)檢測(cè)數(shù)學(xué)（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合并集運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樗怨蔬x：B2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分母不為0和二次根式被開(kāi)方數(shù)大于等于0可得函數(shù)的定義域.【詳解】由得且，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.3.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值等于（）A.16 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)冪函數(shù)為，再將代入，求出函數(shù)的解析式，即可得答案.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將點(diǎn)代入得：，所以，則，所以.故選：A.4.若函數(shù)滿足，則的解析式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】換元法求解函數(shù)解析式.【詳解】，令，則，故，所以.故選：C5.不等式的解集為，則函數(shù)的圖象為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根為，即可求解得到，代入新函數(shù)分析開(kāi)口和與軸的交點(diǎn)，即得解【詳解】由題意，不等式解集為故對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開(kāi)口向下對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根為解得則函數(shù)，為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，且與軸的交點(diǎn)為故選：C6.小齊、小港兩人同時(shí)相約兩次到同一水果店購(gòu)買葡萄，小齊每次購(gòu)買3千克葡萄，小港每次購(gòu)買50元葡萄，若這兩次葡萄的單價(jià)不同，則小齊和小港兩次購(gòu)買葡萄的平均價(jià)格是（）A.一樣多 B.小齊低 C.小港低 D.無(wú)法比較【答案】C【解析】【分析】設(shè)兩次葡萄的單價(jià)分別為，分別計(jì)算出小齊和小港兩次購(gòu)買葡萄的平均價(jià)格，作差比較大小，得到答案.【詳解】設(shè)兩次葡萄的單價(jià)分別為，則小齊兩次購(gòu)買葡萄的平均價(jià)格是，小港兩次購(gòu)買葡萄的平均價(jià)格是，，故，小港兩次購(gòu)買葡萄的平均價(jià)格低.故選：C7.若是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，又，則不等式的解集為（）A. B.或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)有在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，再由偶函數(shù)、單調(diào)性求解集.【詳解】由題設(shè)，偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，故或，解集為或.故選：B8.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且存在這樣的x，y使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代換求左側(cè)最小值，根據(jù)不等式有解得到，解一元二次不等式求范圍即可.【詳解】由題設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，要使不等式有解，則，所以或.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.“”是“”的充分不必要條件C.已知，，則兩集合為相等集合D.集合的子集共有8個(gè)【答案】BD【解析】【分析】A由全稱命題的否定為特稱命題判斷；B根據(jù)充分、必要性定義判斷；C、D由集合相等的定義及元素個(gè)數(shù)與子集個(gè)數(shù)關(guān)系判斷.【詳解】A，“，”的否定為“，”，錯(cuò)誤；B，由，得，故或，則是的充分不必要條件，正確；C，集合M，N為點(diǎn)集，而點(diǎn)與點(diǎn)為不同的點(diǎn)，錯(cuò)誤；D，集合，所以集合的子集共有個(gè)，正確；故選：BD10.下列說(shuō)法正確的是（）A.若的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)锽.和表示同一個(gè)函數(shù)C.函數(shù)滿足，則D.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若時(shí)，，則時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可判斷；對(duì)B，根據(jù)相同函數(shù)的定義域相同，求出和的定義域判斷；對(duì)C，在條件式中，令為，解方程組求解；對(duì)D，根據(jù)奇函數(shù)的定義求解判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，則，解得，即的定義域?yàn)?，故A正確；對(duì)于B，定義域?yàn)椋x域?yàn)镽，所以和不同一個(gè)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，兩邊同乘?得，兩式相加得，解得，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，fx=x2?2x，若時(shí)，則，，故D故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且在上單調(diào)遞增，，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合賦值法計(jì)算判斷ABC；結(jié)合選項(xiàng)C的結(jié)論，分段探討的取值情況判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，得，則，由在上單調(diào)遞增，得不恒為1，因此，A正確；對(duì)于B，令，得，則，而，因此，B正確；對(duì)于C，，取，則，即有，因此函數(shù)是偶函數(shù)，又時(shí)，，則函數(shù)不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，因此，當(dāng)時(shí)，，，所以，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：.13.已知，，則的取值范圍____________．（用區(qū)間作答）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，可得，因?yàn)?，，可得，，所以，即的取值范圍為．故答案為?14.用表示，兩個(gè)數(shù)中的最大值，設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最大值是______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)定義，得到分段函數(shù)，再求的最小值即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，得或，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，綜上，時(shí)，，則恒成立，即，解得，則的最大值是3.故答案為：3四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）把代入求出，解不等式化簡(jiǎn)，再利用補(bǔ)集、交集、并集的定義求解即得.（2）利用交集結(jié)果，結(jié)合集合的包含關(guān)系列式求解即得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，或，，所以，.【小問(wèn)2詳解】由，得，當(dāng)，即時(shí)，，滿足，則；當(dāng)時(shí)，，由，得或，解，得無(wú)解；解，得，則，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.16.已知不等式.（1）當(dāng)時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)性，結(jié)合一元二次不等式解集的性質(zhì)，分與兩類進(jìn)行討論求解即可；（2）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)性，結(jié)合一元二次不等式解集的性質(zhì)，分、和三類進(jìn)行討論求解即可；【小問(wèn)1詳解】①若，則原不等式可化為，顯然恒成立，②若，則不等式恒成立，等價(jià)于

，解得，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)時(shí)，則原不等式可化為，顯然恒成立，②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，若時(shí)不等式恒成立，則，解得，③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，若時(shí)不等式恒成立，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.17.春運(yùn)是中國(guó)在農(nóng)歷春節(jié)前后發(fā)生的一種大規(guī)模全國(guó)性交通運(yùn)輸高峰期、高交通運(yùn)輸壓力現(xiàn)象.已知某火車站候車廳，候車人數(shù)與時(shí)間t相關(guān)，時(shí)間t（單位：小時(shí)）滿足，.經(jīng)測(cè)算，當(dāng)時(shí)，候車人數(shù)為候車廳滿廳狀態(tài)，滿廳人數(shù)5160人，當(dāng)時(shí)，候車人數(shù)會(huì)減少，減少人數(shù)與成正比，且時(shí)間為6點(diǎn)時(shí)，候車人數(shù)為3960人，記候車廳候車人數(shù)為.（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)天中午12點(diǎn)時(shí)，候車廳候車人數(shù)；（2）若為了照顧群眾的安全，每時(shí)需要提供的免費(fèi)礦泉水瓶數(shù)為，則一天中哪個(gè)時(shí)間需要提供的礦泉水瓶數(shù)最少?【答案】（1），候車廳候車人數(shù)為4200人（2）時(shí)，需要提供的礦泉水瓶數(shù)最少【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)出函數(shù)解析式，代入，可得解析式，代入，可得答案；（2）根據(jù)題意，寫出函數(shù)解析式，由基本不等式和反比例函數(shù)的單調(diào)性，比較大小，可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，.，故當(dāng)天中午12點(diǎn)時(shí)，候車廳候車人數(shù)為4200人.【小問(wèn)2詳解】，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；②當(dāng)時(shí)，；又，所以時(shí)，需要提供的礦泉水瓶數(shù)最少.18.已知冪函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）求函數(shù)（）的值域．（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【答案】（1）（2）（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)列式運(yùn)算判斷；（2）換元令，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域；（3）利用二次函數(shù)對(duì)稱軸與定義域關(guān)系討論求解.【小問(wèn)1詳解】∵函數(shù)為冪函數(shù)，∴，解得或5，當(dāng)時(shí)，，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，∴.小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，則，，令，則，，則，，函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)，函數(shù)取得最大值為1，∴的值域?yàn)椋屎瘮?shù)的值域?yàn)?【小問(wèn)3詳解】函數(shù)，當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為；當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上先減后增，最小值為；當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，最小值為．綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且（1）求的值；（2）用定義法判定的單調(diào)性；（3）求使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）在上是增函數(shù).（3）.【解析】【分析】（1）由函數(shù)在處有定義得，聯(lián)立待定系數(shù)，再利用定義證明函數(shù)的奇偶性即可；（2）按“區(qū)間取值——作差變形——符號(hào)判斷”的步驟利用定義法判定即可得；（3）