廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，考試用時(shí)120分鐘，滿分150分.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己所在的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級、姓名、考場號和座位號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡左上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解不等式得出相應(yīng)解集，再根據(jù)解集之間的包含關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】由解得或，因?yàn)槭腔虻恼孀蛹?，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.2.若雙曲線滿足，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)離心率公式計(jì)算可得答案.【詳解】由，得，即.故選：C.3.設(shè)全集，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交并補(bǔ)集的性質(zhì)可得再運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，因?yàn)?故選：A4.已知四棱錐的體積為4，底面是邊長為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)四棱錐的體積為4求出高h(yuǎn)，再結(jié)合直線與平面所成角的正弦值為即可得答案.【詳解】四棱錐的體積，得，直線與平面所成角的正弦值為，故選：B.5.設(shè)，，分別為函數(shù)，，零點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為().A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，f1=0，所以，然后在和時(shí)，分別判斷和的零點(diǎn)，即，的取值范圍，最后綜合判斷即可.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以；若，則，所以時(shí)，，即；若，則，所以時(shí)，，即.綜上所述，，故選：D.6.已知向量，，，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由和及和的關(guān)系可知，四邊形為直角梯形，由梯形面積計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以四邊形為直角梯?，，，則面積，故選：B.7.已知函數(shù)（，），，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為().A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意計(jì)算出周期，再由周期求，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以列出不等式，計(jì)算出，判斷即可.【詳解】由題意知，，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，解得，則的最大值為.故選：B.8.一個(gè)正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字.事件，事件，若事件滿足，，則滿足條件的事件的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.8 C.16 D.24【答案】C【解析】【分析】根據(jù)事件的運(yùn)算法則得到各個(gè)事件的概率，根據(jù)題意得出1或2，分別討論這兩種情況即可.【詳解】樣本空間，這是一個(gè)古典概型，可得，，即，，從而且.由可得事件；又因?yàn)?，所?或2.(1)若，則，即，，此時(shí)不滿足；(2)若，則，且，又因?yàn)?，所以或，即?；①若，，此時(shí)或或或，也就是從事件中的四個(gè)樣本點(diǎn)中選3個(gè)，再加入6這一個(gè)樣本點(diǎn)，即有個(gè)滿足條件的事件；②若，，同理有個(gè)滿足條件的事件；③若，，此時(shí)或或或，即從事件的四個(gè)樣本點(diǎn)中選1個(gè)，再加入5，6，7這三個(gè)樣本點(diǎn)，即有個(gè)滿足條件的事件；④若，，同理有個(gè)滿足條件的事件；綜上所述，滿足條件的事件共計(jì)個(gè).故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.可以B.若為純虛數(shù)，則的虛部是2C.D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算可得A正確，B錯(cuò)誤，C正確，再由復(fù)數(shù)的幾何意義并根據(jù)圓上點(diǎn)的距離最值問題可得D錯(cuò)誤.【詳解】當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A正確；若為純虛數(shù)，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；易知，選項(xiàng)C正確；由可知，在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，的幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，可得，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，取得最小值D.記，則數(shù)列前項(xiàng)和為【答案】BCD【解析】【分析】運(yùn)用等差數(shù)列計(jì)算公式，得到通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可解.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，則，解得.由得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，則，選項(xiàng)B正確，二次函數(shù)性質(zhì)知道時(shí)，最小，選項(xiàng)C正確；，所以bn為等差數(shù)列，，前項(xiàng)和為，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，在上的最大值為B.在上單調(diào)遞增C當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，曲線與軸有三個(gè)交點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】代入可得分段函數(shù)的解析式，求導(dǎo)得出單調(diào)新計(jì)算可得A正確，對參數(shù)進(jìn)行分類討論得出解析式，求導(dǎo)得出單調(diào)性可判斷B正確；取特殊值可知當(dāng)時(shí)，，可得C錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)圖象由交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出不等式可解得，可得D正確.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得則；則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，如圖（a）；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A正確；圖（a）圖（b）圖（c）圖（d）（2）當(dāng)時(shí)，易知①當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，如圖（b）；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，如圖（c）；（3）當(dāng)時(shí)，易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；如圖（d）綜上所述，在上單調(diào)遞增，選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，不一定成立，比如時(shí)，，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；只有時(shí)，的圖象與軸可能有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)解得，選項(xiàng)D正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于對參數(shù)進(jìn)行分類討論得出解析式，通過求導(dǎo)得出單調(diào)性，再根據(jù)極值以及函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷得出結(jié)論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題第一空2分，第二空3分.12.在中，，，，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解.【詳解】由正弦定理，得，解得，又，所以，即.故答案為：13.若函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為________.【答案】3【解析】【分析】先由基本不等式得出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的最小值為.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)，因?yàn)榈膱D象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的最小值為.故答案為：.14.已知點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且與圓在軸右側(cè)相切.若經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸，則________；若沒有經(jīng)過點(diǎn)，則的周長為_________.【答案】①.；②.【解析】【分析】當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，線段，當(dāng)直線不經(jīng)過點(diǎn)時(shí)由圓與直線相切的位置關(guān)系計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，易知長半軸長，離心率；設(shè)與圓相切于點(diǎn)，若垂直于軸，此時(shí)與重合，則有，所以，得，此時(shí)直線，將代入得，所以.若沒有經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)Ax1,y1由橢圓性質(zhì)和題意可知，，所以，a-ex1.由橢圓方程得，代入上式有.，則，同理，所以的周長.故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.某市舉辦一年一度的風(fēng)箏節(jié)，吸引大批游客前來觀賞.為了解交通狀況，有關(guān)部門隨機(jī)抽取了200位游客，對其出行方式進(jìn)行了問卷調(diào)查（每位游客只填寫一種出行方式），具體情況如下：出行方式地鐵公交車出租車自駕騎行步行頻數(shù)542738421821用上表樣本的頻率估計(jì)概率，低碳出行方式包括地鐵、公交車、騎行和步行：（1）若從參加活動(dòng)的所有游客中隨機(jī)抽取3人，這3人中低碳出行的人數(shù)記為，求和；（2）據(jù)另一項(xiàng)調(diào)查顯示，80%的低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動(dòng)，60%的非低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動(dòng)，求今年參加活動(dòng)的游客明年繼續(xù)參加活動(dòng)的概率.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）記“低碳出行”為事件，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)全概率公式計(jì)算可得答案.【小問1詳解】記“低碳出行”為事件，估計(jì).則，，；【小問2詳解】由（1）知，則有，記“今年參加活動(dòng)的游客明年繼續(xù)參加活動(dòng)”為事件，由題意，，所以.16.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處切線方程；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，即可得直線斜率，進(jìn)而可求解直線方程，（2）對分和，求導(dǎo)，即可根據(jù)單調(diào)性求解，或者將不等式變形為，構(gòu)造，，分別利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，求得最值求解.小問1詳解】，，則，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問2詳解】解法1：定義域?yàn)?①當(dāng)時(shí)，，，則，即；②當(dāng)時(shí)，.設(shè)，，由于均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，，所以，所以在上單調(diào)遞增，，，即，所以在上單調(diào)遞增，，則，綜上所述，.解法2：定義域?yàn)?要證，只需證，只需證，令，，，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，，，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，，綜上所述，，也就是，即【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小或者證明的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題．17.如圖，四棱錐的底面是邊長為2菱形，，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證；平面；（2）若，，，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)構(gòu)造線線平行，再利用線面平行的判定證明即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定先證明平面，再建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算面面夾角即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)為，連接，.點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，是的中位線，即，，在菱形中，，.，，即四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，平面.【小問2詳解】連接，，，，，平面，平面，平面，又平面，，，又，則，所以.即直線，，兩兩垂直.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為n1=x1,y由得取.由得取.設(shè)平面與平面所成角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為.18.在數(shù)列中，，都有，，成等差數(shù)列，且公差為.（1）求，，，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在，使得，，，成等比數(shù)列.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）3；5；9；13（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列，公差為2；，，成等差數(shù)列，公差為4求解即可；（2）由題意，，再分與兩種情況求解即可；（3）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合通項(xiàng)公式求解即可.【小問1詳解】由題意，，，成等差數(shù)列，公差為2；，，成等差數(shù)列，公差為4.則，，，.【小問2詳解】由題意，.當(dāng)，時(shí)，，且滿足上式，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.所以【小問3詳解】存在時(shí)，使得，，，成等比數(shù)列證明如下：由（2）可得，，，假設(shè)，，成等比數(shù)列，則，化簡得，所以，即，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，，，成等比數(shù)列.19.已知集合，，設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)和時(shí)，分別判斷函數(shù)是否是常數(shù)函數(shù)？說明理由；（2）已知，求函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的概率；（3）寫出函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個(gè)充分條件，并說明理由.【答案】（1）答案見解析（2）（3），理由見解析【解析】【分析】（1）分情況討論，運(yùn)用三角恒等變換誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，二倍角公式進(jìn)行化簡函數(shù)，再結(jié)合常數(shù)函數(shù)概念判定即可；（2）運(yùn)用常數(shù)函數(shù)概念，結(jié)合和差角公式，結(jié)合三角函數(shù)方程知識，進(jìn)行計(jì)算，再結(jié)合古典概型概率計(jì)算即可；（3）運(yùn)用常數(shù)函數(shù)概念，結(jié)合三角恒等變換，分情況討論，找出充分條件即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是常數(shù)函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不是常數(shù)函數(shù).【小問2詳解】設(shè)，不妨令..若函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，則則，得，所以，得或，，所以或，，同理或，，或，