《4 角平分線》（同步訓(xùn)練）初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)-北師大版-2024-2025學(xué)年

《4角平分線》同步訓(xùn)練(答案在后面)一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC上的任意一點(diǎn)，若AD平分∠BAC，則以下說(shuō)法正確的是（）A.∠BAD=∠CADB.∠BAD=∠BC.∠BAD=∠CAD/2D.∠BAD=∠B/22、在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的任意一點(diǎn)，若DE是∠BAC的角平分線，則以下說(shuō)法正確的是（）A.∠ADE=∠BB.∠ADE=∠CC.∠ADE=(∠B+∠C)/2D.∠ADE=(∠B-∠C)/23、在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在邊AC上，且AD=BD。若∠ABC的度數(shù)為50°，則∠ADB的度數(shù)為：A.40°B.50°C.60°D.70°4、在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO。如果∠AOD的度數(shù)為60°，則下列說(shuō)法正確的是：A.四邊形ABCD是菱形B.四邊形ABCD是矩形C.四邊形ABCD是等腰梯形D.四邊形ABCD是平行四邊形5、在△ABC中，若∠BAC=50°，點(diǎn)D在BC邊上，且∠ADB=40°，∠ADC=30°，則∠BDC的度數(shù)是：A.30°B.40°C.50°D.70°6、已知點(diǎn)P是等腰三角形ABC的底邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在AB上，且∠APD=60°，∠B=70°，則∠A的度數(shù)是：A.30°B.40°C.70°D.80°7、在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AE=AD。那么下列說(shuō)法正確的是：A.BE=ECB.∠B=∠CC.∠AED=∠BEAD.∠BEC=∠BDE8、在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且BD=DC。若點(diǎn)E在AB上，使得AE=AD，那么下列說(shuō)法正確的是：A.∠AEB=∠AECB.∠AEB=∠BECC.∠AEC=∠BECD.∠AEB=∠BAC9、在等腰三角形ABC中，底邊BC的長(zhǎng)度為6cm，腰AB和AC的長(zhǎng)度相等。點(diǎn)D在BC上，且BD=DC=3cm。下列關(guān)于角平分線AD的長(zhǎng)度，正確的是（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm10、在三角形ABC中，角A、角B、角C的角平分線分別為AD、BE、CF。如果角BAC=40°，角ABC=50°，那么角ACF的大小是（）A.60°B.70°C.80°D.90°二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD=DE=EC。求證：BE平分∠ABC。第二題：在等腰三角形ABC中，底邊BC=8cm，腰AB=AC=10cm。D為BC邊上的中點(diǎn)，E為AC邊上的中點(diǎn)。求證：DE是三角形ABC的角平分線。第三題：在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且∠ADB=∠AEB=30°。求證：DE是△ABC的角平分線。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知等腰三角形ABC中，底邊BC的長(zhǎng)度為8cm，腰AB=AC=10cm。點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，E是AB上的一個(gè)點(diǎn)，使得BE=2DE。求證：AE是∠BAC的角平分線。第二題：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是底邊BC上的一個(gè)點(diǎn)，且AD平分∠BAC。若∠BAC=50°，求∠BAD和∠CAD的度數(shù)。第三題：已知∠AOB=60°，點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部，且∠BOC=∠COA，求證：OC是∠AOB的平分線。第四題：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC邊上，且AD平分∠BAC。若∠BAC=40°，求∠BAD和∠DAC的度數(shù)。第五題：在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC邊上，AD是∠BAC的角平分線。已知∠BAC=60°，∠BAD=30°，求證：BD=DC。第六題：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的高，點(diǎn)D在BC上。若∠BAC=60°，求證：AD是∠BAC的角平分線。第七題：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是底邊BC上的任意一點(diǎn)，E是AC上的一點(diǎn)，且∠BEC=∠ABC。求證：DE是∠BAC的角平分線?！?角平分線》同步訓(xùn)練及答案解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC上的任意一點(diǎn)，若AD平分∠BAC，則以下說(shuō)法正確的是（）A.∠BAD=∠CADB.∠BAD=∠BC.∠BAD=∠CAD/2D.∠BAD=∠B/2答案：A解析：在等腰三角形ABC中，AB=AC，因此∠B=∠C。由于AD平分∠BAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，∠BAD=∠CAD。所以正確答案是A。2、在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的任意一點(diǎn)，若DE是∠BAC的角平分線，則以下說(shuō)法正確的是（）A.∠ADE=∠BB.∠ADE=∠CC.∠ADE=(∠B+∠C)/2D.∠ADE=(∠B-∠C)/2答案：C解析：在等邊三角形ABC中，所有內(nèi)角都是60°，即∠B=∠C=60°。由于DE是∠BAC的角平分線，∠ADE=∠CAD。因此，∠ADE=(∠B+∠C)/2=(60°+60°)/2=60°。所以正確答案是C。3、在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在邊AC上，且AD=BD。若∠ABC的度數(shù)為50°，則∠ADB的度數(shù)為：A.40°B.50°C.60°D.70°答案：A解析：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形，因此∠ABC=∠ACB。已知∠ABC的度數(shù)為50°，所以∠ACB也是50°。因?yàn)锳D=BD，所以三角形ABD是等腰三角形，所以∠ABD=∠ADB。又因?yàn)椤螦BD和∠ACB是同位角，它們相加等于三角形ABC的頂角∠BAC，即∠ABD+∠ACB=∠BAC。將已知角度代入，得到∠ABD+50°=50°+∠ABD，這意味著∠ABD的度數(shù)是50°的一半，即40°。因此，∠ADB的度數(shù)也是40°。選項(xiàng)A正確。4、在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，BO=DO。如果∠AOD的度數(shù)為60°，則下列說(shuō)法正確的是：A.四邊形ABCD是菱形B.四邊形ABCD是矩形C.四邊形ABCD是等腰梯形D.四邊形ABCD是平行四邊形答案：D解析：由于AO=CO和BO=DO，點(diǎn)O是對(duì)角線AC和BD的中點(diǎn)，因此四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分。根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形。所以選項(xiàng)D正確。其他選項(xiàng)沒(méi)有足夠的信息來(lái)證明四邊形ABCD具有這些特定的性質(zhì)。5、在△ABC中，若∠BAC=50°，點(diǎn)D在BC邊上，且∠ADB=40°，∠ADC=30°，則∠BDC的度數(shù)是：A.30°B.40°C.50°D.70°答案：C解析：在△ABC中，由于∠BAC=50°，點(diǎn)D在BC邊上，且∠ADB=40°，∠ADC=30°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，∠BDC=∠BAC+∠ADC=50°+30°=80°。但這里有一個(gè)錯(cuò)誤，正確的方法應(yīng)該是使用三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，即∠BDC=∠BAC-∠ADC=50°-30°=20°。所以正確答案應(yīng)該是D.70°，因?yàn)椤螧DC=∠ADB+∠ADC=40°+30°=70°。6、已知點(diǎn)P是等腰三角形ABC的底邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在AB上，且∠APD=60°，∠B=70°，則∠A的度數(shù)是：A.30°B.40°C.70°D.80°答案：A解析：由于點(diǎn)P是等腰三角形ABC的底邊BC的中點(diǎn)，且∠B=70°，所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC。因?yàn)椤螦PD=60°，所以三角形APD是一個(gè)等邊三角形，因此∠APD=∠PAD=60°。在等腰三角形ABC中，由于∠B=∠C=70°，所以∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°。因此，正確答案是B.40°。這里有一個(gè)錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)該是A.30°，因?yàn)椤螦=∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°。但根據(jù)題目中的條件，∠A應(yīng)該是∠BAC，所以∠A的度數(shù)是30°。7、在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AE=AD。那么下列說(shuō)法正確的是：A.BE=ECB.∠B=∠CC.∠AED=∠BEAD.∠BEC=∠BDE答案：C解析：由于AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，因此AD是BC的垂直平分線，所以∠B=∠C。因?yàn)锳E=AD，AD是角平分線，所以∠AED=∠BEA。選項(xiàng)A、B、D都不能確保為真，所以正確答案是C。8、在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且BD=DC。若點(diǎn)E在AB上，使得AE=AD，那么下列說(shuō)法正確的是：A.∠AEB=∠AECB.∠AEB=∠BECC.∠AEC=∠BECD.∠AEB=∠BAC答案：C解析：由于AB=AC，所以AD是角平分線，且BD=DC意味著D是BC的中點(diǎn)，因此AD也是BC的垂直平分線。因此，∠AEC=∠BEC。選項(xiàng)A、B、D均不能確保為真，所以正確答案是C。9、在等腰三角形ABC中，底邊BC的長(zhǎng)度為6cm，腰AB和AC的長(zhǎng)度相等。點(diǎn)D在BC上，且BD=DC=3cm。下列關(guān)于角平分線AD的長(zhǎng)度，正確的是（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm答案：B解析：由于點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以BD=DC=3cm。在等腰三角形中，底邊上的中點(diǎn)也是底邊上的角平分線的交點(diǎn)。因此，AD既是角BAC的平分線，也是底邊BC的中線。由于BD=DC，所以AD也是高，所以AD的長(zhǎng)度等于腰AB或AC的一半。由于AB和AC是等腰三角形的腰，它們的長(zhǎng)度相等，所以AD=AB/2=AC/2=6cm/2=3cm。因此，角平分線AD的長(zhǎng)度為3cm。10、在三角形ABC中，角A、角B、角C的角平分線分別為AD、BE、CF。如果角BAC=40°，角ABC=50°，那么角ACF的大小是（）A.60°B.70°C.80°D.90°答案：C解析：在三角形中，角平分線將對(duì)邊所對(duì)的角平分。因此，角ACF是角ABC的一半，因?yàn)镃F是角ABC的角平分線。所以，角ACF=1/2*角ABC=1/2*50°=25°。但是，題目要求的是角ACF的大小，而不是角ACF的一半。由于角ABC和角ACF是鄰補(bǔ)角，它們的和等于180°。因此，角ACF=180°-角ABC-角BAC=180°-50°-40°=90°。所以，角ACF的大小是80°，選項(xiàng)C正確。二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD=DE=EC。求證：BE平分∠ABC。答案：證明：連接DE。因?yàn)锳D=EC，且D、E在AB、AC上，所以DE平行于BC。由于∠BAC=60°，且DE平行于BC，根據(jù)同位角相等的性質(zhì)，得到∠AED=∠BAC=60°。又因?yàn)锳D=DE，所以△ADE是等腰三角形，從而∠DAE=∠ADE。由于∠DAE和∠ADE都是60°，所以∠DAE=∠DEA。現(xiàn)在在△ABE和△ADE中，有：∠BAE=∠DAE（因?yàn)樗鼈兪峭唤牵螦ED=∠DEA（已知）AD=DE（已知）根據(jù)AAS（角-角-邊）全等條件，可以得出△ABE≌△ADE。因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)角相等，所以∠ABE=∠AED。由于∠AED=∠BAC=60°，所以∠ABE=60°。因此，BE平分∠ABC。解析：本題通過(guò)證明DE平行于BC，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定條件，最終得出BE平分∠ABC。解題過(guò)程中，關(guān)鍵在于利用平行線的性質(zhì)和三角形的全等條件。第二題：在等腰三角形ABC中，底邊BC=8cm，腰AB=AC=10cm。D為BC邊上的中點(diǎn)，E為AC邊上的中點(diǎn)。求證：DE是三角形ABC的角平分線。答案：證明：在等腰三角形ABC中，AB=AC，因此AD=BD，AE=EC。又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，所以DE平行于AB。由于DE平行于AB，根據(jù)同位角相等的性質(zhì)，我們有∠BDE=∠CDE。又因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C。由于D是BC的中點(diǎn)，∠BDC=∠B，∠CDE=∠C。因此，∠BDE=∠CDE，所以∠BDE=∠CDE=∠B/2。由此可得，DE是∠BAC的角平分線。解析：首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出AD=BD和AE=EC。利用D和E分別是BC和AC的中點(diǎn)，得出DE平行于AB。根據(jù)平行線性質(zhì)，得出∠BDE=∠CDE。由等腰三角形ABC的性質(zhì)得出∠B=∠C。因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以∠BDC=∠B，∠CDE=∠C。由∠BDE=∠CDE和∠B=∠C得出∠BDE=∠CDE=∠B/2。因此，DE是∠BAC的角平分線，證明完成。第三題：在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且∠ADB=∠AEB=30°。求證：DE是△ABC的角平分線。答案：證明：（1）連接BD和BE。（2）由∠BAC=60°和∠ADB=30°可得，∠ABD=∠AEB=30°。（3）因?yàn)椤螦DB=∠AEB，所以BD=BE（等角對(duì)等邊）。（4）由于∠BAC=60°，所以∠BAD=∠CAE=30°（外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和）。（5）由（2）和（4）可得，△ABD≌△AEB（SAS準(zhǔn)則：兩邊及夾角分別相等）。（6）因?yàn)椤鰽BD≌△AEB，所以AD=AE（對(duì)應(yīng)邊相等）。（7）根據(jù)角平分線的定義，如果一條線段從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，將另一邊上的角平分，那么這條線段就是該角的角平分線。（8）因此，DE是∠BAC的角平分線。解析：本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)。通過(guò)證明△ABD≌△AEB，我們可以得出AD=AE，進(jìn)而證明DE是△ABC的角平分線。解題過(guò)程中需要熟練掌握三角形全等的判定方法，以及角平分線的定義。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知等腰三角形ABC中，底邊BC的長(zhǎng)度為8cm，腰AB=AC=10cm。點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，E是AB上的一個(gè)點(diǎn)，使得BE=2DE。求證：AE是∠BAC的角平分線。答案：證明：連接AE。因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以BD=DC=BC/2=8cm/2=4cm。由于BE=2DE，設(shè)DE的長(zhǎng)度為xcm，則BE=2xcm。因此，AB=BE+AE=2x+x=3x。在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以AC=3x。在直角三角形ABD中，由勾股定理可得：AD^2=AB^2-BD^2AD^2=(3x)^2-(4cm)^2AD^2=9x^2-16在直角三角形ACD中，同樣由勾股定理可得：AD^2=AC^2-CD^2AD^2=(3x)^2-(4cm)^2AD^2=9x^2-16由于AD^2在兩個(gè)直角三角形中相等，因此可以得出：9x^2-16=9x^2-16這意味著AD的長(zhǎng)度相等，即AD=AD。根據(jù)角平分線的性質(zhì)，若一條線段從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，垂直于對(duì)邊，并且將該對(duì)邊等分，則這條線段是該三角形頂角的角平分線。由于AD垂直于BC，并且BD=DC，所以AD是∠BAC的角平分線。解析：本題通過(guò)構(gòu)造直角三角形，并利用勾股定理來(lái)證明AD的長(zhǎng)度相等，從而得出AE是∠BAC的角平分線。解題過(guò)程中，注意到了等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義，這是解題的關(guān)鍵。第二題：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是底邊BC上的一個(gè)點(diǎn)，且AD平分∠BAC。若∠BAC=50°，求∠BAD和∠CAD的度數(shù)。答案：∠BAD=∠CAD=25°解析：由于AD是∠BAC的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，它將∠BAC平分成兩個(gè)相等的角，即∠BAD=∠CAD。已知∠BAC=50°，所以∠BAD=∠CAD=50°/2=25°。因此，∠BAD和∠CAD的度數(shù)都是25°。第三題：已知∠AOB=60°，點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部，且∠BOC=∠COA，求證：OC是∠AOB的平分線。答案：證明：因?yàn)椤螦OB=60°，點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部，且∠BOC=∠COA。根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，有∠BOC+∠AOC=180°。將∠BOC=∠COA代入上式，得2∠COA=180°，解得∠COA=90°。同理，∠BOC=90°。所以，OC是∠AOB的平分線。解析：本題主要考察了角平分線的性質(zhì)。根據(jù)題目條件，我們首先確定點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部，然后利用等角的補(bǔ)角相等，得出∠COA和∠BOC都等于90°，從而證明了OC是∠AOB的平分線。在解題過(guò)程中，注意運(yùn)用角的性質(zhì)和等角補(bǔ)角的概念。第四題：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC邊上，且AD平分∠BAC。若∠BAC=40°，求∠BAD和∠DAC的度數(shù)。答案：∠BAD=∠DAC=20°解析：由于AD是∠BAC的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，∠BAD=∠DAC。因?yàn)锳B=AC，所以三角形ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，底角相等，即∠B=∠C。根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角形ABC的內(nèi)角和為180°，所以有：∠B+∠C+∠BAC=180°將∠BAC的度數(shù)代入，得到：∠B+∠C+40°=180°由于∠B=∠C，所以可以設(shè)∠B=∠C=x，得到：2x+40°=180°解方程得到：2x=140°x=70°所以，∠B=∠C=70°。由于AD是∠BAC的平分線，∠BAD=∠DAC=∠BAC/2=40°/2=20°。因此，∠BAD=∠DAC=20°。第五題：在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC邊上，AD是∠BAC的角平分線。已知∠BAC=60°，∠BAD=30°，求證：BD=DC。答案：證明：因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD。又因?yàn)椤螧AC=60°，所以∠CAD=∠BAD=30°。由于AB=AC（等腰三角形的性質(zhì)），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，∠ABC=∠ACB。又因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°。在三角形ABD和三角形ACD中，有：∠BAD=∠CAD（已知）∠ABD=∠ACD（等腰三角形底角相等）AD=AD（公共邊）由AAS（兩角一邊）全等條件，可得三角形ABD≌三角形ACD。因此，BD=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）。解析：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)。通過(guò)證明∠BAD=∠CAD，利用等腰三角形的性質(zhì)，可以得出∠ABC=∠ACB。再結(jié)合角平分線的定義，可以得出三