馬爾可夫預(yù)測方法

馬爾可夫預(yù)測方法

對事件的全面預(yù)測，不僅要能夠指出事件發(fā)生的各種可能結(jié)果，而且還必須給出每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率。馬爾可夫（Markov）預(yù)測法，就是一種預(yù)測事件發(fā)生的概率的方法。它是基于馬爾可夫鏈，根據(jù)事件的目前狀況預(yù)測其將來各個時刻（或時期）變動狀況的一種預(yù)測方法。馬爾可夫預(yù)測法是對地理事件進(jìn)行預(yù)測的基本方法，它是地理預(yù)測中常用的重要方法之一。

狀態(tài)：指某一事件在某個時刻（或時期）出現(xiàn)的某種結(jié)果。狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程。事件的發(fā)展，從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移。馬爾可夫過程。在事件的發(fā)展過程中，若每次狀態(tài)的轉(zhuǎn)移都僅與前一時刻的狀態(tài)有關(guān)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)，或者說狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程是無后效性的，則這樣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程就稱為馬爾可夫過程。幾個基本概念

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。在事件的發(fā)展變化過程中，從某一種狀態(tài)出發(fā)，下一時刻轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)的可能性，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)為狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率是（3.7.1）

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。假定某一個事件的發(fā)展過程有n個可能的狀態(tài)，即E1，E2，…，En。記為從狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，則矩陣幾個基本概念

稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。概率矩陣。一般地，將滿足條件（3.7.3）的任何矩陣都稱為隨機(jī)矩陣，或概率矩陣。

（3.7.2）

（3.7.3）

幾個基本概念

不難證明，如果P為概率矩陣，則對于任何整數(shù)m>0，矩陣都是概率矩陣。

標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣、平衡向量。如果P為概率矩陣，而且存在整數(shù)m>0，使得概率矩陣中諸元素皆非零，則稱P為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣?？梢宰C明，如果P為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣，則存在非零向量，而且滿足，

使得：

（3.7.4）這樣的向量α稱為平衡向量，或終極向量。這就是說，標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣一定存在平衡向量。幾個基本概念

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的計算。計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P，就是求從每個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到其它任何一個狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。為了求出每一個，一般采用頻率近似概率的思想進(jìn)行計算。

例題1：考慮某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的三個狀態(tài)，即“豐收”、“平收”和“欠收”。記E1為“豐收”狀態(tài)，E2為“平收”狀態(tài)，E3為“欠收”狀態(tài)。表3.7.1給出了該地區(qū)1960～1999年期間農(nóng)業(yè)收成的狀態(tài)變化情況。試計算該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

幾個基本概念

表3.7.1某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況

年份1960196119621963196419651966196719681969序號狀態(tài)年份序號狀態(tài)年份序號狀態(tài)年份序號狀態(tài)1E1197011E3198021E3199031E12E1197112E1198122E3199132E33E2197213E2198223E2199233E24E3197314E3198324E1199334E15E2197415E1198425E1199435E16E1197516E2198526E3199536E27E3197617E1198627E2199637E28E2197718E3198728E2199738E39E1197819E3198829E1199839E110E2197920E1198930E2199940E2從表3.7.1中可以知道，在15個從E1出發(fā)（轉(zhuǎn)移出去）的狀態(tài)中，有3個是從E1轉(zhuǎn)移到E1的（即1→2，24→25，34→35）有7個是從E1轉(zhuǎn)移到E2的（即2→3，9→10，12→13，15→16，

29→30，35→36，39→40）有5個是從E1轉(zhuǎn)移到E3的（即6→7，17→18，20→21，

25→26，31→32）

所以①計算：同理可得：②結(jié)論：該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為（3.6.5）

狀

態(tài)

概

率

及

其

計

算狀態(tài)概率：表示事件在初始（k＝0）狀態(tài)為已知的條件下，經(jīng)過k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，在第k個時刻（時期）處于狀態(tài)的概率。且：根據(jù)馬爾可夫過程的無后效性及Bayes條件概率公式，有

記行向量，則由（3.7.7）式可以得到逐次計算狀態(tài)概率的遞推公式：（3.7.6）

（3.7.7）

（3.6.8）

式中，為初始狀態(tài)概率向量。

第k個時刻（時期）的狀態(tài)概率預(yù)測

如果某一事件在第0個時刻（或時期）的初始狀態(tài)已知，即已知，則利用遞推公式(3.7.8)式，就可以求得它經(jīng)過k次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，在第k個時刻（時期）處于各種可能的狀態(tài)的概率，即，從而就得到該事件在第k個時刻（時期）的狀態(tài)概率預(yù)測。例題2：將例題1中1999年的農(nóng)業(yè)收成狀態(tài)記為=[0,1,0]

，將狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣（3.7.5）式及代入遞推公式（3.7.8）式，可求得2000～2010年可能出現(xiàn)的各種狀態(tài)的概率（見表3.7.2）。

馬爾可夫預(yù)測法表3.7.2某地區(qū)1990～2000年農(nóng)業(yè)收成狀態(tài)概率預(yù)測值

年份200020012002

2003狀態(tài)概率E10.5385E20.1528E30.3077E10.3024E20.414E30.2837E10.3867E20.3334E30.2799E10.3587E20.3589E30.2779年份2004200520062007狀態(tài)概率

E10.3677E20.3509E30.2799E10.3647E20.3532E30.2799E10.3656E20.3524E30.2799E10.3653E20.3526E30.2799年份20082009

2010狀態(tài)概率E10.3653E20.3525E30.2799E10.3653E20.3525E30.2799E10.3653E20.3525E30.2799終極狀態(tài)概率預(yù)測

①定義：經(jīng)過無窮多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后所得到的狀態(tài)概率稱為終極狀態(tài)概率，即：②終極狀態(tài)概率應(yīng)滿足的條件：

③例題：在例1中，設(shè)終極狀態(tài)的狀態(tài)概率為

則

馬爾可夫預(yù)測法

即：求解該方程組得：＝0.3653，＝0.3525，＝0.2799。這說明，該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成的變化過程，在無窮多次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，“豐收”和“平收”狀態(tài)出現(xiàn)的概率都將大于“欠收”狀態(tài)出現(xiàn)的概率。在地理事件的預(yù)測中，被預(yù)測對象所經(jīng)歷的過程中各個階段（或時點(diǎn)）的狀態(tài)和狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率是最為關(guān)鍵的。馬爾可夫預(yù)測的基本方法就是利用狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測事件發(fā)生的狀態(tài)及其發(fā)展變化趨勢。馬爾可夫預(yù)測法的基本要求是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣必須具有一定的穩(wěn)定性。因此，必須具有足夠的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，才能保證預(yù)測的精度與準(zhǔn)確性。換句話說，馬爾可夫預(yù)測模型必須建立在大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)之上。這一點(diǎn)也是運(yùn)用馬爾可夫預(yù)測方法預(yù)測地理事件的一個最為基本的條件。在地理事件的預(yù)測中，被預(yù)測對象所經(jīng)歷的過