數(shù)學(xué)課堂探究：向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一向量的坐標(biāo)表示求向量的坐標(biāo)有三種方法:（1）正交分解；（2)將向量的起點(diǎn)平移到原點(diǎn)，向量的終點(diǎn),即為向量的坐標(biāo);（3)利用轉(zhuǎn)角求橫、縱坐標(biāo)．【例1】如圖所示，分別用基底i與j表示向量a，b，c，d，并求出它們的坐標(biāo)．解:由題圖可知，a＝＋＝2i＋3j，所以a＝(2，3)．同理，b＝－2i＋3j＝(－2，3);c＝－2i－3j＝（－2，－3）；d＝2i－3j＝(2，－3）．點(diǎn)評(píng)在直角坐標(biāo)系中求向量的坐標(biāo)，一般運(yùn)用“數(shù)"與“形”相結(jié)合的方法求解．【例2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，a,b如圖所示，分別求它們的坐標(biāo)．解：設(shè)a＝(a1，a2），b＝（b1，b2），則a1＝｜a｜c(diǎn)os45°＝4×＝,a2＝|a|sin45°＝4×＝．b向量相對(duì)于x軸正方向的轉(zhuǎn)角為120°．所以b1＝|b|cos120°＝3×＝－,b2＝｜b｜sin120°＝3×＝．所以a＝(，），b＝．評(píng)注公式a1＝｜a｜c(diǎn)osθ，a2＝|a｜sinθ中θ是指a的方向相對(duì)于x軸正方向的轉(zhuǎn)角，此點(diǎn)不容忽視．探究二向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量用坐標(biāo)表示后，向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行運(yùn)算，使得向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來，這樣許多幾何問題的解決就可以轉(zhuǎn)化為熟知的數(shù)量運(yùn)算．【例3】已知點(diǎn)A（－1，2），B（2，8）及＝，＝－，求點(diǎn)C，D和的坐標(biāo)．解：設(shè)C，D的坐標(biāo)分別為(x1,y1），(x2，y2），由題意可得＝(x1＋1,y1－2）,＝(3，6），＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)，因?yàn)椋剑剑?，所以（x1＋1，y1－2）＝eq\f（1，3）×（3,6），（－1－x2,2－y2）＝－×(－3,－6)，即（x1＋1,y1－2）＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝（1，2)．所以和所以和所以C，D的坐標(biāo)分別為（0,4）和（－2,0）．因此＝(－2，－4)．方法技巧此類題要充分利用向量相等的條件建立方程或方程組求待定參數(shù)，求一個(gè)向量坐標(biāo)需求出向量始點(diǎn)與終點(diǎn)坐標(biāo)．探究三向量坐標(biāo)法的應(yīng)用通過建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系從而求出向量的坐標(biāo)，這是解決向量或幾何問題的一種常用的方法．【例4】已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°,設(shè)＝a，＝b，＝c，且｜a|＝2,|b|＝1，｜c(diǎn)｜＝3，試用a,b表示c．分析：由題中條件建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，由向量的模及向量與x軸正半軸夾角求向量坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算用a，b表示c．解：如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋黙｜=2，所以a=(2，0）．設(shè)b=，所以=|b|cos150°=1×=—,y1=｜b｜sin150°=1×=．所以b=．同理可得c=．設(shè)c=a+b（，∈R），所以=（2，0）+=（2-，）．所以解得所以c=-3a-3b．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：因忽視點(diǎn)的位置而漏解【例5】如圖所示，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4，3），B(3,－1)，C(1，－2)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．錯(cuò)解:設(shè)頂點(diǎn)D（x，y)，因?yàn)椋?－1，－4）,＝(1－x，－2－y），＝,所以解得所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,2)．錯(cuò)因分析：沒有注意到平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序不同而漏解．解：設(shè)頂點(diǎn)D(x，y)．①若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳，B，C，D，則＝（3－4，－1－3)＝(－1，－4)，＝（1－x，－2－y）．由＝,得解得故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)．②若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳，C，B,D,則＝(1－4，－2－3）＝（－3，－5），＝(3－x,－1－y)．由＝,得解得故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,4）．③若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳,B，D，C