數(shù)學課堂探究：向量的正交分解與向量的直角坐標運算

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一向量的坐標表示求向量的坐標有三種方法:（1）正交分解；（2)將向量的起點平移到原點，向量的終點,即為向量的坐標;（3)利用轉角求橫、縱坐標．【例1】如圖所示，分別用基底i與j表示向量a，b，c，d，并求出它們的坐標．解:由題圖可知，a＝＋＝2i＋3j，所以a＝(2，3)．同理，b＝－2i＋3j＝(－2，3);c＝－2i－3j＝（－2，－3）；d＝2i－3j＝(2，－3）．點評在直角坐標系中求向量的坐標，一般運用“數(shù)"與“形”相結合的方法求解．【例2】在平面直角坐標系xOy中，a,b如圖所示，分別求它們的坐標．解：設a＝(a1，a2），b＝（b1，b2），則a1＝｜a｜cos45°＝4×＝,a2＝|a|sin45°＝4×＝．b向量相對于x軸正方向的轉角為120°．所以b1＝|b|cos120°＝3×＝－,b2＝｜b｜sin120°＝3×＝．所以a＝(，），b＝．評注公式a1＝｜a｜cosθ，a2＝|a｜sinθ中θ是指a的方向相對于x軸正方向的轉角，此點不容忽視．探究二向量的坐標運算向量用坐標表示后，向量的線性運算都可用坐標來進行運算，使得向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結合起來，這樣許多幾何問題的解決就可以轉化為熟知的數(shù)量運算．【例3】已知點A（－1，2），B（2，8）及＝，＝－，求點C，D和的坐標．解：設C，D的坐標分別為(x1,y1），(x2，y2），由題意可得＝(x1＋1,y1－2）,＝(3，6），＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)，因為＝，＝－，所以（x1＋1，y1－2）＝eq\f（1，3）×（3,6），（－1－x2,2－y2）＝－×(－3,－6)，即（x1＋1,y1－2）＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝（1，2)．所以和所以和所以C，D的坐標分別為（0,4）和（－2,0）．因此＝(－2，－4)．方法技巧此類題要充分利用向量相等的條件建立方程或方程組求待定參數(shù)，求一個向量坐標需求出向量始點與終點坐標．探究三向量坐標法的應用通過建立適當直角坐標系從而求出向量的坐標，這是解決向量或幾何問題的一種常用的方法．【例4】已知O是△ABC內一點，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°,設＝a，＝b，＝c，且｜a|＝2,|b|＝1，｜c｜＝3，試用a,b表示c．分析：由題中條件建立適當平面直角坐標系，由向量的模及向量與x軸正半軸夾角求向量坐標，再利用向量的坐標運算用a，b表示c．解：如圖所示，以O為原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系．因為｜a｜=2，所以a=(2，0）．設b=，所以=|b|cos150°=1×=—,y1=｜b｜sin150°=1×=．所以b=．同理可得c=．設c=a+b（，∈R），所以=（2，0）+=（2-，）．所以解得所以c=-3a-3b．探究四易錯辨析易錯點：因忽視點的位置而漏解【例5】如圖所示，已知平行四邊形的三個頂點坐標分別為A(4，3），B(3,－1)，C(1，－2)，求頂點D的坐標．錯解:設頂點D（x，y)，因為＝(－1，－4）,＝(1－x，－2－y），＝,所以解得所以頂點D的坐標為（2,2)．錯因分析：沒有注意到平行四邊形四個頂點的順序不同而漏解．解：設頂點D(x，y)．①若平行四邊形四個頂點的順序為A，B，C，D，則＝（3－4，－1－3)＝(－1，－4)，＝（1－x，－2－y）．由＝,得解得故頂點D的坐標為(2,2)．②若平行四邊形四個頂點的順序為A，C，B,D,則＝(1－4，－2－3）＝（－3，－5），＝(3－x,－1－y)．由＝,得解得故頂點D的坐標為(6,4）．③若平行四邊形四個頂點的順序為A,B，D，C