數(shù)學(xué)課堂探究：回歸分析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求回歸直線方程在進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，若給出一組數(shù)據(jù),一般要畫(huà)出散點(diǎn)圖或求出兩個(gè)變量的相關(guān)系r數(shù),確定二者之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系；若已具備線性相關(guān)關(guān)系，則利用公式求出eq\o（a，\s\up6（^）)和eq\o（b，\s\up6(^）），再寫(xiě)出回歸直線方程;最后一般要根據(jù)得出的回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)或控制．【典型例題1】某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20042006200820102012需求量/萬(wàn)噸236246257276286（1）利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程eq\o(y，\s\up6（^))＝eq\o（b，\s\up6（^)）x＋eq\o（a，\s\up6（^));（2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地2014年的糧食需求量．思路分析：(1）利用公式eq\o(b，\s\up6(^)）＝eq\f(∑xiyi－n\x\to（x）\x\to（y)，∑x\o\al（2，）i－n\x\to（x)2),eq\o（a，\s\up6（^))＝eq\x\to（y)－eq\o（b,\s\up6(^))eq\x\to(x）來(lái)計(jì)算回歸系數(shù)．（2)獲得回歸直線方程后，取x＝2014代入，即得所求．解：（1）由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來(lái)配回歸直線方程．為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份－2008－4－2024需求量－257－21－1101929對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù),容易算得eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝3。2，eq\o（b,\s\up6（^））＝eq\f(（－4）×（－21)＋（－2)×（－11)＋2×19＋4×29,42＋22＋22＋42)＝eq\f（260,40）＝6。5,eq\o(a,\s\up6（^）)＝eq\x\to(y)－eq\o(b，\s\up6（^)）eq\x\to（x)＝3.2。由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線方程為eq\o（y，\s\up6（^))－257＝b（x－2008）＋a＝6.5(x－2008)＋3.2.即eq\o（y,\s\up6（^))＝6。5（x－2008）＋260。2.①（2）利用直線方程①，可預(yù)測(cè)2014年的糧食需求量為6．5×（2014－2008)＋260。2＝6.5×6＋260。2＝299。2（萬(wàn)噸)．點(diǎn)評(píng)知道y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,就無(wú)須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),否則,應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．如果本身兩個(gè)變量不具有相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)，它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著,即使求出回歸方程也是毫無(wú)意義的，而且用其進(jìn)行的預(yù)測(cè)也是不可信的．探究二相關(guān)性檢驗(yàn)與回歸分析的綜合運(yùn)用若給出一組數(shù)據(jù),不明確變量x與y的相關(guān)性，要采用散點(diǎn)圖或利用相關(guān)系數(shù)r來(lái)進(jìn)行判斷;若無(wú)線性相關(guān)關(guān)系，則沒(méi)有求回歸直線方程的必要；若具有線性相關(guān)關(guān)系，則如同探究一進(jìn)行運(yùn)算．【典型例題2】為了考察兩個(gè)變量y與x的線性相關(guān)性，測(cè)得x,y的13對(duì)數(shù)據(jù)，若y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，則相關(guān)系數(shù)|r|的取值范圍是__________．解析：查表得顯著性水平0.05，自由度13－2＝11相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05＝0.553。所以y與x若具有線性相關(guān)關(guān)系，則相關(guān)系數(shù)|r|的取值范圍是(0.553,1］．答案：(0。553,1］【典型例題3】要分析學(xué)生高一入學(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有什么影響,在高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生,分析他們高一入學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)(x）和高一期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)（y)（如下表）：編號(hào)12345678910x63674588817152995876y65785282928973985675(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2）計(jì)算高一入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)（x)與高一期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)（y）的相關(guān)系數(shù)；（3)對(duì)變量x與y進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如果x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出y對(duì)x的線性回歸方程；（4)若某學(xué)生高一入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分，試估計(jì)他高一期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)．思路分析：(1)建立坐標(biāo)系描點(diǎn)即可．(2)借助于散點(diǎn)圖可大致判定兩變量間的相關(guān)性，用相關(guān)系數(shù)公式可準(zhǔn)確判定兩變量間的相關(guān)程度．(3)先作統(tǒng)計(jì)假設(shè),由小概率0.05與n－2在附表中查得相關(guān)系數(shù)的臨界值r0.05,若｜r｜＞r0。05,則兩變量線性相關(guān)，否則兩變量不具有線性相關(guān)性．若兩變量相關(guān)，利用公式求出線性回歸方程．（4)直接利用線性回歸方程預(yù)測(cè)．解:(1）高一入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)（x)與高一期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)（y）兩組變量的散點(diǎn)圖如圖，從散點(diǎn)圖看,這兩個(gè)變量間具有線性相關(guān)關(guān)系．（2）因?yàn)閑q\x\to(x)＝eq\f(1,10)（63＋67＋…＋76）＝70，eq\x\to(y）＝eq\f(1,10)（65＋78＋…＋75）＝76，∑(xi－eq\x\to(x))（yi－eq\x\to（y））＝1894，∑（xi－eq\x\to（x）)2＝2474，∑(yi－eq\x\to（y））2＝2056,因此求得相關(guān)系數(shù)為：r＝eq\f(∑(xi－\x\to(x）)(yi－\x\to(y））,\r（∑(xi－\x\to（x))2）\r(∑（yi－\x\to(y)）2）)＝0.839786.結(jié)果說(shuō)明這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度是比較高的．（3)查表求得顯著性水平0.05和自由度10－2＝8的相關(guān)系數(shù)臨界值r0。05＝0。632，因｜r｜＞r0.05，這說(shuō)明高一入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)與高一期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)線性回歸方程為eq\o(y，\s\up6(^)）＝eq\o(a,\s\up6(^）)＋eq\o(b，\s\up6(^))x，在兩組變量具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系的情況下，求得eq\o（b，\s\up6（^）)＝0.76556,eq\o(a，\s\up6（^))＝eq\x\to（y）－eq\o(b，\s\up6（^)）eq\x\to(x）＝22.4108.因此所求的線性回歸方程是eq\o（y,\s\up6（^）)＝22.4108＋0。76556x。(4)若某學(xué)生高一入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分，代入上式可求得，eq\o(y,\s\up6（^)）≈84分，即這個(gè)學(xué)生高一期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)的預(yù)測(cè)值為84分．點(diǎn)評(píng)對(duì)于題目中數(shù)據(jù)的處理可嘗試?yán)糜?jì)算機(jī)中的有關(guān)應(yīng)用程序來(lái)幫助解決．探究三非線性回歸分析實(shí)際問(wèn)題中的兩個(gè)變量很多時(shí)候其實(shí)不是線性相關(guān)關(guān)系,要進(jìn)行變量代換,轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題，再進(jìn)行處理．建立回歸模型需要確定回歸方程的類型,這需要利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的各種函數(shù)圖象的特征來(lái)進(jìn)行判斷：在一般情況下，樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近，利用線性回歸模型來(lái)解決問(wèn)題；如果數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，則選用非線性回歸模型,常見(jiàn)的非線性回歸模型有：反比例函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型等．【典型例題4】為了研究某種細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)y隨時(shí)間x的變化情況，收集數(shù)據(jù)如下:天數(shù)x/天123456繁殖個(gè)數(shù)y/個(gè)612254995190（1）用天數(shù)作解釋變量,繁殖個(gè)數(shù)作預(yù)報(bào)變量，作出上述數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2）試求出預(yù)報(bào)變量對(duì)解釋變量的回歸方程．解:(1)根據(jù)數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖,如圖所示．(2）根據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)不是分布在某一條直線附近，而是分布在一條曲線附近．根據(jù)已學(xué)的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一指數(shù)型函數(shù)y＝c1ec2x(c1＞0,c2＞0）附近，則將函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)得lny＝c2x＋lnc1，則令u＝lny，得u＝c2x＋lnc1,根據(jù)數(shù)據(jù)可得x和u的數(shù)據(jù)表：x123456u1。792。483.223。894。555.25由上面x和u的數(shù)據(jù)表可得x和u的散點(diǎn)圖,如下圖所示．從圖中可以發(fā)現(xiàn)x和u之間有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸模型來(lái)擬合它們之間的關(guān)系．根據(jù)公式得到回歸直線方程為eq\o(u，\s\up6(^))＝0.6909x＋1.112,即lneq\o（y,\s\up6（^））＝0。6909x＋1.112，則得eq\o（y,\s\up6（^)）＝e0.6909x＋1.112.故我們可以利用eq\o（y,\s\up6(^)）＝e0。6909x＋1.112來(lái)描述天數(shù)x與繁殖個(gè)數(shù)y之間的關(guān)系．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：不理解公式中的結(jié)構(gòu)形式而使計(jì)算出錯(cuò)【典型例題5】英語(yǔ)老師為了了解學(xué)生的詞匯量，設(shè)計(jì)了一份包含100個(gè)單詞的試卷,現(xiàn)抽取15名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到學(xué)生掌握試卷中單詞個(gè)數(shù)x與該學(xué)生實(shí)際掌握單詞量y的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下：x6165706983755873y20302140227022502240222019702330x63727168656774y2100230023002200220022002370（1)對(duì)變量y與x進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn);(2)如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,則①求y對(duì)x的回歸直線方程；②求x對(duì)y的回歸直線方程．錯(cuò)解：（1）由計(jì)算器求下列數(shù)據(jù):i12345678xi6165706983755873yi20302140227022502240222019702330xiyi123830139100158900155250185920166500114260170090i9101112131415xi63727168656774yi2100230023002200220022002370xiyi132300165600163300149600143000147400175380eq\x\to(x）＝68.93，eq\x\to(y）＝2208，∑xeq\o\al(2，）i＝71822,∑yeq\o\al（2,)i＝73298600，∑xiyi＝2290430于是∑xeq\o\al(2，）i－15eq\x\to（x）＝71822－15×68。93＝70788.05,∑yeq\o\al(2,)i－15eq\x\to(y）＝73298600－15×2208＝73265480，∑xiyi－15eq\x\to（x）eq\x\to（y）＝2290430－15×68。93×2208＝7468。4，r＝eq\f（∑xiyi－15\x\to(x）\x\to（y),\r（（∑x\o\al（2,)i－15\x\to（x)）(∑y\o\al(2,)i－15\x\to（y）)））＝eq\f(7468.4，\r（70788.05×73265480））＝0。0033。查相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表，得r0。05(15－2)＝0.514.由于｜r|＜r0.05，故y與x無(wú)線性相關(guān)關(guān)系．(2)由（1）得x與y的回歸直線方程不存在．錯(cuò)因分析：本題由于對(duì)公式r＝eq\f(∑xiyi－n\x\to（x)\x\to(y)，\r((∑x\o\al（2,）i－n\x\to（x)2)（∑y\o\al（2，)i－n\x\to（y)2）））的錯(cuò)誤記憶而導(dǎo)致錯(cuò)誤．正解：(1)列表并用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算：i12345678xi6165706983755873yi20302140227022502240222019702330xiyi123830139100158900155250185920166500114260170090i9101112131415xi63727168656774yi2100230023002200220022002370xiyi132300165600163300149600143000147400175380eq\x\to(x）＝68.93，eq\x\to(y）＝2208，∑xeq\o\al(2,）i＝71822，∑yeq\o\al（2,）i＝73298600，∑xiyi＝2290430于是∑xeq\o\al(2,）i－15eq\x\to（x)2＝71822－15×68.932＝551。83，∑yeq\o\al（2,）i－15eq\x\to(y)2＝73298600－15×22082＝169640，∑xiyi－15eq\x\to（x）eq\x\to(y）＝2290430－15×68。93×2208＝7468.4,r＝eq\f(∑xiyi－15\x\to（x)\x\to(y），\r（(∑x\o\al(2，）i－15\x\to(x)2）(∑y\o\al(2,）i－15\x\to（y）2）））＝eq\f(7468.4,\r（551。83×169640））＝0.772.查相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表，得r0.05(15－2)＝0.514.由于|r|＞r0.05，故y與x有線性相關(guān)關(guān)系．（2）①設(shè)y對(duì)x的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^））＝eq\o(b,\s\up6（^))x＋eq\o(a,\s\up6(^）），則eq\o（b,\s\up6（^))＝eq\f（∑xiyi－15\x\to(x）\x\to(y）,∑x\o\al（2，)i－15\x\to（x)2）＝eq\f(7468.4,551。83)＝13.5，eq\o（a,\s\up6（^））＝eq\x\to（y）－eq\o(b,\s\up6（^))eq\x\to(x)＝2208－13。5×68.93＝1277.445,即所求的y對(duì)x的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝13.5x＋1277。445.②設(shè)x對(duì)y的回歸直線方程為eq\