2024年北京清華附中朝陽學校高三(上)10月月考數(shù)學試題及答案_第1頁
2024年北京清華附中朝陽學校高三(上)10月月考數(shù)學試題及答案_第2頁
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文檔簡介

2024北京清華附中朝陽學校高三10月月考數(shù)學2024.10.10(清華附中朝陽望京學校)姓名____________一、選擇題共10小題每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.U=xxAx2x3=1.已知全集,集合,則()(2(2)A.C.B.(+)()(+),2,2D.和等比數(shù)列滿足=,==,=,則的公比為()ab1b122248b2.若等差數(shù)列nnn?4D.A.2B.2C.4中,角與角均以y=x對稱.若3.在平面直角坐標系為始邊,它們的終邊關(guān)于直線3sin=cos=(,則)54453535A.?B.C.D.5()為圓M1的弦的中點,則直線AB的方程是()4.若點C:x2y24x=0+?ABx?y?2=0x?y=0x+y?2=0x+y=0A.C.B.D.5.已知D是邊長為2的正△邊BC上的動點,則ABAD的取值范圍是(B.[3,2])A.[3,4]2]C.D.[2,4]11aba+1b+16.若ab0,則①a+1?+?b.上述結(jié)論中,所有正確結(jié)論;②;③b1aba的序號是()A.①②B.①③C.②③D.①②③7.若命題“xR,x2+2xm0”是真命題,則實數(shù)m的取值范圍是(+)A.m1B.m≤1C.m1m1D.22xx+a?a8.“a=1”是“函數(shù)fx()=具有奇偶性”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件fx=9.已知函數(shù)()3x2x,則(?)()在R上單調(diào)遞增fx對xR,f(x)1恒成立A.B.()fx()=只有一個解fx=xC.不存在正實數(shù)a,使得函數(shù)y為奇函數(shù)D.方程ax()(單位:米/分鐘)與時間(單位:分10.如圖為某無人機飛行時,從某時刻開始15分鐘內(nèi)的速度Vxx鐘)的關(guān)系.若定義“速度差函數(shù)”()為無人機在時間段()的圖像為(x內(nèi)的最大速度與最小速度的差,則vxvx)A.C.B.D.二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.1x?1()=函數(shù)fx+x的定義域是____________.12.直線l:x+y=1+y?2x?2y=0的弦長=___________.x22截圓13.如圖,在四棱錐PABCD?中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD=2,為線段,=EPB的中點,F(xiàn)為線段BC上的動點,平面AEF與平面PBC____________(填“垂直”或不垂直”△AEF的面積的最大值為_____________.x?2xa()=fx14.設(shè)函數(shù)2x+a,xa①若a()的最小值為__________.=?2,則fx②若()有最小值,則實數(shù)的取值范圍是__________.fxa的前項和為,?=.給出下列四個結(jié)論:anSn1,0ann1a2n(R)15.設(shè)數(shù)列n①是遞增數(shù)列;②aR,an都不是等差數(shù)列;n1③當=1時,a是中的最小項;④當時,.a(chǎn)nS14其中所有正確結(jié)論的序號是____________.三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.中,角,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b+c=a+bc.16.在222(1)求A的大??;6(2)如果cosB=,b=2,求的面積.3f(x)=x+)x=f(x)f(x)的對稱軸,且在區(qū)間17.已知函數(shù),2是函數(shù)6,上單調(diào).63f(x)(1)從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知,使得的解析式存在,并求出其解析式;12f(x)A條件①:函數(shù)的圖象經(jīng)過點;35,0f(x)的對稱中心;條件②:是,0f(x)條件③:是的對稱中心.122f(x)y=f(x)x(2)根據(jù)(1)中確定的,求函數(shù)的值域.18.如圖,矩形ABCD和梯形ABEF,AFAB,EF//AB,平面ABEF平面ABCD,且⊥⊥AB=AF=AD=EF=1,過DC的平面交平面ABEF于MN.(1)求證:DC//MN;(2)當M為BE中點時,求平面ABCD與平面的夾角的余弦值;(3)當M為BE中點時,求點E到平面的距離;19.已知函數(shù)f()e1)(xax2?x+.y=f(x)(0,f(0))處的切線的方程;(1)求曲線(2)若函數(shù)(3)若函數(shù)在點f(x)在x=0a處取得極大值,求的取值范圍;f(x)a存在最小值,直接寫出的取值范圍.20.已知f(x)ksinx2x.=+(1)當k=2時,判斷函數(shù)f(x)零點的個數(shù);π?sinx+2xln(x+x(2)求證:;2π2f(x)ln(x+x在(3)若恒成立,求k的最小值.的子列=akn?i(i均為等差數(shù)列,則稱為階等差數(shù)列.a(chǎn)kna21.若數(shù)列na=nn3n?2的前項與的前項中相同的項構(gòu)成數(shù)列,寫出的各項,abb(1)若,數(shù)列15154nnn并求的各項和;bn(2)若數(shù)列既是34階等差數(shù)列,設(shè)a的公差分別為an,a,ad,d,d.33n?23n13n12d,d,d的大小關(guān)系并證明;3(?。┡袛?2(ⅱ)求證:數(shù)列是等差數(shù)列.a(chǎn)n參考答案一、選擇題共10小題每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.【答案】B【分析】由補集定義可直接求得結(jié)果.+),A=2,32)【詳解】.故選:B.2.【答案】Ba=b=?1【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量運算可得,然后利用等比數(shù)列的概念結(jié)合條件即得.11【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列d的公比為q,anbn==a+28d=2+2d則,4所以d3,a=b=2=a+3a=b=?1,=∴,221112b1q==2.所以故選:B.3.【答案】D【分析】根據(jù)對稱關(guān)系可得+=+2k(kZ),利用誘導公式可求得結(jié)果.2y=x()2kkZ,+=+2k=+2【詳解】的傾斜角為,與滿足4422235=+2k?=?=sin=.故選:D.4.【答案】C【分析】由垂徑定理可知⊥,求出直線AB的斜率,利用點斜式可得出直線AB的方程.(?)2+y24,=+【詳解】圓C的標準方程方程為x2124,即點M在圓C內(nèi),1?0圓心(),==?1,由垂徑定理可知⊥,則,C2,0kk=1?AB12y?1=x?1,即x?y=0故直線AB的方程為故選:C..5.【答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得|AD|cosDAB2],再由ABAD|AD||AB|cosDAB即可求范圍.【詳解】由D在邊BC上運動,且△為邊長為2的正三角形,ABcosDAB1,2,0DAB所以,則3由AD||||cos[2,4].=故選:D6.【答案】A【分析】對①,由ab兩邊同除ab化簡即可判斷;對②,由ab得a+abb+ab,兩邊同除(+)化簡即可判斷;bb111對③,先移項得a1+?ab+1?b,可化為,即可比較分母大小判a+1+ab+1+b斷ab11ab0【詳解】對①,,即,①對;ababba(+)(+)ab1ba1aba+1b+1ab0a+abb+abab+1ba+1()(),則對②,由,②,(+)(+)bb1bb1對;11a+1?b+1a?ba+1?ab+1?b對③,由a+1+ab+1+b則b+1+ba+1+ab0a,與矛盾,③錯;故選:A7.【答案】B【分析】不等式能成立,等價于方程有實數(shù)解,用判別式計算求參數(shù)即可.【詳解】由題可知,不等式x2+2x+m0在實數(shù)范圍內(nèi)有解,2x+2x+m=0有實數(shù)解,等價于方程即=4?4m0,解得m≤1.故選:B.8.【答案】A【分析】根據(jù)充分、必要性的定義,及奇偶性的定義求參數(shù)a,判斷題設(shè)條件間的關(guān)系即可.22xx+1?1【詳解】當a=1時f(x)=,則定義域為{x|x,2?2?xx+?112+xx22xx+?11f(?x)===?=?f(x),故f(x)為奇函數(shù),充分性成立;112?22x+a?a若f(x)=具有奇偶性,x2?2?xx+?a1+a2a1?a2xxf(x)f(?x)===f(x),當為偶函數(shù),則22xx+a1+a2?a1?a2x=a=0;所以恒成立,可得x2?2?xx+?a1+a2a1?a2xxf(x)f(?x)===?f(x),當為奇函數(shù),則2xx+a1+a2?a1?a2xx?=恒成立,可得a=1或?=?1;所以2所以必要性不成立;22xx+a?a綜上,“a=1”是“函數(shù)fx()=具有奇偶性”的充分而不必要條件.故選:A9.【答案】Bf(x)f(x)零點的存在f(x)x0x0【分析】對求導,研究在、上的符號,結(jié)合指數(shù)冪的性質(zhì)判斷f(0)=0性,進而確定單調(diào)性區(qū)間、最小值,進而判斷A、B的正誤;利用奇偶性定義求參數(shù)a判斷C、f=1即可排除D.3=x?x2=2xxln3?2]f(x)3ln32),而2x0,【詳解】由當x0時而x0,令2,即+)上f(x)f(x)0f(x)=3x?20恒成立;x遞增,且,所以32ln332==x=()0=f(x)0()x00,可得使,22ln3(?,x)f(x)0f(x)(0,+)f(x)0f(x)上遞增;故在R上不單調(diào)遞增,A,綜上,錯誤;上,遞減;02ln32ln3x=xf(0)=30?20=30?()0]=30??0,),而03x01,1所以所以時,有最小值032ln342f(0)1?1?=?1,故xR,f(x)1恒成立,B正確;2f(x)3?x?2?x3x?2xy=g(x)=a0g(?x)==?g(x)=?令為奇函數(shù)且,則恒成立,axa?xaxax(2x?3x)2x?3x==6滿足要求,C錯誤;所以顯然恒成立,則a6xaxf(0)=30?20=0,故x=0為一個解,且f=3?2=1,即x1為另一個解,顯然不止有一個=解,D錯誤.故選:Bf(x)【點睛】關(guān)鍵點點睛:A、B判斷注意分類討論的符號,結(jié)合指數(shù)冪的性質(zhì)確定導函數(shù)的零點位置,()=的解fxxC、D應(yīng)用奇偶性定義得到等式恒成立求參、特殊值法直接確定10.【答案】C.x[0,6],x[6,10],xx【分析】根據(jù)速度差函數(shù)的定義,分四種情況,分別求得函x,“速度差函數(shù)”數(shù)解析式,從而得到函數(shù)圖像.40【詳解】由題意可得,當x[0,6]時,無人機做勻加速運動,V(x)=60+340v(x)=x;3x[6,10]時,無人機做勻速運動,V(x)=140v(x)=;當當當,“速度差函數(shù)”x時,無人機做勻加速運動,V(x)=40+10xv(x)=20+10x,“速度差函數(shù)”;xv(x)=100,結(jié)合選項C滿足“速度差函數(shù)”解時,無人機做勻減速運動,“速度差函數(shù)”析式,故選:C.二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.【答案】()+).【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組,解得結(jié)果.x?10【詳解】由題意得,x0故答案為:()0,1.【點睛】本題考查函數(shù)定義域,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.12.【答案】6【分析】由圓的弦長與半徑、弦心距的關(guān)系,求直線lC截得的弦長.|1+1?1|2x+y?1=0,圓心Cd==【詳解】線l的方程為到直線l的距離.+122121?d2=22?=6.∴此時直線l被圓C截得的弦長為故答案為:6.2r2213.【答案】①.垂直②.3【分析】根據(jù)線面垂直的的性質(zhì)定理,判定定理,可證AE平面PBC,根據(jù)面面垂直的判定定理,即可⊥得證.分析可得,當點F位于點C時,面積最大,代入數(shù)據(jù),即可得答案.【詳解】因為PA底面ABCD,⊥BC平面ABCD,⊥所以,又底面ABCD為正方形,所以AB⊥BC,AB,PA平面PAB,又,所以BC⊥平面PAB,因為AE平面PAB,⊥所以,又2,==所以PAB為等腰直角三角形,且E為線段PB的中點,所以AEPB,⊥BCPB=B,BC,PB平面又PBC,所以AE平面PBC,⊥因為AE平面AEF,⊥所以平面AEF與平面PBC.因為AE平面PBC,⊥EF平面PBC,所以,⊥所以當最大時,△AEF的面積的最大,當F位于點C時,EF最大且=2+=6,21所以△AEF的面積的最大為26=3.2故答案為:垂直;3?a?114.【答案】①.2.【分析】對①,分別計算出每段的范圍或最小值即可得;對②,由指數(shù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)沒有最小值,可得xa存在最小值則最小值一定在段,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.x?x?22()=fx【詳解】①當a=?2時,2,x?x?234則當x?2時,f(x)=2x?1??,當x2時,f(x)=x?2?2,2故()的最小值為2;fx?x?xa2()=fxxafx2x2a1()=?1??)②由,則當時,,x2+a,xa由()有最小值,故當f(x)的最小值小于等于?1,時,fxxafx時,有()=?,符合要求;a1則當a?1且xaa?時,y=x+aa?1,故不符合要求,故舍去.12當綜上所述,a?1.故答案為:2;?a?1.15.【答案】③④【分析】利用特殊數(shù)列排除①②,當0時顯然有判斷③④即可.a0n,對數(shù)列遞推關(guān)系變形得到a=+an,再n1an+【詳解】當數(shù)列為常數(shù)列時,aa?a=0,不是遞增數(shù)列,是公差為0的等差數(shù)列,①②錯ana2nnn1n誤;1=+aa0,又因為,所以由遞推關(guān)系得1當=1時,an0,aa?a2n=1,顯然有an0,所以an1nn1an+n1an1?n=0,故數(shù)列a是遞增數(shù)列,1是a中的最小項,③正確;n所以ann14當時,由③得,所以由基本不等式得an=21,a0na=n1+an2nn=a+++,④正確.a23a20232022S當且僅當時等號成立,所以,所以nn故選:③④.三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.+33216.1)2)32b2+c2?a2)利用余弦定理的變形:A=即可求解.bc(2)利用正弦定理求出a=3,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和性質(zhì)以及兩角和的正弦公式求出sinC,由三角形的面積公式即可求解.)b2+c2=a+bc。2b2+c2?a2bc12由余弦定理可得cosA===,bcbc又因為0A,所以A=.36(2)由B=,0B,33所以sinB=1?cos2B=,3ab=在中,由正弦定理可得,sinAsinB322sinA2a===3,所以sinB33=(+)=sinCsinABsinAB+AsinB361332+3=+=,23236132+3=absinC=.所以的面積S22【點睛】本題考查了余弦定理、正弦定理解三角形、三角形的面積公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.17.1)f(x)=sin(2x+)61?,1(2)2)根據(jù)題意得到02和+k+()kZ,62再根據(jù)選擇的條件得到第三個方程,分析方程組即可求解;(2)先求出2x+所在的范圍,再根據(jù)圖像求出函數(shù)值域即可.6【小問163Tf(x),?=因為在區(qū)間上單調(diào),所以,23622因為T=,且0,解得0是函數(shù)x=2;又因為f(x)的對稱軸,6+k+()kZ所以;621A,所以sin=1f(x)若選條件①:因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點,22因為|,所以=,所以+=k+6k2k,即=+()Z,26662當k=0時,=2,滿足題意,故f(x)=sin(2x+).63()+=mmZ,,0f(x)的對稱中心,所以若選條件②:因為是3k+6202所以,此方程無解,故條件②無法解出滿足題意得函數(shù)解析式.3512+mmZ(),,0f(x)的對稱中心,所以若條件③:因為是12k+62=02=+).所以,解得6f(x)sin(2x=2,所以612【小問2f(x)=sin(2x+)由(1)知,,62xy=f(x)xf(x)=sin(2x+)所以等價于,,6266122x+,sin(2x+)?,1所以,所以,6621?,1.y=f(x)x即函數(shù)的值域為:218.1)證明見解析2(2)(3)222)根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可;(2)建立空間直角坐標系,根據(jù)空間向量求二面角即可;(3)建立空間直角坐標系,根據(jù)空間向量的坐標關(guān)系求解點E到平面的距離即可.【小問1因為矩形ABCD,所以//,AB平面,DC平面,所以//平面.因為過的平面交平面于,由線面平行性質(zhì)定理,得DC//MN;【小問2ABAF⊥AB,AF,平面⊥由平面平面ABCD其交線為所以⊥平面ABCD,x,y,z又四邊形ABCD為矩形,所以以A為原點,以、、為軸建立空間直角坐標系.3B(2,0),E(2M,1D1,0,0),C2,0),則=AF=,AD=EF=1,得由AB,23=(0,0),=(22y=0nn=x,y,z),則(n=0,1).因為設(shè)平面法向量即3,取z1得=?x+y+z=0n02AF⊥平面ABCD,設(shè)平面ABCD法向量AF(0,0,2),=記平面ABCD與平面的夾角為,n22cos==所以,11+2AFn2即平面ABCD與平面的夾角的余弦值為【小問3.2因為平面法向量n(,).n21,2=(??)又因為CE,所以點到平面E的距離d==;n22y=119.1)1(?,)(2)21(3)4)先求導后求出切線的斜率f(0)=0,然后求出直線上該點的坐標即可寫出直線方程;'(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值分類討論;(3)分情況討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極限求解.【小問1解:由題意得:ff'(x)=ex(ax2?x+1+2ax?=ex(ax2+2ax?x)(0)=0,f(0)1='y=f(x)(0,f(0))y=1.故曲線在點處的切線的方程處取得極大值,【小問2由(1)得要使得f(x)在x=0f'(x)在x0時應(yīng)該f'(x)0,'f(x)在x0時應(yīng)該f'(x)0,ex(ax+2a?1?2a故①a0且0,解得a0a1?2a12②a0且00a,解得a當a=0時,f'(x)=?ex,滿足題意;11a=f'(x)=x2xe,不滿足題意;當時,221a綜上:的取值范圍為(?,).2【小問31212可以分三種情況討論:①a0②1?2a0a③a1?2a若a0,f(x)在(?,)上單調(diào)遞減,在(,0)+)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,無最小值;aa10ax0x時,趨向時,f(x)趨向于0;當若時,當x0,要使函數(shù)取得存在最小值21?2a12a?1?2a12a?12a?1?2a140ax=f()=ea[a()2?+=ea(4a?0,解得,故處取得最小值,aaaa14a的取值范圍故若.12af(x)f(x)x時,f(x)0f(0)1趨向于,又=時,在趨向故無最小值;14a的取值范圍綜上所述函數(shù)存在最小值,.20.1)一個零點(2)證明見解析3)1?)當k=2時,求導得f(x)在R上單調(diào)遞增,又因為f(0)=0f(x),即可求出零點的個數(shù).π2g(x)=2x?sinx?ln(x+g(x)x(2)設(shè),求導得在上單調(diào)遞增,則g(x)g(0)=0,即可證明.(3)解法一:當k?1時,由(2)得f(x)?sinx+2xln(x+,恒成立.當k?1時,設(shè)h(x)=f(x)?ln(x+,判斷h(x)0是否成立,即可求出答案.π2f(x)ln(x+xh(x)=f(x)?ln(x+h(x)0,轉(zhuǎn)化為求解法二:在恒成立,令.【小問1當k=2時,x=0;f(x)2cosx2≥0=+,f(x)2sinx2x=+在R上單調(diào)遞增,f(0)=0,f(x)只有一個零點【小問2π21x+1π2g(x)=2x?sinx?ln(x+xg(x)=2?x?0g(x)x,所以在設(shè),當時,上單調(diào)遞增,所以g(x)g(0)=0,所以2x?sinx?ln(x+0?sinx+2xln(x+,.【小問3解法一:當k?1時,由(2f(x)?sinx+2xln(x+,恒成立.1x+11當k?1時,設(shè)=?+=+h(x)f(x)ln(xh(x)2kx?h(x)=?ksinx+0.(x+2π1π2h()=2?0h(x)在x上單增,h(0)k+10,=,2π1+2=h(x)0,0x由零點存在性定理,存在使得0h(x)(0,x)h(0)h(0)=0k?所以在上遞減,,不等式不恒成立,所以的最小值為1.01x+1解法二:設(shè)h(x)f(x)ln(xh(x)=?+=+2kcosx?.1x+1π①當k?1時,h(x)=kx+2?h(x)在(0,)單增,h(x)h(0)=0,f(x)ln(x+在0,2πx)恒成立.21x+11②當k?1時,設(shè)=?+=+h(x)f(x)ln(xh(x)2kx?h(x)=?ksinx+0.(x+2π1=?0h()2h(x)遞增,hk+10,=,2π1+2=h(x)0,0x由零點存在性定理,存在使得0h(x)(0,x)h(0)h(0)=0,不等式不恒成立,所以k的最小值為?1.所以在上遞減,0的各項為:,,;的各項和為:4++28+40=88b,nb21.1)42840d=d=d3n(212)根據(jù)題意,利用枚舉法,即可求解;(23n?2,a

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