2024年北京一七一中高二（上）10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京一七一中高二10月月數(shù) 學(xué)10440分.在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.xA.6

3y20的傾斜角為（ ） 5πB. C. D.4 3 62.若2)，B(4,8)，C(5,x)，且B,C三點(diǎn)共線，則x( )A.－2 B.5 C.10 D.12在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)A2,關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，則AB（ 222

2

2 D.656某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)住房戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶結(jié)構(gòu)的滿意程度，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取25%的戶主作為樣本進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為（ ）656A.400，32 B.400，36 C.480，32 D.480，36如圖，在三棱錐OABC中，D是BC的中點(diǎn)，若OAa，OBb，OCc，則AD等于（ ）A.abcC.a1b1c2 2

B.abcD.a1b1c2 26.已知aR,bR，則“a3”是“直線ax2y10與直線(a1)x2ay10垂直”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件mx2m、xnm54，數(shù)據(jù)1、3x21、?、3xn14s，則下列結(jié)論正確的是（）A.m2，s36C.m4，s36

B.m2，s6D.m4，s6PABCDPBABCDPBAB2BC4ABBC，則點(diǎn)C到直PA的距離為（）A.23B.25C. 2D.49.如圖所示，在平行六面體ABCDABCD60，則AC的長(zhǎng)為（ ）中，AB1，AD2，AA3，BAD90，23A.5 B.23

C. D.51310.如圖，已知正方體ABCD的棱長(zhǎng)為1，E,F分別是棱AD,上的中點(diǎn).若點(diǎn)P為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊）動(dòng)點(diǎn)，且存在x,yR使xBEyBF成立，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（ ）5132A.1 B.1 C. 5 D.22 2第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5題，每題5分，共25分.已知空間向量a1,bx,y,2，若a//b，則實(shí)數(shù)x，y .12.直線l、m的方向向量分別為a0,2、b4,0，則直線l、m的夾角為 ．13.已知空間三點(diǎn)2,2),，則AB在AC上的投影向量坐標(biāo)為 .已知兩點(diǎn)A（1，﹣，B（2，，直線l點(diǎn)P（0，1）與線段B有交點(diǎn)，則直線l斜率值范圍為 ．ABCD中，EPDCDC移動(dòng)，對(duì)于下列三個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)P，使得PA1PE；②△PA1E的面積越來(lái)越??；的體積不變.所有正確的結(jié)論的序號(hào)是 .三、解答題共6題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.（1）B(30，且與直線2xy50垂直的直線一般式方程.求過(guò)點(diǎn)(24)，且與直線2xy10平行的直線的一般式方程；求過(guò)點(diǎn)(24xy2的直線斜率.MM務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出如下頻率分布表和頻率分布直方圖．分組頻數(shù)頻率[10,15)100.20[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.04合計(jì)M1M，pa的值；300人，試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間20內(nèi)的人數(shù)；保留一位小數(shù)）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者，某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（10040分的整數(shù)）六段：[40,50)，50,60, ,90,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖.a的值；75百分位數(shù)；已知落在[50,60)547，落在[60,70)664，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差.ABCDAD2E，F(xiàn)AB的中點(diǎn).EF；再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求CEFBCE的夾角的余弦值；ACEF的距離CE；條件②：直線BD與平面BCCB所成的角為.1 11 4注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.ABCDPAABCDPADQPA3DQ32AB2，且ABC60.PAC平面CDQ；PCMAMPCQ所成角的正弦值是15.PM的值；若不存在，說(shuō)明理由.

5 PC,an)21.已知集合Sn{X|X(x1,x2, ,xn),i,n}(n2)，對(duì)于A(a1,a,an),anbnSnB, Sn，定義ABAB,a2,anbn

)；A與B之間的距離為d(B)=+a2 an.（1）AB，試寫出所有可能的AB；（2）BCSndACBC)dB；（3）BCSndBdCd(BC)三個(gè)數(shù)中是否一定有偶數(shù)？證明你的結(jié)論.參考答案10440分.在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).【答案】D【分析】利用斜率和傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角.【詳解】設(shè)斜率為k，傾斜角為，∵y 3x2 3，∴k3tan，．3 3 3 6故選：D．【答案】C【分析】由三點(diǎn)共線可得直線AB,AC的斜率存在并且相等求解即可.【詳解】解：由題意，可知直線AB,AC的斜率存在并且相等，即82x2，解得x10.41故選：C.【答案】

51【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)空間兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算可得；5【詳解】解：點(diǎn)A2,1,1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B2,1,1，所以522221212故選：C【答案】A

2 ；【分析】根據(jù)圖（1）及分層抽樣可得樣本容量及抽取的四居室戶主人數(shù)，再結(jié)合圖（2）可得抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù).【詳解】由圖（1）得該小區(qū)戶主總?cè)藬?shù)為4808003201600人，所以樣本容量為160025%400人，其中四居室戶主有32025%80人，由圖（2）得抽取的戶主中對(duì)四居室滿意的有8040%32人，故選：A.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的基底表示AD.【詳解】在三棱錐OABC中，D是BC的中點(diǎn)，ADAD1ABAC)1OAOCa1b1c.故選：C【答案】A【分析】當(dāng)a3時(shí)，判斷兩直線是否垂直，由此判斷充分性，當(dāng)兩直線垂直時(shí)，根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)求出a的值，由此判斷必要性，從而得到答案【詳解】充分性：a33x2y10與4x6y10此時(shí)兩條直線垂直必要性：若兩條直線垂直，則aa14a0，解得a10,a23a3ax2y10與直線a1x2ay10垂直”的充分不必要條件故選A【點(diǎn)睛】本題是一道有關(guān)充分條件和必要條件的題目，需要分別從充分性和必要性兩方面分析，屬于基礎(chǔ)題．【答案】D、、xn的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，利用平均數(shù)的定義求解A，BC，D即可.、、xnx,標(biāo)準(zhǔn)差為，數(shù)據(jù)1、3x21、?、3xn14,則1)(3x2 (3xnx2 xn)13x14，n n解得x而數(shù)據(jù)m xnm的平均數(shù)是5,(x1(x1m)(x2m) (xnm)x2xnm1m5[(xm)(xm)]2[(xm)(xm)]212[(xm)(xm)]2n可得m4，由方差公式可得 n(xx)2(xx)2(xx)21 2 n 24，n2 [(3xn [(3x(3x[(3x2 [(3xn s21 n

1)(3x1)]2，9(xx)29(xx)29(xx)21 2 n 236，ns6D正確故選：D.【答案】A【分析】利用空間距離的向量求法，建立坐標(biāo)系寫出向量代入公式計(jì)算可得結(jié)果.BBCBPx軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B00C20A00P04，PC2PCPAPA2 2224 2 PC2PCPAPA2 2224 2 1642

20 20故選：A.【答案】C【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，利用向量AB,AD,AA1表示AC，再根據(jù)向量的模的性質(zhì)，數(shù)量積的運(yùn)算律ACACCBD CBD BD2所以 ，2 2 所以 ABAD2AAAB2ABAD2AAAD，2 2 91423232AB 91423232所以

，60， 5故選：C【答案】CB1P//BEFP即可.【詳解】xBEyBFBFB1P//BEF，中點(diǎn)QAAQ，根據(jù)正方體的性質(zhì)得，B1Q//BE，B1A//FE，且，F(xiàn)E BE=E，所以平面AQ//平面BEF，所以點(diǎn)P在AQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的軌跡為線段AQ，因?yàn)锳A1，AQ1，1 1 21+145由勾股定理得QA1+1452故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面與平面平行的判斷及性質(zhì)，求點(diǎn)的軌跡的問(wèn)題，考查了推理能力.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5題，每題5分，共25分.【答案】 ①.0 ②.2【分析】根據(jù)空間向量平行的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)ba，則(x,y,2)(0,,)x0即yx0y22故答案為：0；2【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.π12.【答案】60°##3【分析】求出

a,b，根據(jù)直線夾角的定義即可求解．cos

1，a,ba,bab8 ab832a,a,b120又∵兩直線夾角范圍是[0°，90°]，l、m故答案為：60°．24413.【答案】(, ,)999AB2AC22)，結(jié)合ABACAC，即可求解.AC AC【詳解】由三點(diǎn)A(1,1,1),B(1,2,2),C(2,1,1)，可得AB(2,1,3),AC(1,2,2)，則AC3,ABAC2，則 在 上的投影向量坐標(biāo)為ABAC

2(1,2,2)(2,4,4).AB AC

AC

9 999244故答案為：(, ,).99914.【答案】1,1【分析】根據(jù)斜率的公式，數(shù)形結(jié)合分析臨界條件求解即可.

211，直線PB的斜率為k10

111．20lABlk．.15【答案】①②③P,,0（0m2，選項(xiàng)①，列出方程，求mP距離，表達(dá)出而得到答案；③把Ph的體積不變.D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DCx軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱4m2m21長(zhǎng)為2，則1,,2，E,,2，設(shè)P,,0（0m4m2m211m1m224PA1PE，①正確；

，令m28m24m9，解得：m1，存在點(diǎn)P，使得m2m24mA1E145PE2m,2，1,2,0A1E145cos

PEAE221032m PAEd，則m24mm2m24mm24mdPEsinPE,AE m24m9111

PA1E

132m2m24m132m2m24m9m28m3651AEd1 m28m3621212m4201DCm02mm4220變小，△PAE的面積越來(lái)越小，②正確；1以△A1B1E為底，高為點(diǎn)P到上底面的距離h，因?yàn)镈C∥底面A1B1C1D1，所以h不變，所以四面體A1PB1E的體積不變，③正確.故答案為：①②③三、解答題共6題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.2216.【答案（1）x2y30（2）2xy20（3） 或 .22（（2）.（3）根據(jù)給定條件，利用直線方程的截距式，再利用待定系數(shù)法求出直線的橫縱截距，進(jìn)而求出直線的斜率.（1）設(shè)與直線2xy50x2ym0B(30，則320m0m3，x2y30.設(shè)與直線2xy10平行的直線方程為2xyn0(n，又該直線過(guò)點(diǎn)(

24)，則2(

2)4n0，解得n2，所以所求直線方程為2xy20.x y

ab2顯然直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為

1，則2 4 ，a b 1a b整理得ab2(ab)1，即1b22a1，因此(b)22，解得b2，a b a b a a而直線xy1，即ybxb，其斜率為kb，a b a a22所以所求直線的斜率為 或 .2217（1）M50p0.28a0.096（2）144 ，18.1，18.3【分析】（1）借助頻數(shù)、頻率與總數(shù)之間的關(guān)系計(jì)算即可得；以所得頻率估計(jì)概率計(jì)算即可得；借助眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的定義計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】由分組[10,15)對(duì)應(yīng)的頻數(shù)是10，頻率是0.20，知100.20，所以M50，M所以1024m250m【小問(wèn)2詳解】

14pM

140.28，a50

2450

0.096；估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[15,20)內(nèi)的人數(shù)為24300144；50【小問(wèn)3詳解】估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的眾數(shù)是152017.5．224因?yàn)閚 0.48，所以估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)x滿足：24500.2(x15)0.480.5，5x18.125由12.50.2017.50.4822.50.2827.50.0418.3，所以估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的平均數(shù)是18.3.18（1）a0.030（2）84 （3）總平均數(shù)為62；總方差為37【分析】（1）根據(jù)每組小矩形的面積之和為1即可求解；由頻率分布直方圖求第百分位數(shù)的計(jì)算公式即可求解；利用分層抽樣的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槊拷M小矩形的面積之和為1，所以0.0050.0100.020則a0.030.【小問(wèn)2詳解】

0.0250.010 10 1，成績(jī)落在40,80內(nèi)的頻率為0.0050.0100.0200.030100.65，落在40,90內(nèi)的頻率為0.0050.0100.0200.0300.025100.9，設(shè)第75百分位數(shù)為m，由0.65m800.0250.75，得m84，故第75百分位數(shù)為84.【小問(wèn)3詳解】由圖可知，成績(jī)?cè)?060的市民人數(shù)為1000.110，成績(jī)?cè)?070的市民人數(shù)為1000.220，故這兩組成績(jī)的總平均數(shù)為1054662062，1020由樣本方差計(jì)算總體方差公式可得總方差為： s2107(5462)2204(6662)2 30 30（1）證明見(jiàn)解析（2（ⅰ） 6（ⅱ）13【分析】（1）利用空間中直線與平面平行的判定定理，結(jié)合三角形中位線即可證明；2（2）若選條件①，利用CEB1D，通過(guò)推理論證得到CDB1C22面法向量，再根據(jù)面面夾角的向量公式及點(diǎn)到面的距離公式運(yùn)算求解；

，建立空間直角坐標(biāo)系，求平2BDBCCB，通過(guò)推理論證得到CDBC22

，建立空間直角1 11 4 1坐標(biāo)系，求平面法向量，再根據(jù)面面夾角的向量公式及點(diǎn)到面的距離公式運(yùn)算求解．【小問(wèn)1詳解】如圖，連接AD1，B1D1，BD.ABCD為平行四邊形.所以E為BD1的中點(diǎn)，在ABD1中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BD1和AB的中點(diǎn)，所以EF∥AD1.，EF.【小問(wèn)2詳解】選條件①：CEB1D.(ⅰ)連接B1C.2因?yàn)殚L(zhǎng)方體中AD2，所以2 .2在△CBD1中,因?yàn)镋為B1D的中點(diǎn)，CEB1D，2所以CD2 .22如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，因?yàn)殚L(zhǎng)方體中AAD2,CD2 ，2則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,22,0)，B(2,22,0)，F(xiàn)(2,2,0)，B1(2,22,2)，E(1,2,1).所以CE

2,1)，CF(2,

2,0)，CB(2,0).設(shè)平面CEF的法向量為m(x1,y1,z1)，mCE則

1即

2y1z10,mCF

21

2y10.2令1，則 ，1，可得m2,1).2設(shè)平面BCE的法向量為n(x2,y2,z2)，nCE

2

2y2z20,則 即nCB0,

2x0. 22令y21，則x20，z2 ，所以n2).2設(shè)平面CEFBCE的夾角為，n|mnn|mn||m||n|63所以平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值為 6.3(ⅱ)因?yàn)锳F(0,2,0)，所以點(diǎn)A到平面CEF的距離為d|AFm|1.|m|選條件②：BD與平面BCCB所成角為.1連接B1C.

11 4ABCDCD，所以CD.所以DBC為直線BD與平面BCCB所成角，即DBC.1 1 11 1 4所以DB1C為等腰直角三角形.2因?yàn)殚L(zhǎng)方體中AD2，所以2 .22所以CD2 .2以下同選條件①.（1）證明見(jiàn)解析1（2）存在，2

或1.（1）BC2AB2AC2ABACPAABCDABAP，進(jìn)而證得AB平面PAC，結(jié)合CD//AB，得到CD平面PAC，利用面面垂直的判定定理，即可證得平面PAC平面CDQ.（2）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz

，設(shè)PMPC0,33，求得向量M,,3PCQn,3,)，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：在 ABC中，BC2，AB1，ABC60，則AC2BC2AB22BCABcosABC3，可得AC 3所以BC2AB2AC2，所以ABAC.因?yàn)镻A平面ABCD，AB平面ABCD，所以ABAP，又因?yàn)锳C APA，AC平面PAC，AP平面PAC，所以AB平面PAC，因?yàn)镃D//AB，所以CD平面PAC，又因?yàn)镃D平面CDQ，所以平面PAC平面CDQ.【小問(wèn)2詳解】ABCDPA平面ABCD，PADQABC60.

，PA3DQ3

AD2AB2，且假設(shè)線段PC上存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面PCQ所成角的正弦值是15，5以AABACAPx軸、yzAxyz，A(000P(00C(0,30,，C,3,3Q,3,2，PMPC0,330,30，M,,3M,,3，PCQnx,y,z，則nPC

3y3z0，nPQx3令y ，可得xz1，所以n3,1，設(shè)直線AM與平面PCQ所成角的大小為，3

3y2z0故sinAMn

3 15，5122189 5整理得2210，解得