2024年北京三十五中高二（上）10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京三十五中高二10月月數(shù) 學(xué)2024.10行政班 教學(xué)班 姓名 學(xué)號 試卷說明：試卷分值共120分，考試時間90分鐘．一.選擇題(10440分．每小題只有一個正確選項，請選擇正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號處)m，n表示平面，下列說法正確的是A.若m//,n//,則m//n B.若m，n，則mnC.若m，mn，則n// D.若m//，mn，則n下列說法正確的是（）任何三個不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底空間的基底有且僅有一個兩兩垂直的三個非零向量可構(gòu)成空間的一個基底p在基底abc下的分解式與在基底e,fg下的分解式相同3.若直線l的方向向量為a(1,2,3),平面的法向量為n(3,6,9),則A.l

B.l// C.l

D.l與相交ABCABaACbc.MN與BC的中點，則MN（）1a1c2 2

1 1 11ab1ab1c 2 2 2 2 2

D.1a1c2 25.已知空間三點A1,3,2,B2,5,1,Cp1,7,q共線，則p和q的值分別是（）A.3，6 B.2，4 C.1，4 D.2，6在正方體ABCD中，P為的中點，則直線PB與所成的角為（ ）π π π πA. B. C. D.2 3 4 6棱長為2的正四面體ABCD中，點E是AD的中點，則BACE（ ）3A.1 B.－1 C.3

D.3已知長方體ABCD中，2，AD1，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）3 3

2

6 D.13 22ABCDEFM上的一(02)NMEN的距離為（）A. 2B. A. 22 35在棱長為1的正方體ABCD中，M,N分別為,的中點，點P在正方體的表面上運動，且滿足MPCN，則下列說法正確的是（ ）A.點P可以是棱的中點 B.線段MP的最大值為 25C.點P的軌跡是正方形 D.點P軌跡的長度為2+5二.填空題(共6個小題，每題5分，共30分．請將正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號處)已知點P5，則該點關(guān)于yOz平面的對稱點坐標為 .12.若a(2,b(2,c4,2)，則a(b2c)，若kab與c互相垂直，實數(shù)k.ABCDAD12.

，正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為 PABCDABCDPAABCDPAAB2，E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點，平面AEF與平面PBC 填“垂直”或不垂直的面積的最大值為 ．

△AEFABCDPABCD及其內(nèi)部運動，點Q在矩形ABEF及其內(nèi)部運動．設(shè)AB2,AF1，給出下列四個結(jié)論：PQPQ3；②存在PQ，使CQ//EP；③到直線AD和EF的距離相等的點P有無數(shù)個；④若PAPE，則四面體PAQE體積的最大值為1．3其中所有正確結(jié)論的序號是 ．三、解答題(共3個小題，共50分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請將正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號處)如圖，在四棱錐 PABCDPAABBC2AD2.

中， PA 平面

ABCD,ABAD,AD//BC ，MABADPM；PBPCD所成角的正弦值;APDC的余弦值．ABCABCABACABACM為線段A1C1上的一點．求證//ABC；所成角的余弦值；ABBCMπABCM的距離．1 4 119.設(shè)nn2為正整數(shù)，若x1,x2,,xn滿足：①xi0,1,,n1，i1,2,,n；②對于1ijnxj.則稱En.對于x2,xny1y2,,yn，定義集合T,ttxiyi,i1,2,,n.（1）設(shè)0,1,2，若具有性質(zhì)E3，請寫出一個及相應(yīng)的T,；（2）設(shè)0,124E5，滿足T4；（3）設(shè)0,16E7，使得T？若存?zhèn)€數(shù)的奇偶；若不存在，請說明理由.參考答案一.選擇題(10440分．每小題只有一個正確選項，請選擇正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號處)【答案】B【詳解】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.考點：空間點線面位置關(guān)系．【答案】C【分析】借助空間向量基底定義與性質(zhì)逐項判斷即可得.AABB錯誤；CCDD錯誤.故選：C.【答案】C【分析】由已知得a n，從而得到l⊥．la3平面n369，∴a1n，∴a n，3∴l(xiāng)．故選C．【點睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．【答案】D【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)空間向量的線性運算即可得到答案. 【詳解】因為ANABBNAB1BCAB1ACAB1AC1AB1b1a AMAM1AC1ACCC1ACAA1b1c2121212 2，MNANAM1b1a1b1c1a1c.2 2 2 2 2 2 故選：D.【答案】B【分析】得到AB，AC后借助空間向量共線計算即可得.AB3ACpq2，12

3 p2q4.p 4故選：B.

q2【答案】D【分析】平移直線AD1至BC1，將直線PB與AD1所成的角轉(zhuǎn)化為PB與BC1所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接BC1,PC1,PB，因為AD1∥BC1，所以PBC1或其補角為直線PB與AD1所成的角，因為平面 ，所以，又，，所以PC1平面PBB1，所以PC1PB，2設(shè)正方體棱長為2，則BC22,PC1DB ，21 1 2 11sin

PC11，所以PBC.1 1 故選：D

2【答案】ABACEBACAAEBACABAAE求解即可．【詳解】CECAAE，所以BACEBACAAEBACEBACAAEBACABAAE2故選：A．【答案】C【分析】根據(jù)D1C1平面BCC1B1找到線面角，進而求出答案.，所以所成的角，1

2,BD

，所以22222226

6261 126故選：C.

3【答案】DD為原點，DAx軸，DCy軸，DD1z軸，建立空間直角坐標系，D1EFnMD1EFNEM中點即可求解D為原點，DAx軸，DCy軸，DD1z軸，建立空間直角坐標系，M（2，，2，1，0，，（2，01，F(xiàn)（2，211＝（﹣2，，1，EF＝（，2，，EM＝（0，λ，nE12xz01EFn＝（x，y，，則

nEF2y0

x＝n＝（10，∴點M到平面D1EF的距離為：d＝|EMn|225，N為EM中點，所以N到該面的距離為 5故選：D．

|n| 5 5 5【點睛】本題考查利用向量法求解點到平面距離，建系法與數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵，屬于中檔題【答案】DABCDDDADCxyzMPCNP的軌跡，在逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】ABCDDDADCxyz軸正方向，建立空間直角坐標系，因為該正方體的棱長為1MN的中點，D00M111N1C0，222 2 所以CN1,0,1，設(shè)Px,y,z，則MPx1,y1,z1，2

2 2 2 因為MPCN，所以1x1z10，2x4z30，當x1時，z1；當x0時，z3；2 2 2 4 4 1133444，41133444，4連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，則EFGH0,1,0，EHFG1,0,1， 2 所以四邊形EFGH為矩形，EHE則EFCN0，EHCN0，即EFCN，EHCNEHEEF

EFEFGHEHEFGH，所以CN平面EFGH，EM111 111又 , , ， , , ，所以M為EG中點，則M平面EFGH， 224 224MPCNPEFGHP在正方體的表面上運動，PEFGH，EHFG52EFEHFG52EFEH

GH

1，

，所以

，則點P的軌跡不是正方形；且矩形EFGH的周長為22

522

5，故C錯，D正確；MEGMEFGHME和點G的距離相等，且最大，所以線段MP的最大值為3，故B錯.4故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵在于建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用空間向量的方法，由MPCN，求出動點軌跡圖形，即可求解.二.填空題(共6個小題，每題5分，共30分．請將正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號處)11.【答案】3,1,5yOzxyzP5計算即可得.【詳解】求一個點關(guān)于平面yOz的對稱點坐標，xyzP5yOz平面的對稱點坐標為5.5.12.【答案】 ①.1 ②.312得到方程，解出即可.【詳解】空1：b2c8,8,7，則a(b2c)2838171；2kabk2232k3kk3，kab與c互相垂直，則kabc0，32k212k2k30，k3.5故答案為：1；3.5【答案】 ①.

②.1【分析】建立空間直角坐標系，利用向量減法、模和數(shù)量積的坐標運算，求得所求的結(jié)果.【詳解】以D為原點建立空間直角坐標系如下圖所示，則C0,2,0,C10,2,1,B1,2,0,D10,0,1,A12,0,1.1405所以CC10,0,1,BD11,2,1,CA12,1405

0

，0,0,12,1.51）5

（2）1【點睛】本小題主要考查空間向量的減法、模和數(shù)量積的計算，屬于基礎(chǔ)題.【答案】 24【分析】利用正四棱錐的性質(zhì)可得EFO為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，在直角三角形EFO中即求．EABCDABCD中心OABF，EOEF、OF，EOABCDOFABEFAB，所以EFO為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，因為正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，1221AD122cosEFOOF 2AE2AE2AF2故答案為： 2．4

1 2，3232123【答案】 ①.垂直 ②.3【分析】根據(jù)線面垂直的的性質(zhì)定理，判定定理，可證AE平面PBC，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可得證.分析可得，當點F位于點C時，面積最大，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.PAABCDBCABCD，PABC，ABCDABBC，又AB PAA，AB,PA平面PAB，BCPABAEPAB，又PAAB2，所以PABEPBAEPB，又BCPBB，BC,PB平面PBC，所以AE平面PBC，因為AE平面AEF，所以平面AEF與平面PBC.AEPBCEF，所以當EF最大時，△AEF的面積的最大，EB2BC663當F位于點C時，EF最大且EB2BC663所以△AEF的面積的最大為12

2 .3故答案為：垂直；3【答案】①③④【分析】建立適當空間直角坐標系后，借助空間向量研究位置關(guān)系，結(jié)合距離公式、三棱錐體積公式逐項判斷即可得.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)FBD，則有??(0,0,0)F0B00D02、C02E0，P0mnQst0，其中0mnt20s1，Q s2tm2Q s2tm2n2PQ144當s1，tnPQ144故存在點P,Q，使PQ3，故①正確；sn2CQst2EP1mn，若CQ//EP，則有sm2t2sn2

，3，由0mnt20s1sn2s1n2，m2t2mt4mt2，此時Q與E重合，P與C重合，故不存在點P,Q，使CQ//EP，故②錯誤；n2對③：點P到直線AD的距離為m，點Pn2

，即m2n21，由0mn2，PAP0mnEP1mn，PAPEmm2n20n21m2,，又S

1S21

1121，21 1故VPAQE3SAQEn3113，故④正確.故答案為：①③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第④個結(jié)論的關(guān)鍵點在于借助四面體的體積公式，分別求出高與底面三角形的最大值.三、解答題(共3個小題，共50分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請將正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號處)（1）證明見解析（2） 33（3） 66【分析】（1）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得AD平面PAB，即可證明ADPM；PBPCD的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論；APD的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論；【小問1詳解】PAABCD,ADABCDPAAD，PAABABPAB，ADPABMABPMPABADPM.【小問2詳解】因為PA平面ABCD,ABAD，所以以點A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為PAABBC2AD2，A00D0B20C20P02，因為PB2,0,2,DC2,1,0,PD0,1,2，PCDnx,y,z，則nDC2xy0，nPDy2z03y2xz1n12,1，PBPCD所成角的大小為，3所以sincosPB,n

PB

4 ，PBn

226 3直線PB和平面PCD所成角的正弦值 3.3【小問3詳解】平面APD的法向量為m1,0,0,設(shè)二面角APDC的平面角大小為，所以cosn

mn1 6，mn 6 6因為二面角APDC的平面角為鈍角，所以二面角APDC的余弦值 6.6（1）證明見解析（2）01（3）3【分析】（1）借助線面平行的性質(zhì)定理推導(dǎo)即可得；弦值；M位置，再結(jié)合空間點到面距離公式進行求解即可.【小問1詳解】ABC////ABC；【小問2詳解】ABCABACABCABACABAC，故AB,AC,AA1兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz：0),0C(0,10),，由BC1AB11110110，故BC1AB1，故直線BC與直線AB所成角的余弦值為cosπ0；1 1 2【小問3詳解】M(0a