第20章 點(diǎn)的軌跡-假期晉級(jí)利器之初升高數(shù)學(xué)銜接教材（解析版）

第20章點(diǎn)的軌跡【知識(shí)銜接】————初中知識(shí)回顧————初中階段的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題主要為“動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題”。所謂“動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線、動(dòng)面，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開(kāi)放性題目．動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題有兩個(gè)顯著特點(diǎn)：一是“動(dòng)態(tài)”，常以圖形或圖象中點(diǎn)、線、面的運(yùn)動(dòng)(包括圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、相似等圖形變換)為重要的構(gòu)圖背景；二是“綜合”，主要體現(xiàn)為三角形、四邊形等幾何知識(shí)與函數(shù)、方程等代數(shù)知識(shí)的綜合．解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵是在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上先做到靜中求動(dòng)，根據(jù)題意畫一些不同運(yùn)動(dòng)時(shí)刻的圖形，想像從頭到尾的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程有一個(gè)初步的理解，理清運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的各種情形；然后是做到動(dòng)中取靜，畫出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各種情形的瞬間圖形，尋找變化的本質(zhì)，或?qū)D中的相關(guān)線段代數(shù)化，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題或方程問(wèn)題解決．————高中知識(shí)鏈接————高中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題主要為求曲線的軌跡方程問(wèn)題。求點(diǎn)軌跡方程的方法（1）直接法：從條件中直接尋找到的關(guān)系，列出方程后化簡(jiǎn)即可（2）代入法：所求點(diǎn)與某已知曲線上一點(diǎn)存在某種關(guān)系，則可根據(jù)條件用表示出，然后代入到所在曲線方程中，即可得到關(guān)于的方程（3）定義法：從條件中能夠判斷出點(diǎn)的軌跡為學(xué)過(guò)的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過(guò)確定相關(guān)曲線的要素，求出曲線方程．常見(jiàn)的曲線特征及要素有：①圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡直角→圓：若，則點(diǎn)在以為直徑的圓上確定方程的要素：圓心坐標(biāo)，半徑②橢圓：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于定點(diǎn)距離）的點(diǎn)的軌跡確定方程的要素：距離和，定點(diǎn)距離③雙曲線：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于定點(diǎn)距離）的點(diǎn)的軌跡注：若只是到兩定點(diǎn)的距離差為常數(shù)（小于定點(diǎn)距離），則為雙曲線的一支確定方程的要素：距離差的絕對(duì)值，定點(diǎn)距離④拋物線：平面上到一定點(diǎn)的距離與到一定直線的距離（定點(diǎn)在定直線外）相等的點(diǎn)的軌跡確定方程的要素：焦準(zhǔn)距：．若曲線位置位于標(biāo)準(zhǔn)位置（即標(biāo)準(zhǔn)方程的曲線），則通過(guò)準(zhǔn)線方程或焦點(diǎn)坐標(biāo)也可確定方程【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型1、如圖，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，點(diǎn)M是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC=60°，則當(dāng)△ABM為直角三角形時(shí)，AM的長(zhǎng)為．【答案】或或4．【分析】分三種情況討論：①當(dāng)M在AB下方且∠AMB=90°時(shí)，②當(dāng)M在AB上方且∠AMB=90°時(shí)，③當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，分別根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)或勾股定理，進(jìn)行計(jì)算求解即可．三角形，∴AM=AO=4；如圖3，當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，∴Rt△BOM中，BM==，∴Rt△ABM中，AM==．綜上所述，當(dāng)△ABM為直角三角形時(shí)，AM的長(zhǎng)為或或4．故答案為：或或4．【方法歸納】從點(diǎn)動(dòng)的特殊情形入手，進(jìn)行推理或判斷，再對(duì)一般情形作出猜想或判斷并證明．2、如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，若△BPQ的面積為y（cm2），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），則下列最能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】作AH⊥BC于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BH=CH，利用∠B=30°可計(jì)算出AH=AB=2，BH=AH=，則BC=2BH=，利用速度公式可得點(diǎn)P從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C需4s，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C需8s，然后分類討論：當(dāng)0≤x≤4時(shí)，作QD⊥BC于D，如圖1，BQ=x，BP=x，DQ=BQ=x，利用三角形面積公式得到；當(dāng)4＜x≤8時(shí)，作QD⊥BC于D，如圖2，CQ=8﹣x，BP=，DQ=CQ=（8﹣x），利用三角形面積公式得，于是可得0≤x≤4時(shí)，函數(shù)圖象為拋物線的一部分，當(dāng)4＜x≤8時(shí)，函數(shù)圖象為線段，則易得答案為D．△BDQ中，DQ=CQ=（8﹣x），∴y=?（8﹣x）?，即，綜上所述，．故選D．【方法歸納】從點(diǎn)動(dòng)的特殊情形入手，進(jìn)行推理或判斷，再對(duì)一般情形作出猜想或判斷并證明．3、如圖，矩形AOCB的頂點(diǎn)A、C分別位于x軸和y軸的正半軸上，線段OA、OC的長(zhǎng)度滿足方程（OA＞OC），直線y=kx+b分別與x軸、y軸交于M、N兩點(diǎn)，將△BCN沿直線BN折疊，點(diǎn)C恰好落在直線MN上的點(diǎn)D處，且tan∠CBD=．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求直線BN的解析式；（3）將直線BN以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸向下平移，求直線BN掃過(guò)矩形AOCB的面積S關(guān)于運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（0＜t≤13）的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）B（15，13）；（2）；（3）．【分析】（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得x、y的值，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)D作EF⊥OA于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，由條件可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，且可求得=，結(jié)合DE∥ON，利用平行線分線段成比例可求得OM和ON的長(zhǎng)，則可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BN的解析式；（3）設(shè)直線BN平移后交y軸于點(diǎn)N′，交AB于點(diǎn)B′，當(dāng)點(diǎn)N′在x軸上方時(shí)，可知S即為?BNN′B′的面積，當(dāng)N′在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，可用t表示出直線B′N′的解析式，設(shè)交x軸于點(diǎn)G，可用t表示出G點(diǎn)坐標(biāo)，由S=S四邊形BNN′B′﹣S△OGN′，可分別得到S與t的函數(shù)關(guān)系式．【解答】（3）設(shè)直線BN平移后交y軸于點(diǎn)N′，交AB于點(diǎn)B′，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)N′在x軸上方，即0＜t≤8時(shí)，如圖2，由題意可知四邊形BNN′B′為平行四邊形，且NN′=t，∴S=NN′?OA=15t；【方法歸納】按線動(dòng)的位置進(jìn)行分類，畫出各狀態(tài)圖形，利用這些等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程來(lái)解決．4、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，直線MN分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M（6，0），N（0，），等邊△ABC的頂點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，BC邊落在x軸正半軸上，點(diǎn)A恰好落在線段MN上，將等邊△ABC從圖l的位置沿x軸正方向以每秒l個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，邊AB，AC分別與線段MN交于點(diǎn)E，F(xiàn)（如圖2所示），設(shè)△ABC平移的時(shí)間為t（s）．學(xué)-科網(wǎng)（1）等邊△ABC的邊長(zhǎng)為_(kāi)______；（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t=_______時(shí)，MN垂直平分AB；（3）若在△ABC開(kāi)始平移的同時(shí)．點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)．以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線BA—AC運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)即停止運(yùn)動(dòng)．△ABC也隨之停止平移．①當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若△PEF與△MNO相似．求t的值；②當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）3；（2）3；（3）①t=1或或；②S=，當(dāng)t=時(shí)，△PEF的面積最大，最大值為，此時(shí)P（3，）．【分析】（1）根據(jù)，∠OMN=30°和△ABC為等邊三角形，求證△OAM為直角三角形，然后即可得出答案．（2）易知當(dāng)點(diǎn)C與M重合時(shí)直線MN平分線段AB，此時(shí)OB=3，由此即可解決問(wèn)題；（3）①如圖1中，由題意BP=2t，BM=6﹣t，由△PEF與△MNO相似，可得=或=，即=或=，解方程即可解決問(wèn)題；②當(dāng)P點(diǎn)在EF上方時(shí)，過(guò)P作PH⊥MN于H，如圖2中，構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；∵∠BAC=60°，∴EF=AE=t，當(dāng)點(diǎn)P在EF下方時(shí)，PE=BE﹣BP=3﹣t，由，解得0≤t＜，∵△PEF與△MNO相似，∴=或=，∴=或=，解得t=1或t=．當(dāng)點(diǎn)P在EF上方時(shí)，PE=BE﹣BP=t-3，∵△PEF與△MNO相似，∴=或=，∴=或=，解得t=或3．∵0≤t≤，且t-3＞0，即＜t≤，∴t=．綜上所述，t=1或或．②當(dāng)P點(diǎn)在EF上方時(shí)，過(guò)P作PH⊥MN于H，如圖2中，由題意，EF=t，F(xiàn)C=MC=3﹣t，∠PFH=30°，∴PF=PC﹣CF=（6﹣2t）﹣（3﹣t）=3﹣t，∴PH=PF=，∴S=?EF?PH=×t×【方法歸納】根據(jù)題意畫一些不同運(yùn)動(dòng)時(shí)刻的圖形，想象從頭到尾的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程有一個(gè)初步的理解，理清運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的各種情形；然后是做到動(dòng)中取靜，畫出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各種情形的瞬間圖形，尋找變化的本質(zhì)，或?qū)D中的相關(guān)線段代數(shù)化，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題或方程問(wèn)題解決．高中經(jīng)典題型例1．如圖，已知線段上有一動(dòng)點(diǎn)（異于）,線段,且滿足（是大于且不等于的常數(shù)），則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為（）A．圓的一部分B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分【答案】B例2．設(shè)點(diǎn)A到圖形C上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)A到圖形C的距離．已知點(diǎn)A（1，0），圓C：x2+2x+y2=0，那么平面內(nèi)到圓C的距離與到點(diǎn)A的距離之差為1的點(diǎn)的軌跡是（）A．雙曲線的一支B．橢圓C．拋物線D．射線【答案】D【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖所示，設(shè)圓心坐標(biāo)為，滿足題意的點(diǎn)為點(diǎn)，由題意有：，則，設(shè)，結(jié)合幾何關(guān)系可知滿足題意的軌跡為射線．本題選擇D選項(xiàng)．例3．動(dòng)點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，點(diǎn)和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為（）．A．B．C．D．【答案】B例4．點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程是___．【答案】【解析】由垂直平分線的性質(zhì)有，所以，又，根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是C，F(xiàn)為焦點(diǎn)，以4為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，，，所以點(diǎn)Q的軌跡方程是．例5．已知直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作的切線，且交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_______．【答案】，故原拋物線C相應(yīng)的點(diǎn)P的軌跡方程為，故答案為．學(xué)/科．．網(wǎng)例6．已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)．（I）若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ；（II）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】（I）詳見(jiàn)解析；（II）．【解析】由題設(shè)．設(shè)，則，且．記過(guò)兩點(diǎn)的直線為，則的方程為．（I）由于在線段上，故．記的斜率為，的斜率為，則當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得．而，所以．當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合．所以，所求軌跡方程為．【實(shí)戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實(shí)基礎(chǔ)————A組如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)A（，0）、B（0，﹣2）兩點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，以DE為邊作矩形DEGF，使點(diǎn)F在x軸上，點(diǎn)G在AC或AC的延長(zhǎng)線上．學(xué)科/-網(wǎng)（1）求拋物線的解析式；（2）將矩形DEGF沿GF所在直線翻折，得矩形D'E'GF，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D'落在拋物線上時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D'的坐標(biāo)；（3）如圖2，在x軸上有一點(diǎn)M（，0），連接BM、CM，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)矩形DEGF與四邊形ABMC重疊部分的面積為S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．【答案】（1）；（2）D′（，）；（3）．【分析】（1）把A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可知∠BAC=60°，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到AE=t，DE=t，AF=t，然后再證明AD=DF=2t，過(guò)點(diǎn)D′作D′H⊥x軸與點(diǎn)H，接下來(lái)，再求得點(diǎn)D′的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)D′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；（3）當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=ED?DF；當(dāng)＜t≤2時(shí)，S=矩形DEGF的面積﹣△CGN的面積．∵∠D′FH=∠AFD=30°，∴D′H=D′F=t，F(xiàn)H=D′H=t，∴AH=AF+FH=t，∴OH=AH﹣AO=，∴D′（，t）．∴當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=ED?DF=．當(dāng)＜t≤2時(shí)，如圖3所示：∵CG=AG﹣AC，∴CG=3t﹣4，∴GN=，∴S=ED?DF﹣CG?GN=﹣（3t﹣4）×（3t﹣4）=．綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為．2、如圖，已知拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，連接BD．（1）求拋物線的解析式．（2）若點(diǎn)P在直線BD上，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，作PF⊥x軸于F，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）P（﹣2，﹣2）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（2）先確定出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法得出直線BD的解析式，利用PC=PE建立方程即可求出a即可得出結(jié)論；（3）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)G，N的坐標(biāo)，利用FM=MG建立方程求解即可得出結(jié)論．（﹣1，0），設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，∴，∴，∴直線BD的解析式為y=﹣2x﹣6，設(shè)點(diǎn)P（a，﹣2a﹣6）．∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），根據(jù)勾股定理得，PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，PC2=a2+（﹣2a﹣6+3）2．∵PC=PE，∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，∴a=﹣2，∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，∴P（﹣2，﹣2）；（3）如圖，作PF⊥x軸于F，∴F（﹣2，0）．設(shè)M（d，0），∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3）．∵以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，必有FM=MG，∴|d+2|=|d2+2d﹣3|，∴d=或d=，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）．3、如圖，直線l的解析式為y=﹣x+4，它與x軸和y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)．平行于直線l的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸的正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．它與x軸和y軸分別相交于C，D兩點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤4），以CD為斜邊作等腰直角三角形CDE（E，O兩點(diǎn)分別在CD兩側(cè)）．若△CDE和△OAB的重合部分的面積為S，則S與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．【分析】分別求出0＜t≤2和2＜t≤4時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式即可爬判斷．4、將一個(gè)直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（，0），點(diǎn)B（0，1），點(diǎn)O（0，0）．P是邊AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），沿著OP折疊該紙片，得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)A'在第一象限，且滿足A'B⊥OB時(shí)，求點(diǎn)A'的坐標(biāo)；（2）如圖②，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，求A'B的長(zhǎng)；（3）當(dāng)∠BPA'=30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（1）（，1）；（2）1；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．【分析】（1）由點(diǎn)A和B的坐標(biāo)得出OA=，OB=1，由折疊的性質(zhì)得：OA'=OA=，由勾股定理求出A'B的值，即可得出點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（，1）；（2）由勾股定理求出AB=2，證出OB=OP=BP，得出△BOP是等邊三角形，得出∠BOP=∠BPO=60°，求出∠OPA=120°，由折疊的性質(zhì)得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，證出OB∥PA'，得出四邊形OPA'B是平行四邊形，即可得出A'B=OP=1；（3）分兩種情況：①點(diǎn)A'在y軸上，由SSS證明△OPA'≌△OPA，得出∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，得出點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②由折疊的性質(zhì)得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四邊形OAPA'是菱形，得出PA=OA=，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性質(zhì)求出PM的長(zhǎng)，把代入求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可．【解答】（1）∵點(diǎn)A（，0），點(diǎn)B（0，1），∴OA=，OB=1，由折疊的性質(zhì)得：OA'=OA=，∵A'B⊥OB，∴∠A'BO=90°，在Rt△A'OB中，A'B==，∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（，1）；①如圖③所示：點(diǎn)A'在y軸上，在△OPA'和△OPA中，∵OA′=OA，PA′=PA，OP=OP，∴△OPA'≌△OPA（SSS），∴∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A（，0），點(diǎn)B（0，1）代入得：，解得：，∴直線AB的解析式為，∵P（x，y），∴，解得：x=，∴P（，）；②如圖④所示：由折疊的性質(zhì)得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，∵∠BPA'=30°，∴∠A'=∠A=∠BPA'，∴OA'∥AP，PA'∥OA，∴四邊形OAPA'是菱形，∴PA=OA=，作PM⊥OA于M，如圖④所示：學(xué)/科+-網(wǎng)∵∠A=30°，∴PM=PA=，把y=代入得：=，解得：x=，∴P（，）；綜上所述：當(dāng)∠BPA'=30°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1．到兩坐標(biāo)軸的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）A．B．C．D．【答案】D2．斜率為的直線過(guò)拋物線焦點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為中