第14章 函數(shù)的奇偶性-假期晉級利器之初升高數(shù)學(xué)銜接教材（解析版）

第14章函數(shù)的奇偶性【知識銜接】————初中知識回顧————正比例函數(shù)：圖象關(guān)于原點對稱一次函數(shù)：當(dāng)時，圖象關(guān)于原點對稱反比例函數(shù)：圖象關(guān)于原點對稱二次函數(shù)：當(dāng)時，圖象關(guān)于軸對稱————高中知識鏈接————奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型1．已知點、是正比例函數(shù)圖象上關(guān)于原點對稱的兩點，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A故選A2．反比例函數(shù)的圖象如圖所示，以下結(jié)論：①常數(shù)m＜﹣1；②在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在圖象上，則h＜k；④若P（x，y）在圖象上，則P′（﹣x，﹣y）也在圖象上．其中正確的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】∵反比例函數(shù)的圖象位于一三象限，∴m＞0故①錯誤；當(dāng)反比例函數(shù)的圖象位于一三象限時，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，故②錯誤；將A（﹣1，h），B（2，k）代入得到h=﹣m，2k=m，∵m＞0∴h＜k故③正確；將P（x，y）代入得到m=xy，將P′（﹣x，﹣y）代入得到m=xy，故P（x，y）在圖象上，則P′（﹣x，﹣y）也在圖象上故④正確，故選：C．3．已知點，均在拋物線上，則、的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵拋物線開口向上，對稱軸為直線（即y軸），點比點到對稱軸的距離近，∴．點睛：（1）當(dāng)拋物線的開口向上時，拋物線上的點距對稱軸越近，其縱坐標(biāo)越小；（2）當(dāng)拋物線開口向下時，拋物線上的點距對稱軸越近，其縱坐標(biāo)越大．4．若在同一直角坐標(biāo)系中，作，，的圖像，則它們（）A．都關(guān)于軸對稱B．開口方向相同C．都經(jīng)過原點D．互相可以通過平移得到【答案】A故選A．高中經(jīng)典題型1．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝exC．y＝cosx D．y＝ex－e－x【答案】D【解析】A，B中顯然為非奇非偶函數(shù)；C中為偶函數(shù)．D中函數(shù)定義域為R，又，∴為奇函數(shù)．2．已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，求的值．【答案】【解析】，，．3．若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足，則有()A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，得，解得故，為上的增函數(shù)，，故．4．若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則()A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)是奇函數(shù)C．函數(shù)是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)【答案】B【解析】若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，對于選項A．設(shè)，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，對于選項B．設(shè)，則，故函數(shù)是奇函數(shù)，選項B正確；對于選項C．設(shè)，則函數(shù)是偶函數(shù)，故選項C不正確；對于選項D．設(shè)，是偶函數(shù)，故選項D不正確；綜上，正確的只有選項B,故選B．【實戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實基礎(chǔ)————A組1．拋物線y＝2x2－3的頂點在()A．第一象限B．第二象限C．x軸上D．y軸【答案】D【解析】試題分析：b=0，拋物線的對稱軸是y軸，所以頂點在y軸上，故選D．2．圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m．如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣x2D．y=x2【答案】C3．如圖，直線y=x與雙曲線的一個交點為A，且OA=2，則k的值為．【答案】2．【解析】∵點A在直線y=x，且OA=2，∴點A的坐標(biāo)為，把代入得，，∴k=2．4．如圖，Rt△ABC的兩個銳角頂點A，B在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，AC∥x軸，AC=2，若點A的坐標(biāo)為（2，2），則點B的坐標(biāo)為_______．【答案】（4，1）【解析】試題分析：∵點A（2，2）在函數(shù)（x＞0）的圖象上，∴2=，得k=4，∵在Rt△ABC中，AC∥x軸，AC=2，∴點B的橫坐標(biāo)是4，∴y==1，∴點B的坐標(biāo)為（4，1），故答案為：（4，1）．5．如圖，直線l與雙曲線交于A、C兩點，將直線l繞點O順時針旋轉(zhuǎn)a度角（0°＜a≤45°），與雙曲線交于B、D兩點，則四邊形ABCD的形狀一定是__．【答案】平行四邊形【解析】分析：本題考查的反比例函數(shù)圖像的對稱性和平行四邊形的判定定理得出即可．解析：因為反比例函數(shù)是中心對稱圖形，所以O(shè)A=OC,OB=OD,所以四邊形ABCD是平行四邊形．故答案為平行四邊形．6．若一個正比例函數(shù)的圖象與一個反比例函數(shù)的圖象的一個交點為（2，5），則另一個交點坐標(biāo)為________．【答案】（﹣2，﹣5）【解析】∵另一個交點的坐標(biāo)與點（2，5）關(guān)于原點對稱，

∴另一交點的坐標(biāo)為（-2，-5）．故答案是：(-2,-5)．7．如圖，已知直線y=x與雙曲線y=（k＞0）交于A，B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為4，（1）求k的值；（2）利用圖形直接寫出不等式x＞的解；（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線y=（k＞0）于P，Q兩點（P點在第一象限），若由點A，B，P，Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標(biāo)．【答案】（1）8；（2）﹣4＜x＜0和x＞4．（3）點P的坐標(biāo)為（8，1）或（2，4）．詳解：（1）∵直線y=x與雙曲線y=（k＞0）交于A，B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為4，∴×4=2，即：A點的坐標(biāo)為（4，2），∴k=4×2=8，即：k的值為8．（2）∵點A與點B關(guān)于原點O對稱，∴點B的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2），又∵不等式x＞的解，是函數(shù)圖象上直線位于雙曲線上方的部分對應(yīng)的x的取值，∴由圖象可知：不等式x＞的解是：﹣4＜x＜0和x＞4．（3）作AM⊥x軸于點M，PN⊥x軸于點N．設(shè)P點的坐標(biāo)為（a，）．∵P、Q關(guān)于O點對稱，A、B關(guān)于O點對稱，∴四邊形APBQ為平行四邊形，∴4S△OAP=24∴S△OAP=6．學(xué)科！網(wǎng)①當(dāng)點P在直線AB的下方時，如圖1所示，S△OAP=×4×2+（+2）（a﹣4）﹣a?=6，∴a2﹣6a﹣16=0，解得：a1=﹣2，a2=8，∴此時點P的坐標(biāo)為（8，1）；②當(dāng)點P在直線AB的上方時，如圖2所示，S△OAP=a?+（+2）（4﹣a）﹣×4×2=6，∴a2+6a﹣16=0，解得：a1=2，a2=﹣8，∴此時點P的坐標(biāo)為（2，4）．綜上所述：點P的坐標(biāo)為（8，1）或（2，4）．點睛：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，利用函數(shù)圖像解不等式，平行四邊形的判定與性質(zhì)及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點A的坐標(biāo)；（2）利用兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解不等式；（3）找出關(guān)于a的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出反比例函數(shù)系數(shù)k是關(guān)鍵．————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）【答案】（1）為奇函數(shù)；(2)為奇函數(shù)2．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3) C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【答案】B【解析】依題意，且，∴，則．3．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x2＋sinx【答案】D4．已知函數(shù)對一切，都有，則為()A．偶函數(shù) B．奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D