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專題06分式與分式方程一、分式分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子叫做分式.有意義的條件因?yàn)?不能做除數(shù),所以在分式eq\f(A,B)中,若B≠0,則分式eq\f(A,B)有意義;若B=0,那么分式eq\f(A,B)沒(méi)有意義.值為0在分式eq\f(A,B)中,當(dāng)A=0且B≠0時(shí),分式eq\f(A,B)的值為0分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變.用式子表示是:eq\f(A,B)=eq\f(A×M,B×M),eq\f(A,B)=eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)約分將分子、分母中的公因式約去,叫做分式的約分通分將幾個(gè)異分母的分式化為同分母的分式,這種變形叫分式的通分二、分式運(yùn)算分式運(yùn)算分式加減同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減,即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)=eq\f(a±b,c).異分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?,然后相加減,即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)=eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式,用分子的積做積的分子,分母的積做積的分母,即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)=eq\f(ac,bd).分式除以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘,即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)=eq\f(a,b)·eq\f(d,c)=eq\f(ad,bc)分式的混合運(yùn)算在分式的加減乘除混合運(yùn)算中,應(yīng)先算乘除,進(jìn)行約分化簡(jiǎn)后,再進(jìn)行加減運(yùn)算,遇到有括號(hào)的,先算括號(hào)里面的.運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式.三、分式方程分式方程定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程解法(1)解分式方程的基本思路:將分式方程化為整式方程.(2)常用方法:①去分母;②換元法.(3)去分母法的步驟:①去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;②解所得的整式方程;③驗(yàn)根作答.(4)換元法的步驟:①設(shè)輔助未知數(shù);②得到關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程,求出輔助未知數(shù)的值;③把輔助未知數(shù)的值代回原式中,求出原來(lái)未知數(shù)的值;④檢驗(yàn)作答.(5)解分式方程時(shí),在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí),有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根(我們把這個(gè)根叫做方程的增根),所以解分式方程時(shí)要驗(yàn)根.運(yùn)用解分式方程應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意,找準(zhǔn)等量關(guān)系,列出分式方程,最后要驗(yàn)根【考點(diǎn)1】分式的概念及有意義的條件【例1】(2022·湖南懷化)代數(shù)式x,,,x2﹣,,中,屬于分式的有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【例2】分式的值為零,則x的值為()A.2B.﹣2C.±2D.任意實(shí)數(shù)分式有意義、無(wú)意義和值為零的條件(1)若分式eq\f(A,B)有意義,則B≠0(2)若分式eq\f(A,B)無(wú)意義,則B=0(3)若分式eq\f(A,B)=0,則A=0且B≠01.(2022·四川涼山)分式有意義的條件是(
)A.x=-3 B.x≠-3 C.x≠3 D.x≠02.(2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題)不論x取何值,下列代數(shù)式的值不可能為0的是()A. B. C. D.3.(2022·湖北黃岡)若分式有意義,則x的取值范圍是________.4.(2022·廣西)當(dāng)______時(shí),分式的值為零.5.(2021·浙江)一種鹽水,將m克鹽完全溶解于n克水后仍然達(dá)不到所需的含鹽質(zhì)量分?jǐn)?shù),又加入了5克鹽完全溶解后才符合要求.則要配制的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為_(kāi)_______.【考點(diǎn)2】分式的基本性質(zhì)【例3】如果把分式中的x和y都縮小到原來(lái)的一半,則分式的值()A.縮小到原來(lái)的B.縮小到原來(lái)的C.不變D.?dāng)U大到原來(lái)的2倍【例4】(2021·福建三明·八年級(jí)期末)下列分式中,屬于最簡(jiǎn)分式的是()A. B. C. D.分式約分的關(guān)鍵是確定分子和分母的公因式.1.分子、分母均為單項(xiàng)式.確定公因式的步驟2.分子或分母是多項(xiàng)式時(shí),需要先將多項(xiàng)式因式分解,再求公因式.1.(2021·廣西岑溪·七年級(jí)期末)下列分式中,把x,y的值同時(shí)擴(kuò)大2倍后,值不變的是()A. B. C. D.2.(2021·遼寧沈河·八年級(jí)期末)下列各式從左到右的變形一定正確的是()A.=B.=x﹣yC.=D.=3.(2021·湖北武漢·八年級(jí)期末)下列分式中,是最簡(jiǎn)分式的是()A. B. C. D.4.(2021·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期末)將分式與通分,那么最簡(jiǎn)公分母為_(kāi)_______.5.(2021·貴州八年級(jí)月考)對(duì)分式通分后,的結(jié)果是()A.B.C.D.【考點(diǎn)3】分式運(yùn)算與化簡(jiǎn)【例5】先化簡(jiǎn),再求值:(+2-x)÷,其中x滿足x2-4x+3=0.在運(yùn)算過(guò)程中去括號(hào)時(shí),括號(hào)前面是“﹣”,去掉括號(hào)和它前面的“﹣”號(hào),括號(hào)里面的每一項(xiàng)都要改變符號(hào)分式混合運(yùn)算應(yīng)注意的七點(diǎn)1.注意分式混合運(yùn)算的順序.2.進(jìn)行分式與整式的加減運(yùn)算時(shí),可將整式視為分母為1的代數(shù)式,然后與分式進(jìn)行通分,再依照運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.3.除法運(yùn)算一定要轉(zhuǎn)化為乘法后再運(yùn)算,如果分子、分母是多項(xiàng)式,可先將分子、分母因式分解,再進(jìn)行運(yùn)算.4.分式的混合運(yùn)算中,若有“A(B+C)”這種形式,且A·B,A·C均可約分時(shí),可利用乘法分配律簡(jiǎn)化運(yùn)算.5.進(jìn)行分式的加減運(yùn)算時(shí),注意與分式方程的解法區(qū)別開(kāi)來(lái),不要“去分母”.6.化簡(jiǎn)結(jié)果要最簡(jiǎn).7.代入求值時(shí),盡可能用“整體代入法”求值,且代入的值不能使原式中的分式和化簡(jiǎn)過(guò)程中出現(xiàn)的分式的分母為0.1.化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A. B. C. D.2.計(jì)算:__________.3.先化簡(jiǎn),再求值:,其中.4.(2022·四川成都)已知,則代數(shù)式的值為_(kāi)________.5.(2022·新疆)先化簡(jiǎn),再求值:,其中.6.(2022·湖南邵陽(yáng))先化簡(jiǎn),再?gòu)模?,0,1,中選擇一個(gè)合適的值代入求值..【考點(diǎn)4】分式方程的定義【例6】下列關(guān)于的方程中,不是分式方程的是()A.B.C.D.1.已知方程:①;②;③;④.這四個(gè)方程中,分式方程的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.2.下列關(guān)于x的方程中,屬于分式方程的是()A. B. C. D.【考點(diǎn)5】解分式方程【例7】(2022·四川成都)分式方程的解是_________.解分式方程的有關(guān)要點(diǎn)(1)解分式方程的基本思想是要設(shè)法將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,再求解.(2)解分式方程時(shí),方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母時(shí),最簡(jiǎn)公分母有可能為0,這樣就產(chǎn)生了增根,因此分式方程一定要驗(yàn)根.(3)分式方程的檢驗(yàn)方法:將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母,如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解;否則,這個(gè)解不是原分式方程的解.1.(2021·陜西蓮湖·八年級(jí)期末)已知是分式方程的解,則的值為()A. B.1 C.3 D.2.(2022·湖南常德)方程的解為_(kāi)_______.3.(2022·廣西玉林)解方程:.4.(2022·廣西梧州)解方程:【考點(diǎn)6】含參的分式方程【例8】(2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題)若關(guān)于x的分式方程無(wú)解,則a的值為()A.3 B.0 C. D.0或3【例10】(2021·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題)若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù),則m的取值范圍是_________.分式方程無(wú)解兩種情形(1)分式方程化為整式方程后所得整式方程無(wú)解,則原程無(wú)解;(2)整式方程有解,但所求得的解經(jīng)檢驗(yàn)是增根,此時(shí)分式無(wú)解。1.(2021·廣西賀州市·中考真題)若關(guān)于的分式方程有增根,則的值為()A.2 B.3 C.4 D.52.(2021·四川宜賓市·中考真題)若關(guān)于x的分式方程有增根,則m的值是()A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣23.(2022·四川德陽(yáng))關(guān)于x的方程的解是正數(shù),則a的取值范圍是()A.a(chǎn)>-1B.a(chǎn)>-1且a≠0C.a(chǎn)<-1D.a(chǎn)<-1且a≠-24.(2022·四川遂寧)若關(guān)于x的方程無(wú)解,則m的值為(
)A.0 B.4或6 C.6 D.0或45.(2021·四川雅安市·中考真題)若關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù),則k的取值范圍是______.【考點(diǎn)7】分式方程的實(shí)際運(yùn)用:行程【例11】(2022·四川樂(lè)山)第十四屆四川省運(yùn)動(dòng)會(huì)定于2022年8月8日在樂(lè)山市舉辦,為保證省運(yùn)會(huì)期間各場(chǎng)館用電設(shè)施的正常運(yùn)行,市供電局為此進(jìn)行了電力搶修演練.現(xiàn)抽調(diào)區(qū)縣電力維修工人到20千米遠(yuǎn)的市體育館進(jìn)行電力搶修.維修工人騎摩托車先行出發(fā),10分鐘后,搶修車裝載完所需材料再出發(fā),結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)體育館,已知搶修車是摩托車速度的1.5倍,求摩托車的速度.1.(2021·黑龍江虎林·八年級(jí)期末)隨著生活水平的提高,小林家購(gòu)置了私家車,這樣他乘坐私家車上學(xué)比乘坐公交車上學(xué)所需的時(shí)間少用了15分鐘,現(xiàn)已知小林家距學(xué)校8千米,乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍,若設(shè)乘公交車平均每小時(shí)走x千米,根據(jù)題意可列方程為_(kāi)________.2.(2021·上海市盧灣中學(xué)期末)小王步行的速度比跑步的速度慢,跑步的速度比騎車的速度慢.如果他騎車從城到城,再步行返回城共需要兩小時(shí),那么小王跑步從城到城需要____分鐘.3.(2022·重慶)在全民健身運(yùn)動(dòng)中,騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞,甲、乙兩騎行愛(ài)好者約定從地沿相同路線騎行去距地30千米的地,已知甲騎行的速度是乙的1.2倍.(1)若乙先騎行2千米,甲才開(kāi)始從地出發(fā),則甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙,求甲騎行的速度;(2)若乙先騎行20分鐘,甲才開(kāi)始從地出發(fā),則甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)地,求甲騎行的速度.4.(2022·四川自貢)學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開(kāi)展研學(xué)活動(dòng),騎行愛(ài)好者張老師騎自行車先行2小時(shí)后,其余師生乘汽車出發(fā),結(jié)果同時(shí)到達(dá);已知汽車速度是自行車速度的3倍,求張老師騎車的速度.【考點(diǎn)8】分式方程的實(shí)際運(yùn)用:工程【例12】(2022·江西)甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣,甲每小時(shí)比乙每小時(shí)多采樣10人,甲采樣160人所用時(shí)間與乙采樣140人所用時(shí)間相等,甲、乙兩人每小時(shí)分別采樣多少人?設(shè)甲每小時(shí)采樣x人,則可列分式方程為_(kāi)_________.1.(2021·四川宣漢·八年級(jí)期末)宣漢到達(dá)州要鋪設(shè)一條長(zhǎng)35千米的管道,為了盡量減少施工對(duì)周邊居民生活造成的影響,實(shí)際施工時(shí),每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度比原計(jì)劃增加20%,結(jié)果提前7天完成.設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度為千米,則可列方程為()A.B.C.D.2.(2021·貴州初二月考)2020年2月22日深圳地鐵10號(hào)線華南城站試運(yùn)行,預(yù)計(jì)今年6月正式開(kāi)通.在地鐵的建設(shè)中,某段軌道的鋪設(shè)若由甲乙兩工程隊(duì)合做,12天可以完成,共需工程費(fèi)用27720元;已知乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間是甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間的1.5倍,且甲隊(duì)每天的工程費(fèi)用比乙隊(duì)多250元.(1)求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天?(2)若工程管理部門決定從這兩個(gè)隊(duì)中選一個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程,從節(jié)約資金的角度考慮,應(yīng)選擇哪個(gè)工程隊(duì)?請(qǐng)說(shuō)明理由.3.(2022·江蘇揚(yáng)州)某
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