2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章統(tǒng)計與概率5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征訓練含解析新人教B版必修第二冊

PAGE6-第五章5.15.1.2請同學們仔細完成[練案14]A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知數(shù)據(jù)－3，－2,0,6,6,13,20,35則它的中位數(shù)和眾數(shù)各是(A)A．6和6 B．3和6C．6和3 D．9.5和6[解析]∵從小到大排列的這8個數(shù)，排在中間的兩個數(shù)都是6，∴中位數(shù)是6；∵6出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是6，故選A．2．2024年1月份我國多地霧霾天氣頻發(fā)，部分地區(qū)平均霧霾天數(shù)統(tǒng)計如下：省份江蘇北京浙江安徽山東天數(shù)(天)241513108這五省1月份霧霾天數(shù)的平均數(shù)與中位數(shù)分別是(A)A．14,13 B．15,13C．14,14 D．14,15[解析]將這組數(shù)據(jù)按從大到小的依次排列，中間一個數(shù)為13，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是13；平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝(24＋15＋13＋10＋8)÷5＝14.故選A．3．(多選題)下列說法中正確的是(ACD)A．數(shù)據(jù)的極差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定B．數(shù)據(jù)的平均數(shù)越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定C．數(shù)據(jù)的標準差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定D．數(shù)據(jù)的方差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定[解析]由數(shù)據(jù)的極差、標準差、方差的定義可知，它們都可以影響樣本數(shù)據(jù)的分布和穩(wěn)定性，而數(shù)據(jù)的平均數(shù)則與之無關(guān)，故B不正確，ACD正確．4．甲、乙、丙、丁四名射手在選拔賽中所得的平均環(huán)數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))及其方差s2如表所示，則選送決賽的最佳人選應是(B)項目甲乙丙丁eq\o(x,\s\up6(－))7887s26.36.378.7A．甲 B．乙C．丙 D．丁[解析]因為eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\o(x,\s\up6(－))丙＞eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))丁，且seq\o\al(2,甲)＝seq\o\al(2,乙)＜seq\o\al(2,丙)＜seq\o\al(2,丁)，所以應選擇乙進入決賽．5．某射手在一次訓練中12次射擊的成果分別為9.6,9.7，9.0，9.1,9.4,9.4,9.8,9.9,9.4,9.6,9.6,9.7，則該射手五次射擊的成果的75%分位數(shù)是(C)A．9.5 B．9.6C．9.7 D．9.8[解析]將12個數(shù)從小到大排列：9.0,9.1,9.4,9.4,9.4,9.6,9.6,9.6,9.7,9.7,9.8,9.9．因為12×75%＝9，所以這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為eq\f(x9＋x10,2)＝eq\f(9.7＋9.7,2)＝9.7．二、填空題6．一個樣本數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列為：13,14,19，x,23,27,28,31，中位數(shù)為23，則x＝__23__．[解析]由題意知eq\f(x＋23,2)＝23，則x＝23．7．若k1，k2，…，k6的方差為3，則2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k6－3)的方差為__12__．[解析]設k1，k2，…，k6的平均數(shù)為eq\o(k,\s\up6(－))，則eq\f(1,6)[(k1－eq\o(k,\s\up6(－)))2＋(k2－eq\o(k,\s\up6(－)))2＋…＋(k6－eq\o(k,\s\up6(－)))2]＝3．而2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k6－3)的平均數(shù)為2(eq\o(k,\s\up6(－))－3)．則所求方差為eq\f(1,6)[4(k1－eq\o(k,\s\up6(－)))2＋4(k2－eq\o(k,\s\up6(－)))2＋…＋4(k6－eq\o(k,\s\up6(－)))2]＝4×3＝12．8．某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4．則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為__7__；(2)命中環(huán)數(shù)的標準差為__2__．[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7．(2)∵s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2．三、解答題9．為了了解市民的環(huán)保意識，某校高一(1)班50名學生在6月5日(世界環(huán)境日)這一天調(diào)查了各自家庭丟棄舊塑料袋的狀況，有關(guān)數(shù)據(jù)如表：每戶丟棄舊塑料袋個數(shù)2345戶數(shù)6171512(1)求這50戶居民6月5日這一天丟棄舊塑料袋的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)求這50戶居民6月5日這一天丟棄舊塑料袋的75%分位數(shù)．[解析](1)平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,50)×(2×6＋3×17＋4×15＋5×12)＝eq\f(183,50)＝3.66.中位數(shù)是4．(2)因為50×75%＝37.5，所以這50戶居民6月5日這一天丟棄舊塑料袋的75%分位數(shù)是x38＝4．10．某校高二年級在一次數(shù)學選拔賽中，由于甲、乙兩人的競賽成果相同，從而確定依據(jù)平常在相同條件下進行的六次測試確定出最佳人選，這六次測試的成果數(shù)據(jù)如下：甲127138130137135131乙133129138134128136求兩人競賽成果的平均數(shù)以及方差，并且分析成果的穩(wěn)定性，從中選出一位參與數(shù)學競賽．[解析]設甲、乙兩人成果的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙，則eq\o(x,\s\up6(－))甲＝130＋eq\f(1,6)(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝130＋eq\f(1,6)(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝eq\f(47,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝eq\f(38,3)．因此，甲與乙的成果的平均數(shù)相同，由于乙的成果的方差較小，所以乙的成果比甲的成果穩(wěn)定，應當選乙參與競賽比較合適．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)下列說法正確的是(ABC)A．方差是標準差的平方B．標準差的大小不會超過極差C．若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒有波動改變，則標準差為0D．標準差越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)四周越集中；標準差越小，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)四周越分散[解析]標準差越小，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)四周越集中；標準差越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)四周越分散．2．奧運會體操競賽的計分規(guī)則為：當評委亮分后，其成果先去掉一個最高分，去掉一個最低分，再計算剩下分數(shù)的平均值，這是因為(C)A．削減計算量 B．避開故障C．剔除異樣值 D．活躍賽場氣氛[解析]因為在體操競賽的評分中運用的是平均分，記分過程中采納“去掉一個最高分，去掉一個最低分”的方法，就是為了防止個別裁判的人為因素給出過高或過低的分數(shù)對選手的得分造成較大的影響，從而降低誤差，盡量公允．3．樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均數(shù)為1，則樣本方差為(D)A．eq\r(\f(6,5)) B．eq\f(6,5)C．eq\r(2) D．2[解析]∵樣本的平均數(shù)為1，∴eq\f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，∴樣本方差s2＝eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2．4．已知某7個數(shù)的平均數(shù)為3，方差為s2，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)3，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為eq\f(7,2)，則(B)A．eq\o(x,\s\up6(－))＝3，s2＝2 B．eq\o(x,\s\up6(－))＝3，s2＝4C．eq\o(x,\s\up6(－))＝3，s2＝28 D．eq\o(x,\s\up6(－))＝3，s2＝eq\f(7,2)[解析]由題意知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(7×3＋3,8)＝3，由方差公式得eq\f(7,2)＝eq\f(1,8)[7s2＋(3－3)2]，所以s2＝eq\f(7,2)×8×eq\f(1,7)＝4．二、填空題5．某學習小組10名同學在一次數(shù)學測試中的得分分別為85,78,66,91,67,78,67,87,96,88，則這10名同學成果的60%分位數(shù)為__86__．[解析]這組數(shù)據(jù)依據(jù)從小到大排列后為66,67,67,78,78,85,87,88,91,96，10×60%＝6，所以這10名同學成果的60%分位數(shù)為eq\f(x6＋x7,2)＝eq\f(85＋87,2)＝86．6．某校高一年級開設了豐富多彩的校本課程，現(xiàn)從甲、乙兩個班隨機抽取了5名學生校本課程的學分，統(tǒng)計如下表.甲811141522乙67102324用seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)分別表示甲、乙兩班抽取的5名學生學分的方差，則seq\o\al(2,1)＝__22__，seq\o\al(2,2)＝__62__，并由此可推斷成果更穩(wěn)定的班級是__甲__班．[解析]依據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算甲班的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,5)×(8＋11＋14＋15＋22)＝14，乙班的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(6＋7＋10＋23＋24)＝14；甲班的方差為seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,5)×[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，乙班的方差為seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,5)×[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62，所以seq\o\al(2,1)＜seq\o\al(2,2)，由此可推斷成果更穩(wěn)定的班級是甲班．三、解答題7．一箱便利面共有50袋，用隨機抽樣方法從中抽取了10袋，并稱其質(zhì)量(單位：g)結(jié)果為：60.5,61,60,60,61.5,59.5,59.5,58,60,60．(1)指出總體、個體、樣本、樣本容量；(2)指出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；(3)求樣本數(shù)據(jù)的方差．[解析](1)總體是這50袋便利面的質(zhì)量，個體是這一箱便利面中每一袋便利面的質(zhì)量，樣本是抽取的10袋便利面的質(zhì)量，樣本容量為10．(2)這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是60，中位數(shù)為60，平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)×(60.5＋61＋60＋60＋61.5＋59.5＋59.5＋58＋60＋60)＝60．(3)樣本數(shù)據(jù)的方差為s2＝eq\f(1,10)[(60.5－60)2＋(61－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(61.5－60)2＋(59.5－60)2＋(59.5－60)2＋(58－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2]＝0.88．甲，乙兩名射擊運動員在相同條件下進行水平測試，各射擊10次，命中的環(huán)數(shù)如下：甲86786591047乙6778678795(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)現(xiàn)要從甲、乙兩人中選拔一人去參與競賽，依據(jù)上面的測試成果，你認為應當派誰去合適？并且說明理由．[解析](1)甲的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，乙的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7，甲的方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(4－7)2＋(7－7)2]＝eq\f(1,10)×(1＋1＋1＋1＋4＋4＋9＋9)＝eq\