2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點第九章平面解析幾何拋物線理

拋物線1．拋物線的概念平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點坐標(biāo)O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點坐標(biāo)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑x0＋eq\f(p,2)－x0＋eq\f(p,2)y0＋eq\f(p,2)－y0＋eq\f(p,2)通徑長2p概念方法微思索1．若拋物線定義中定點F在定直線l上時，動點的軌跡是什么圖形？提示過點F且與l垂直的直線．2．直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的什么條件？提示直線與拋物線的對稱軸平行時，只有一個交點，但不是相切，所以直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件．1．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為12，到軸的距離為9，則A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】為拋物線上一點，點到的焦點的距離為12，到軸的距離為9，因為拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，故有：；故選．2．（2024?北京）設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點 C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B【解析】不妨設(shè)拋物線的方程為，則，準(zhǔn)線為為，不妨設(shè)，，設(shè)準(zhǔn)線為與軸交點為，則，可得四邊形為正方形，依據(jù)正方形的對角線相互垂直，故可得線段的垂直平分線，經(jīng)過點，故選．3．（2024?浙江）已知點，，．設(shè)點滿意，且為函數(shù)圖象上的點，則A． B． C． D．【答案】D【解析】點，，．設(shè)點滿意，可知的軌跡是雙曲線的右支上的點，為函數(shù)圖象上的點，即在第一象限的點，聯(lián)立兩個方程，解得，，所以．故選．4．（2024?天津）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為．若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且為原點），則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．【答案】D【解析】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為．，準(zhǔn)線的方程為，與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且為原點），，，，，，雙曲線的離心率為．故選．5．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，則A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解析】由題意可得：，解得．故選．6．（2024?全國）過拋物線的焦點且與軸垂直的直線與拋物線交于、兩點，為坐標(biāo)原點，則A． B． C． D．【答案】D【解析】的焦點坐標(biāo)是，，則過焦點且垂直軸的直線是，代入得，故，．故選．7．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與交于，兩點，則A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線為：，聯(lián)立直線與拋物線，消去可得：，解得，，不妨，，，．則，，．故選．8．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知為拋物線的焦點，過作兩條相互垂直的直線，，直線與交于、兩點，直線與交于、兩點，則的最小值為A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】方法一：如圖，，直線與交于、兩點，直線與交于、兩點，由圖象知要使最小，則與，與關(guān)于軸對稱，即直線的斜率為1，又直線過點，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，則，，，，的最小值為，方法二：設(shè)直線的傾斜角為，則的傾斜角為，依據(jù)焦點弦長公式可得，，當(dāng)時，的最小，最小為16，故選．9．（2024?海南）斜率為的直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，則__________．【答案】【解析】由題意可得拋物線焦點，直線的方程為，代入并化簡得，設(shè)，，，，則；，由拋物線的定義可得．故答案為：．10．（2024?上海）過曲線的焦點并垂直于軸的直線分別與曲線交于，，在上方，為拋物線上一點，，則__________．【答案】3【解析】過的焦點并垂直于軸的直線分別與交于，，在上方，依題意：得到：，，，設(shè)點，所以：為拋物線上一點，，則：，，，，，代入，得到：．故答案為：311．（2024?北京）設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，則以為圓心，且與相切的圓的方程為__________．【答案】【解析】如圖，拋物線的焦點為，所求圓的圓心，且與準(zhǔn)線相切，圓的半徑為2．則所求圓的方程為．故答案為：．12．（2024?北京）已知直線過點且垂直于軸．若被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】直線過點且垂直于軸，，代入到，可得，明顯，，被拋物線截得的線段長為4，，解得，，拋物線的焦點坐標(biāo)為，故答案為：．13．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點．若為的中點，則__________．【答案】6【解析】拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點．若為的中點，可知的橫坐標(biāo)為：1，則的縱坐標(biāo)為：，．故答案為：6．14．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知曲線，為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為，．（1）證明：直線過定點．（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求該圓的方程．【解析】（1）設(shè)，，，則，由于，切線的斜率為，故，整理得：．設(shè)，，同理可得．故直線的方程為．直線過定點；（2）解：由（1）得直線的方程．由，可得．于是．設(shè)為線段的中點，則，由于，而，與向量平行，，解得或．當(dāng)時，，所求圓的方程為；當(dāng)時，，所求圓的方程為．15．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知曲線，為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為，．（1）證明：直線過定點；（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求四邊形的面積．【答案】【解析】（1）證明：的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點，，，，即有，，切線的方程為，即為，切線的方程為，聯(lián)立兩切線方程可得，可得，即，直線的方程為，即為，可化為，可得恒過定點；（2）法一：設(shè)直線的方程為，由（1）可得，，中點，由為切點可得到直線的距離即為，可得，解得或，即有直線的方程為或，由可得，四邊形的面積為；由，可得，此時到直線的距離為；到直線的距離為，則四邊形的面積為；法二：（2）由（1）得直線的方程為．由，可得．于是，，，．設(shè)，分別為點，到直線的距離，則，．因此，四邊形的面積．設(shè)為線段的中點，則．由于，而，與向量平行，所以．解得或．當(dāng)時，；當(dāng)時，．綜上，四邊形的面積為3或．16．（2024?北京）已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為原點，直線與橢圓交于兩個不同點、，直線與軸交于點，直線與軸交于點．若，求證：直線經(jīng)過定點．【答案】【解析】（Ⅰ）橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點．可得，，則橢圓方程為；（Ⅱ）證明：與橢圓方程聯(lián)立，可得，設(shè)，，，，△，，，的方程為，令，可得，即，；的方程為，令，可得．即，．，，即為，即有，由，解得，滿意△，即有直線方程為，恒過原點．17．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知拋物線的焦點為，斜率為的直線與的交點為，，與軸的交點為．（1）若，求的方程；（2）若，求．【答案】【解析】（1）設(shè)直線的方程為，將其代入拋物線得：，設(shè)，，，，則，①，②，由拋物線的定義可得：，解得，直線的方程為．（2）若，則，，化簡得，③由①②③解得，，，．18．（2024?上海）已知拋物線方程，為焦點，為拋物線準(zhǔn)線上一點，為線段與拋物線的交點，定義：．（1）當(dāng)時，求；（2）證明：存在常數(shù)，使得；（3），，為拋物線準(zhǔn)線上三點，且，推斷與的關(guān)系．【答案】【解析】（1）拋物線方程的焦點，，，的方程為，代入拋物線的方程，解得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得，，；（2）證明：當(dāng)時，，設(shè)，，，則，聯(lián)立和，可得，，，則存在常數(shù)，使得；另解：，可得．（3）設(shè)，，，則，由，，則．19．（2024?天津）設(shè)橢圓的左焦點為，上頂點為．已知橢圓的離心率為，點的坐標(biāo)為，且．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓在第一象限的交點為，且與直線交于點．若為原點），求的值．【答案】【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的離心率為，；又，，由，，且；可得，從而解得，，橢圓的方程為；（Ⅱ）設(shè)點的坐標(biāo)為，，點的坐標(biāo)為，，由已知；；又，且，，由，可得；由方程組，消去，可得，由（Ⅰ）知直線的方程為；由方程組，消去，可得；由，可得，兩邊平方，整理得，解得或；的值為或．20．（2024?北京）已知拋物線過點．過點作直線與拋物線交于不同的兩點，，過點作軸的垂線分別與直線、交于點，，其中為原點．（1）求拋物線的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）求證：為線段的中點．【答案】【解析】（1）過點，，解得，，焦點坐標(biāo)為，，準(zhǔn)線為，（2）證明：設(shè)過點的直線方程為，，，，，直線為，直線為：，由題意知，，，，由，可得，，，為線段的中點．21．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）在直角坐標(biāo)系中，曲線與軸交于、兩點，點的坐標(biāo)為，當(dāng)改變時，解答下列問題：（1）能否出現(xiàn)的狀況？說明理由；（2）證明過、、三點的圓在軸上截得的弦長為定值．【答案】【解析】（1）曲線與軸交于、兩點，可設(shè)，，，，由韋達(dá)定理可得，若，則，即有，即為這與沖突，故不出現(xiàn)的狀況；（2）證明：設(shè)過、、三點的圓的方程為，由題意可得時，與等價，可得，，圓的方程即為，由圓過，可得，可得，則圓的方程即為，另解：設(shè)過、、三點的圓在軸上的交點為，則由相交弦定理可得，即有，再令，可得，解得或．即有圓與軸的交點為，，則過、、三點的圓在軸上截得的弦長為定值3．22．（2024?浙江）如圖，已知拋物線，點，，，，拋物線上的點，，過點作直線的垂線，垂足為．（Ⅰ）求直線斜率的取值范圍；（Ⅱ）求的最大值．【答案】【解析】（Ⅰ）由題可知，，所以，故直線斜率的取值范圍是：；（Ⅱ）由知，，所以，，設(shè)直線的斜率為，則，即，則，，聯(lián)立直線、方程可知，，故，，又因為，故，所以，令，，則，由于當(dāng)時，當(dāng)時，故，即的最大值為．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2024?漢陽區(qū)校級模擬）設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點為拋物線上第一象限上的點，為上一點，滿意，則直線的斜率為A． B． C．3 D．【答案】D【解析】作出圖形，過點作直線，垂足為，由拋物線的定義可知，，設(shè)，，，，設(shè)直線的傾斜角為，則，直線的斜率為．故選．2．（2024?濱州三模）已知拋物線與圓相交于，兩點，點為劣弧上不同，的一個動點，平行于軸的直線交拋物線于點，則的周長的取值范圍為A． B． C． D．，【答案】C【解析】如圖，可得圓心也是拋物線的焦點，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，依據(jù)拋物線的定義，可得故的周長，由可得，，點到準(zhǔn)線的距離為，的取值范圍為的周長的取值范圍為故選．3．（2024?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知拋物線的焦點為，過點且垂直于軸的直線與拋物線在第一象限內(nèi)的交點為，若，則拋物線的方程為A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線的焦點為，，過點且垂直于軸的直線與拋物線在第一象限內(nèi)的交點為，因為，所以，解得．拋物線的方程為．故選．4．（2024?楊浦區(qū)校級模擬）已知為拋物線的焦點，，、，是拋物線上的不同兩點，則下列條件中與“、、三點共線”等價的是A． B． C． D．【答案】B【解析】，，若，，三點共線，設(shè)直線的方程為：，代入可得：，，．，又，，，設(shè)關(guān)于軸的對稱點為，，明顯，，滿意條件，且，但此時，，三點不共線，故，錯誤；若，則，解得或，故錯誤，故選．5．（2024?廬陽區(qū)校級模擬）已知為拋物線上一點，為圓上一點，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，，圓的圓心坐標(biāo)，，，是圓上隨意一點，的最小值為，故選．6．（2024?寶雞三模）已知拋物線，是直線上的動點，過點向曲線引切線，切點分別為，，則的重心A．恒在軸上方 B．恒在軸上 C．恒在軸下方 D．位置不確定【答案】A【解析】在直線上，設(shè)，，，在上，設(shè)，，，點的切線方程為，點在上，，即，同理，點的切線方程有，，是方程的兩根，，的重心恒在軸上方．故選．7．（2024?寶雞三模）已知，是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上隨意一點，是線段的中點，則以為直徑的圓與圓的位置關(guān)系是A．相離 B．相切 C．相交 D．以上都有可能【答案】B【解析】在雙曲線右支上，，是線段的中點，，是線段的中點，，，即圓心距等于兩圓的半徑之差，以線段為直徑的圓與圓的位置關(guān)系是相內(nèi)切．故選．8．（2024?瀘州四模）焦點為的拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線交于點，點在拋物線上，在中，，則的值是A． B．4 C．2 D．1【答案】A【解析】過軸上方）作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則由拋物線的定義可得，由，則中由正弦定理可知：則，，設(shè)的傾斜角為，則，，四邊形是正方形，所以：．故選．9．（2024?和平區(qū)校級一模）已知雙曲線的右焦點到其中一條新近線的距離等于，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則拋物線上的動點到直線和的距離之和的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，右焦點，到其一條漸近線的距離等于，可得，解得，即有，由題意可得，解得，即有拋物線的方程為，如圖，過點作于點，作準(zhǔn)線于點，連接，依據(jù)拋物線的定義得，設(shè)到的距離為，到直線的距離為，，依據(jù)平面幾何學(xué)問，可得當(dāng)、、三點共線時，有最小值．到直線的距離為．的最小值是2，由此可得所求距離和的最小值為2．故選．10．（2024?梅河口市校級模擬）已知第四象限內(nèi)拋物線上的一點到軸的距離是該點到拋物線焦點距離的，則點的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】B【解析】由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為，設(shè)的橫坐標(biāo)為，第四象限內(nèi)拋物線上的一點到軸的距離是該點到拋物線焦點距離的，則，所以，所以，所以．故選．11．（2024?雨花區(qū)校級模擬）拋物線的焦點到圓上點的距離的最大值為A．6 B．2 C． D．【答案】A【解析】拋物線的焦點為，圓的圓心為，半徑，到圓上點的距離的最大值為．故選．12．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）過拋物線的焦點的直線與拋物線交于，兩點，且，直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點，于，若△的面積等于，則A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】拋物線的焦點，，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由，可得，，過作于，可得，又，在△中，，即為，可得，在中，，即為，解得，又△的面積等于，可得，解得，則．故選．13．（2024?眉山模擬）點為拋物線的焦點，過的直線交拋物線于，兩點（點在第一象限），過、分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線段，垂足分別為、，若，，則直線的斜率為A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】由拋物線方程，可得直線方程為，，，設(shè)，，，，則，，，，得，①，得，②又直線過焦點，，③聯(lián)立①②③得，，解得．設(shè)拋物線準(zhǔn)線交軸于，則．在中，可得，由拋物線的性質(zhì)，可得，則，，則，，則．直線的斜率為．故選．14．（2024?碑林區(qū)校級模擬）已知拋物線，為拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點，，，，為拋物線上的兩點，的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，的重心為，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】拋物線的焦點，，準(zhǔn)線方程為，因為的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，所以，①又因為的重心為，所以，②聯(lián)立①②可得，解得，故選．15．（2024?運城模擬）圓與拋物線交于，三點，若的面積為，則拋物線的方程為A． B． C． D．【答案】C【解析】將代入，得，則或，將代入，得，所以，，，，由的面積為，得，所以，所以拋物線的方程為．故選．16．（2024?靖遠(yuǎn)縣四模）已知拋物線的焦點為，點是拋物線上的一點，且，則拋物線的方程是A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，解得，則拋物線的方程是．故選．17．（2024?新鄉(xiāng)三模）若拋物線的準(zhǔn)線與拋物線相切，則A．8 B． C． D．4【答案】B【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，拋物線的頂點坐標(biāo)，拋物線的準(zhǔn)線與拋物線相切，可得：，解得．故選．18．（2024?河南模擬）頂點在坐標(biāo)原點，準(zhǔn)線為的拋物線的方程為A． B． C． D．【答案】A【解析】頂點在坐標(biāo)原點，準(zhǔn)線為的拋物線的方程為．故選．19．（2024?黃州區(qū)校級二模）若點為拋物線上一點，是拋物線的焦點，，點為直線上的動點，則的最小值為A．8 B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，，由拋物線的定義可知，，，代入拋物線方程，得，不妨取點為，設(shè)點關(guān)于的對稱點為，則，，故選．20．（2024?金安區(qū)校級模擬）已知拋物線的焦點為，是第一象限上一點，以為圓心的圓過點且與直線相切，若圓的面積為，則圓的方程為A． B． C． D．【答案】C【解析】由圓的面積為，得，可得圓的半徑，以為圓心的圓過點且與直線相切，可得，，即，由拋物線的定義可得，解得，則拋物線的方程為，，可得的坐標(biāo)為，則圓的方程為，故選．21．（2024?吉林模擬）已知拋物線恰好經(jīng)過等腰梯形的四個頂點，，的延長線與拋物線的準(zhǔn)線的交點．（1）求拋物線的方程；（2）證明：經(jīng)過拋物線的焦點．【解析】（1）依據(jù)題意，為拋物線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點，，則，拋物線的方程為；（2）證明：設(shè)，，，，，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，且，．設(shè)與軸的交點坐標(biāo)為，，直線的方程為，與方程聯(lián)立，得．解得，，即．故經(jīng)過拋物線的焦點．22．（2024?道里區(qū)校級模擬）已知拋物線的焦點是橢圓的一個焦點．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)，，為拋物線上的不同三點，點，且．求證：直線過定點．【解析】（1）依題意橢圓的一個焦點，拋物線的焦點是橢圓的一個焦點．可得，所以，所以，（2）設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，，，，，由得，，．化簡得，解得或（舍，所以直線過定點．23．（2024?讓胡路區(qū)校級三模）已知拋物線，過點的直線交于，兩點，過點，分別作的切線，兩切線相交于點．（1）記直線，的斜率分別為，，