2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)下冊專項練習(xí)：解直角三角形的實際應(yīng)用（30題）（原卷版）

專題第01講解直角三角形的實際應(yīng)用

1.（2023?紹興）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面支架CD與。4交于點A,

支架CGJ_CZ）交OA于點G,支架QE平行地面。8,籃筐EF與支架。E在同一直線上，。4=2.5米，

4。=0.8米./AGC=32°.

（1）求NGAC的度數(shù)；

（2）某運動員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能

掛上籃網(wǎng)嗎？請通過計算說明理由.（參考數(shù)據(jù)：sin32°心0.53,cos32°心0.85,tan32°心0.62）

圖1圖2

2.（2023?長沙）2023年5月30日9點31分，“神舟十六號”載人飛船在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射,

成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國空間站.如圖，在發(fā)射的過程中，飛船從地面。

處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)A點時，從位于地面C處的雷達(dá)站測得AC的距離是8h〃，仰角為30°；10s后飛

船到達(dá)B處，此時測得仰角為45°.

（1）求點A離地面的高度A。；

（2）求飛船從A處到B處的平均速度.（結(jié)果精確到0.1m/s,參考數(shù)據(jù)：日仁1.73）

3.（2023?湘潭）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保.明朝科學(xué)家徐光啟

在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一

個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒.

問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為廠的OO.如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米.當(dāng)

t=0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時N49M=30°,經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點3處.

問題解決：

（1）求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到2處時，的度數(shù)；

（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至3處時，它到水面的距離.（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)我73^

1.732）

圖①圖②

4.（2023?陜西）小華想利用所學(xué)知識測量自家對面的兩棟樓AB與CD的高度差.如圖所示，她站在自家

陽臺上發(fā)現(xiàn)，在陽臺的點E處恰好可經(jīng)過樓的頂端C看到樓A8的底端8,即點E,C,8在同一直

線上.止匕時，測得點8的俯角a=22°,點A的仰角0=16.7°,并測得跖=48m，F(xiàn)D=50m.已知，

EFLFB,CD1.FB,點/，D,8在同一水平直線上.求樓AB與CD的高度差.（參考數(shù)據(jù)：

sin16.7°^0.29,cosl6.7°^0.96,tanl6.7°g0.30,sin22°仁0.37,cos22°^0.93,tan22°^0.40）

5.（2023?衡陽）隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高度，圓

圓要測量教學(xué)樓的高度，借助無人機(jī)設(shè)計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部24?米的C

處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點C的正上方的點D處，測得教學(xué)樓AB的頂部B處的俯角為30°,CD長為49.6

米.已知目高CE為1.6米.

（1）求教學(xué)樓A3的高度.

（2）若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于C4的方向，以4?米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行.求經(jīng)過多少

秒時，無人機(jī)剛好離開圓圓的視線E8.內(nèi)飛行方向

6.（2023?遼寧）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山.需要登頂600加高的山峰，由山底A處

先步行300機(jī)到達(dá)8處，再由8處乘坐登山纜車到達(dá)山頂。處.已知點A,B,D,E,F在同一平面內(nèi),

山坡的坡角為30°,纜車行駛路線8。與水平面的夾角為53°（換乘登山纜車的時間忽略不計）.

（1）求登山纜車上升的高度。E；

（2）若步行速度為30加加”，登山纜車的速度為60反血”，求從山底A處到達(dá)山頂。處大約需要多少分

鐘（結(jié)果精確到0.1〃”〃）.

（參考數(shù)據(jù)：sin53°仁0.80,cos53°仁0.60,tan53°弋1.33）

7.（2023?蘇州）四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問題.如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖,

BE,CD,GE為長度固定的支架，支架在A,D,G處與立柱A”連接（AH垂直于MN,垂足為"），在

B,C處與籃板連接（BC所在直線垂直于MN）,￡尸是可以調(diào)節(jié)長度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點尸處的螺栓改變

EE的長度，使得支架BE繞點A旋轉(zhuǎn),從而改變四邊形ABCQ的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）.已知

=BC,DH=208cm,測得/G4E=60。時，點C離地面的高度為288c機(jī).調(diào)節(jié)伸縮臂ER將NGAE由

60°調(diào)節(jié)為54°,判斷點C離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：sin54。

心0.8,cos54°20.6）

8.（2023?河南）綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測

G

量樹高，測高儀ABC￡＞為正方形，AB=30cm,頂點A處掛了一個鉛錘如圖是測量樹高的示意圖，

測高儀上的點D,A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線AM交BC于點H.經(jīng)測量，點A距地面1.8〃z,到

樹EG的距離AF=11機(jī)，BH=2Qcm.求樹EG的高度（結(jié)果精確到0.1M.

9.（2023?丹東）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時，測得燈塔3在它北偏東31°方向上，繼續(xù)向東

航行10〃〃〃7e到達(dá)C港，此時測得燈塔8在它北偏西61。方向上，求輪船在航行過程中與燈塔8的最短

距離.（結(jié)果精確到0.1〃機(jī)〃e）（參考數(shù)據(jù)：sin31°^0.52,cos31°融0.86,tan31°g0.60,sin61°"0.87,

cos61°"0.48,tan61°"1.80).

10.（2020秋?蒼梧縣期末）如圖，從水平面看一山坡上的通訊鐵塔尸C,在點A處用測角儀測得塔頂端點P

的仰角是45。，向前走9米到達(dá)B點，用測角儀測得塔頂端點P和塔底端點C的仰角分別是60°和30°.

（1）求/BPC的度數(shù)；

（2）求該鐵塔PC的高度.（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：73^1.73,72^1.41）

11.（2022秋?源匯區(qū)校級期末）近幾年中學(xué)生近視的現(xiàn)象越來越嚴(yán)重，為響應(yīng)國家的號召，某公司推出了

如圖1所示的護(hù)眼燈，其側(cè)面示意圖（臺燈底座高度忽略不計）如圖2所示，其中燈柱BC=18cm,燈

臂CD=31C7W,燈罩。E=24C7W,BC1AB,CD、分別可以繞點C、。上下調(diào)節(jié)一定的角度.經(jīng)使用

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)/DC8=140°,且ED//AB時，臺燈光線最佳.求此時點D到桌面AB的距離.（精確到OAcm,

參考數(shù)值：sin50°心0.77,cos50°~0.64,tan50°-1.19）

圖1

12.（2023春?巴南區(qū)期末）在海平面上有A,B,C三個標(biāo)記點，其中A在C的北偏西54°方向上，與C

的距離是800海里，8在C的南偏西36°方向上，與C的距離是600海里.

(1)求點A與點8之間的距離；

(2)若在點C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時會發(fā)射一次信號，此時

在點B處有一艘輪船準(zhǔn)備沿直線向點A處航行，輪船航行的速度為每小時20海里.輪船在駛向A處的

過程中，最多能收到多少次信號？(信號傳播的時間忽略不計).

13.(2022秋?寧波期末)如圖1是一個簡易手機(jī)支架，由水平底板DE、側(cè)支撐桿BD和手機(jī)托盤長AC組

成，側(cè)面示意圖如圖2所示.已知手機(jī)托盤長AC=10CHI,側(cè)支撐桿/CBD=75°,ZBDE

=60°,其中點A為手機(jī)托盤最高點，支撐點8是AC的中點，手機(jī)托盤AC可繞點8轉(zhuǎn)動，側(cè)支撐桿

BD可繞點D轉(zhuǎn)動.

（1）如圖2,求手機(jī)托盤最高點A離水平底板。E的高度//（精確到0.1c機(jī)）.

（2）如圖3,當(dāng)手機(jī)托盤AC繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)15°后，再將8。繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a,使點C落在水

平底板。E上，求a（精確到0.1°）.（參考數(shù)據(jù)：tan26.6°?0.5,如-1.41,我-1.73）

14.（2022秋?平昌縣校級期末）如圖，某漁船沿正東方向以30海里/小時的速度航行，在A處測得島C在

北偏東60°方向，20分鐘后漁船航行到8處，測得島C在北偏東30°方向，已知該島C周圍9海里內(nèi)

有暗礁.

參考數(shù)據(jù)：我Q1.732,sin75°心0.966,cos75°-0.259.

(1)8處離島C海里.

(2)如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？請說明理由.

(3)如果漁船在2處改為向東偏南15°方向航行，有無觸礁危險？說明理由.

15.(2022秋?平城區(qū)校級期末)如圖，某無人機(jī)愛好者在一小區(qū)外放飛無人機(jī)，當(dāng)無人機(jī)飛行到一定高度

。點處時，無人機(jī)測得操控者A的俯角為75。，測得小區(qū)樓房頂端點C處的俯角為45°.己知操控

者A和小區(qū)樓房8C之間的距離為45米，無人機(jī)的高度為（30+15?）米.（假定點A，B,C,。都在

同一平面內(nèi).參考數(shù)據(jù)：tan75°=2+V§，tanl5°=2-愿.計算結(jié)果保留根號）

（1）求此時小區(qū)樓房BC的高度；

（2）在（1）條件下，若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度繼續(xù)向右勻速飛

行.問：經(jīng)過多少秒時，無人機(jī)剛好離開了操控者的視線？

3

16.（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）如圖，在一筆直的海岸線/上有A,2兩個觀測站，A在2的正東方向.有

一艘漁船在點P處，從A處測得漁船在北偏西60°的方向，從8處測得漁船在其東北方向，且測得8,

P兩點之間的距離為20海里.

（1）求觀測站A,8之間的距離（結(jié)果保留根號）；

（2）漁船從點尸處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處等待補(bǔ)給，此時，從8測得漁船在北偏

西15°的方向.在漁船到達(dá)C處的同時，一艘補(bǔ)給船從點8出發(fā)，以每小時20海里的速度前往C處,

請問補(bǔ)給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：V3?1.73）

17.（2022秋?陽泉期末）“十一”期間，王紅與家人開車去鄉(xiāng)下看望爺爺和奶奶.她看到汽車尾部自動升起

的后備箱，于是根據(jù)實際情況畫出了相關(guān)的示意圖.圖1是王紅家私家車側(cè)面示意圖，其中矩形A8CZ）

表示該車的后備箱，圖2是在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為

60°時，箱蓋AOE落在AOE的位置的示意圖.王紅測得AO=90厘米，￡）E=30厘米，EC=40厘米.根

據(jù)王紅提供的信息解答下列問題：

（1）求點。到的距離；

（2）求點E運動的距離.

18.（2022秋?堇B州區(qū)期末）小麗與爸媽在公園里蕩秋千.如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，OA與地

面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1.2機(jī)高的B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她.若

媽媽與爸爸到OA的水平距離BD、CE分別為1.8機(jī)和2.4m,ZBOC=90°.

(1)△CEO與△。。8全等嗎？請說明理由.

(2)爸爸在距離地面多高的地方接住小麗的？

(3)秋千的起始位置A處與距地面的高是______m.

19.(2022秋?蒙城縣期末)北京時間2022年6月5日10時44分，神舟十四號載人飛船在酒泉發(fā)射升空，

為弘揚航天精神，某校在教學(xué)樓上從樓頂位置懸掛了一幅勵志條幅GF.如圖，已知樓頂?shù)降孛娴木嚯x

GE為18.5米，當(dāng)小亮站在樓前點B處，在點8正上方點A處測得條幅頂端G的仰角為37°,然后向教

學(xué)樓方向前行15米到達(dá)點。處（樓底部點E與點8,。在一條直線上），在點。正上方點C處測得條幅

底端尸的仰角為42°,若AB,C。均為1.7米（即四邊形ABOC為矩形），請你幫助小亮計算：

（1）當(dāng)小亮站在B處時離教學(xué)樓的距離BE；

（2）求條幅GF的長度.

（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):sin37°-0.60,cos37°觸0.80,tan37°-0.75,sin42--0.67,cos42°

20.74,tan42°心0.90)

20.（2022秋?北倍區(qū)校級期末）如圖，某工程隊從A處沿正北方向鋪設(shè)了184米軌道到達(dá)2處.某同學(xué)在

博物館C測得A處在博物館C的南偏東27°方向，B處在博物館C的東南方向.（參考數(shù)據(jù)：sin270y

0.45,cos27°"0.90,tan27°?0.50,遍心2.45.）

（1）請計算博物館C到B處的距離；（結(jié)果保留根號）

（2）博物館C周圍若干米內(nèi)因有綠地不能鋪設(shè)軌道.某同學(xué)通過計算后發(fā)現(xiàn)，軌道線路鋪設(shè)到8處時，

只需沿北偏東15°的8E方向繼續(xù)鋪設(shè)，就能使軌道線路恰好避開綠地.請計算博物館C周圍至少多少

米內(nèi)不能鋪設(shè)軌道.（結(jié)果精確到個位）

21.（2022秋?遼寧期末）“愚公移山”是我國著名寓言故事，它告訴了我們堅持不懈的道理.某日，小張穿

越至愚公的年代，碰到了移山的眾人.

（1）在運輸山石等雜物時，有兩條路可行，已知A,8間的直線距離為50里（如圖1所示）.

線路1：折線ACD3,已知點C在點A東北方向，點8在點。東偏南53°方向，CD//AB,且C,。間

的距離為30里;

線路2：以為直徑的半圓.如果僅從遠(yuǎn)近考慮，小張應(yīng)該告知愚公選取哪一條線路使得路程更短？請

你通過計算說明理由.

（2）愚公為了能夠更精確地了解所移之山的高度，請求小張幫其測量.如圖2所示，已知在山MN

的后方有一座高140米的小山尸。小張站在線段QN上的點E處，EQ=480米，此時小張測得點M的

仰角為60°,隨后小張到達(dá)小山山頂點尸處測得點〃的仰角為21。，請你幫小張求出山高的值.（結(jié)

果保留3位有效數(shù)字，以下為參考三角比與數(shù)值）sin37°?旦；sinl6°?工；sin39°心0.63；

525

72^1.41；73^1.73

圖2

22.（2023春?通河縣期末）如圖，一艘輪船以每小時35海里的速度向東航行，在4處觀測到在它的東北方

向（北偏東45。）點C處有一艘捕漁船，2小時后輪船到達(dá)點8處，突然收到漁船的求救信號，此時觀

測到漁船C位于點B的北偏東150方向上.

(1)求/AC8的度數(shù)；

(2)輪船收到求救信號后，立即沿以每小時4昭海里的速度趕往C處救援，那么輪船需多少小時

趕到C處？

23.(2022秋?靜安區(qū)校級期末)某大型購物中心為方便顧客地鐵換乘，準(zhǔn)備在底層至為層之間安裝電梯,

截面圖如圖所示，底層與81層平行，層高為9米，A、B間的距離為6米，ZACD=20°.

(1)請問身高1.9米的人在豎直站立的情況下搭乘電梯，在8處會不會碰到頭？請說明理由.

（2）若采取中段平臺設(shè)計（如圖虛線所示）.已知平臺EE〃Z）C,且AE段和FC段的坡度i=l：2,求

平臺￡尸的長度.

【參考數(shù)據(jù)：sin20°g0.34,cos20°^0.94,tan20°。0.36】

24.（2022秋?益陽期末）筒車是我國古代利用水力驅(qū)動的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水

能利物，輪乃曲成”.如圖，半徑為3根的筒車。。按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)上圈，筒車與水面分別交于點

6

A、B,筒車的軸心。距離水面的高度OC長為2.2m，筒車上均勻分布著若干個盛水筒.若以某個盛水筒

P剛浮出水面時開始計算時間.

（1）經(jīng)過多長時間，盛水筒P首次到達(dá)最高點？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒尸距離水面多高？

（3）若接水槽所在直線是的切線，且與直線交于點M,M0=8m.求盛水筒尸從最高點開

始，至少經(jīng)過多長時間恰好在直線上.

（參考數(shù)據(jù)：cos43°=sin47°2sinl6°=cos74°仁衛(wèi)＞,sin22°=cos68°^―）

15408

25.（2023?海南）如圖，一艘輪船在A處測得燈塔M位于A的北偏東30°方向上，輪船沿著正北方向航行

20海里到達(dá)8處，測得燈塔M位于8的北偏東60°方向上，測得港口C位于8的北偏東45°方向上.已

知港口C在燈塔M的正北方向上.

（1）填空：ZAMB=度，ZBCM=度;

（2）求燈塔M到輪船航線AB的距離（結(jié)果保留根號）；

（3）求港口。與燈塔M的距離（結(jié)果保留根號）.

26.（2023?阜新）如圖,小穎家所在居民樓高AB為46/77.從樓頂A處測得另一座大廈頂部C的仰角a是

45°,而大廈底部。的俯角0是37

（1）求兩樓之間的距離BD

（2）求大廈的高度CD

（結(jié)果精確至U0.1機(jī)，參考數(shù)據(jù)：sin37°-0.60,cos37°g0.80,tan37°g0.75）

27.（2023?盤錦）如圖，一人在道路上騎行，8。段是坡路，其余為平路，當(dāng)他路過43兩點時，一架無

人機(jī)從空中的C點處測得48兩點的俯角分別為30°和45°,AB=40m,BD=2Qm,ZBDF=159°,

點A,B,C,D,E,尸在同一平面內(nèi)，CE是無人機(jī)到平路DF的距離，求CE的長.（結(jié)果精確到整數(shù)，

參考數(shù)據(jù)：百-1.73,sin21°-0.36,cos21°七0.93,tan21°心0.38)

28.（2023?濟(jì)南）圖