2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)下冊專項復(fù)習(xí)：相似三角形及其性質(zhì)（原卷版）

第02講相似三角形的性質(zhì)及其判定

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1,掌握相似三角形的定義及其表示方法。

①相似三角形的定義

2.掌握相似三角形的性質(zhì)并能夠熟練應(yīng)用。

②相似三角形的性質(zhì)

3.掌握相似三角形的判定并能夠熟練的判定相似三角

③相似三角形的判定

形。

思維導(dǎo)圖

相似三角形的定義

對雙邊成比例

rIS做三角形的住ASY（對應(yīng)角相等

相似三角形

軍行線法

/李加皿蛆刪

相似三角形的判定,兩邊對應(yīng)成比例及X夾角相等

\兩角對應(yīng)相等

知識清單

知識點01相似三角形的定義與性質(zhì)

1.相似三角形的定義：

如果兩個三角形的對應(yīng)邊的比,對應(yīng)角，那么這兩個三角形相似。用符號“S”

來表示。若AABC相似于△DEF,A對應(yīng)D,B對應(yīng)E,C對應(yīng)F。則表示為△ABCs/\EDF。對應(yīng)邊的比叫做這

兩個三角形的o

2.相似三角形的性質(zhì):

①相似三角形的對應(yīng)角.，對應(yīng)邊的比.

②相似三角形（多邊形）的周長的比等于.;相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平

分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于.

③相似三角形的面積的比等于.

題型考點：①求相似三角形的相似比。②利用相似三角形的性質(zhì)求值。

【即學(xué)即練1】

1.已知△ABCS/XOEF,若/A=30°,ZB=80°,則NF的度數(shù)為()

A.30°B.80°C.70°D.60°

【即學(xué)即練2】

2.如圖，AADE^AABC,若4。=1,BD=2,則△ADE與△ABC的相似比是（）

A.1：2B.1：3C.2：3D.3：2

【即學(xué)即練3】

3.若兩個相似三角形的周長之比是1：2,則它們的面積之比是（)

A.1：2B.1：V2C.2：1D.1：4

【即學(xué)即練4】

4.如圖，AABC^AADE,S^ABC：S四邊形BDEC=1：2其中的長為（

B.娓C.V5D.5

【即學(xué)即練5】

5.若AABCsADEF,△ABC的面積為81CW,△￡)￡；尸的面積為36CW,且A5=12cm,則DEcm.

【即學(xué)即練6】

6.如圖，AABC,AB=12,AC=15,。為AB上一點，SLAD=^AB,在AC上取一點E,使以A、。、E

3

為頂點的三角形與A3C相似，則AE等于（)

B.10

C.絲或10D.以上答案都不對

5

知識點02相似三角形判定的預(yù)備定理

1.判定預(yù)備定理內(nèi)容:

平行于三角形其中一邊的直線與另兩邊或兩邊的延長線相交，所得到的三角形與原三角形

如圖1：AAOE^AABC；如圖2,AAOB^ACOZ)

題型考點：①利用預(yù)備定理進行相似三角形的判定。

【即學(xué)即練。

7.如圖，在△ABC中，點。在A8上，A。：BD=\-.2,DE〃BC交AC于E,下列結(jié)論中不正確的是(

A.BC=3DEB.AADE^AABC

「BDCED.S&PE」

BACA,△ABC3

【即學(xué)即練2】

8.如圖，△ABC中，DE//BC,DF//AC,求證：△ADEs^DBF.

知識點03相似三角形的判定定理1—三邊成比例的兩個三角形相似

1.三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似：

若兩個三角形三邊的相等，則這兩個三角形相似。

題型考點：①利用判定定理1判定三角形相似。

【即學(xué)即練1】

9.一個三角形的三邊長分別為12c機，8cm,7cm,另一個三角形的三邊長分別為16c機，24cm,]4cm,這

兩個三角形相似嗎？為什么？

【即學(xué)即練2】

10.如圖，。是△ABC內(nèi)一點，D,E,尸分另OB,OC,上的點，DE//AB,EF//BC,DF//AC.求

證：ADEFs^ABC.

知識點04相似三角形的判定定理2一兩邊及其夾角判定

1.判定定理2的內(nèi)容：

兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的相等且這兩組對應(yīng)邊的相等的兩個三角形相似。

題型考點：①利用判定定理2判定三角形相似。

【即學(xué)即練1】

11.如圖，點C在△ADE的邊DE上，Z1=Z2,膽望_,請說明△ABCs△ADE.

ACAE

DE

【即學(xué)即練2】

12.如圖，。是△ABC的邊BC上的一點，AB=2,BD=\,OC=3,求證：

【即學(xué)即練3】

13.如圖，在△A3C中，AB=4,AC=8,點尸從2點出發(fā)沿BA方向以每秒1個單位移動，點。從A出發(fā)

沿AC方向以每秒2個單位移動，當(dāng)它們到達A、C后停止運動.試問經(jīng)過幾秒后，AABC與△AP。相

似？請說明理由.

知識點05相似三角形的判定定理3一兩角判定

2.判定定理3的內(nèi)容:

兩個三角形的兩個角對應(yīng)，則這兩個三角形相似。

題型考點：①利用判定定理3判定三角形相似。

【即學(xué)即練1】

14.如圖，已知在AABC與中，ZC=54°,ZA=47°,ZF=54°,ZE=79°,求證：AABC^

△DEF.

【即學(xué)即練2】

15.已知：如圖，Z1=Z2=Z3,求證：△ABCS^AOE.

【即學(xué)即練3】

16.已知：如圖AB為OO的直徑，弦AC、2。相交于點P,

(1)證明圖中的相似三角形；

(2)若AB=3,CD=1,AC=2,求AP的長.

題型精講

題型01相似三角形的性質(zhì)求線段

【典例1】

在△ABC中，BC=15cm,CA=45cm,AB=63cm,另一個和它相似的三角形的最短邊是5cm,則最長邊是

()

A.18cmB.21cmC.24cmD.19.5cm

【典例2】

如圖，在三角形ABC中，42=24,AC=18,。是AC上一點AD=12,在AB上取一點E,使A、D、E=

點組成的三角形與ABC相似，則AE=.

【典例3】

如圖，在矩形ABCO中，點E、尸分別在邊A。、0c上，AABE^ADEF,43=6,AE=9,DE=2,求EF

的長.

【典例4】

如圖，已知△AOBs/YDOC,OA=2,AD=9,OB=5,DC=12.求AB,OC的長.

題型02相似三角形的性質(zhì)求周長與面積

【典例1】

若AABCs^DEF,且面積比為4：9,其中△ABC的周長為6c機，則的周長是()

A.4cmB.9cm

C.13.5cmD.9c機或13.5CM

【典例2】

兩個相似三角形，其周長之比為3：2,則其面積比為（）

A.丙：&B.3：2C.9：4D.不能確定

【典例3】

在一張縮印出來的紙上，一個三角形的一條邊由原圖中的6c機變成了2cm,則縮印出的三角形的面積是原

圖中三角形面積的（）

A.AB.工C.AD.工

36912

【典例4】

已知△ABC的三邊分別是5,6,7,則與它相似△&'B'C'的最短邊為10,則B'C的周長是.

題型03相似三角形的判定

【典例1】

如圖，點C,尸在線段2。上，AB//DE,理?注，求證：△ABCS^EDF.

DEDF

【典例2】

如圖，點。是△ABC外一點，/DAE=NBAC,ZAEC+ZACB^180°.求證：△DARs/XEAC.

【典例3】

如圖，在四邊形ABC。中，ZB=ZC=90°，點尸在BC上，且NAP￡>=90°.

求證：LABPSAPCD.

D

A

【典例4】

在△ABC中，AF±BC,CE±AB,垂足分別是凡E,連接EF.求證:

(1)ABAFsABCE；

(2)LBEFsABCA.

【典例5】

如圖所示，在△ABC中，/A=90°,AB=8cm,AC^6cm,點尸由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動,

同時點Q由點8出發(fā)沿8c方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s,連接P。,設(shè)運動時間為"s),

解答下列問題：

(1)ABP。的面積可能是為5a層嗎？為什么？

(2)在點P,。的運動過程中，當(dāng)f為何值時，48尸。與AABC相

似？并說明理由.

題型04相似三角形的判定與性質(zhì)

【典例1】

如圖，在平行四邊形A2C￡)中，AB=8.在BC的延長線上取一點3,使CE=』8C,連接AE,AE與CD

3

交于點F.

(1)求證：AADFsAECF；

(2)求。尸的長.

【典例2】

如圖，平行四邊形ABC。，DE交BC于F,交4?的延長線于E,S.ZEDB=ZC.

(1)求證：AADEsADBE；

(2)若DC=7cm,BE=9cm,求￡>￡的長.

【典例3】

如圖，在矩形ABC。中，E是邊BC的中點，。尸，AE于點E.

(1)求證：空AD

BEAE

(2)若A8=4,BC=6,求AF的長.

【典例4】

小軍在學(xué)習(xí)相似三角形時，遇到這樣一個問題:

(1)如圖1,在△ABC中，尸是邊上的一點，連接CP,若NACP=NB,求證：AACP^AABC；

(2)如圖2,已知NA=81°,AC1=AB-AD,BC=BD,求NA8C的度數(shù).

題型04相似三角形的應(yīng)用

【典例1】

同學(xué)們在物理課上做“小孔成像”實驗.如圖，蠟燭與帶“小孔”的紙板之間的距離是帶“小孔”的紙板

與光屏間距離的一半，當(dāng)蠟燭火焰的高度AB為1.6c機時，所成的像A'8的高度為（）

A.0.8cmB.2.4cmC.32cmD.4.8cm

【典例2】

如圖，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度.如果標(biāo)桿BE高1.2m，測得AB=L6加，BC=12m,則樓高CO是

C.10.2mD.11.2mm

【典例3】

如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測“步云閣”的高度,他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水

平，邊。E與點B在同一直線上.已知直角三角紙板中。E=18cm,EF=12cm,測得眼睛。離地面的高

度為1.8m他與“步云閣”的水平距離為114祖，則“步云閣”的高度48是（）

A.74.2mB.77.8mC.79.6mD.79.8m

【典例4】

四分儀是一種十分古老的測量儀器.其出現(xiàn)可追溯到數(shù)學(xué)家托勒

密的《天文學(xué)大成》.圖1是古代測量員用四分儀測量一方井

的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過窺衡桿測望井底點

F、窺衡桿與四分儀的一邊交于點H.圖2中，四分儀為

正方形42czz方井為矩形BEPG.若測量員從四分儀中讀得

AB為1,8”為0.5,實地測得8E為2.5.則井深83為（）

A.4B.5C.6D.7

強化訓(xùn)練

1.兩個相似三角形的周長之比是1:愿，則它們的面積之比為（）

A.1：3B.3：1C.1：V3D.V3：1

2.如圖，△ABCsLADE,S^ABC：S四邊形BDEC=1：2,其中CB=&，的長為（）

3.如圖，已知N1=N2,那么添加一個條件后，仍不能判定△ABC與△AOE相似的是（）

4.圖1是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，與相交于點。，A2〃Cr>,根

據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為（）

5.新定義：由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點.如圖，已知在5X5

的網(wǎng)格圖形中，點A、B、C、。為不同的點且都在格點上，如果/ADC=/A8C,那么圖中所有符合要

求的格點D的個數(shù)是（）

6.如圖，點A,B,C,。為。。上的四個點，AC平分NBA。，AC交BD于點、E,CE=2,8=3,則AC

的長為（）

A,

O.

C^D

A.4B.4.5C.5D.5.5

7.如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=6,AO=8,對角線AC與3。交于點。，點E是。C的延長線的一

A.6B.6.2C.6.75D.7

8.如圖，在正方形ABCQ中，E是AB上一點，連接CE,過點C作CF_LCE交AD的延長線于點R連接

EF,所分別交8、AC于點G、H,M是中點，連接DM,則下列結(jié)論：①BE=DF；③FH，GE=

C￡2；③NC7W=45°；④若AE=AH,貝!］絲正確的結(jié)論是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

9.D、￡分別是△ABC的邊A3、AC上的點，如果NA=45°,AB=2,A￡）=1,AC=3,那么要使△ABC

和AADE相似，則AE=.

10.九年級（1）班課外活動小組利用標(biāo)桿測量學(xué)校旗桿的高度，如圖所示，

已知標(biāo)桿高度。=3加，標(biāo)桿與旗桿的水平距離8。=15%，人的眼睛與

地面的高度EP=1.6m,人與標(biāo)桿CO的水平距離。尸=2切，則旗桿

的高度為m.

11.將一張直角三角形紙片沿一條直線剪開，將其分成一張三角形紙片與一張四邊形紙片，如果所得四邊

形紙片ABC。如圖所示，其中/A=/C=90°,A8=7厘米，8c=9厘米，CZ）=2厘米，那么原來的直

角三角形紙片的面積是平方厘米.

12.如圖，四邊形ABC。是正方形，點尸是邊AB上的一點，連接。R點E是邊BC延長線上的一點，且

DFLDE,連接AC交跖