2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步練習(xí)：與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的計算（30題）（解析版）

專題第01講與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的計算

1.（2023春?秦都區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，連接BE,將BE繞點(diǎn)B逆時針

旋轉(zhuǎn)60°得至UBD,連接DE、AD.

（1）求證：AD=CE；

（2）若BC=8c〃z,BE=lcm,求△AOE的周長.

D__A

BC

【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和判定和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明即可得解；

（2）由BC=8c〃z,BE=lcm,結(jié)合（1）的結(jié)論，等線段轉(zhuǎn)化，得到△AOE的周長.

【解答】（1）證明：；△ABC是等邊三角形，

：.BC=BA,ZABC=60°.

：2D是由BE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，

：.BD=BE,/班￡）=60°,

...△BDE是等邊三角形，

：.ZCBE=AABD,

:.ACBE咨AABD（SAS）,

：.AD=CE；

（2）解：:△ABC和△BE。都是等邊三角形，

.".AE+AD—AE+CE—AC—BC—Scm,DE—BE—1cm,

：.AADE的周長為AD+AE+DE=8+1=15cm.

2.（2023春?北林區(qū)期末）如圖，在正方形A8CD中，E,尸是對角線3。上兩點(diǎn)，且NEAP=45°,將4

尸繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AB。，連接E。.

（1）求證：EF=EQ；

（2）求證：EF2=B￡2+DF2.

【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AAOE絲ZVIFE（SAS）,進(jìn)而得出乙4￡。=NAER即可得出答

案；

(2)利用(1)中所求，再結(jié)合勾股定理得出答案.

【解答】證明：(1)：將△ADP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ,

:.QB=DF,AQ^AF,ZBAQ^ZDAF,

VZ￡AF=45°,

AZDAF+ZBAE^45Q,

.,.NQ4E=45°,

：.ZQAE=ZFAE,

在△AQE和△APE中

'AQ=AF

<ZQAE=ZFAE?

AE=AE

A/\AQE^AAFE(SAS).

：.EF=EQ；

(2)由(1)得△AQEr烏△ABE,

：.QE=EF,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得NAB。=NADE

ZADF+ZABD^90°,

貝(jNQ8E=/ABQ+NA8￡)=9(r,

在Rt/XQBE中，

QB2+BE2=QE2,

又,：QB=DF,

：.EF2=BE2+DF2.

3.(2022秋?同心縣期末)如圖，八鉆。是等邊三角形，點(diǎn)。在AC邊上，將△BCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△ACE

(1)求證：△(7￡)￡是等邊三角形；

(2)若48=8,80=7,求△AOE的周長.

BK------------------七

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CE,ZACB=ZACE=60°,可得NCDE=60°=ZACB,可證

DE//BC；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=8O=7,即可求的周長.

【解答】(1)證明：:△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC,ZACB=6Q°,

?.,將△BCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到

：.CD=CE,ZACB=ZDCE=6Q°,

...△cr也是等邊三角形；

(2)解：：將△BCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△ACE.

；.AE=BD=7,

,/AADE的周長=AE+D￡+A￡)=AE+r)C+A￡)=AE+AC,

AADE的周長=7+8=15.

4.(2023春?清遠(yuǎn)期末)如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，AE=AB,將線段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位

置，使得/CAF=/8AE,連接EF,EF與AC交于點(diǎn)G.

(1)求證：BC=EF；

(2)若/ABC=64°,ZACB=25°,求/AGE的度數(shù).

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AR利用SAS證明AABC之根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等

即可得出EF=BC；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出/BAE=180°-64°X2=52°,那么NE1G=

52°.由△ABCg/XAEF,得出/b=/C=25°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出/AGE=NR7C=

ZFAG+ZF=77°.

【解答】(1)證明：

：.ZBAC=ZEAF.

?.?將線段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位置，

：.AC=AF.

在△ABC與△AEP中，

'AB=AE

<ZBAC=ZEAF>

AC=AF

.?.△ABCdAEF(SAS),

:.BC=EF；

⑵解：'JAB^AE,ZABC=64°,

：.ZBAE=180°-64°X2=52°,

:./FAG=/BAE=52°.

△ABC四△AEF,

：.ZF=ZC=25°,

：.ZFGC^ZFAG+ZF^52°+25°=77°,

AZAGE=11°.

5.(2023春?白銀期中)如圖，在四邊形ABC。中，NBCD=12Q°,BC=CD,ACLLB。，點(diǎn)E在對角線

BD上,將線段CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段CR連接。?

(1)求證：BE=DF；

(2)若EB=EC,求證：ACLCF.

【分析】(1)首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到N3C￡)=NEC尸=N120°,CE=CF,然后證明出△BEC0ZXOf'C

(SAS),即可得到8E=DF；

(2)根據(jù)等邊對等角得到NCBO=NCOB,然后利用全等三角形的性質(zhì)得到/CDP=NCBD,進(jìn)而證明

CF//BD,最后利用平行線的性質(zhì)求解即可.

【解答】證明：(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：NBCD=/ECF=120°,CE=CF,

：.ZBCE=ZDCF,

又；BC=CD,

:.△BEC%ADFC(SAS),

；.BE=DF；

(2)'：BC=CD,

:.NCBD=NCDB,

若EB=EC,則ZCBD=ZBCE=ZCDB,

Y△BE8ADFC(SAS),

：.ZCDF=ZCBD,

：.ZDCF=ZCDB,

J.CF//BD,

'：ACLBD,

：.AC±CF.

6.(2023春?南城縣期中)如圖，點(diǎn)。是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將C。繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到C￡),

連接。￡),AO,BO,AD.

(1)求證：BO-AD-,

(2)若OA=10,OB=8,OC=6,求/BOC的度數(shù).

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以證明△SCO四△AC。；

(2)先證出△OCQ是等邊三角形，又根據(jù)△8CO0ZXACZ),得出AO=OB=8,ZBOC=ZADC,再根

據(jù)勾股定理的逆定理得出/4。0=90°,等量代換得出NBOC=150°.

【解答】(1)證明：：C。繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CD,

：.CO=CD,ZOC￡>=60",

?：AABC是等邊三角形，

：.CA^CB,/BCA=NOC￡)=60°,

：.ZBCA=ZOCD,ZBCO=ZACD,

在△BCO和△ACD中，CA=CB,NBCO=NACD,CO^CD,

：./\BCO^/\ACD(SAS),

：.BO=AD.

(2)解："：CO=CD,ZOCD=60°,

.?.△OCO是等邊三角形，

：.OD=OC=6,ZODC=60°,

VABCO^AACD,

；.Ar>=0B=8,ZBOC^ZADC,

'：0A=10,

：.OA^=AD2+OD1,

：.ZADO=90°,

.?.NADC=/AOO+NODC=90°+60°=150°,

：.ZBOC=ZADC=150°.

7.(2023春?羅源縣校級期中)如圖，先將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC,再將線段QE繞點(diǎn)

。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到。G,連接BE、BG、AD,且AC=4.

(1)若NABC=135：B、E、。三點(diǎn)在同一條直線上，求BG的長；

(2)若/ABC=90°,AC=2CE,點(diǎn)P在邊A8上，求線段尸。的最小值.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NACZ)=90°=ZBCE,AB=DE,BC=CE,AC=CD,ZABC=ZDEC

=135°,由等腰三角形的性質(zhì)可得NBEC=45°=ZCBE,可證/BEC+/CED=180°,通過證明四邊

形ABDG是矩形，可得AZ>=2G,由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解；

(2)由垂線段最短可得當(dāng)時，P。的長度有最小值，先證點(diǎn)P,點(diǎn)E,點(diǎn)。三點(diǎn)共線，由勾股

定理可求。E的長，由正方形的性質(zhì)可得BC=PE=2,即可求解.

【解答】解：⑴如圖，連接AG,

A

'：將aABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC,

[△ABC空ADEC,ZACD^90°=NBCE,

：.AB=DE,BC=CE,AC=CD,

ZABC=ZDEC=135°,

AZBEC=45°=ZCBE,

：.ZBEC+ZCED=lSOa,

：.B.E、。三點(diǎn)共線；

；將線段DE繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DG,

：.DE=DG,ZEDG=90°

：.AB=DE=DG,

'：ZABE=ZABC-ZCBE^90°,

/.ZABE+ZEDG=180°,

：.AB//DG,

四邊形ABDG是平行四邊形，

又：/8OG=90°

四邊形ABDG是矩形，

：.AD=BG,

'：AC=CD=4,ZACD=9Q°,

.*.AD=V2AC=4V2>

BG=4M；

(2):點(diǎn)尸在邊AB上，

，當(dāng)PD±AB時，PD的長度有最小值，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：

ZABC=ZCED=ZBCE=90°,

J.BC//DE,

VZABC+ZBP￡>=180°,

C.DP//BC,

點(diǎn)尸，點(diǎn)E,點(diǎn)。三點(diǎn)共線，

'：AC=2CE,

:.BC=CE=2,

又；NABC=NBPE=/BCE=9Q°,

四邊形8PEC是正方形，

：.BC=PE=2,

'：CD=AC=4,CE=2,ZCED=90°,

?*-D￡=VCD2-CE2=V16-4=2V3'

：.DP=243+2,

線段PD的最小值為2愿+2.

8.(2023春?成武縣期中)已知△ABCg/XOEC,AB=AC,AB>BC.

F

(1)如圖(1),CB平分/AC。，求證：四邊形ABAC是菱形；

(2)如圖(2),將(1)中的△COE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于N2AC),BC,OE的延長線相交

于點(diǎn)R用等式表示NACE與NEfC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=DC,根據(jù)角平分線的定義得到NOC3=NAC8,證明四

邊形A5CO為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NA8C=NOEC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明即可.

【解答】(1)證明：VAABC^ADEC,

：.AC=DC,

9：AB=AC,

：.ZABC=ZACB.AB^DC,

TCB平分NAS,

???/DCB=NACB,

：./ABC=/DCB,

J.AB//CD,

???四邊形ABDC為平行四邊形，

VAB=AC,

???平行四邊形A&X?為菱形；

(2)解：ZACE+ZEFC=180°,

理由如下：VAABC^ADEC,

J/ABC=/DEC,

：.ZACB=ZDEC,

VZACB-^-ZACF=ZDEC+ZCEF=180°,

:?/CEF=NACF,

VZCEF+ZECF+ZEFC=180°,

/.ZACF+ZECF+ZEFC=1SO°,

/.ZACE+ZEFC=180°.

9.(2023春?九江期末)如圖，在RtZkABC中，ZBCA=90°,將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADE處，

分別延長3C與即交于點(diǎn)R連接A尸、CE.

(1)求證：熱平分/CFE；

(2)若S四邊形AMD=12,AC=4,求CE的長.

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AC=AE,ZACB=ZAED=90°,再利用角平分線的判定可得結(jié)論；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后三角形全等可得S四邊形4CFE=12,再說明S"c尸=S"E尸=6,則。/=3,最后利用面

積法求出C￡的長即可.

【解答】（1）證明：???將△A3C繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADE處，分別延長5c與皮＞交于點(diǎn)R

：.AC=AEfZACB=ZAED=90°,

???A/平分NCTE；

（2）解：?二S四邊形45尸。=12,

S四邊形ABFD=S四邊形ACFD+SZVIBCM12,

?'?S四邊形4。尸片=12,

丁朋平分NCbE,ZACF=ZAEF=90°,

:./CAF=/EAF,

\'AC=AE.

???A尸垂直平分CE

???CF=EF,

??S/\ACF=S/^AEF=6f

：.CF=3,

在Rt/VICT中，由勾股定理得，A尸=5,

.rF2X1224

AF5

10.（2023春?日于胎縣期末）如圖，將矩形ABC。繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到矩形PECG,點(diǎn)E在上，延長E￡）交

FG于點(diǎn)H.連接BE、CH.

（1）四邊形是怎樣的特殊四邊形？證明你的結(jié)論；

（2）若BC長為2,則4B的長為時，四邊形BE8C為菱形.

【分析】（1）依據(jù)題意可得到FE=A8=QC,ZF=ZEDC=90°,FH//EC,利用平行線的性質(zhì)可證明

ZFHE=ZCED,然后依據(jù)AAS證明△EDC絲由全等三角形的性質(zhì)可知E〃=EC,由旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)可得到BC=EC,從而可證明EH=BC,最后依據(jù)平行四邊形的判定定理進(jìn)行證明即可；

（2）連接BE.可證明AEBC為等邊三角形，貝iJ/A8E=30°,利用特殊銳角三角函數(shù)值可得到答案.

【解答】解：（1）四邊形BMC是平行四邊形.

證明：?..四邊形/ECG是矩形，

.'.FG//EC,

：.ZCED=ZEHF,

:四邊形FECG是矩形，

：.ZEDC=ZF=90°,DC=FE,

在△EDC和△加E中，

，ZCED=ZEHF

<ZEDC=ZF，

DC=FE

:.二EDC9AHFE(A4S),

:.EH=EC,

,/矩形FECG由矩形ABCD旋轉(zhuǎn)得到，

:.EH=EC=BC,EH//BC,

...四邊形BEHC為平行四邊形；

(2)當(dāng)時，四邊形是菱形,

連接BE.

???四邊形BEHC為菱形,

：.BE=BC.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BC=EC.

:.BE=EC=BC.

；.AEBC為等邊三角形.

/.ZEBC=60°.

：.ZABE=3>0°.

：.AB：BE=M：2.

又,：BE=CB=2,

：.AB=yf3-

故答案為：Vs.

11.（2023春?平山縣期末）如圖，PQ//MN,A、8分別為直線MN、PQ上兩點(diǎn)，且/8AN=45°,若射線

AM繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線8。繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)至8尸后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞

點(diǎn)A、點(diǎn)8不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動的速度是a°/秒，射線8。轉(zhuǎn)動的速度是6°/秒，且。、b滿足

\a-5|+(6-1)2=0.(友情提醒：鐘表指針走動的方向為順時針方向)

(1)；

(2)若射線AM、射線8。同時旋轉(zhuǎn)，間至少旋轉(zhuǎn)多少秒時，射線AM、射線8。互相垂直.

(3)若射線AM繞點(diǎn)A順時針先轉(zhuǎn)動18秒，射線BQ才開始繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達(dá)BA之

(2)依據(jù)乙48。+/區(qū)4。=90°,/ABQ+NR4M=180°,即可得到射線AM、射線8。第一次互相垂直

的時間；

(3)分兩種情況討論，依據(jù)時，BQ//AM",列出方程即可得到射線AM、射線2。

互相平行時的時間.

【解答】解：Q)|"5|+(6-1)2=0,

?'?a-5=0,b-1=0,

??1=5,b—\9

故答案為：5,1；

(2)設(shè)至少旋轉(zhuǎn)/秒時，射線AM、射線8?；ハ啻怪?

如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的射線AM、射線3。交于點(diǎn)0,則BOLAO,

AZABO+ZBAO=90°,

,:PQ〃MN,

：.ZABQ+ZBAM=1^°,

：.ZOBQ+ZOAM=90°,

又?：/OBQ=t。,ZOAM=5t°,

：.t°+5t°=90°,

.1=15(s)；

(3)設(shè)射線AM再轉(zhuǎn)動，秒時，射線AM、射線8?；ハ嗥叫?

如圖，射線AM繞點(diǎn)A順時針先轉(zhuǎn)動18秒后，AM轉(zhuǎn)動至AM的位置，ZM4W=18X5=90°,

分兩種情況：

①當(dāng)9cte18時，/QBQ'=f°,AMAM"=5t°,

"：ZBAN=45°=ZABQ,

：.ZAB2'=45°-f,ZBAM"=/MAM"-ZM'AB=5t-45°,

當(dāng)NA8C=NBAM"時，BQ'//AM",

此時，45°-t°=5f-45°,

解得t=15；

②當(dāng)18<f<27時，ZQBQ'=t°,ZNAM"=5t°-90°,

?:NBAN=45°=ZABQ,

：.ZABQ'=45°-t°,ZBAM"=45°-(5r°-90°)=135°-5t°,

當(dāng)NA8Q=/BAM"時，BQ'//AM",

此時，45°-t°=135°-5t,

解得t=22.5；

綜上所述，射線AM再轉(zhuǎn)動15秒或22.5秒時，射線AM、射線2?；ハ嗥叫?

12.(2023春?振興區(qū)校級期中)如圖(1),在△ABC中，4B=AC=2,ZABC=30°,射線8M_LBC于點(diǎn)

C,動點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)沿射線方向運(yùn)動；以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，運(yùn)動時間為f秒；

(1)以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將AD逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段AE,連接BE,BE是否存在最小值，不存

在，則說明理由，存在則求出BE最小時的f值及BE的最小值；

(2)若射線8N為的平分線，當(dāng)點(diǎn)。從8點(diǎn)出發(fā)時，點(diǎn)/從點(diǎn)A向B點(diǎn)與點(diǎn)。同時同速運(yùn)動(0

W/W2),連接尸。交8N于點(diǎn)G,當(dāng)ABG尸為等腰三角形時，直接寫出所有可能的r值.

MM

【分析】（1）根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)時，BE為最小.過點(diǎn)A作于點(diǎn)H先證

ZDAH=ZE,進(jìn)而可依據(jù)“A4S”判定△A/TO和△ER4全等，從而得DH=AB=2,然后再

求出38=1,AH=43,進(jìn)而可得出答案；

（2）先求出MBN=N4BN=30°,BD=AF=t,根據(jù)為等腰三角形，有以下三種情況：①當(dāng)GF

=8/時，則/尸26=//62=/。26=30°,故此種情況不存在；②當(dāng)2尸=BG時，則NGBB=/GFB

=30°,貝叱30尸=90°,據(jù)此得防=2BD=2f,貝UAB=AF+B廣=f+2t=2,由此即可求出f的值；③當(dāng)

8G=8/時，則/BGF=NBFG=1（180°-30°）=75°,過點(diǎn)G作GT_LB。于點(diǎn)T,先證△GDT

2

為等腰直角三角形，設(shè)DT=GT=x,則BG=2x,BT=Jjx,BD=BT+DT=（y+1）x=t,由此得

x=（強(qiáng)”上,則BF=BG=2X=再由AB=BF+A/=2得（T-l）t+t=2，由此即可求

出f的值，綜上所述即可得出答案.

【解答】解：（1）BE存在最小值.

根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)8ELA8時，BE為最小.

"：BE±AB,

:.NE+NBAE=90°,

過點(diǎn)A作于點(diǎn)X,如圖:

J.AH//BC,

：.ZHAB^ZABC^30°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZDAE=120°,AD=AE,

：.ZDAH+ZHAB+ZBAE^120°,

：.ZDAH+ZBAE=nO°-ZHAB=nO0-30°=90°

:./DAH=NE,

\'AH±BM,BE±AB,

：.ZAHD=ZEBA=90°,

在△AH。和△￡氏!中，

，ZAHD=ZEBA=90°

<ZDAH=ZE，

AD=AE

.?.△AHD—EBA(AAS),

：.AH=BE,DH=AB=2,

"：BM.LBC,ZABC=30a,

ZABD^60°,

在RtZkABH中，ZABH=60°,AB=2,

；.N2AH=30°,

.-.B//=AAB=AX2=1,

22

由勾股定理得：AH=VAB2-BH2=722-12=V3，

BE=AH=V3-BD=DH+BH=2+1=3,

運(yùn)動的時間r=3+l=3秒，BE的最小值為J5；

(2)由(1)可知：ZABM=6Q°,

"?BN為ZABM的平分線，

：.MBN=ZABN=30°,

當(dāng)點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)時，點(diǎn)廠從點(diǎn)A向2點(diǎn)與點(diǎn)D同時同速運(yùn)動,

速度每秒1個單位長度，時間為t秒，

：.BD^AF^t,

當(dāng)△BGF為等腰三角形時，有以下三種情況：

①當(dāng)GF=8月時，則/F8G=NbGB=30°,如圖：

VZr)BG=30°,

:./FGB=/DBG=30°,這與三角形的任意一個外角都大于和它不相鄰的一個內(nèi)角相矛盾，此種情況

不存在；

②當(dāng)8廣=BG時，則/GBP=/GF3=30°,如圖：

AZBDF=90°,

在RtZXBD/中，/BFD=30°,

：.BF=2BD=2t,

：.AB=AF+BF=t+2t=2,

解得：t上，

3

③當(dāng)8G=B尸時，則(180°-30°)=75°,過點(diǎn)G作GT_LB。于點(diǎn)T,如圖:

Mi

N

Bc

ZBGF=ZDBG+ZGDT,

：.ZGDT=ZBGF-ZDBG=15°-30°=45°,

.?.△GOT為等腰直角三角形，

設(shè)DT=GT=尤，

在RtZ\BTG中，ZTBG=30°,TG=x,貝IBG=2x,

由勾股定理得：BT=7BG2-TG2=V3X,

.,.BD=BT+DT=V3x+x=（V3+l）x=t-

?_（通-1）t

??x=2'

：.BF=BG=2x=（V3-1）f,

：.AB=BF+AF^2,

即：（V3-l）t+t=2-

解得：t=^乎■.

綜上所述：當(dāng)ABG尸為等腰三角形時，f的值為2或義巨.

33

13.（2023春?遷安市期中）老師在黑板上出示題目：

如圖1,在△ABC中，ZA=32°,ZC=

55°,線段C2‘與邊重合，CB'從現(xiàn)

在的位置繞著點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周

回到原來的位置是否有一位置使CB'//

AB?如果有這樣的位置，請畫出示意圖，并

求出的度數(shù)，如果沒有說明理由

（1）（如圖2）嘉嘉認(rèn)為：看這樣二個位置，使得CB'7/AB,如圖.請你按照嘉嘉的做法，求出

的度數(shù).

（2）（如圖3）琪琪認(rèn)為：嘉嘉的想法不全面，還存在另外一種情況使得C"http://AB你是否同意琪琪的

說法？如果同意，請畫出圖形，并求出此時/BC2'的度數(shù)；如果不同意，請說明理由.

圖1圖2圖3

【分析】（1）由CB'〃AB可得/A+N4CB'=180°,再由NA=32°,得到NACB'=148",最后求

出N2C2'的度數(shù)即可；

（2）由CB，可得NB'CA=ZA=32°,再求出NBC/度數(shù).

【解答】解：(1)如圖1當(dāng)CB，//AB,

所以NA+/ACB'=180°,

因為/A=32°,

所以NACB'=148°,

因為NACB=55°,

所以N2CB'=148°-55°=93°,

(2)同意，

所以NB'CA=NA=32°,

所以NBCB'=/B'C4+/A=87°,

14.（2022秋?青山湖區(qū)期末）閱讀下面材料，并解決問題：

（1）如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求NAPB的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，此時△ACP咨AABP,這樣就可以利

用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段出、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出/AP8=；

（2）基本運(yùn)用

請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題

已知如圖②,ZXABC中，/CA8=90°,AB=AC,E、尸為8C上的點(diǎn)且/EAF=45°，求證:E產(chǎn)=8￡2+八72；

（3）能力提升

如圖③，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°，點(diǎn)。為RtaABC內(nèi)一點(diǎn)，連接A。，BO,

CO,且NAOC=/COB=/BOA=120°,求OA+OB+OC的值.

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應(yīng)邊相等，全等三角形對應(yīng)角相等以

及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE',根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE'=AE,CE'=CE,Z

CAE'=NBAE,NACE'=NB,/EAE'=90°，再求出NE'AF=45°，從而得到NE'AF,

然后利用“邊角邊”證明和△￡'A尸全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得E'F=EF,再利用

勾股定理列式即可得證.

（3）將△AOB繞點(diǎn)2順時針旋轉(zhuǎn)60°至△4'O'2處，連接。。'，根據(jù)直角三角形30°角所對的直

角邊等于斜邊的一半求出42=2AC,即A'2的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BOO'是等邊三角形，根

據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得80=。。'，等邊三角形三個角都是60°求出NBOO'=ZBO'O=

60°,然后求出C、O、A'、O'四點(diǎn)共線，再利用勾股定理列式求出A'C,從而得至l]OA+OB+OC=A'

C.

【解答】解：（1）v/\ACP'咨AABP,

：.AP'=AP=3、CP'=BP=4、ZAP'C=NAPB,

由題意知旋轉(zhuǎn)角/RIP=60°,

C.^APP'為等邊三角形，

PP'=AP=3,ZAP'P=6Q°,

易證C為直角三角形，且/PPC=90°,

AZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案為：150°；

(2)如圖2,把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE',

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE'=AE,CE'=BE,ZCAE'=ZBAE,ZACE'=ZB,ZEAE'=90°,

VZEAF=45°,

；.NE'AF=ZCAE'+ZCAF=ZBAE+ZCAF=ABAC-ZEAF=90°-45°=45°,

ZEAF=ZE'AF,

在△EAF和△￡1'AF中,

'AE=AE'

<ZEAF=ZEZAF

AF=AF

/.△￡AF^AE,AF(SAS),

：.E'F=EF,

VZCAB=90°,AB=AC,

；.NB=/ACB=45°,

：.ZE'CF=45°+45°=90°,

由勾股定理得，E'F2=CE'2+FC2,

即EF2=BE1+FC2.

(3)如圖3,將△AOB繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)60°至O'B處,連接OO'，

?.,在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,

.\AB=2,

ABC=VAB^AC2=V3,

VAAOB繞點(diǎn)8順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,

.,.△A，O'8如圖所示；

ZA'BC=ZABC+60°=30°+60°=90°,

VZC=90°,AC=\,ZABC=3Q°,

：.AB=2AC=2,

「△AOB繞點(diǎn)3順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△&'O'B,

：,A'B=AB=2,BO=BO',A'O'=AO,

：.ABOO'是等邊三角形，

：.BO=OO',ZBOO'=ZBO'0=60°,

VZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

:./COB+/BOO'=ABO'X'+ZBOO'=120°+60°=180°,

???C、0、A'、O'四點(diǎn)共線，

在RtZXA'BC中，Nc=VBC2+AyB2=V(V3)2+22=V7)

：.OA+OB+OC^A'O'+00'+OC=A'C=V7.

15.(2023春?清江浦區(qū)期末)如圖1,MN〃P。，點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)8在直線PQ上，射線AC繞點(diǎn)A

順時針從射線AM旋轉(zhuǎn)至射線AN后便立即回轉(zhuǎn)；射線BD繞點(diǎn)B順時針從射線BP旋轉(zhuǎn)至射線BQ后便

立即回轉(zhuǎn)：射線AC、射線8。不停地來回旋轉(zhuǎn).若射線AC轉(zhuǎn)動的速度是。度/秒，射線8。轉(zhuǎn)動的速度

是6度/秒，且a、b是方程。+36=6的正整數(shù)解.

(1)a—，b—；

(2)如圖2,若NBAN=45°,兩條射線同時轉(zhuǎn)動，在射線AC到達(dá)AN之前，若兩條射線交于點(diǎn)E,過

E作EFJ_AC交尸Q于凡若/8￡尸=20°,求/BAC的度數(shù)；

(3)若射線8。先轉(zhuǎn)動30秒，射線AC才開始轉(zhuǎn)動，在射線到達(dá)8Q之前，射線AC轉(zhuǎn)動幾秒，射

線AC與射線80互相平行？

【分析】(1)根據(jù)二元一次方程的解，a,6為正整數(shù)，即可求解；

(2)設(shè)運(yùn)動時間為t,依題意，ZMAC=3t,則/EAN=180°-ZMAE=1SO°-3t°,ZPBE=t°,

過點(diǎn)E作EH//PQ,則EH//MN,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/2￡知=180°-2t°,根據(jù)已知條件得出

=70°,建立方程求得3進(jìn)而得出/EAN=15°,根據(jù)NBAN=45°,進(jìn)而即可求解；

(3)依題意，線8。先轉(zhuǎn)動30秒，射線AC才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)AC到達(dá)A7V之前，當(dāng)AC從何返回且到

達(dá)AM前，根據(jù)平行線的性質(zhì)，列出方程，解方程即可求解.

【解答】解：(1)3b=6,a,6為正整數(shù),

?'-b=2—

O

，4=3,b=l；

(2)設(shè)運(yùn)動時間為f,

依題意，ZMAC=3tf則NEAN=180°-ZMAE=180°-3t°,ZPBE=t°,

過點(diǎn)E作EH〃尸Q,貝!JEH〃MN,

???ZPBE=NBEH,

■:EH〃MN,

：.ZHEM=/EAN,

:?/BEM=NBEH+NMEH=NPBE+NNAE=180°-3f+f=180°-2t°,

VEF±AC,

/.ZAEF=9Q°,

VZBEF=20°,

:,4BEM=70°,

.*.70°=180°-2t°,

解得：t=55,

：.ZEAN=1SO°-3°X55=15°,

：.ZBAC=ZBAN-ZEAN=45°-15°=30°；

（3）依題意，線3。先轉(zhuǎn)動30秒，射線AC才開始轉(zhuǎn)動，

當(dāng)AC到達(dá)A7V之前，當(dāng)AC〃瓦）時，則NM4C=NP5。，

；.3t=30+f,

解得：t=15；

當(dāng)AC從AN返回且到達(dá)AM前，當(dāng)AC〃B。時，則/C4V+NP8D=180°,

?*.3r-180+（30+r）=180,

解得：f=82.5.

16.（2023春?蒸湘區(qū)期末）如圖，有一副直角三角板如圖1放置（其中/。=45°,NC=30°）,PA,PB

與直線MN重合，且三角板B4C,三角板尸8。均可以繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn).

（1）在圖1中，NDPC=；

（2）①如圖2,若三角板尸瓦）保持不動，三角板B4c繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為10°/秒，轉(zhuǎn)動一周三

角板用C就停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間為多少時，有成立；

②如圖3,在圖1基礎(chǔ)上，若三角板B4C的邊從PN處開始繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為3°/秒，同時

三角板的邊從PM處開始繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為2°/秒，當(dāng)PC轉(zhuǎn)到與位置重合時，

兩三角板都停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)NCP￡)=NBPM時，求旋轉(zhuǎn)的時間是多少？

【分析】(1)根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；

(2)①如圖1,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NCPN=NZ)B尸=90°,求得/APN=30°,于是得到結(jié)論；如

圖2,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到NCB4=60°,求得NAPM

=30°,于是得到結(jié)論；

②設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為f秒，由題知，NAPN=3t°,NBPM=2t：根據(jù)周角的定義得到/CPD=360°-

/BPD-NBPN-NAPN-NAPC=360°-45°-(180°-2/°)-(3/°)-60°=75°-t°,列方

程即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1);/BPD=ND=45°,ZAPC=60°,

：.ZDPC=18O°-45°-60°=75°,

故答案為：75°；

(2)①如圖1,此時，BO〃PC成立,

"：PC//BD,NDBP=9Q°,

：.ZCPN=ZDBP=90°,

VZC=30°,

：.ZCPA=6Q0,

...NAPN=30°,

??,轉(zhuǎn)速為10°/秒,

旋轉(zhuǎn)時間為3秒；

如圖2,PC//BD,

'：PC//BD,ZPBD=90°,

；./CPB=/DBP=90°,

VZC=30°,

，NCB4=60。,

：.ZAPM=30°,

?.?三角板必C繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)。的角度為180°+30°=210°,

??,轉(zhuǎn)速為10°/秒，

旋轉(zhuǎn)時間為21秒，

綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間為3或21秒時，PC〃DB成立;

②設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，由題知，ZAPN=3t°,ZBPM=2t°,

：.ZBPN=1800-ZBPM=180°-2t°,

：.ZCPD=360°-ZBPD-ZBPN-ZAPN-ZAPC=360°-45°-(180°-2t°)-(3r°)-60°

=75°-t°,

當(dāng)/CPD=NBPM,即2r°=75°-t°,

解得：t=25,

；.當(dāng)/CPD=NBPM,求旋轉(zhuǎn)的時間是25秒.

17.(2023春?雄縣期中)教材中有這樣一道題：如圖1,四邊形ABC。是正方形，G是BC上的任意一點(diǎn),

OE_LAG于點(diǎn)E,BF//DE,且交AG于點(diǎn)尺求證：AF-BF=EF.

(1)若圖1中的點(diǎn)G為CB延長線上一點(diǎn)，其余條件不變，如圖2所示，猜想此時AF,BF,跖之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)將圖1中的△A8F繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得A8與重合，記此時點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,如圖3

所示，若正方形的邊長為3,求E尸的長度.

【分析】由四邊形ABCD為正方形，可得出NRW為90°,AB=AZ),進(jìn)而得到NBAG與NEAD互余，

又。E垂直于AG,得到NEAD與NADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得出/4￡)石=/24冗利用AAS

可得出三角形A2F與三角形ADE全等，得出2/=4￡,由等量代換可得證；

(1)利用A4S證明△4￡￡＞絲△BD4,推出BP=AE,即可得到

(2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及矩形的判定定理得到四邊形AED/是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求解.

【解答】證明：如圖，△ABF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得A8與AD重合，記此時點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，

連接EP、DF',

???正方形ABCD,

：.AB=AD,ZBAD=ZBAG+ZEAD=90°,

VZ)E±AG,

；?/AED=90°,

.\ZEAD+ZADE=90,

???ZADE=ZBAF,

又,：BF〃DE,

：.ZAFB=ZAED=90

在△AEO和△8項中，

^ZAED=ZAFB

,ZADE=ZBAF，

AD=AB

AAED^ABFA(AAS)；

：.BF=AE,

U：AF-AE=EF,

：.AF-BF=EF；

解：(1)AF+BF=EF.證明如下：

??,正方形ABCD,

：.AB=AD,ZBAD=ZBAG+ZEAD=90°.

9：DELAG,

：.ZAED=90°.

AZEAD+ZADE=90°.

ZADE=ZBAF.

又,：BF〃DE,

：.ZAFB=ZAED=90°.

在△AE0和△3"中，

?；NAFB=NAED,ZADE=ZBAF,AB=AD.

：.(A4S).

：.BF=AE.

"：AF+AE=EF,

：.AF+BF=EF.

由題設(shè)得△AEDgZXBDA,

：.AF=DE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：ZMF=90°,DE=AP=AF,

：.ZFAE=ZAED=9Q0,

：.AF//ED.

四邊形AED/為平行四邊形.

又；/4即=90°,

四邊形A即尸是矩形.

r=AO=3.

18.（2023春?長垣市期末）綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)以“兩條平行線AB,和一塊含45°角的直角三角尺斯G（/EPG=90°）”為主題

開展數(shù)學(xué)活動，已知點(diǎn)E,尸不可能同時落在直線AB和CD之間.

探究：（1）如圖1,把三角尺的45°角的頂點(diǎn)E,G分別放在AB,CD上，若/8EG=150°,求NFGC

的度數(shù)；

類比：（2）如圖2,把三角尺的銳角頂點(diǎn)G放在CD上，且保持不動，若點(diǎn)E恰好落在A8和CD之間，

且與所所夾銳角為25°,求NPGC的度數(shù)；

遷移：（3）把三角尺的銳角頂點(diǎn)G放在C。上，且保持不動，旋轉(zhuǎn)三角尺，若存在NPGCnS/OGE（N

DGE<45°）,直接寫出射線GE與AB所夾銳角的度數(shù).

圖1圖2備用圖

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N3EG=N￡GC,即可求解.

(2)先求出NEGC的度數(shù)即可求解.

(3)根據(jù)題意分兩種情況進(jìn)行討論，點(diǎn)￡在8上方和在下方兩種情況求解即可.

【解答】解：(1)-AB//CD,

：?/BEG=NEGC=150°,

?：NFGE=45°,

AZFGC=150°-45°=105°；

(2)過點(diǎn)E1作如圖，

:?/BME=NFEH=25°,NDGE=NHEG.

FEG=/FEH+/GEH=NBME+/DGE=45°,

：.ZDGE=45°-25°=20°,

：.ZFGC=180°-45°-20°=115°；

(3)存在，有兩種情況；

①②當(dāng)點(diǎn)后在CO上方時，如圖；

；?NDGE+5NDGE+45°=180°,

：.ZDGE=22,5°,

???射線G尸與A3所夾銳角的度數(shù)為450+22.5°=67.5°；

②當(dāng)點(diǎn)石在CO上方時，如圖；

A

B

■:/FGC=5/DGE,

AZFGC+ZFGD=180°,

即5N0GE+45。-ZDGE=180°,

???NOGE=43.75°,

J射線G/與AB所夾銳角=/八7。=45。-43.75°=11.25°,

綜上所述射線Gb與AB所夾銳角的度數(shù)為67.5°或11.25°.

19.(2023春?陽城縣期末)如圖1,將一副直角三角板放在同一條直線A3上，其中NONM=30°,ZOCD

=45。.圖1圖2圖3

(1)觀察猜想：將圖1中的三角尺。8沿AB的方向平移至圖2的位置，使得點(diǎn)。與點(diǎn)N重合，CD

與MN相交于點(diǎn)