2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊特訓(xùn)：全等三角形高頻考點(diǎn)-倍長中線（原卷版）

特訓(xùn)07全等三角形高頻考點(diǎn)一一倍長中線

【基本模型】

（1）條件：如圖，在ANBC中，為AN5c的中線，

作法：延長2。至點(diǎn)￡,使得￡>￡=Z。，連接

結(jié)論：①AADC'EDB；②AC=EB；?AC//EB.

E

（2）條件：如圖，在AZBC中，Z尸為△幺5c的中線，

作法：過點(diǎn)C作CEL4F于點(diǎn)E,過點(diǎn)8作5D_L4F交4F的延長線于點(diǎn)D,

結(jié)論：①ACEF咨&BDF；②BD=CE；③BD〃CE.

（3）條件：如圖，在A4BC中，。為8c的中點(diǎn)，M為48邊上任意一點(diǎn),

作法：延長至點(diǎn)N,使得MD=DN,連接CN,

結(jié)論：①ABMD沿ACND；②BM=CN；③BM〃CN.

N

【特訓(xùn)過關(guān)】

1.如圖，已知是AABC中8c邊上的中線，AB=5,AC=3,則2。的取值范圍是（）

B.1<AD<4C.2<AD<5D.4<yiZ)<8

2.如圖，在AZBC中，AB=6,AC=8Z。是邊5c上的中線，則ZD長的取值范圍是（)

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AD<1D.1<AD<1

3.如圖，AN5C中，Z。是中線，ZBAD=70°,ND4c=40°,ND長為2,則線段NC長為.

4.如圖,在“3C中,ZABC=45°,2W，8。于點(diǎn)〃，點(diǎn)。在411上，且。河=CM,尸是8c的

中點(diǎn)，連接7^一。并延長,在尸。的延長線上有一點(diǎn)￡,連接CE,且CE=C4,ZBDF=36°,則

5.如圖所示，4D為△48C中線，。為8c中點(diǎn)，AE=AB,AF=AC,連接￡/，EF=2AD.若

△AEF

的面積為3,則△ZQC的面積為

A

6.如圖，五邊形Z8CDE中，AB=BC=7,AE=ED=8,ZABC+ZAED=\SQ°,M為邊CD的

中點(diǎn)，BM=9,EM=10,則五邊形Z8CDE的面積為=.

7.如圖，C是ZE的中點(diǎn)，BC=DC,求證：AABCaEDC.

8.如圖，2。是AZBC的中線，尸為4D上一點(diǎn),E為延長線上一點(diǎn)，且DF=DE.

求證：BE//CF.

9.(1)在AZBC中，若幺5=10,AC=6,求8C邊上的中線的取值范圍.

(2)在AZ5c中，。是5c的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)、D,DE交4B于點(diǎn),E,DF交AC于點(diǎn)、F,連接

EF,求證：EB+CF>EF.

10.課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：

如圖①，△NBC中，若48=12,AC=6,求邊上的中線幺。的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長幺。至點(diǎn)￡,使DE=AD,連接BE.由此可證

△ADC/EDB,從而得到BE=AC=6,再根據(jù)AABE三邊關(guān)系得出AD取值范圍.

E

圖①圖②

(1)小明解題過程中證出△ZQCmAEDB的依據(jù)是；

A.SASB.SSSC.AASD.HL

請參考小明的解題思路回答以下問題：

(2)如圖②，4D是AABC的中線，BE交4c于E,交4D于R且4E=EF.若EF=4,EC=3,

求線段跖的長.

11.如圖，AB1AD,AB=AD,ACLAE,AC=AE.

(1)如圖1,ABAC.ZADE、NZEQ之間的數(shù)量關(guān)系為；

(2)如圖2,點(diǎn)尸為DE的中點(diǎn)，連接4F.

①求證：BC=2AF.

②判斷8c與2尸的位置關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2

12.如圖1,AN5c和AZQE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,連接。C,BE.

(1)若NZE5=90。，求NZOC的度數(shù).

(2)如圖2,連接5。、CE,若點(diǎn)尸是5。的中點(diǎn)，連接Z尸，求證：CE=2AF.

13.(1)方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1,在△ZBC中，48=8,

AC=6,

求5c邊上的中線ZD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法(如圖2),

①延長40到“，使得。河=40；

②連接AW,通過三角形全等把45、AC,240轉(zhuǎn)化在△4W中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為48-+W,從而得到2。的取值范圍

是；

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”.“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系.

(2)請你寫出圖2中NC與5/的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

(3)深入思考：如圖3,40是△48C的中線，AB=AE,AC=AF,NBAE=NCAF=90°,請直

接利用(2)的結(jié)論，試判斷線段2。與EE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

E

圖1圖2圖3

14.【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)教材第69頁的部分內(nèi)容:

例4理13213,在△ABC中，D是邊BC的中

點(diǎn)，過點(diǎn)C畫直線CE,使CE"AB,交AD的延長線

于點(diǎn)E,求證：AD=ED

證明：CE#AB（已知）

.,.NABD=/ECD,/BAD=NCED（兩直線平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

在AABD與AECD中，

Z.ABD=ZECD:ZBAD=ZCED（已證），

BD=CD（已知：）,圖13213

「.△ABD逐AECD（A.A.S）,

...AD=ED（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

\7

（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在△48C中，AB=6,AC=4,則8c邊上的中線長度的取值范圍

是.

（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形48CD中，48〃C。，點(diǎn)E是5c的中點(diǎn)，若ZE是N8Z。的平分

線，試猜想線段46、AD、。。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如圖③，已知48〃CF,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段ZE上，NEDF=NBAE,

若AB=5,CF=2,直接寫出線段。尸的長.

圖①圖②圖③

15.為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小麗在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1,在

【探究發(fā)現(xiàn)I（1）圖1中ZC與8N的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

【初步應(yīng)用】：（2）如圖2,在ANBC中，若N5=12,AC=8,求3C邊上的中線的取值范圍.（提

示：不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.例如：若3x<6,則x<2.）

【探究提升】：（3）如圖3,是A4BC的中線，過點(diǎn)/分別向外作ZEL4B、AFLAC,使得

AE=AB,AF=AC,延長D4交EE于點(diǎn)P,判斷線段￡尸與/。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由.

16.綜合與實(shí)踐

小明遇到這樣一個(gè)問題，如圖1,△4BC中，4B=7,ZC=5,點(diǎn)。為5c的中點(diǎn)，求/。的取值范

圍.小明的做法是：如圖2,延長2。到E,使DE=4D,連接8￡,構(gòu)造等△包￡）,經(jīng)過推理和

計(jì)算使問題得到解決.

請回答：（1）小明證明△5EDm用到的判定定理是：

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

（2）40的取值范圍是.

小明總結(jié)：倍長中線法最重要的一點(diǎn)就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

（3）如圖3,在正方形4BC。（各角都為直角）中，￡為48邊的中點(diǎn)，G、尸分別為8c邊上的點(diǎn)，若

AG=2,BF=3,NGEF=90°,求G尸的長.

17.閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明.

己知：如圖，點(diǎn)￡是5c的中點(diǎn)，點(diǎn)/在上，且NBAE=NCDE.

求證：AB=CD.

分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明

的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證48=CD,

必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形.

（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進(jìn)行證明.

①如圖1,延長到點(diǎn)尸，使EF=DE,連接AF；

②如圖2,分別過點(diǎn)5、C作BF工DE,CGLDE,垂足分別為點(diǎn)F,G.

（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進(jìn)行證明.

圖1圖2圖3

18.《2022新課標(biāo)》指明推理能力是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力.目前

我們已經(jīng)具備通過一次全等或者二次全等證明其他結(jié)論的能力.

【模型證明】閱讀下列材料，完成相應(yīng)證明.

命題：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

如圖1,△NBC中，ZABC=90°,8。是斜邊ZC上的中線.求證：BD=-AC.

2

分析：如圖2,要證明AD等于ZC的一半，可以用“中線倍長法”延長AD到￡,使得=連接

AE,可證AaOE咨ACDB,再證明咨△8ZC,最后得到：BD=-AC.

2

請你按材料中的分析寫出完整的證明過程；

【模型應(yīng)用】如圖3,在△48C中，ZACB=90°,延長8C到E,使得CE=，4g,。是48邊的中點(diǎn),

2

連接￡0,求證：ZB=2ZE；

【模型構(gòu)造】如圖4,在AZBC中，ZB=30°,ZBAC=-ZB,延長8C到。，使得CD=8C,連接

2

AD,求/。的度數(shù).

19.(1)【問題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1,在中，若48=13,

AC=9,

求5c邊上的中線的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法，延長至點(diǎn)￡,使DE=4D,連接5E,容易證得

△ADC均EDB,再由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是.

解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和

所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形之中.

(2)【初步運(yùn)用】如圖2,ZD是AZBC的中線，BE交AC于E,交4D于F,且