2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)特訓(xùn)：全等三角形高頻考點(diǎn)-半角模型原卷版

特訓(xùn)09全等三角形高頻考點(diǎn)一一半角模型

【基本模型】

(1)條件：如圖，正方形ABCD,AMAN=45°，

作法：在延長線上截取彳吏得DE=BM,連接ZE,

結(jié)論：①AABM'ADE；②AAMNAAEN；③BM+DN=MN.

(2)條件：如圖，△NBC為等邊三角形，△5QC是等腰三角形，BD=DC,ZBDC=120°,

NEDF=60°,

作法：在ZC延長線上截取CG,使得CG=8￡,連接。G,

結(jié)論：①AEBDWGCD；②&FEDAFGD；③BE+CF=EF.

D

【特訓(xùn)過關(guān)】

1.如圖，△ABC是邊長為a的等邊三角形，AADC是等腰三角形，且N5￡）C=120。，以。為頂點(diǎn)做一

個(gè)60。角，使其兩邊分別交4B于點(diǎn)“，交AC于點(diǎn)、N,連接MN,則的周長是（）

A.aB.2aC.3aD.不能確定

2.如圖，RtdBC中=AC,D、E為8c邊上兩點(diǎn)，且/CUE=45°,將△4DC繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°后，得到"FB,連接EF.下列4個(gè)結(jié)論:①AADC-AFB；②AABE'ACD；③AAED'AEF；

④8￡+￡/=5C—AF.正確的有（）個(gè).

3.如圖，在AZBC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角NEPE的頂點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，兩邊尸￡、

PF

分別交/3、/C于點(diǎn)E、F,連接ER交/。于點(diǎn)G,以下五個(gè)結(jié)論：?ZB=ZC=45°；②

AP=EF；

3

③N4FP和NZEP互補(bǔ)；④△￡//是等腰直角三角形；⑤四邊形的面積是△48C面積的一，其

中

正確的結(jié)論是（）

B

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

4.如圖，在四邊形Z8CD中，AB=AD,N8+ND=180°,點(diǎn)E,尸分別是BC,CD上的點(diǎn)，且

EF=BE+FD,若NEAF=55°,求N84D的度數(shù).

5.如圖，在四邊形48CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分別是邊8C,CD上的點(diǎn)，且

ZEAF=-ZBAD,求證：EF=BE+FD.

2

6.如圖，在四邊形Z5CD中，AB=AD,ZB=ZD=9Q°,E、尸分別是邊5C、CD上的點(diǎn)，且

ZEAF=-ZBAD.求證：EF=BE+FD.

2

7.己知，如圖，在四邊形48CD中，ZB+ZD=180°,AB=AD,E,尸分別是線段5C,CD上的點(diǎn),

且BE+FD=EF.求證：ZEAF=-ZBAD.

2

BEC

8.如圖.在四邊形48CD中，ZB+ZADC=130°,AB=AD,￡、尸分別是邊8C、CD延長線上的

點(diǎn)，且NEAF'/BAD,求證：EF=BE-FD.

2

9.如圖，在四邊形25。。中，Z5+ZC=180°,DB=DC,ZBDC=120°,以。為頂點(diǎn)作一個(gè)

60°

角，角的兩邊分別交AB、ZC于￡、尸兩點(diǎn)，連接￡尸，探索線段BE、CF、E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并

加以證明.

D

10.在四邊形48CD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBCD=120°,現(xiàn)將一個(gè)30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)

A處.

（1）如圖①，當(dāng)該角的兩邊分別與8C、CD邊相交于E、尸時(shí).求證：EF=BE+FD；

（2）現(xiàn)在將該角繞點(diǎn)/進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其兩邊分別與5C、CD邊的延長線相交于點(diǎn)R那么（1）中的結(jié)論是

否仍然成立？若成立，說明理由；若不成立，試探究線段5￡、跖與。尸之間的等量關(guān)系，并加以證

明.（利用圖②進(jìn)行探索）

11.如圖1,在正方形48CD中，E、尸分別是3C,CD上的點(diǎn)，且2區(qū)4尸=45°.則有結(jié)論

EF=BE+FD

成立;

(1)如圖2,在四邊形N5CD中，AB=AD,ZB=ZADC=9Q°,E、尸分別是BC,CD上的點(diǎn)，且

NE4F是/24。的一半，那么結(jié)論斯=8E+ED是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說明理

由.

(2)若將(1)中的條件改為：如圖3,在四邊形Z5CD中，AB=AD,N8+NZQC=180°,延長8c

到點(diǎn)E,延長CD到點(diǎn)尸，使得NE4/仍然是/氏4。的一半，則結(jié)論跖是否仍然成立？若成

立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明.

E

12.通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

原題：如圖1,點(diǎn)E、廠分別在正方形48CQ的邊DC、8c上，ZEAF=45°,連接斯，試猜想跖、

BF、QE之間的數(shù)量關(guān)系.

把繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AZBG,可使ZQ與Z8重合，由NZ5G=ND=90°,得

ZFSG=180°,即點(diǎn)尸、B、G共線，易證AZPG等,故EE、BF、QE之間的數(shù)量關(guān)系

(2)類比引申

如圖②，在四邊形N5CQ中，AB=AD,ZABC=ZADC=90°.E、尸分別是。C、5c上的點(diǎn).且

ZEAF=-ZBAD.猜想圖中線段AF\EF、之間的數(shù)量關(guān)系.

2

(3)拓展提高

如圖③，若在四邊形Z5CD中，AB=AD,Z5+ZD=180°.E、尸分別是5C、CD上的點(diǎn)，且

ZEAF=-ZBAD,探究上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由.

2

13.同學(xué)們，在初一學(xué)習(xí)正多邊形和圓這節(jié)課時(shí)，我們就學(xué)習(xí)過四邊形的內(nèi)角和等于360°.下面我們就在

四邊形中來研究幾個(gè)問題：

（1）問題背景：

如圖1：在四邊形48co中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,￡、尸分別是8C、CD

上的點(diǎn)，且NE4F=60°,探究圖中線段8￡、EF、ED之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長ED到點(diǎn)G,使。G=5￡.連接/G,先證明△48E等AZDG,再

證明△ZEE咨AZGP,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；

G

圖1圖2圖3

（2）探索延伸：

如圖2,若在四邊形4BC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、/分別是3C、CO上的點(diǎn)，且

ZEAF=-ZBAD,上述結(jié)論是否仍成立，并說明理由；

2

（3）實(shí)際應(yīng)用：

如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（點(diǎn)。處）北偏西30°的/處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°

的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等.接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以45海里/時(shí)的速度前進(jìn),

同時(shí)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以60海里/時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀察到甲、乙兩艦艇分別

到達(dá)E、F處,且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

14.【感知】如圖①，點(diǎn)〃是正方形48CD的邊5c上一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD延長線上一點(diǎn)，且建4LZN,

易證AABM'ADN,進(jìn)而證得次彼=QN(不要求證明)

【應(yīng)用】如圖②，在正方形4BCD中，點(diǎn)E、尸分別在邊8C、CD上，且NE1F=45°.求證：

BE+DF=EF.

【拓展】如圖③，在四邊形/BCD中，AB=AD,ZBAD=90°,N/8C+NZQC=180°,點(diǎn)￡、尸

分別在邊8C、C。上，且NE4F=45°,若50=3,所=1.7,則四邊形8EED的周長為.

15.(1)閱讀理解：

如圖①，在AZBC中，若48=5,AC=3,求8c邊上的中線ZD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法：

延長到點(diǎn)E使。E=2。，再連接BE,這樣就把N5,AC,2ND集中在ANBE中，利用三角形三

邊的關(guān)系可判斷線段NE的取值范圍是；則中線的取值范圍是；

(2)問題解決：

如圖②，在4幺臺(tái)。中，。是5c邊的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)、D,DE交AB于點(diǎn)、E,DF交AC于點(diǎn)、F,

連接跖，此時(shí)：BE+CFEF(填或“="或“<”)；

(3)問題拓展：

如圖③，在四邊形Z5CD中，Z5+ZD=180°,CB=CD,NBC。=140°,以C為頂點(diǎn)作

ZECF=70°,邊CE,CE分別交48,4D于E,尸兩點(diǎn)，連接斯，此時(shí)：BE+DFEF

(填“>”或“=”或“<")；

(4)若在圖③的四邊形Z5CD中，ZECF=a(0°<a<90°),Z5+ZD=180°,CB=CD,且

(3)

中的結(jié)論仍然成立，則N8CQ=(用含a的代數(shù)式表示).

16.【問題情境】神奇的半角模型

在幾何圖形中，共頂點(diǎn)處的兩個(gè)角，其中較小的角是較大的角的一半時(shí)，我們稱之為半角模型.截長補(bǔ)短

法是解決這類問題常用的方法.

如圖1,在正方形48CD中，以/為頂點(diǎn)的N￡XF=45°,AE.AF與BC、CD分別交于￡、廠兩點(diǎn),

為了探究￡尸、BE、依之間的數(shù)量關(guān)系，小明的思路如下：

如圖2,延長C8到點(diǎn)“，使BH=FD,連接NX,先證明△ZD尸注，再證明△N8E咨AZEE.從

而得到斯、BE、ED之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)提出問題：EF、BE、之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)知識(shí)應(yīng)用：如圖3,AB=AD,NB=ND=90°,以/為頂點(diǎn)的NB4D=120°,ZEAF=60°,

AE、AF與BC、C。分別交于K、尸兩點(diǎn)，你認(rèn)為(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過程;

若不成立，請(qǐng)說明理由.

(3)知識(shí)拓展：如圖4,在四邊形45co中，AB=AD=a,BC=b,CD=c.N45。與ND互補(bǔ),

AE、AF與BC、CD分別交于￡、尸兩點(diǎn)，且NEAF=L/B4D,請(qǐng)直接寫出△￡/(的周長

2

17.已知，在四邊形48CD中，AB=AD,ZB+ZADC=,￡、尸分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且

ZEAF=-ZBAD.

2

(1)為探究上述問題，小王同學(xué)先畫出了其中一種特殊情況，即如圖1,當(dāng)/B=NZQC=90°時(shí).

小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點(diǎn)G,使。G=8￡,連接ZG.

請(qǐng)你在圖1中添加上述輔助線，并補(bǔ)全下面的思路.

小明的解題思路：先證明ANBE也；再證明了AZE尸m,即可得出BE,EF,FD

之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)請(qǐng)你借鑒小王的方法探究圖2,當(dāng)N8+NZDC=180。時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立，如果成立，請(qǐng)證

明你的結(jié)論，如果不成立，請(qǐng)說明理由.

(3)如圖3,若E、尸分別是邊8C、C。延長線上的點(diǎn)，其他已知條件不變，此時(shí)線段EF、BE、FD

之間的數(shù)量關(guān)系為.(不用證明)

圖

圖12

18.已知四邊形Z5CQ中，ABLAD,BCVCD,AB=BC,ZABC=120°,ZMBN=60°,

NMBN

繞2點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交Z。，DC(或它們的延長線)于E、F.

(1)當(dāng)NMBN繞3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到ZEwCR時(shí)，求證：AE+CF=EF.

(2)當(dāng)NMBN繞2點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到NEWCP時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段

AE,CF,EE又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.

19.(1)如圖1,四邊形Z8C。是邊長為5c加的正方形，E,尸分別在ZD,CD邊上，AEBF=45°.為

了求出△。所的周長.小南同學(xué)的探究方法是：

如圖2,延長EZ到X,使AH=CF,連接初，先證—BH'CBF,再證AEBHAEBF,得

EF=EH,從而得到&DEF的周長=cm；

圖1圖2

(2)如圖3,在四邊形/BCD中，AB=AD,ZBAD=100°,ZB=ZADC=90°.E,尸分別是線段

BC,CD上的點(diǎn).且NE4尸=50°.探究圖中線段EE,BE,ED之間的數(shù)量關(guān)系；

(