2024-2025學年人教版初中數(shù)學七年級上冊專項復習：角（解析版）

第03講角

學習目標

課程標準學習目標

1.掌握角的定義及其表示方法，能夠熟練的表示角，判

①角的認識斷角。

②角的單位與換算2.掌握角單位及其換算，能夠熟練的進行換算。

③角的度量與大小比較3,掌握角的度量方法，并能夠正確的進行大小比較。

④角的計算4.掌握角的計算，并能夠熟練的進行有關(guān)計算。

⑤余角和補角5.掌握余角與補角的概念及其性質(zhì)，并能夠熟練的對其

應用。

思維導圖

知識點01角的認識與表示

1.角的定義:

靜態(tài)定義:有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角o

動態(tài)定義:把一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形。

2.角的圖示與組成:

角的頂點：兩條射線的交點叫做角的頂點。

角的邊：組成角的兩條射線是角的邊。

3.角的表示方法：

角的符號：Z

表示方法1：如圖1：用表示頂點的大寫字母表示。即表示為40。（此方法只能用于表示該頂

點只有一個角的情況）

表示方法2：如圖1,：用三個大寫字母表示。即表示為NBOC。

表示方法3：如圖2：用希臘字母或阿拉伯數(shù)字表示。即表示為/I或N6。

（方法2與方法3適用于任意角）

題型考點：①角的表示。②確定角的數(shù)量。

【即學即練1】

1.下列圖形中，能用NO和N1表示同一個角的是（）

【解答】解：要是能用Nl,NO表示同一個角，必須共用角的頂點，且角的兩邊重合.

選項8、C,。中，表示不明確，不符合題意；

選項A符合題意，

故選：A.

【即學即練2】

2.下列四個圖中，能用/I、ZAOB.三種方法表示同一個角的是（

【解答】解：A、圖中的不能用/0表示，故本選項錯誤;

B、圖中的/I和不是表示同一個角，故本選項錯誤；

C、圖中的/I和NAOB不是表示同一個角，故本選項錯誤；

D、圖中Nl、ZAOB.N。表示同一個角，故本選項正確；

故選：D.

【即學即練3】

3.如圖，從點。出發(fā)的五條射線，可以組成的角有（）

A.4個B.6個C.8個D.10個

【解答】解：從點O出發(fā)的五條射線，可以組成的角有：ZAOB,ZAOC,ZAOD,ZAOE,ZBOC,

ZBOD,ZBOE,ACOD,ACOE,ZDOE,共10個，

故選：D.

【即學即練4】

4.在銳角NAOB內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角；畫

出3條不同的射線，可以畫出10個銳角.照此規(guī)律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數(shù)為（）

AF

E

(3)

C.199D.210

【解答】解：,??在銳角NAOB內(nèi)部，畫1條射線，可得1+2=3個銳角;

在銳角/AOB內(nèi)部，畫2條射線，可得1+2+3=6個銳角；

在銳角/AO8內(nèi)部，畫3條射線，可得1+2+3+4=10個銳角；

，從一個角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個數(shù)是

1+2+3+…+(〃+1)=—X(n+1)X(〃+2),

2

...畫19條不同射線，可得銳角-Lx(19+1)X(19+2)=210.

2

故選：D.

知識點02角的單位與換算

1.角的單位：

角的單位有度“°”；分“'”；秒“〃”。

把周角360份等分，平均一份就是1度,記作：1°,把1。的角進行60份等分，其中一份

就是1分，記作：1',把1,角按60份等分，其中一份就是1秒，記作：1〃。

2.角的單位換算：

1周角=360°=2平角,1平角=180°=2直角,1直角=90°。1°=60',

1'=60"。

若把以“度”為單位的角化成以“度分秒”來表示，先把不足1°的部分化成分,在把不足J

的部分化成秒。

若把“度分秒”為單位的角化為以“度”為單位，先把秒為單位的部分化作分，加上以分為單位的部

分，再把他們的和化成以度為單位，加上以度為單位的部分即可。

題型考點：①單位的換算。

【即學即練1】

5.把40°12'36"化為用度表示，下列正確的是()

A.40.11°B.40.21C.40.16°D.40.26°

【解答】解：???「=60〃，

???36〃=06,

Vl°=60，,

.'.12.67=0.21°,

.*.40°12,36〃=40.21°,

故選：B.

【即學即練2】

6.把7.26°用度、分、秒表示正確的是（）

A.7°2'12〃B.7°2'6〃C.7°15'36〃D.7°56

【解答】解：?.?1。=60，,

/.0.26°=156,

vr=6。〃，

???0.6=36〃，

.,.7.26°=7°15,36〃，

故選：C.

【即學即練3】

7.35.15。=35°9/0〃；12°15’36〃=12.26°.

【解答】70.15°=9,，

A35.150=35°9,；

???36〃=0.6,,15.6,=0.26°,

：.12°536〃=12.26°,

故答案為：35,9,0；12.26.

知識點03角的度量與大小比較

1.量角器的認識:

中心

如圖：測量角度數(shù)的工具是量角器。它是由一個中心和兩條0刻度線以及刻度組

2.角度量方法：

把量角器的中心與角的頂點重合,其中一條0刻度線與角的其中一條邊重合,另一條邊

所在刻度即為角的度數(shù)。從重合的0刻度線讀起。

題型考點：①有實際問題抽象出方程。②方程的實際應用。

【即學即練1】

8.用量角器度量/MON,下列操作正確的是（）

【解答】解：量角器的圓心一定要與。重合，

故選：D.

【即學即練2】

9.數(shù)學課上，小明和小杰想用量角器測量NA08的度數(shù)，圖①和圖②分別是小明和小杰的測量方式，其中

操作正確的是（）

【解答】解：小明和小杰想用量角器測量NAOB的度數(shù)，圖①和圖②分別是小明和小杰的測量方式，其

中小明和小杰的測量方式都是正確的，

故選：c.

3.角的大小比較

方法1：疊合法：把角的頂點和其中一邊重合,角的另一邊放在重合邊的同一側(cè)，離重合

邊越遠角度越大，反之越小。

方法2：度量法：直角用量角器度量比較。

注意：角的大小只與角兩邊的張開程度有關(guān)，與兩邊的長度無關(guān)。

題型考點：①角的大小比較。

【即學即練1】

10.用“疊合法”比較/I與/2的大小，正確的是（）

【解答】解：根據(jù)“疊合法”比較N1與22的大小，可知：正確的是D

故選：D.

【即學即練2】

11.如圖，射線OC,OD分別在NAOB的內(nèi)部、外部，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.ZAOB<ZAODB.ZBOC<ZAOBC.ZCOD>ZAODD.ZAOB>ZAOC

【解答】解：A.由題可得，ZAOB<ZAOD,故本選項正確；

B.由題可得，ZBOC<ZAOB,故本選項正確；

C.由題可得，ZCOD<ZAOD,故本選項錯誤；

D.由題可得，ZAOB>ZAOC,故本選項正確；

故選：C.

知識點04角的計算

1.鐘面角的計算：

鐘面上一大格表示30°,一小格表示12°

題型考點：①求鐘面時針與分針夾角。

【即學即練1】

12.已知本學期某學校下午上課的時間為14時20分，則此時刻鐘表上的時針與分針的夾角為（)

A.40°B.50°C.60°D.70°

【解答】解：如圖，由鐘面角的定義可知，

ZAOC=ZCOD=^--=30°，ZAOB=3Q°X致=10°,

1260

ZBOD=ZAOC+ZCOD-ZAOB

=30°+30°-10°

=50°.

【即學即練2】

13.實驗中學上午10：10時通常準時上第三節(jié)課，此時時針與分針所夾的角是（）

A.105°B.110°C.115°D.120°

【解答】解：由題意得：4X30°-10X0.5°

=120°-5°

=115°,

故選：C.

2.方向角:

方向角通常用南偏東多少度,南偏西多少度,北偏西多少度,北偏東多少

度來表示。

題型考點：①方向角的表示

【即學即練1】

14.如圖，下列說法中錯誤的是（

A.方向是北偏東30°B.方向是北偏西15

C.OC方向是南偏西25°D.。。方向是東南方向

【解答】解：A、0A方向是北偏東60。，此選項錯誤；

B、方向是北偏西15°,此選項正確；

C、0c方向是南偏西25°,此選項正確；

D、OD方向是東南方向，此選項正確.

錯誤的只有人

故選：A.

【即學即練2】

15.如圖，下面說法正確的是（）

①書店在商場的南偏西45°方向400米處；

②商場在小玲家西偏北30°方向1000米處；

③小玲家在商場東偏南30°方向1000米處；

④小玲家到商場的距離是書店到商場距離的2.

5

D.①③④

【解答】解：①書店在商場的南偏西45°方向400米處，故①正確;

②商場在小玲家西偏北30°方向1000米處，故②正確；

③小玲家在商場東偏南30°方向1000米處，故③正確；

④小玲家到商場的距離是書店到商場距離的2.5倍，故④不正確；

所以，上面說法正確的是①②③，

故選：A.

3.角的等分線:

①角平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫

做這個角的平分線。如圖：若NA0C=N20C=-ZAOB,則0C是角NA0B的平

~2~

分線。反之，若。C是/408的平分線，貝ijNAOC=/BOC=-NAOB。

~2-

②角的三等分線：把角平均分成相等的三份。

③角的四等分線：把角平均分成相等的四份。

以此類推。

4.角的和、差、倍、分計算:

角的和、差、倍、分與角的計算就是角度的和、差、倍、分與角度的計算。

題型考點：①角度的計算。

【即學即練1】

OE1是NBOC的平分線且/BOE=50°,那么NAOC=()°

C.130D.150

【解答】解：:。石是NBOC的平分線,

AZBOC^2ZBOE^100°,

AZAOC=180°-ZBOC=80°,

故選：A.

【即學即練2】

17.如圖，兩個直角/A。'ZCOD有相同的頂點O,下列結(jié)論：?ZAOC=ZBOD；?ZAOC+ZBOD

=90°；③若OC平分/AOB,則08平分/COD；④/A。。的平分線與/COB的平分線是同一條射線.其

中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：①；NAOB=NCOZ)=90°,

AZAOC=90°-ZBOC,NBOD=9Q°-ZBOC,

：.ZAOC=ZBOD,...①正確；

②：只有當。C,OB分別為/AOB和/COZ)的平分線時，ZAOC+ZBOD=90°,.?.②錯誤;

③：/AOB=/COO=90°,OC平分

/.ZAOC=ZCOB=45°,則N8OO=90°-45°=45°

.?.。8平分NCOO,.?.③正確;

@'：ZAOB=ZCOD=900,ZAOC=ZBOD（已證）；

ZAOD的平分線與NCOB的平分線是同一條射線，.?.④正確;

故選：C.

【即學即練3】

18.如圖，已知/4。2=90°,0c是NA08內(nèi)任意一條射線，0B,。。分別平分NC。。，ZBOE,下列結(jié)

論：①NCOD=NBOE；②/COE=3/BOD；③/BOE=/AOC；@ZAOC+ZBOD^90a,其中正確

C.①②③D.②③④

【解答】解：；。3,。。分別平分NCO￡）,ZBOE,

，ZCOB=ZBOD=ZDOE,

：.ZCOB+ZBOD=ZBOD+ZDOE,

即：ZCOD=ZBOE,因此①正確；

ZCOE=ZCOB+ZBOD+ZDOE^3ZBOD,因此②正確;

VZAOB=9Q°,

AZAOC+ZBOC^90°=NAOC+NBOD,因此④正確；

VZAOC^2ZBOC=ZBOE,因此③不正確；

故選：A.

【即學即練4】

19.如圖，直線AB,相交于點O,。4平分/EOC.

(1)若NEOC=70°,求的度數(shù)；

(2)若/EOC：ZEOD=2：3,求NBOZ)的度數(shù).

【解答】解：(1)平分NEOC,

：.ZAOC=^ZEOC=Ax700=35°,

22

：.ZBOD^ZAOC=35°；

(2)設NE0C=2x,NE0D=3x,根據(jù)題意得2x+3x=180°,解得x=36°,

ZEOC=2x=12°,

：.ZAOC=AZ￡OC=Ax72°=36°,

22

：.ZBOD=ZAOC=36°

【即學即練5】

20.如圖，OC是NAOB的平分線，NCOZ)=20°.

(1)若NAO￡)=30°,求乙408的度數(shù).

(2)若求NAOB的度數(shù).

【解答】解：(1)VZCOr>=20°,NAOZ)=30°,

/.ZAOD^ZCOD+ZAOD=200+30°=50°,

：OC是/AOB的平分線，

AZAOB=2ZAOD=100°；

(2)設NAO￡)=x,則/3。。=2羽

ZAOB=ZAOD+ZBOD=3x,

：OC是NAOB的平分線，

/.ZAOC=^/AOB=^-x,

22

.?.gx-x=20°,

2

解得x=40°,

ZAOB=3x=120°.

知識點05余角和補角

i.余角與補角的定義：

如果兩個角的和等于90。，則這兩個角互余。

即若/1+/2=90°,則/I與N2互余或/I是/2的余角或N2是N1的余角

如果兩個角的和等于180。，則這兩個角互補。

即若/1+/2=180°,則/I與/2互補或/I是N2的補曲或N2是/I的補角

2.余角和補角的性質(zhì):

同角的余角相等。即N1的余角是/2,N2的余角是/3,則/1=/3

同角的補角相等。即N1的補角是N2,N2的補角是N3,則N1=N3。

等角的余角相等。即若N1=N2,N1的余角是N3,N2的余角是N4,則N3=N4

等角的補角相等。即若/1=N2,N1的補角是/3,/2的補角是24,則/3=/4

一個角的補角比這個角的余角大90°。

題型考點：①余角與補角有關(guān)的計算。

【即學即練。

21.若/a=54°32',則/a的余角的大小是（）

A.35°38'B.35°28'C.125°28'D.125°38'

【解答】解:VZa=54°32',

.?.Na的余角是90。-54°32'=89°60'-54°32'=35°28',

故選：B.

【即學即練2】

22.若Na與N0互余，Na=72°30',則的大小是（）

A.17°30'B.18°30'C.107°30'D.108°30'

【解答】解：與N0互余，

/.Za+Zp=90o,

VZa=72°30',

/.Zp=90o-Za=90°-72°30'=17°30,.

故選：A.

【即學即練3】

23.一個角的余角和這個角的補角互補，則這個角是（）

A.銳角B.直角C.鈍角D.不能確定

【解答】解：設這個角的度數(shù)為a,則余角為90°-a,補角為180°-a,

由題意得，90°-a+（180°-a）=180°,

解得：a=45°.

故這個角是銳角，

故選：A.

【即學即練4】

24.下列結(jié)論：①互補且相等的兩個角都是45°；②同角的余角相等；③若/1+/2+/3=180°,則/I,

N2,N3互為補角；④銳角的補角是鈍角；⑤銳角的補角比其余角大80°.其中正確的個數(shù)為（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【解答】解：①互補且相等的兩個角都是90°,原說法錯誤，不符合題意;

②同角的余角相等，原說法正確，符合題意；

③根據(jù)余角的定義：如果兩個角的和等于180°,就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的

補角，得出互為補角是指兩個角之間的關(guān)系，原說法錯誤，不符合題意；

④銳角的補角是鈍角，原說法正確，符合題意；

⑤銳角的補角比其余角大90°,原說法錯誤，不符合題意；

綜上分析可知，正確的有2個，故4正確.

故選：A.

題型精講

題型01角的數(shù)量規(guī)律

【典例1】

如圖，從/A08的頂點引出兩條射線OC,OD,圖中的角共有（)

A.3個B.4個C.6個D.7個

【解答】解：先數(shù)出以。1為一邊的角，再數(shù)出以。3、OC、0D為一邊的角，把它們加起來.

也可根據(jù)公式：n（n-l）.來計算,其中，”指從點。發(fā)出的射線的條數(shù).

2

:圖中共有四條射線，

.?.圖中小于平角的角共有4X（4-1）=6個.

2

故選：C.

【典例2】

如圖所示，ZAOB=90°,則圖中銳角有（）

屋BC：

A.12個B.14個C.15個D.16個

【解答】解：以OA為始邊的銳角有4個，以。產(chǎn)為始邊的銳角有4個，以為始邊的銳角有3個，以

。。為始邊的銳角有2個，以0C為始邊的銳角有1個，

則圖中銳角有：4+4+3+2+1=14（個），

故選：B.

【典例3】

如圖①，若在NAO8的內(nèi)部以。為端點做一條射線OA1,得到3個角；如圖②，若在/A08的內(nèi)部以。為

端點做兩條射線和042,得至U6個角……，以此類推,如果在/A08的內(nèi)部以。為端點做n條射線，

則圖③中角的個數(shù)為（）

A.n(n+1)B.(n+1)(n+2)

2

Cn(n+1)Dn(n-1)

,2-~

【解答】解：圖①：有3條射線，組成1+2個角；

圖②：有4條射線，組成1+2+3個角；

當有。條射線，組成1+2+3+…+(a-l)^XaX(a-1)個角；

:圖③有n+2條射線，即a=n+2,

組成(n+2)X(9。["("[’個角-

故選：B.

【典例4】

如圖，在/A0B內(nèi)，從圖(1)的頂點。畫1條射線，圖中共有3個角；從圖(2)頂點。畫2條射線，圖

中共有6個角，按這樣規(guī)律繼續(xù)下去，若從頂點。畫29條射線，則圖中共有()個角.

BR

（1）（2）

A.465B.450C.425D.300

【解答】解：在乙4。8內(nèi)，從圖(1)的頂點。畫1條射線，圖中共有1+2=3個角;

從圖(2)頂點。畫2條射線，圖中共有1+2+3=6個角；

若從角的頂點畫為條射線，圖中共有1+2+3+........+(n+1)=2(n+2)(n+1)個角;

2

從角的頂點畫29條射線，圖中共有=1(29+2)(29+1)=465個角；

2

故選：A.

題型02角的換算

【典例1】

若Na=5.15°,則Na用度、分、秒表示為（）

A.5°15'B.5°1'5"C.5°9'D.5°30'

【解答】解：Za=5.15°=5°+0.15X60'=5°+9'=5°9'.

故選：c.

【典例2】

0.25°等于（）

A.90'B.60'C.15'D.360'

【解答】解:0.25°=(0.25X60)'=15',

故選：C.

【典例3】

20°13U2"化為用度表示是()

A.20.12°B.20.2°C.20.20°D.20.22

【解答】解：20°13'12〃=20.22°.

故選：D.

【典例4】

下列運算正確的是()

A.34.5°=34°5'B.90°-23°45'=66°15'

C.12°34'X2=25°18,D.24°24'=24.04°

【解答】解：A、34.5°=34°30',原計算錯誤，故此選項不符合題意；

B、90°-23°45'=66°15',原計算正確，故此選項符合題意；

C.12°34'X2=24°68'=25°8/,原計算錯誤，故此選項不符合題意;

D、24°24'=24.4°,原計算錯誤，故此選項不符合題意；

故選：B.

題型03角的大小比較

【典例1】

若NA=32°18，,ZB=32°15,30〃，NC=32.25°，貝U()

A.ZA>ZB>ZCB.ZB>ZA>ZCC.ZA>ZC>ZBD.ZC>ZA>ZB

【解答】解：??T=60,；

.,.0.25°=60，X0.25=15z；

.*.ZC=32°15，；

.*.32°18，>32°15,30〃>32°15,；

ZA>ZB>ZC.

故選：A.

【典例2】

如圖，^ZAOB>ZCOD,則NAO。與NBOC的大小關(guān)系是（）

A.ZAOD=ZBOCB.ZAOD<ZBOCC.ZAOD>ZBOCD.不能確定

【解答】解：VZAOB>ZCOD,

：.ZAOB+ZBOD>ZCOD+ZBOD,

即ZAOD>ZBOC,

故選：C.

【典例3】

若NA=30.25°,ZB=30°28",NC=30°18,,則有（）

A.ZC>ZA>ZBB.ZB>ZA>ZCC.ZA>ZC>ZBD.ZA>ZB>ZC

【解答】解：???/A=30.25°=30°15',

：.ZC>ZA>ZB,

故選：A.

【典例4】

如圖1,圖2所示，把一副三角板先后放在NAOB上，則/A02的度數(shù)可能（）

圖1圖2

A.60°B.50°C.40°D.30°

【解答】解：由圖1可得/AOB<45°,由圖2可得NAOB>30°,

；.30°<ZAOB<45°,

故選：C.

題型04角的計算

【典例1】

如圖，0c是NA08的平分線，是/AOC的平分線，且NCOO=25°,則/A08等于（）

D

A.50°B.75°C.100°D.120°

【解答】解：：OC是NA03的平分線，。。是/AOC的平分線，ZCOD=25°,

：.ZAOD=ZCOD=25°,ZAOB=2ZAOC,

：.ZAOB=2ZAOC=2CZAOD+ZCOD)=2X(25°+25°)=100°,

故選：C.

【典例2】

如圖，點。在直線AB上，ZCOD=9Q°,若NBOD=32°,?！昶椒?AOC.貝()

V

AB

A.60°B.61°C.66°D.56°

【解答】解：???/。。。=90°,ZBOD=32°,

???ZBOC=ACOD-ZBOD=90°-32°=58°,

：.ZAOC=180°-ZBOC=180(，-58°=122°,

\,OE平分NAOC,

ZAOE=-^ZAOC=-±-X122°=61°.

22

故選：B.

【典例3】

如圖，已知/AO8=120°,OC是NA05內(nèi)的一條射線，且NAOCZBOC=1：2.

(1)求/AOC的度數(shù)；

(2)過點。作射線OD,若NA0D=」NA05,求NCO。的度數(shù).

2

B

024

【解答】解：⑴1/ZAC)C：ZBOC=1：2,ZAOB=120°,

：.ZAOC=^-ZAOB=^-X120°=40°；

33

(2)VZAOD=^-ZAOB,

2

：.ZAOD=60°,

當0。在/AO8內(nèi)時，

ZC0D=ZA0D-ZAOC=20°,

當。。在/AOB外時，

ZCOD^ZAOC+ZAOD^100°.

故NC。。的度數(shù)為20°或100°.

【典例4】

如圖，。2是NAOC內(nèi)部的一條射線，是NA08內(nèi)部的一條射線，ON是NBOC內(nèi)部的一條射線.

(1)如圖1,若NAOB=36°,ZBOC=110°,OM,ON分別是/AOB、/BOC的角平分線，求NMON

的度數(shù)；

(2)如圖2,若。8平分/AOC,且/CON=2/AOM,/BOM：ZAOC=2：5,則/BOM和NBON

之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

?'-ZB0M=yZA0B=18°-ZB0N=yZB0C=55°?

:./MON=/BOM+NBON=18°+55°=73°；

(2)NBOM：ZBON=4：3.理由如下，

'：ZCON=2ZAOM,

.,.設/AOM=a,則NCON=2a,

設N80M=x,

VOBWZAOC,

a+x=/BON+2a,

ZBON=x-a,

ZBOMtZAOC=2：5,

.'.x：(a+x+x-a+2a)=2：5,

x=4a,則NBON=3a,

ZBOM：N3ON=4：3.

題型05余角與補角

【典例1】

如果一個角的余角是55°,那么這個角的補角的度數(shù)是（）

A.145°B.125°C.90°D.35°

【解答】解：???一個角的余角是55°,則這個角為35°,

???這個角的補角的度數(shù)是180°-35°=145°.

故選：A.

【典例2】

若N1與N2互補，N2與/3互補，則N1與N3的關(guān)系滿足（）

A.N1-N3=90°B.Nl+/3=90°

C.Nl+N3=180°D.Z1=Z3

【解答】解：與N2互補，/2與/3互補，

/.Z1=Z3.

故選：D.

【典例3】

已知N1與N2互余，若N2=29°20',則N1的度數(shù)等于（）

A.61°40'B.60°80'C.60°40'D.29°20'

【解答】解：與N2互余，Z2=29°20',

.,.Zl=90o-Z2=60°40',

故選：C.

【典例4】

若一個角的余角是它的補角的2,則這個角的度數(shù)是（）

5

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解答】解：設這個角為a,則它的余角為90°-a,它的補角為180°-a.

由題意得，90°-a=—（180°-a）,

5

解得：a=30°.

故這個角的度數(shù)為30°.

故選：A.

【典例5】

已知Na是銳角，Na與N0互補，Na與Ny互余，則/0-/丫的度數(shù)為（）

A.180°B.90°C.45°D.無法確定

【解答】解：?.?Na是銳角，Na與N0互補，Na與Ny互余，

Za+Zp=180°,Za+Zy=90°,

Zp=180°-Na,Ny=90°-Na,

Zp-Zy=180°-Na-（90°-Na）=90°,

故選：B.

強化訓練

1.若NA=50°,則NA的補角為（）

A.40°B.140°C.130°D.50°

【解答】解：???NA=50°,

???NA的補角=180°-NA

=180°-50°

130°,

故選：c.

2.鐘表上從早上6點30分到早上8點10分時針所走的度數(shù)為（）

【解答】解：由題意得：

1.5X30°+10X0.5°

=45°+5°

=50°,

故選：B.

3.下列說法中正確的有（）

①在時刻8：30時，時鐘上的時針與分針的夾角是75°；②線段4B的長度就是A,B兩點間的距離;

③若點尸使則P是A8的中點；④1°=3600'.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：①在時刻8：30時，時鐘上的時針與分針的夾角是75°,故①正確；

②線段的長度就是A,B兩點間的距離，故②正確；

③若點尸在A3上，且使則P是AB的中點，故③不正確；

④1°=60',故④不正確；

所以，上列說法中正確的有2個，

故選：B.

4.如圖，ZAOB=15°,NAOC=90°,點8,O,。在同一直線上，則/CO。的度數(shù)為（）

A.75°B.15°C.105°D.165°

【解答】解：,NAOC=90°,

ZBOC=ZAOC-ZAOB=15°,

AZCOD=180°-105°,

故選：c.

5.如圖，A處在8處的西北方向，A處在C處的南偏西80°方向，從A處觀測8,C兩處的視角/BAC的

大小是（）

,JAD//CE,

：.ZADB=ZACE=^0°,

/.ZBAC=180°-ZABD-ZADB=180°-45°-80°=55°.

故選：B.

6.如圖，射線OC平分NAOB,射線。。平分/BOC,則下列等式中成立的有（）

@ZCOD^ZAOD-ZBOC；

@ZCOD=ZAOD-ZBOD；

@2ZCOD^2ZAOD-ZAOB；

A.①②B.①③C.②③D.②④

【解答】解：：OC平分NAOB,?！辏酒椒?BOC,

/.ZAOC=ZBOC,ZCOD=ZBOD,

,?ZCOD=ZAOD-ZAOC,ZAOC=ZBOC,

???ZCOD=ZAOD-/BOC,

故①正確；

■:NBODWNBOC,

：./COD#ZAOD-/BOD,

故②錯誤；

ZAOD=ZAOC+ZCOD,

：.2ZAOD=2(NAOC+NCOD)=ZAOB+2ZCODf

：.2ZAOD-ZAOB=ZAOB+2ZCOD-ZAOB=2ZCOD.

：.2ZCOD=2ZAOD-ZAOB,

故③正確；

VZC0D=yZB0C,ZBOC=|ZAOB-

?*-ZCOD=4X4ZAOB=TZAOB>

224

故④錯誤；

故選：B.

7.如圖所示，將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，則Nl、N2、N3三個角的數(shù)量關(guān)系為()

A.Zl+Z2+Z3=90°B.Z1+Z2-Z3=90°

C.Nl-N2+N3=90°D.Z1+2Z2-Z3=90°

【解答】解：??,將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，

.'.ZBOC+Z2=90°,

N8OC+N4=90°,

???N2=N4,

又???N1+N4+N3=9O°,AZ1+Z2+Z3=9O°,

故選：A,

B

8.已知三條射線。4、OB、OC,若其中一條射線平分另兩條射線所組成的角時，我們稱OA、OB、0C組

成的圖形為“角分圖形”，如圖(1),當08平分/AOC時，圖(1)為角分圖形.如圖(2),點。是直

線MN上一點，/DON=70°,射線0M繞點。以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)至0M1,設時間為t(0W

/W36),當f為何值時，圖中存在角分圖形.小明認為f=29s,小亮認為f=lls,你認為正確的答案為()

B.小亮

C.兩人合在一起才正確

D.兩人合在一起也不正確

【解答】解：：/OON=70°,

；.NMOD=180°-/DON=180°-70°=110°,

當OM1平分/MOD時，則NMOMi=』/MOZ)=』X110。=55°

22

?.?射線OM繞點、0以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，

.?.旋轉(zhuǎn)所用的時間為:t=55+5=ll(s),

故小亮正確；

當OM1平分/OON時，則NZ)OMi=2/QON=』X70°=35°,

22

ZMOMi^ZMOD+ZDOMi=llO°+35°=145°.

?..射線OM繞點。以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，

二旋轉(zhuǎn)所用的時間為:r=1454-5=29(s),

故小明正確，

但是，小明和小亮均忽略了當OM1平分NMON的情況，

.?.當0M1平分NMON時，則NMOMi=1/MON=』X180°=90°，

22

?..射線OM繞點、0以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，

，旋轉(zhuǎn)所用的時間為：-5=18(s),

綜上所述：當/為11或18或29s時，圖中存在角分圖形.

故選：D.

9.如圖，已知NCOD=NAOB=75°，當NCOZ)繞著點。旋轉(zhuǎn)且0c在NAOB內(nèi)部時，ZAOD+ZBOC

【解答】M：'：ZCOD=ZAOB=15°,

當NCOD繞著點0旋轉(zhuǎn)且0C在/A02內(nèi)部時，

則有N80C=/C。。-NBOD,ZAOD^ZAOB+ZBOD,

：.ZAOD+ZBOC

=ZAOB+ZBOD+ZCOD-ZBOD

=ZAOB+ZCOD=150°.

10.102.43°=102度25分48秒.

【解答】解：102.43°=102度25分48秒.

故答案為：102,25,48.

11.如圖，O是直線上的點，0。是/COB的平分線，若NAOC=40°,則/BOD=70

A0B

【解答】解：,：ZAOC=4Q°,

：.ZBOC=1SO°-ZAOC=140°,

是NCOS的平分線，

?,-ZBOD=yZBOC=70°-

故答案為：70.

12.一個角的余角比它的補角的工多12°,則這個角為27°

3

【解答】解：設這個角的度數(shù)為X.

由題意得，90°-x=—(180°-x)+120.

3

x=27°.

，這個角為27°.

故答案為：27°.

13.如圖，。是直線CE上一點，以。為頂點作/AOB=90°,且。4,08位于直線CE兩側(cè)，平分/

COD.

(1)當/AOC=50°時，求NOOE的度數(shù)；

(2)請你猜想NAOC和/。OE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【解答】解：(1)VZA(9B=90o,ZA(9C=50°,

；.N8OC=90°-50°=40°,

VOBWZCOD,

：.ZBOC^ZBOD^40°,

：.ZDOE=18Q°-40°-40°=100°；

(2)ZDOE=2ZAOC,理由如下：

VZAOB=90°,

：.ZBOC=90°-ZAOC,

；02平分NC。。，

ZBOC=/2?！?=90°-ZAOC,

.\ZDOE=180°-2/3OC=180°-2(90°-ZAOC),即/￡)O￡=2NAOC.

14.【問題情境】利用旋轉(zhuǎn)開展數(shù)學活動，探究體會角在旋轉(zhuǎn)過程中的變化.

【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，ZAOB=ZCOD=900且兩個角重合.

(1)將