福建省福州市八縣(市)協(xié)作校高三上學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷（含答案解析）

福州市八縣（市）協(xié)作校2024-2025學年第一學期期中聯(lián)考高三數(shù)學試卷【完卷時間：120分鐘；滿分：150分】一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解二次不等式化簡集合，再利用集合的交集運算即可得解.【詳解】因為，又，所以.故選：A.2.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對于AB：舉反例說明即可；對于C：根據(jù)定義域分析判斷；對于D：根據(jù)偶函數(shù)的定義分析判斷.【詳解】對于選項A：令，可得；令，可得；兩者不相等，所以不是偶函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：令，可得；令，可得；兩者不相等，所以不是偶函數(shù)，故B錯誤；對于選項C：因為的定義域為不關于原點對稱，所以不偶函數(shù)，故C錯誤；對于選項D：因為的定義域為，且，所以是偶函數(shù)，故D正確；故選：D.3.已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式得到，再利用等比數(shù)列求和公式即可得到答案.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則由題意得，因為，則，解得或（舍），則.故選：C.4.設，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，由向量共線及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】向量，，，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.幸福感指數(shù)是生活質(zhì)量的一個評價指標，其中，分別表示物質(zhì)生活指標與精神生活指標.幸福感指數(shù)越大，生活質(zhì)量越高.如果某人近年的物質(zhì)生活指標沒有變化，精神生活指標由變?yōu)椋腋８兄笖?shù)由3提高到5，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件列式，結(jié)合對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】依題意，，即，而函數(shù)是的增函數(shù)，所以.故選：C6.若點是曲線上任意一點，則點到直線距離最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設出點的坐標，利用點到直線的距離公式列式，再構(gòu)造函數(shù)并利用導數(shù)求出最小值.【詳解】依題意，設點，則點到直線的距離，令函數(shù)，求導得，當時，；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以點到直線距離最小值為.故選：C7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用換元法，結(jié)合余弦函數(shù)的和差公式與三角函數(shù)基本關系式即可得解.【詳解】因為，令，則，即，所以，則，所以，所以.故選：B.8.已知函數(shù)，若存在使得，，依次成等差數(shù)列，則實數(shù)取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差中項公式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到在定義域內(nèi)有解，再利用參變分離，結(jié)合換元法與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為存在使得，，依次成等差數(shù)列，所以在定義域內(nèi)有解，又，所以，即，則在定義域內(nèi)有解，由對數(shù)函數(shù)的定義域可知，，又，所以，所以，令，則，因為的圖象開口向上，對稱軸為，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于，將問題轉(zhuǎn)化為在定義域內(nèi)有解，從而得解.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知x、y都是正數(shù)，則（）A. B.若，則的最大值為2C.的最大值為 D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式求解判斷ABC；舉例說明判斷D.【詳解】對于A，，則，當且僅當時取等號，A錯誤；對于B，，解得，當且僅當時取等號，B正確；對于C，，當且僅當時取等號，C正確；對于D，當時，，D錯誤.故選：BC10.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖，則（）A.B.C.在上單調(diào)遞減D.將圖象向右平移個單位，再將橫坐標擴大為原來的2倍（縱坐標不變），最后將縱坐標變?yōu)樵瓉淼模M坐標不變）得到圖象，則為正弦曲線【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合五點法作圖求出解析式，再逐項判斷得解.【詳解】觀察圖象得，，由，得，又，且在的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，則，由，得，解得，而的最小正周期滿足，即，則，解得，因此，，對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，當時，，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此在上單調(diào)遞減，C正確；對于D，將的圖象向右平移個單位，得的圖象，因此圖象對應的解析式為，為正弦曲線，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最大值為B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.當時，方程有且只有一個實根D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，判定AB，根據(jù)單調(diào)性和極值畫出草圖判定C，構(gòu)造新函數(shù)，借助極值點偏離判定D.【詳解】對于A，對求導得到.令，即，則.解得.當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以是函數(shù)的極大值點，也是最大值點.得.所以選項A正確.對于B，由選項A可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)存在極大值，不存在極小值，故B錯誤.當時，，當時，，且，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，又，所以方程有且只有一個實根，故C正確.對于D，不妨設.要證，即證.因為在單調(diào)遞減，所以只需證.設，.則，.,由于，則，，，則，則分母.，，，，,則分子為正數(shù)，因此.可得，所以在單調(diào)遞增.所以，即，所以，正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，為單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為_____.【答案】【解析】【分析】利用投影向量的意義，結(jié)合向量的夾角公式計算即得.【詳解】依題意，在上的投影向量為，則，，而，所以.故答案為：13.若函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，則_____.【答案】【解析】【分析】在函數(shù)的圖象上取兩點，，求出它們關于點對稱的點，，再代入，解方程組即可得解.【詳解】因為的定義域為，又的圖象關于點2,0成中心對稱，所以在函數(shù)的圖象上取兩點，，則它們關于點2,0對稱的點，也在函數(shù)的圖象上，所以，即，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)的定義域為，若f2x+1為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則_____.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性得到的相關式子，從而變形分析得是周期函數(shù)，再利用賦值法依次求得所需函數(shù)值，從而利用的周期性即可得解.【詳解】因為f2x+1為奇函數(shù)，所以，即，所以，因為偶函數(shù)，所以，所以，即fx+2=?f所以fx+4則是周期為的周期函數(shù)，因為fx+2=?fx則，，所以，因為，所以，則f1=0，則.故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性與周期性：（1）若，則函數(shù)關于中心對稱；（2）若，則函數(shù)關于對稱；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項和為，若公差，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式和求和公式以及等比中項的應用得到方程組，解出即可；（2）裂項得，再代入求和即可.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，且，則，即，解得，則.【小問2詳解】，所以.16.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，是的中點，，求.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再逆用和角的正弦計算得解.（2）中，依次利用余弦定理求解即得.【小問1詳解】在中，由及正弦定理得，即，而，，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，在中，由余弦定理得，即，整理得，又，則，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.17.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程在上的解為，，求的值.【答案】（1）遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)并求出解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間.（2）利用正弦函數(shù)的對稱性求出，再求出.【小問1詳解】依題意，，則，解得，因此，當時，，由或，得或，由，得，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.【小問2詳解】由，得，當時，，依題意，，解得，所以.18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，若，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出，再利用導數(shù)分類探討函數(shù)的單調(diào)性.（2）由（1）的信息，利用導數(shù)探討最大值，求出函數(shù)有兩個變號零點的的范圍.（3）求出函數(shù)，利用導數(shù)求出最小值并結(jié)合基本不等式推理即得.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，令，求導得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，由，得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】由函數(shù)有兩個極值點，得函數(shù)有兩個變號零點，由（1）知，當時，最多一個零點，不符合題意；當時，，而從大于0的方向趨近于0時，的值趨近于負無窮大，當趨近于正無窮大時，的值趨近于負無窮大，要函數(shù)有兩個變號零點，當且僅當，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.【小問3詳解】當時，，，求導得，令，求導得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則存在，使得，即，當時，；當時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以.19.設自然數(shù)，由個不同的正整數(shù)，，…，構(gòu)成的集合.若集合的每一個非空子集所含元素的和構(gòu)成新的集合，記為集合元素的個數(shù).對于集合，若取得最大值，則稱集合為“極異集合”；（1）對于集合，求，并判斷其是否是的“極異集合”（無須說明理由）.（2）設集合是“極異集合”.（i）記，求證：數(shù)列前項和；（ii）證明：.【答案】（1），不是極異集合（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)集合計算得出，再根據(jù)性質(zhì)定義可判斷不是極異集合；（2）（i）根據(jù)是極異集合則其子集是極異集合，可證，再求和即可證明；.（ii）不妨設，利用（i）的結(jié)論可證，從而可求最大值.【小問1詳解】對于集合，，不是極異集合.對于，其共有7個非空子集：各集合的和分別為：,則，，因為有兩個相等元素所以集合不是極異集合.【小問2詳解】（i）因為是“極異集合”，故對于任意的k，也是“極異集合