2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中

數(shù)學(xué)試卷

(試卷滿分150分，考試用時120分鐘)

姓名班級考號

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求.

1.(23-24高一上.山東濰坊?期中)命題“HreZ,xeN”的否定為()

A.3XGZ,%eNB.定Z,xeN

C.VXGZ,D.VXGZ,xeN

【答案】c

【知識點】特稱命題的否定及其真假判斷

【分析】根據(jù)特稱命題的否定，即可求解.

【詳解】命題“*eZ,xeN”的否定為：

VxeZ,尤把N；

故選：C.

2.(22-23高一上?河北石家莊?階段練習(xí))下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()

A.f(x)=xB./(x)=-C./(x)=-x|x|D./(x)=-x2

X

【答案】c

【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性的判定即可求解.

【詳解】對于A,7(x)=x為增函數(shù)，不符合題意；對于B,/(x)=：為奇函數(shù)，但是該函數(shù)在定義域內(nèi)不

符合單調(diào)遞減的定義，錯誤；對于C,f(-x)=x|x|=-f(x),故為奇函數(shù)，當(dāng)xNO時，/(X)=-苫2在[0,也)

上單調(diào)遞減，當(dāng)x<0時，/5)=1在(-<?,0)單調(diào)遞減，故C符合題意；對于D,/(x)=-d為偶函數(shù)，且

在定義域內(nèi)不單調(diào).

故選：C

3.(22-23高一上?山東?期中)已知集合川=卜卜=而1}，N={H-1(尤<2},則()

A.(-1,1)B.(-1,1]C.(1,2)D.[1,2)

【答案】B

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【知識點】交集的概念及運算、具體函數(shù)的定義域

【分析】求出函數(shù)的定義域化簡集合再利用交集的定義求解作答.

【詳解】由y=Jl-x得:1-%>0,解得尤W1,則有M={無1x41},而雙={*|—l<x<2},

所以=

故選:B

4.(22-23高一上?山東?期中)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.f(x)=x,g(x)=^-B.f(x)=E，g(x)=(冏一

C./(x)=Vx2+x,g(x)=&.Jx+1D.f(x)=x2,g(x)=V?

【答案】D

【知識點】判斷兩個函數(shù)是否相等

【分析】分別判斷選項中函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系，即可得到答案.

2

【詳解】對選項A,因為〃力=%定義域為R,g(無)=?定義域為{x|x盧0},定義域不同，

所以/■(*),g(x)不是同一函數(shù)，故A錯誤.

對選項B,因為〃尤)=值定義域為R,g(x)=(?『定義域為{x|x>0},

定義域不同，所以〃尤)，g(“不是同一函數(shù)，故B錯誤.

對選項C,因為〃尤)=定義域為{x|xN0或無WT},

g(x)=?.Jx+1定義域為{x|x20},定義域不同，

所以〃x),g(x)不是同一函數(shù)，故C錯誤.

對選項D,因為〃力=》定義域為R,g(x)=4F定義域為R,

g(x)=V?=f=〃x),

所以g(x)是同一函數(shù)，故D正確.

故選:D

5.(23-24高一上?山東濰坊?期中)某人分兩次購買同一種物品，因價格有變動，兩次購買時物品的單價分

別為q,4且生工出.若他每次購買數(shù)量一定，其平均價格為4;若他每次購買的費用一定，其平均價格為外，

貝U()

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A.b1<b2B.bx>b2

C.=b2D.4，2不能比較大小

【答案】B

【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小

【分析】根據(jù)條件分別計算出配4,作差比較大小即可.

【詳解】假設(shè)每次購買這種物品的數(shù)量為，小

則平均價格4=〃叼.

2m2

假設(shè)每次購買這種物品所花的錢為〃，

nn

則第一次購得該物品的數(shù)量為一，第二次購得該物品的數(shù)量為一，

ax生

_2?_2_2%的

則平均價格2~nn~11-。+外,

---1---------114

.ax+a22a1a2(a1+%『-4a1a2

則--------1一二一-一,一；一

2%+%2(。]+%)

J%—%)>0,

2(。1+%)

所以4>b29

故選：B.

、[2x—m,x<l1

6.(22-23高一上?山東?期中)已知函數(shù)〃%)=1,若/(/())=5,則加二

[x9x>l2

A.-4B.-1C.-4或-1D.-4或

4

【答案】A

【知識點】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、求分段函數(shù)值

【分析】根據(jù)給定條件，求出/(；),再分段討論求解作答.

r2%—YYI%<11

【詳解】函數(shù)/(')=―〉；一，則/(5)=1-機(jī)，

當(dāng)1一機(jī)K1,即機(jī)NO時，/(/(^))=/(1-m)=2(l-m)-m=5,解得m二一1,無解，

當(dāng)l-m>1,即機(jī)<0時，f(/(^))=f(1-m)=l-m=5,解得m=-4,則m=T,

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所以根=-4.

故選：A

7.(22-23高一上?山東?期中)已知函數(shù)/(x)=P：>°z若g(x)="?,則g(x)是()

A.奇函數(shù)，在(-℃,0)和(0,+℃)單調(diào)遞增

B.奇函數(shù)，在(F,0)和(0,+s)單調(diào)遞減

C.偶函數(shù)，在(F,0)單調(diào)遞增，在(0,+8)單調(diào)遞減

D.偶函數(shù)，在(F,0)單調(diào)遞減，在(。,+8)單調(diào)遞增

【答案】C

【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)給定條件，求出g(x)的解析式，再判斷分段函數(shù)奇偶性、單調(diào)性作答.

[]x>0f(、一,%>0

【詳解】函數(shù)/(尤)=C，而g(x)=￡1"，則g(x)==，

H尤x--,x<0

當(dāng)x>0時，-x<0,貝Ug(-尤)=--1=J=g(x),且g(尤)在(0,+動上單調(diào)遞減，

當(dāng)x<0時,-x>0,則g(-x)=°=」=g(x),且g(x)在(YO,0)上單調(diào)遞增,

-XX

所以g(x)是偶函數(shù)，在(f,0)上單調(diào)遞增，在(。,+8)上單調(diào)遞減.

故選：C

8.(22-23高一上.山東.期中)定義在R上的函數(shù)滿足：①(玉-％)>。

(%,馬?0,內(nèi))當(dāng)*赴)，②〃x)+〃-x)=0,③〃-1)=0,則不等式對'(x)>0的解集是()

A.或%>1}B.或0vx〈1}

C.<0或x>l}D.{]|—1<兄<0或0vxvl}

【答案】A

【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)/'(X)的性質(zhì)，再利用性質(zhì)求解不等式作答.

【詳解】因",X2€(0，+8)，占7%,[/(^)-/(%2)](^-%2)>0,則/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

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X/(x)+/(-x)=O,則函數(shù)/(可是R上的奇函數(shù)，因此〃力在(-8,0)上單調(diào)遞增,

/、,[x<0八f尤>0[x<0,[x>0

顯然阿T(T=。,不等式”)>?；癁?—…，即—…，

解得x<-l或X>1,所以不等式獷(x)>0的解集是{x|x<-l或X>1}.

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.(23-24高一上?安徽阜陽?階段練習(xí))如果。<b<0,c<d<0,那么下列不等式一定成立的是()

,.??<7c-d+bc+b

A.ac>bdB.ac~>bd2C.一<—D.-------<-------

aaa+ba+b

【答案】ACD

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)(式)大小、作差法比較代數(shù)式

的大小

【分析】利用不等式性質(zhì)可判斷AC正確，取特殊值可知B錯誤；利用作差法可知D正確.

【詳解】由題知一。>一6>0,-c>-d>0,所以ac>6d,故A正確；

取a=c=—2,b=d=-1,則a<?2=-8,bd2=—1,故B不正確；

因為c<4,-<0,所以&<￡,故C正確；

aaa

巾生人+dc+bd-c?.d+bc+b北八十.

因為-----=--<0,故一-<-故D正確，

a+ba+ba+ba+ba+b

故選：ACD.

/(%),/(%)<g(x)

10.(22-23高一上?山東?期中)已知函數(shù)〃x)=2-國，g(x)=d,設(shè)函數(shù)"(x)=

g(x),f(x)>g(x),

A."(x)是偶函數(shù)

B.方程H(x)=；有四個實數(shù)根

C."(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增

D.H(x)有最大值，沒有最小值

【答案】ABD

【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)圖像判斷函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)

零點或方程根的個數(shù)

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【分析】作出“（X）的圖像，利用圖像對四個選項一一驗證.

【詳解】作出“⑺的圖像如圖所示：

對于A：因為“（X）的圖像關(guān)于y軸對稱，所以H（x）是偶函數(shù).故A正確；

對于B：作出直線y=g的圖像，與H（x）的圖像有4個交點，所以方程H（x）=g有四個實數(shù)根.故B正確;

對于C：從圖像可以看出”（x）在（0,1）上單增，在（1,2）上單減.故C錯誤；

對于D：從圖像可以看出；當(dāng)》=1或x=-1時，"（無）=1最大，沒有最小值.故D正確.

故選：ABD

11.（23-24高一上?山東濰坊?期中）對于任意實數(shù)無，函數(shù)滿足：當(dāng)+時，

f^x）=x-n,則（）

A./（2023）=0B.?。┑闹涤驗?/p>

C.“X）在區(qū)間上單調(diào)遞增D.7（x）的圖象關(guān)于點?、停篫）對稱

【答案】AB

【知識點】判斷或證明函數(shù)的對稱性、分段函數(shù)的值域或最值、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、求分

段函數(shù)值

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【分析】對于A,當(dāng)“=2023時，可得了。)=尤一2023,即可求得,(2023)=0；對于B,把〃一,

變形-g<x-〃V；,即可求得〃尤)的值域；對于C,分別令〃=0,〃=1,可求得

=/(1),函數(shù)在-|，|上不具有單調(diào)性，即可判斷；對于D,根據(jù)條件求得

/5+g)=g和函數(shù)不關(guān)于(〃,0)對稱，故D錯誤.

【詳解】對于A,當(dāng)”=2023時，

4045,4047型、

貝！J---<x<―--,/(x)=x-2023,

所以7(2023)=2023-2023=0,故A正確；

對于B,當(dāng)〃一gEZ)時，

則一g<x-n<^,即一;

故“X)的值域為1，故B正確；

對于C,當(dāng)〃=0時，一g<:vwg,時，/(x)=x,

則/(無)在(后方上單調(diào)遞增；

13

當(dāng)〃=1時，—<x<—,時，f(x)=x—1,

則/(幻在(31系3上單調(diào)遞增，

則沖《吟=9沖=吟,

故/(X)在區(qū)間(-；卷上不具有單調(diào)性，故C錯誤；

對于D,當(dāng)〃一;<%W〃+；(〃￡Z)時，f^x)=x-n,

則/(?+1)=1,

當(dāng)當(dāng)"-1——<xn-1+Z)時，/(x)=x-(〃-l)=x-〃+1,

所以/(〃-g)=；,

貝U/(〃+g)=/(〃-g)=J，所以/(無)不關(guān)于5,0)對稱，故D錯誤，

故選：AB.

第H卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

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12.（2023-2024高一上?山東?期中）若命題FxeR,V-x+a<0”是假命題,則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】；，+—

【知識點】根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)、特稱命題的否定及其真假判斷、一元二次不等式在實

數(shù)集上恒成立問題

【分析】根據(jù)特稱命題是假命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.

【詳解】?「命題R,%2<0”是假命題，

「?命題"WxGR,x12*4—X+6Z>0”是真命題，

貝lj△=1一4a<0,解得a>—,

4

則實數(shù)。的取值范圍是；,+［.

故答案為：3十°°；

13.（22-23高一上?山東?期中）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù),

函數(shù)y=［引稱為高斯函數(shù)，其中xeR,［可表示不超過x的最大整數(shù)，例如：［-2川=-3,［3』=3.

①若函數(shù)〃x）=x-兇，則〃x）的值域為；

②若函數(shù)g（無）=［無］+；,貝U方程g（x）-2x=0所有的解為.

【答案】［0,1）U

44

【知識點】求函數(shù)的零點、復(fù)合函數(shù)的值域、函數(shù)新定義

【分析】①對任意實數(shù)X,利用給定的函數(shù)定義即可求出值域作答；②令〃Wx<〃+l,〃eZ,結(jié)合高斯函數(shù)

求出〃的取值作答.

【詳解】①VxwR,存在0Z,使得左Vx〈左+1,則印=左，因此。斗-印<1,所以函數(shù)〃力的值域為［0,1）；

②令+則g（x）=〃+<，2n<2x<2n+2,由方程g（x）-2x=0,得"+g=2x,

131

由2〃W〃+—<2〃+2解得，——<n<—,ffnMGZ,于是得〃=一1或〃=0,

222

11

當(dāng)〃=一1時，—,當(dāng)〃=0時，x=—,

44

所以方程g（“-2x=0所有的解為-；,；.

故答案為：［0,1）；-

44

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14.（23-24高一上?山東日照?期中）若不等式啰*蟲>1對一切實數(shù)x均成立，則實數(shù)機(jī)的取值范圍

X+X+1

為.若存在實數(shù)6,使得關(guān)于根的方程蘇+（3-6）機(jī)+6-6=0在上述范圍有解，則實數(shù)6的取值范

圍為.

【答案】[1,5）

【知識點】復(fù)雜（根式型、分式型等）函數(shù)的值域、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、一元二次不等式在實數(shù)集上

恒成立問題

【分析】①由條件轉(zhuǎn)化為不等式（根-i）f+（m-l）x+l>0恒成立，運用分類討論思想及一元二次不等式恒

成立條件可求出，”的范圍；②由條件轉(zhuǎn)化為方程b=病*+6有解,求。的范圍即轉(zhuǎn)化為函數(shù)

m+1

土網(wǎng)火的值域,運用分離常數(shù)法及對勾函數(shù)的單調(diào)性即可得結(jié)果.

'7m+1

【詳解】由條件可知即為不等式（機(jī)-1）九2+（m-1）X+1>O,X￡R恒成立，

當(dāng)m=1時不等式顯然恒成立；

當(dāng)mwl時，由一元二次不等式（吁1）*2+（加-1）*+1>0”11恒成“可得我<0,

[m>l

iP|（m-l）（m-5）<0>

綜上可知：〃2的取值范圍為[1,5）；

因為me。,5）,可知m+lwO,

依題意，方程療+（3-b）m+6-6=0有解，

即方程6=Qt網(wǎng)次,（心機(jī)<5）有解，

所以求6的范圍即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)=f+6,（l<m<5）的值域，

.，心+3〃z+6=（曰）&=（相+1）*f1,

'7m+lm+l'7m+l

令/=m+1￡12,6）,g^=t+—+l,

又對勾函數(shù)g⑺在[2,6）上為增函數(shù)，且屋2）=5,g（6）=y,

~23、「23、「23、

;.g⑺e5,yI,BP.-./We5,—\,所以b的取值范圍為5,yI,

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故答案為：[1,5）；51]

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

f—+1,<1

15.（13分）（23-24高一上?山西朔州?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=??'

x-Lx2]

⑴畫出函數(shù)“X）的圖象;

3

⑵求//的值;

（3）求出函數(shù)/（X）的值域.

【答案】（1）作圖見解析

吟

（3）[O.^o）.

【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、畫出具體函數(shù)圖象、分段函數(shù)的值域或最值

【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，可直接畫出函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，可直接求值；（3）

根據(jù)函數(shù)圖象可得函數(shù)的值域.

（3）由（1）得到的圖象可知，的值域為[0,+?）.

16.（15分）（22-23高一上?山東?期中）已知函數(shù)A（x）=/,1的定義域為集合4集合

尤~+4了+12

B=^x\\—m<x<l+m,m>0^.

（1）求集合4

（2）請在下面這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在橫線處，并給出問題的解答.

①充分條件，②必要條件.

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是否存在實數(shù)相，使得xeA是xeB的?若存在，求出機(jī)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)4=何-2<*<6｝；

(2)答案見解析.

【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)、具體

函數(shù)的定義域

【分析】(1)根據(jù)給定的函數(shù)有意義，列出不等式求解作答.

(2)選擇條件①，②，分別利用充分條件、必要條件的定義，借助集合的包含關(guān)系求解作答.

【詳解】(1)函數(shù)+[+]2有意義，

—/+4》+12>0,解得一2<x<6,

所以集合4={H-2<X<6}.

1-m<-2

(2)選擇①：%￡A是XEB的充分條件，則AqiS,由(1)知，<1+m之6,解得機(jī)>5,

m>0

所以實數(shù)機(jī)的取值范圍為機(jī)>5.

1-m>-2

選擇②：xeA是xeB的必要條件，則8屋4,由(1)知，，1+機(jī)46,解得0<相43,

m>0

所以實數(shù)機(jī)的取值范圍為0<加(3.

17.(15分)(23-24高一上?山東濰坊?期中)已知函數(shù)對于任意實數(shù)x,yeR,都有

/(x+y)+2=/(%)+/(y),且"2)=4.

⑴求/⑴的值;

(2)令g(x)=〃x)-2,求證：函數(shù)g(x)為奇函數(shù);

(3)求”—2023)+〃一2022)+…+〃一1)+"0)+/⑴+…+”2022)+“2023)的值.

【答案】(1)3；

(2)證明見解析；

(3)8094

【知識點】求函數(shù)值、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、奇偶函數(shù)對稱性的應(yīng)用

【分析】(1)應(yīng)用賦值法即可；

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(2)應(yīng)用奇函數(shù)的定義即可判斷；

(3)結(jié)合(2)轉(zhuǎn)化為求g(—2023)+…+g(O)+…+g(2023)+4047x2,即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)尤=y=l時，/(1+1)+2=/(1)+/(1),則/⑴=3；

(2)當(dāng)當(dāng)x=y=0時，/(0+0)+2=/(0)+/(0),則/(0)=2；

設(shè)丫=一左，則/(x-x)+2=/(x)+/(—x),貝lJ/(x)+/(-x)=4,

貝1J/(-x)-2=4/(x)-2],即g(t)=-g(x),

即函數(shù)g(x)為奇函數(shù).

(3)由(2)知，g(x)=/(x)-2為奇函數(shù),則

/(-2023)+/(-2022)+-+/(-1)+/(0)+/(1)+-+/(2022)+/(2023)

=g(-2023)+g(-2022)+…+g(-1)+g⑼+g⑴+…+g(2022)+g(2023)+4047x2=8094.

18.(17分)(23-24高一上?山東濰坊?期中)為改善生態(tài)環(huán)境，某企業(yè)對生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的污水進(jìn)行處理.

已知該企業(yè)污水日處理量為x百噸(704尤W120),日處理污水的總成本V元與x百噸之間的函數(shù)關(guān)系可近似

地表示為y=1x2+40.X+5000.

(1)該企業(yè)日污水處理量為多少百噸時，平均成本最低？(平均成本=』)

X

(2)若該企業(yè)每處理1百噸污水獲收益100元，為使該企業(yè)可持續(xù)發(fā)展，政府決定對該企業(yè)污水處理進(jìn)行財

政補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方式有兩種方案：

方案一：每日進(jìn)行定額財政補(bǔ)貼，金額為4200元；

方案二：根據(jù)日處理量進(jìn)行財政補(bǔ)貼，處理x百噸獲得金額為40X+1700元.

如果你是企業(yè)的決策者，為了獲得每日最大利潤，你會選擇哪個方案進(jìn)行補(bǔ)貼?并說明原因.

【答案】(1)100百噸；

(2)選擇方案二，日處理污水量為100百噸時，成本最低，獲得最大利潤.

【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、利用二次函數(shù)模型解決實際問題、基本不等式求和的最小值

【分析】(1)根據(jù)條件寫出日污水處理量的平均成本表達(dá)式，利用基本不等式求解出其最小值；

(2)根據(jù)兩種補(bǔ)貼方式分別列出企業(yè)日獲利的函數(shù)表達(dá)式，并求解出最大值，將最大值進(jìn)行比較確定出所

選的補(bǔ)貼方式.

【詳解】(1)由題意可知，每百噸污水平均處理成本為？=二+儂+40,無€[70,120].

x2x

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px5000/c、°x5000cs/ic1

又萬+----+4022,-----------+40=2x50+40=140.

當(dāng)且僅當(dāng);=里她，即x=100百噸時，每百噸污水的平均處理成本最低.

2x

(2)若該企業(yè)采用第一種補(bǔ)貼方式，設(shè)該企業(yè)每日獲利為X，由題可得

%=100x-(1x2+40尤+5000)+4200=-1x2+60x-800=-1(x-60)2+1000,

因為尤w[70,120],所以當(dāng)％=70百噸時，企業(yè)最大獲利為950元.

若該企業(yè)采用第二種補(bǔ)貼方式，設(shè)該企業(yè)每日獲利為必，由題可得

222

y2=(140尤+1700)-(1X+40尤+5000)=-1x+100x-3300=-1(x-100)+1700

因為尤e[70,120],所以當(dāng)x=100百噸時，企業(yè)最大獲利為1700元.

結(jié)論：選擇方案二，日處理污水量為1。。百噸時，成本最低，獲得最大利潤.

19.(17分)(22-23高一上?山東?期中)給定feR,若存在實數(shù)天使得“尤。)=?成立，則定義/為〃x)的

「點.已知函數(shù)”尤)=加+b尤+b+6(xeR).

⑴當(dāng)a=l,6=-3時，求的1*點；

(2)設(shè)。=1,b=Y,若函數(shù)〃無)在(。,+向上存在兩個相異的/*點，求實數(shù)f的取值范圍；

(3)對于任意的ae,總存在be[-2,0],使得函數(shù)/(x)存在兩個相異的點，求實數(shù)f的取值范圍.