2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路：數(shù)列求通項（構(gòu)造法、倒數(shù)法）（學(xué)生版+解析）

專題03數(shù)列求通項（構(gòu)造法、倒數(shù)法）（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型..............................................2

題型一：構(gòu)造法........................................2

題型二：倒數(shù)法........................................4

三、數(shù)列求通項（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項訓(xùn)練................13

一、必備秘籍

1.構(gòu)造法

類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列

形如%+1=笈〃+夕（太〃為常數(shù)，kp手0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變

形為%+1+m=后（許+〃7）（其中：m=白）,由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列｛冊+相｝,先求出

｛即+明的通項，從而求出數(shù)列｛/｝的通項公式.

標(biāo)準(zhǔn)模型：許+1=她,+，（匕P為常數(shù)，3*0）或4=版“_1+。（太。為常數(shù)，切片。）

類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列

⑴形如a“+i=qa“+p4+i（〃eN*）,可通過兩邊同除“田，將它轉(zhuǎn)化為需=g+P,從

qq

而構(gòu)造數(shù)列［青］為等差數(shù)列，先求出的通項，便可求得｛見｝的通項公式.

（2）形如。,用=總“+/用（〃eN*）,可通過兩邊同除q'M,將它轉(zhuǎn)化為芋="牛+1,

qqq

換元令：〃=之，則原式化為：bn+l=-bn+1,先利用構(gòu)造法類型1求出bn,再求出｛a｝

qq

的通項公式.

（3）形如因-即+i=3〃+1即伏力0）的數(shù)列，可通過兩邊同除以為+逐〃，變形為」----

即+1?！?/p>

的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列］?!

,先求出1的通項，便可求得｛見｝的通項公式.

2.倒數(shù)法

用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列

類型1：形如?！?i=」「（。應(yīng)為常數(shù)，pqQ的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形

pa?+q

為一=’+“，即：從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列［工］，先求出［'］的通項，

冊+1anq冊+1anq〔七J〔a"

即可求得明.

類型2：形如4+1=?ka”（。應(yīng)為常數(shù)，pro,qwO,心。）的數(shù)列，通過兩

Pa?+q

1q1p,1an

邊取，，倒，，，變形為一?=?一+：,可通過換元：2=一，化簡為：b=lb+L（此

4+1kcinkankk

類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如an+i^kan+p（k,p為常

數(shù)，3片0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為即+1+7"=6&+〃。（其中：m=3）,

k-1

由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列｛%+〃?｝,先求出｛%+"｝的通項，從而求出數(shù)列｛a｝的通項公式.）

二、典型題型

題型一：構(gòu)造法

1.（23-24高二下?河南?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足4=10,。用=3“"-2.

（1）求｛%｝的通項公式;

2.（23-24高二下,江西?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前”項和為S"，％=-!,且

3?A+I=??-2a?+1.

（1）求數(shù)列｛a“｝的通項公式；

3.（23-24高三下?河北張家口?開學(xué)考試）已知數(shù)列｛4｝滿足％=5,且%=34-2”（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式；

4.（23-24圖二上,山東青島,期末）已知｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，4=2,且外,％,小

成等比數(shù)列，數(shù)列色｝，4=1，〃+6角=（近戶，數(shù)列比｝的前"項和S,.

⑴求功

5.（23-24高二上?浙江紹興?期末）己知數(shù)列｛%｝滿足4=1,2a.M=3%+1.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

題型二：倒數(shù)法

1.（2023高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足：《,=2,q=皆午522）,求通項。，.

（2023高二■全國■專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足q=；,X%

2.an+l=■~~/_7T,.若2=1，

1+⑷

求數(shù)列｛%｝的通項公式.

3.（23-24高二上?上海浦東新?期中）已知數(shù)列｛4｝有遞推關(guān)系

（1）記%=b?+太若數(shù)列出｝的遞推式形如bn+l=常二（P，%/eR且片0）,也即分子中不

再含有常數(shù)項，求實數(shù)上的值；

（2）求｛%｝的通項公式.

4.（23-24高三上?山西?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝中，1=1,%=六^（"€"*）

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列

6.（23-24高二上?湖北黃石?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足％=1，4+1=2"；+1（"wN*）,則

｛%｝的通項公式為.

7.（2024高三?全國?專題練習(xí)）己知數(shù)列｛q｝滿足%+1=/%，且4=1,求數(shù)列｛?！埃?/p>

通項公式.

8.（23-24高二上.河北張家口.期末）已知｛q｝滿足q=g,q,+%+|=：（〃eN*）.

（1）證明：數(shù)列｛““｝為等比數(shù)列；

9.（23-24高三上?新疆烏魯木齊?階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛%｝滿足出=4,an+l=2an-2.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

10.（23-24高二上?黑龍江哈爾濱?期末）已知數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，且2S,=3%-2”+1.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

11.（2023?陜西安康?模擬預(yù)測）在數(shù)列｛““｝中，已知%=24_]-2〃+4522）,%=4.

(1)求｛q｝的通項公式;

12.(23-24高二上?福建莆田?期末)設(shè)數(shù)列｛凡｝的前w項和為S,，已知

,,+1

2S?=??+1-2+l(HeN*),且4=5

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式；

專題03數(shù)列求通項（構(gòu)造法、倒數(shù)法）（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型..............................................2

題型一：構(gòu)造法........................................2

題型二：倒數(shù)法........................................4

三、數(shù)列求通項（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項訓(xùn)練................13

一、必備秘籍

1.構(gòu)造法

類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列

形如即+1=笈〃+夕（太〃為常數(shù)，kp手0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變

形為許+1+777=?%+如（其中：/一），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)歹（］｛."+7"｝,先求出

K-1

｛即+明的通項，從而求出數(shù)列｛/｝的通項公式.

標(biāo)準(zhǔn)模型：即+1=履"+。（匕P為常數(shù)，3*0）或％=版M+P（k,p為常數(shù),kp中0）

類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列

⑴形如a“+i=qa“+p4+i（〃eN*）,可通過兩邊同除“田，將它轉(zhuǎn)化為需=g+P,從

qq

而構(gòu)造數(shù)列［,］為等差數(shù)列，先求出］》］的通項，便可求得｛見｝的通項公式.

（2）形如。,用=總“+/用（〃eN*）,可通過兩邊同除q'M,將它轉(zhuǎn)化為芋="牛+1,

qqq

換元令：〃=之，則原式化為：bn+l=-bn+1,先利用構(gòu)造法類型1求出bn,再求出｛a｝

qq

的通項公式.

11

（3）形如因-即+i=3〃+1冊伏土0）的數(shù)列，可通過兩邊同除以為+1。〃，變形為

?！?1an

的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列］

,先求出1的通項，便可求得｛見｝的通項公式.

2.倒數(shù)法

用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列

類型1：形如?！?i=」「（。應(yīng)為常數(shù)，pqQ的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形

pa?+q

為一=’+“，即：從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列［工］，先求出［'］的通項，

冊+1anq冊+1anq〔七J〔a"

即可求得明.

類型2：形如4+1=?ka”（。應(yīng)為常數(shù)，pro,qwO,心。）的數(shù)列，通過兩

Pa?+q

1q1p,1an

邊取，，倒，，，變形為一?=?一+：,可通過換元：2=一，化簡為：b=lb+L（此

4+1kcinkankk

類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如an+i^kan+p（k,p為常

數(shù)，3片0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為即+1+7"=6&+〃。（其中：m=3）,

k-1

由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列｛%+〃?｝,先求出｛%+"｝的通項，從而求出數(shù)列｛a｝的通項公式.）

二、典型題型

題型一：構(gòu)造法

1.（23-24高二下?河南?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足4=10,。用=3“"-2.

（1）求｛%｝的通項公式；

【答案】⑴4=3同+1；

【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可求得結(jié)果;

【詳解】（1）因為%=34-2,所以%—1=3（4一1）,又％-1=9,

a—1

所以」\=3,

所以｛為-1｝是以9為首項，3為公比的等比數(shù)歹U,

所以a“-1=9?3-=3向，所以見=3向+1.

2.（23-24高二下?江西?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，4=-1,且

3?A+I=??-2a?+1.

（1）求數(shù)列｛a“｝的通項公式；

【答案】①凡=占

【分析】

（1）變形得到［十+3］是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，得到通項公式；

c12

【詳解】（1）由3az+i=4-2%兩邊同時除以的用，可得3=-------，

an+\an

所以一+3=2—+3,—+3=2^0,

4加）?i

故數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以'+3=2",即。=

a?2"-3

3.（23-24高三下?河北張家口?開學(xué)考試）已知數(shù)列｛4｝滿足q=5,且%I=3??-2"（neN*）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

【答案】（1）“"=3"+2"；

【分析】（1）由已知條件構(gòu)造等比數(shù)列｛為-21，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，即可求得結(jié)

果；

【詳解】（1）由已知。用-3%=-2',所以。向-2向=3（4一2"）,又％-2=3x0,

所以數(shù)列｛4-2'｝是首項為3,公比4=3的等比數(shù)列，

所以4-2"=3",即。"=3"+2".

4.（23-24高三上,山東青島?期末）已知｛?！埃枪畈粸?的等差數(shù)列，％=2,且。2，&，。8

成等比數(shù)列，數(shù)列｛2｝，4=1么+￡+1=（應(yīng)產(chǎn),數(shù)列出｝的前”項和s”.

⑴求。

【答案】⑴）=；［2"+（-1尸］

【分析】（1）由題意列方程，求出數(shù)列｛%｝的首項和公差，求出%,可得2+￡M=2",變

形后構(gòu)造等比數(shù)列，即可求得答案；

【詳解】（1）因為的，%，如成等比數(shù)列，所以。：=。2“8，

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為5=2,所以(2+3d)2=(2+d)(2+7d),

解得d=2,

an=〃]+(〃-l)d=2n,

〃+酊1=(血戶=(0產(chǎn)=2",

對上式兩邊同時除以評得:久+號=三，即4=-12+:

2〃+i2"+12"+12〃+122〃2

5.(23-24高二上?浙江紹興?期末)已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,2??+1=3??+1

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

【分析】(1)根據(jù)題意等比數(shù)列的定義和通項公式運算求解;

31

【詳解】(1)由2。用=3a“+1,即4+1=54+5,

可得％+1=弓&+1),且4+1=2X0,故胃1r=5，

Z4十,乙

3

可知｛%+1｝是首項為2,公比為|■的等比數(shù)列,

貝以"+l=2x

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為%=21|j]L

題型二：倒數(shù)法

1.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝滿足：q=2,q=資=(“22)求通項

2

【答案】??=

4九一3

【分析】取倒數(shù)后得到,是等差數(shù)列，求出工=2〃-白，得到通項公式.

冊2

【詳解】取倒數(shù)：+2?—--=2,故[是等差數(shù)列，首項為'=1，公差

??%-%%[an\?i2

為2,

11C,“c3

—=—F2(〃-1)=2M—,

%22

2

4n—3

2.(2023高二?全國?專題練習(xí))已知數(shù)列也,｝滿足4=(

%〃.若2=1,

1+(?！皬V￡N*

求數(shù)列｛2｝的通項公式.

【答案】氏=,〃￡N

H+1

【分析】將4=1代入已知可得明+|=善」，進而推得二--'=1,即可得出數(shù)列是等

a

1+為4+1?[an\

差數(shù)列，寫出通項即可得出答案.

【詳解】將4=1代入已知可得。用=廣.

因為q=；,所以4片0,

—1。+11,11,

所以有——=----=一+1,所以-------=L

a

?+i冊anan+1an

又工=2,

ax

所以，數(shù)列[是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列,

所以，—=2+(n-l)xl=n+l,

an

1*

所以，an=-7，〃GN.

n+1

3.(23-24高二上?上海浦東新?期中)已知數(shù)列｛%｝有遞推關(guān)系

9%T0〃eN*,a,.9

%=5V%-6￡

(1)記%=b“+太若數(shù)列也｝的遞推式形如bn+l=(p,%reR且廠片0),也即分子中不

P"n+q

再含有常數(shù)項，求實數(shù)上的值；

(2)求｛%｝的通項公式.

【答案]⑴1或2

4”

⑵「不西+1

（9.5人—5k1+15^-10

【分析】（1）根據(jù)題意整理可得b=——I：「-------，即-5公+15^-10=0,運

n+1

5b“+5K-6

算求解即可；

,46

（2）取左=1,可得2+1=[六，利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列求通項公式.

5b,T

【詳解】（1）因為?！?2+左，且。用=等二號，

9(向+《一10卜(9-5k)b-5k2+15k-10

所以2+1=。用一左n

5(bn+k)-65bn+5k-6

貝(1-5/2+15左一10=0,解得k=1或2；

（2）由（1）可得：當(dāng)k=1時，貝1]?！?2+1,且萬用=分二

15瓦,一1115

可得點F——X-------F—

4b,4,

則1—1=-1且力】犯

b“+i需1

4為公比的等比數(shù)列,

4"

，則￡=

4.（23-24高三上?山西?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝中，％=1,an+1=-^（neN*）

（1）證明：數(shù)列+是等比數(shù)列

【答案】（1）證明見解析；

【解析】（1）由%+1=』（〃6"'）可得一1+1=3[2+:],然后可得答案；

4+3'an+l21a,,2j

【詳解】（1）證明：由%+i=W（“cN*）,知」_+：=3[工+:]

4,+3'%2出2；

113r1ii3

又一+彳=彳，，一+彳是以:為首項，3為公比的等比數(shù)列

%22[an2]2

1

5.（2024高三?全國?專題練習(xí)）在數(shù)列｛?｝中，4=2,24-1.求證：數(shù)列

4T

是等差數(shù)列，并求包｝的通項公式;

n+1

【答案】證明見解析；a=—

nn

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義證明，然后利用等差數(shù)列的通項公式求解.

2冊T

【詳解】??F〃4+I=2%—1，，4+1

y2(2—1ci—111

+1,

an+\~1an?！ㄒ?

1,1

且力=1所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為1,公差為L

口口

1二",即?！?〃+1

為一1-----------------n

三、數(shù)列求通項（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項訓(xùn)練

1.（23-24高二上?重慶?期末）已知數(shù)列｛%｝滿足％=1，%—7,則數(shù)列的前8項

%,+2

和$8=

【答案】502

取倒數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列+1）,結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可得到答

【分析】根據(jù)氏+1

案.

%取倒數(shù)得5V+1，

【詳解】由4+1

所以-L+l=2—1+1I,

%+1

]1—+1

因為2+1=2x0,所以-1+1*0,所以烏一=2,

%an1?]

an

所以”是首項為2,公比為2的等比數(shù)歹U,

所以_L+1=2X2"T=2",貝=

9

所以數(shù)列的前8項和S8=2,；）_8=2-2-8=502.

故答案為：502

2.（23-24高二下?全國?單元測試）已知數(shù)列｛%｝滿足6=1,。用=/二，（"N*）,則

1

【答案】

4n-3

a,1、

【分析】將a“+i=7七變形可得數(shù)列｛一｝為等差數(shù)列，再借助等差數(shù)列求解即得.

%+1%

,、14圓+1，1

【詳解】數(shù)列4中，［=1,=-7,顯然4尸0,取倒數(shù)得一=一^=4+一,

1

'國+1an+1anan

111

即-------=4,則數(shù)歹!j｛一｝是首項為1,公差為4的等差數(shù)列，

aa

n+ln%

因止匕」-=1+4（九-1）=4〃-3,所以q

44〃一3

1

故答案為:

4〃一3

3.（23-24高二上?全國?單元測試）已知數(shù)列｛%｝滿足q=；,且氏+產(chǎn)喜則數(shù)列｛%｝的

通項公式為名=

【詳解】

在等式“"+產(chǎn)喜1兩邊取到數(shù)，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，

即可求得數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列（??｝的通項公式.

【分析】因為數(shù)列｛風(fēng)｝滿足q=：，且%+產(chǎn)菖7,則。2=盧^=-—=:，

2阻+13%+13x^+15

2

1

〃-_5_1L

a?——1—,、9

3a2+I3x-+l8

5

以此類推可知，對任意的〃eN*,%＞。,

a,11+3a1_11.

在等式%+產(chǎn)n兩邊取倒數(shù)可得一=——^=—+3,則-------=3,

1a

X+4,+1a“?%+1a?

所以數(shù)列［工］是首項為1=2,公差為3的等差數(shù)列.

所以，—=2+3（H-1）=3M-1,所以，an=.

an3n-l

,、a1

4.（23-24高二下?河南?期中）數(shù)列｛風(fēng)｝中，若4=1,4+1=77尸，則一=.

【答案】19

【分析】取倒數(shù)可得一二-'=2,即可得數(shù)列R的通項公式，計算即可得.

g11+2aH1小

【詳解】:。用=77^,則一=——^=一+2,

1+24an+lanan

二一匚一1=2,.?.故數(shù)列［工］為等差數(shù)列，公差等于2,

aa

n+ln［an］

又J,^-=1+2（?-1）=2?-1,

%an

—=10x2-1=19.

〃10

故答案為：19.

5.（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝滿足%=l,2%+「a“+a“%+|=0（"eN*）,則數(shù)

列｛%｝的通項公式為.

【答案】巴=于匕

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出通項即得.

【詳解】數(shù)列｛%｝中，0=1,2a“+］-a“+a,a“+i=0,顯然a,產(chǎn)0,

貝lj有'=2.工+1,即，+1=2（工+1）,而工+1=2,

aa

n+ln%+1a,4

因此數(shù)歹!H’+l｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

an

所以'+1=2",.

an2"-1

故答案為：a.=Q

Z—1

6.（23-24高二上?湖北黃石?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足％=1，?！?1=才寸（"€河），則

｛??）的通項公式為.

【答案】??=-A-

L—1

【分析】對。2=一二取倒數(shù)，然后結(jié)合等比數(shù)列求和公式利用累加法求解即可.

【詳解】對氏+1=3多17兩邊取倒數(shù)得,=出口=1+2"即一匚-'=2",

2為+1??+i4%J%

沙、口葉1]-2〃T1]_2〃-2.11一2211—2

當(dāng)〃22時，-------_2,---------------Z，L，----------,----------------"

anan-X〃〃.1〃〃一2a3〃2%4

11,2（1-2叫

將以上各式累加得----=2"-1+2〃-2+…+2?+2=—1---------1=2n-2,又。1=1,

anax1-2

所以;=2"-1,所以凡=不\，當(dāng)"=1時，⑷=1也滿足為=不\，所以q=不二.

故答案為：%=4

7.（2024高三?全國?專題練習(xí)）己知數(shù)列｛風(fēng)｝滿足。用=隹*且％=1,求數(shù)列｛為｝的

通項公式.

【答案】氏=尹匕

【分析】根據(jù)題意先證數(shù)列為等比數(shù)列，再結(jié)合等比數(shù)列的通項公式分析求解.

【詳解】因為蠟工，且4=1*。，可知4工0,

13a,,+4,41（1

貝1J—=——=3+一,可得——+1=4—+1L

%%%an+1[an）

且2+1=2*0,

%

可知數(shù)列[，+1]是首項為2,公比為4的等比數(shù)列，

可得!+1=