2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路：利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題（學(xué)生版+解析）

專題10利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

(典型題型歸類訓(xùn)練)

一、必備秘籍

1、極值點(diǎn)偏移的含義

函數(shù)/(X)滿足對(duì)于定義域內(nèi)任意自變量X都有/(%)=/(2x0-x),則函數(shù)/(x)關(guān)于

直線％=%對(duì)稱.可以理解為函數(shù)/(x)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若/(%)為

單峰函數(shù)，則%=%必為/(x)的極值點(diǎn)，如圖⑴所示，函數(shù)/(%)圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就

是極值點(diǎn);

①若/(x)=c的兩根為X],馬，則剛好滿足受7=Xo,則極值點(diǎn)在兩根的正中間，

也就是極值點(diǎn)沒(méi)有偏移(如圖1).

Xi\XQX2X

(無(wú)偏移，左右對(duì)稱，二次函數(shù))

若/(%1)=/(%2)，則％1+%2=2%0.

(1)

'%0%2X

(左陡右緩，極值點(diǎn)向左偏移)(左緩右陡，極值點(diǎn)向右偏移)

若/(%1)=/(%2)，則Xl+x2>2xo.若/(%),則2V2%0.

(3)

若生產(chǎn)則極值點(diǎn)偏移.若單峰函數(shù)/(X)的極值點(diǎn)為X。，且函數(shù)/(X)滿足定

義域X=/左側(cè)的任意自變量X都有/(x)>/(2x0-x)或/(x)</(2x0-x),則函數(shù)

/(x)極值點(diǎn)/左右側(cè)變化快慢不同.如圖(2)(3)所示.故單峰函數(shù)/(x)定義域內(nèi)任意不同

的實(shí)數(shù)為，々，滿足/(西)=/(々)，則生產(chǎn)與極值點(diǎn)/必有確定的大小關(guān)系：若

天〈二產(chǎn)，則稱為極值點(diǎn)左偏如圖(2)；若%>與X,則稱為極值點(diǎn)右偏如圖(3).

2、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般解法

2.1對(duì)稱化構(gòu)造法

主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和，積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題.其解題要點(diǎn)如下：

(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為%),即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值

點(diǎn)X。?

(2)構(gòu)造函數(shù)，即對(duì)結(jié)論%+%>2%型，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=f(x)—或

；

F(x)=f(x0+x)-/(x0-x)

⑶對(duì)結(jié)論Xi-%>/,型，構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(%)-/(立)，通過(guò)研究廠(%)的單調(diào)性獲得不

X

等式.

(4)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論尸(x)的單調(diào)性.

(5)比較大小，即判斷函數(shù)E(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出了(%)與了(2%-九)的大小關(guān)

系.

(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)/U)的單調(diào)性，將/O)與7(2%-%)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為％與2%-x之

間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求.

2.2.差值代換法(韋達(dá)定理代換令玉%=t,xl+x2=t.)

差值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后

利用兩個(gè)極值點(diǎn)之差作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的.設(shè)法用差值(一般用/表示)表

示兩個(gè)極值點(diǎn)，即/=石-%，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于f的

函數(shù)問(wèn)題求解.

2.3.比值代換法

比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后

利用兩個(gè)極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的.設(shè)法用比值(一般用/表示)

表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即^=&,化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于7的

x2

函數(shù)問(wèn)題求解.

二、典型題型

2x3C

1.(2024高三下?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)=ln(Q%+l)+-^——x2-ax[aGR),

^(x)=lnx-or2-bx.

(1)若y=/(x)在[2,+?>)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

⑵當(dāng)a2時(shí),設(shè)g(x)=ln[x2(ax+1)J+-3ax-/(x)(x>0)的兩個(gè)極值點(diǎn)為

xl,x2(xl<x2),且9(%)=0(%2),求y=(%-々)9'["；尤]的最小值.

2.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e=小(。＞0).

2

⑴當(dāng)a=?時(shí),判斷〃力在區(qū)間(L+8)內(nèi)的單調(diào)性；

(2)若/(尤)有三個(gè)零點(diǎn)%,超，W，且％＜尤2〈尤3.

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：xx+x2+x3＞3.

3.(2024高三下?江蘇?專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=e"—以2_2尤(其中e為自然對(duì)數(shù)的底)

若a=l,%是/(x)的極值點(diǎn)且為＜。.若%)=/(%2)，且々＜%＜。.證明:

In(%+%+2)＞2x0+In2.

1,

4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=1口工+萬(wàn)冰一(。+1)羽(QER).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，判斷函數(shù)》=/(%)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于X的方程有兩個(gè)不同實(shí)根公電，求實(shí)數(shù)。的取值范圍，并證明

西?々＞e2.

5.(2022,全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-ax(aeR).

⑴若。=3,求函數(shù)“X)的最值；

⑵若函數(shù)g(x)=.4(x)-x+a有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作士,三，且為＜/，求證:

1n%]+21nx2＞3.

6.(2024?吉林?二模)在平面直角坐標(biāo)系x0y中，RtAOAB的直角頂點(diǎn)A在x軸上，另一個(gè)

頂點(diǎn)3在函數(shù)〃月=也圖象上

(1)當(dāng)頂點(diǎn)5在x軸上方時(shí)，求RtAOAB以x軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊AB和邊08旋轉(zhuǎn)一周形成的面

所圍成的幾何體的體積的最大值；

(2)已知函數(shù)g(x);e"關(guān)于x的方程〃x)=g(x)有兩個(gè)不等實(shí)根“超

(X]<w).

(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

2

(ii)證明：石+%>—?

e

7.(23-24高三上?河南?階段練習(xí))己知函數(shù)/(尤)=(尤-2巾*-依)(aeR).

(1)若a=2,討論〃力的單調(diào)性.

⑵已知關(guān)于x的方程〃x)=(x-3戶+2依恰有2個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根不應(yīng).

(i)求。的取值范圍；

(ii)求證：一+尤2>4.

三、題型歸類練

1.(23-24高二下?廣東東莞?階段練習(xí))己知函數(shù)/(xbY+oxflnx的導(dǎo)函數(shù)為廣⑺,

若尸(%)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)/電.

⑴求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：xl+x2>l.

2.(23-24高二下?安徽宿州?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)〃力=(%-2)尸(其中e=2.71828…為自

然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴求函數(shù)/⑺的單調(diào)區(qū)間；

⑵若a1為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足匕e"=2(e〃-e"),求證：a+b>6.

.1

3.(2024?廣東湛江?一模)己知函數(shù)〃x)=0+lnx)e最.

⑴討論〃力的單調(diào)性；

⑵若方程〃x)=l有兩個(gè)根4，巧，求實(shí)數(shù)。的取值范圍，并證明：玉々>1.

a]nx+a

7.(2023?云南大理?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=

x

(1)討論f(x)的極值;

⑵若(叫廣=(%戶(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，且占>0,x2>0,x產(chǎn)馬，證明：占+々>2.

8.(22-23高二下?河北張家口?期末)已知函數(shù)〃x)=xlnx.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若方程〃x)=2x-l的兩個(gè)解為天、x2,求證：xr+x2>2e.

9.(21-22高三上?廣東深圳?期末)已知函數(shù)〃尤)=lnx.

(1)討論函數(shù)g(x)=/(%)-依(aeR)的單調(diào)性；

(2)①證明函數(shù)/(無(wú))=/(x)-1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；

e

②設(shè)①中函數(shù)尸(X)的零點(diǎn)為七,記加(x)=minjv(尤),?1(其中min{a,b}表示中的較

小值)，若〃z(x)="("eR)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根不，尤式芯</)，證明：

x1+x2>2x0.

10.(2023?北京通州?三模)已知函數(shù)/(x)=ox—@—lnx(a〉0)

x

⑴已知了(%)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y=%-1,求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)已知/(九)在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

⑶已知g(尤)=〃尤)+4有兩個(gè)零點(diǎn)X],X2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明中2>e?.

X

專題10利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

（典型題型歸類訓(xùn)練）

一、必備秘籍

1、極值點(diǎn)偏移的含義

函數(shù)/（X）滿足對(duì)于定義域內(nèi)任意自變量X都有/（x）=f（2x0-x）,則函數(shù)/（x）關(guān)于

直線％=%對(duì)稱.可以理解為函數(shù)/（x）在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若/（%）為

單峰函數(shù)，則X=%必為/'（X）的極值點(diǎn)，如圖⑴所示，函數(shù)/（X）圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就

是極值點(diǎn)元0;

①若/（x）=c的兩根為陽(yáng)，/，則剛好滿足=X0,則極值點(diǎn)在兩根的正中間,

也就是極值點(diǎn)沒(méi)有偏移（如圖1）.

Xi\xQX2X

（無(wú)偏移，左右對(duì)稱，二次函數(shù)）

若/（%1）=/（%2），則%1+42=2%0.

（1）

九I?40%2%

（左陡右緩，極值點(diǎn)向左偏移）（左緩右陡，極值點(diǎn)向右偏移）

=

若/（孫）/（?2）＞則X1+x2＞2xo.若/（知）=/（工2），則xl+x2＜2x0.

（2）（3）

若生產(chǎn)HXo,則極值點(diǎn)偏移.若單峰函數(shù)/（X）的極值點(diǎn)為X。，且函數(shù)/（X）滿足定

義域％=%左側(cè)的任意自變量了都有y（x）＞y（2xo—x）或/■（x）＜y（2x（）—x）,則函數(shù)

/（X）極值點(diǎn)/左右側(cè)變化快慢不同.如圖（2）（3）所示.故單峰函數(shù)/（X）定義域內(nèi)任意不同

的實(shí)數(shù)為，々，滿足/（西）=/（々），則生產(chǎn)與極值點(diǎn)/必有確定的大小關(guān)系：若

天〈二產(chǎn)，則稱為極值點(diǎn)左偏如圖（2）；若%＞與三，則稱為極值點(diǎn)右偏如圖（3）.

2、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般解法

2.1對(duì)稱化構(gòu)造法

主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和，積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題.其解題要點(diǎn)如下：

(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為/)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值

點(diǎn)X。?

(2)構(gòu)造函數(shù)，即對(duì)結(jié)論%+%2>2%0型，構(gòu)造函數(shù)/⑶二/⑴一/0/一功或

P(x)=于5+%)-/(x0-X)；

⑶對(duì)結(jié)論x/X2>x02型，構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(x)-/(當(dāng)二)，通過(guò)研究/(X)的單調(diào)性獲得不

X

等式.

(4)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論尸(x)的單調(diào)性.

(5)比較大小，即判斷函數(shù)歹(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出了(x)與，(25-x)的大小關(guān)

系.

(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)加0的單調(diào)性，將/(%)與f(2x0-x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與25-x之

間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求.

2.2.差值代換法(韋達(dá)定理代換令玉々=，,芯±々=

差值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后

利用兩個(gè)極值點(diǎn)之差作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的.設(shè)法用差值(一般用/表示)表

示兩個(gè)極值點(diǎn)，即/=%-%，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于7的

函數(shù)問(wèn)題求解.

2.3.比值代換法

比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后

利用兩個(gè)極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的.設(shè)法用比值(一般用/表示)

表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即/=生,化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于/的

x2

函數(shù)問(wèn)題求解.

二、典型題型

1.(2024高三下?全國(guó),專題練習(xí))已知函數(shù)/(冗)=111(〃%+1)+2；-/一，

^?(x)=lnx-cx2-bx.

⑴若V=〃%)在［2，H上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

（2）當(dāng)a2時(shí),設(shè)g（x）=ln［x2（<zr+l）J+^^-3ar-/（x）（x>0）的兩個(gè)極值點(diǎn)為

%,馬（為<々），且。（西）=。&），求y=a；*］的最小值.

【答案】①0VaV2+";

2

⑵ln2-

【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)可得2依?+（2-2。）％-。2-220,在［2,+8）上恒成立，結(jié)合二次函

數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得；

（2）由題意計(jì)算可得。<生<：,從而可設(shè)，=土，得至1］（工1_3）夕'（百：％］=二［）_］型,

結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)單調(diào)性即可得其最小值，即可得解.

【詳解】⑴因?yàn)樾〔费?2A…,

由題意/'（%）=--------1-2%2—2%—6Z>0,

ax+1

_2

即f'（x\=+2/一2X20對(duì)x￡［2,+oo）恒成立，

ax+1

_2

整理得：-^+2x-2>0,

OX+1

即2辦2+（2—2a）九一a?—220,在［2,+oo）上恒成立,

顯然。=0時(shí)成立.

當(dāng)awO時(shí)，設(shè)/1（尤）=2依2+（2—2々）%—〃2-2,

顯然a〉0且對(duì)稱軸為九二彳-不<彳，

22〃2

所以〃⑺在（2,+。）上單調(diào)遞增,

所以只要九（2）=8。+4（1—，）一片一220,又〃>0,

所以0<〃（2+"；

綜上，0<?<2+76;

22（x2-ax+1）

（2）g（x）=2\nx-2ax+x2,g'（x）=——2a+2x=--------------

xx

即石,%2為方程f-ax+l=O的兩個(gè)根，

,>3&

a>-----

2

由題意可得卜=〃-4>。，

xx+x2=a

x{x2=1

2=（%+%）二,解得

X*2

再兀222

又=l-2cx一）,0（玉）=ln%i—cx^-bxx,（p^x2^=lnx2—cx1—bx2,

兩式相減得ln2-c（玉一%）（玉+工2）-6（%-％）=0,

X2

2Cb

令”?，貝1」（芭一龍2）”（^4^）=（占一々）~~_\^T]-

大2\27|_玉+%2\27

—―—C（芭+工2）（一12）一人（%—％2）=々---<--In—=~~--111^0<^<—\

X[+9玉+]%2/+112J

令〃（，）=*Tn（0<T，

"⑺=2，/%—0,所以4,在0；遞減，

（Z+1）t（+1）I2」

〃⑺mm=〃[[=1112T,所以（當(dāng)一切耳紜”]的最小值為1U21.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)在于結(jié)合題意，得到'的范圍，并借助換元法,

%

令/=&,從而將多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題.

x2

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x"/—依“。>0）.

2

⑴當(dāng)a=?時(shí)，判斷“X）在區(qū)間（1,+8）內(nèi)的單調(diào)性；

⑵若“X）有三個(gè)零點(diǎn)再,吃,W，且再<%<退.

（D求。的取值范圍；

（ii）證明：%+%+%3>3.

【答案】⑴"X）在（1,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增

2

<e、

（2）（i）a,+°°；（ii）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）多次求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)即可判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）（i）原條件可轉(zhuǎn)化a=:有三個(gè)不等實(shí)根，從而構(gòu)造函數(shù)研究該函數(shù)即

XX

可得；（ii）借助的力（%）單調(diào)性，得到尤1>T,從而將證明西+々+無(wú)3>3,轉(zhuǎn)化為證明%+%3>4,

再設(shè)”區(qū)，從而將三個(gè)變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，即可構(gòu)造函數(shù)

%

〃(x)=lnx_2([(x>l),證明其在(1,+s)上大于0即可.

222

【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，〃力=/一?/，-(x)=e'-Mx,

2

ee2

令g(x)=/'(%)=1一5%，g'(x)=e"一了，

22

^^r(x)=ex--=0,nJWx=ln—=2-ln2,

則當(dāng)工￡(1,2-如2)時(shí),gr(x)<0,當(dāng)％￡(2—ln2,+oo)時(shí)，gr(x)>0,

即g(x)在(1,2-ln2)上單調(diào)遞減，在(2-ln2,y)上單調(diào)遞增，

2

又g(l)=/'(l)=e-5<0，g(2)=/'(2)=e2-e?=0,

故當(dāng)xe(l,2)時(shí)，尸(力<0,當(dāng)xe(2,*o)時(shí)，>0,

故〃尤)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增；

(2)(i)有三個(gè)零點(diǎn)，即e-ox2=0有三個(gè)根，

由X=0不是該方程的根，故。=二有三個(gè)根占，尤2,無(wú)3，且可<々<%3，

X

令心)譚，小尸卓J

故當(dāng)xe(Yo,0)U(2,+°o)時(shí)，h'(x)>0,當(dāng)xe(0,2)時(shí)，h'(x)<0,

即Mx)在(-8,0)、(2,+8)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，

22

/7(2)=|?=Y'當(dāng)xf-8時(shí)，/2(x)-0,X—CT時(shí)，/z(x)^-H?,

當(dāng)x.0+時(shí)，7z(x)f+oo,xf+8時(shí)，//(%)->+oo,

故ae]?,+co]時(shí)，"有三個(gè)根；

2

e-i1e

(ii)由Mx)在(-8,0)上單調(diào)遞增，〃(T)=(2)2=9(丁故玉>-1，

由G)可得且一1<%<0<兀2<2<忍，

即只需證超+%3>4,設(shè)/=石>1,則無(wú)3=々乙

X2

e“2e*2f即有f2=e'2(T,故21nf=w(r-l),無(wú)2=當(dāng)，

則有了

々(x2t)

I2tlnt21nr2tlnt2(t+l)lnt

貝1尤3=——1，即nn%+&=----+-----=———~—，

t-l23t~lt-lt-l

口口lb、十2(7+l)ln，〃+2〃-1)

即只需證一^~~1—〉4o^~~1—〉2ohu--^>0,

t—1t—1才+1

2(1)

令//(x)=Inx-

x+1

2(x+l)-2(x-l)(x+l)~-4.￥(x-1)2

貝lj“(X)=最~G>0恒成立,

(尤+1)2X(X+1)-x(x+l)~

故〃⑴在(1,+s)上單調(diào)遞增，

則〃(x)>〃(l)=lnl—0=0,即得證.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般題設(shè)形式：

1.若函數(shù)/(X)存在兩個(gè)零點(diǎn)占,無(wú)2且無(wú)產(chǎn)々，求證：占+々>2%(X。為函數(shù)/*)的極值點(diǎn))；

2.若函數(shù)/(X)中存在西用且芯片尤2滿足f(X/)=/(X2),求證：司+%>2尤0(%為函數(shù)/(X)的

極值點(diǎn))；

2

3.若函數(shù)/(戈)存在兩個(gè)零點(diǎn)%,尤2且占#尤2，令/；"，求證：/(^))>0:

4.若函數(shù),⑴中存在國(guó),馬且$工尤2滿足/(%)=/(%)，令/=立愛(ài)，求證：/(^,)>0.

3.(2024高三下?江蘇?專題練習(xí))己知函數(shù)〃x)=e2，-a?-2x(其中e為自然對(duì)數(shù)的底)

若4=1,%是“X)的極值點(diǎn)且不<。.若〃為)=/(超)，且吃<再<。.證明：

In(%+々+2)>2x0+In2.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】求出了'(X)=262'—2%-2,要證明In(芯+%2+2)>2/+1112,即證明石>2%-尤?，即

證明〃“2)</(2%0-%2).令尸(%)=/(%)-/(2%o-%),%￡(T,%O),對(duì)尸(%)求導(dǎo)，得出尸(x)

的單調(diào)性，即可證明.

【詳解】當(dāng)4=1時(shí)，函數(shù)/(x)=e2-2%,求導(dǎo)得:(%)=212”-2%-2,

由%是/(%)的極值點(diǎn),得年(%0)=0,即=,+1,/<0,

令夕(X)=2e2x一2九一2,%<0,求導(dǎo)得//(%)=4/一2,當(dāng)九w(-oo,glng)時(shí),p\x)<0,當(dāng)xcglng,。)

時(shí)，P\x)>0,

則函數(shù)p(x),即/(X)在(一8,；吟上單調(diào)遞減，在(；嗚,0)上單調(diào)遞增，

2

顯然p[；ln；]=l-ln；-2<0,p(O)=O,p(-l)=2￡->0,

因此看是/(X)唯一負(fù)極值點(diǎn)，且/(X)在(-8,無(wú)。)上單調(diào)遞增，在(%,0)上單調(diào)遞減，

要證明山(5+馬+2)>2%+1112,即證明占+；+2>，刈=%+1,亦即證明尤2>2x0-七,

由/(X)在(-8,%)上單調(diào)遞增，且/(占)=/(無(wú)2),無(wú)2<不<°，知無(wú)2<%<罰<0，

則占€5,0),2%-%e(-co,Xo),從而由9>2%-網(wǎng)，得『(x2)>F(2x()-不)，而

/(%)=/(4),

因此/(占)>/(2%-占),

2v

令F(x)=f(x)~f(2x0-x),xe(x0,0),求導(dǎo)得F'(x)=(2e-2x-2)+Qef'-2(2x0-x)-2]

22x22

=2(e"+2x0-2)=2[(e*-e^)+2e%—2%—2],由e?%=%+1,得F'(x)=2(e-e^)>0,

因此函數(shù)尸(x)在(%,0)上單調(diào)遞增，即尸⑺>"/)=。，則/(無(wú))>/(2x0-x),

所以/(占)>/(2%-占),即不等式皿為+三+2)>2%+ln2成立.

4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ln尤+；at2-(a+l)x,(aeR).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，判斷函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于X的方程/(無(wú))有兩個(gè)不同實(shí)根占求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明

2

石?％〉e.

【答案】⑴/⑺在(。,+8)上單調(diào)遞增

(2)1-1,/-"，證明見(jiàn)解析

【分析】(1)對(duì)/(X)求導(dǎo)，根據(jù)，(X)的符號(hào)得出“X)的單調(diào)性；

(2)由題意可知hlx=(a+l)x有兩解，求出y=In尤的過(guò)原點(diǎn)的切線斜率即可得出。的范圍，

設(shè)0<%<私逗=1,根據(jù)分析法構(gòu)造關(guān)于/的不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式恒成立即

%

可，

【詳解】(1)a=l時(shí)，/(x)=lnx+^x2-2x(x>0),

-Wy1.%2—2%+1(%—1)

故八x)=_+_x—2=------——~^->0，

XXX

.,"(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)關(guān)于x的方程/(%)=g辦2有兩個(gè)不同實(shí)根看,演，

即Inx-(a+l)x=0有兩不同實(shí)根巧,巧，得。+1=上InY，

%

令g(x)=-(x>0),5(%)=,

XX

令g，(x)=o,得％=e,

當(dāng)xe(O,e)時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，g'(x)<0,；.g(x)在(e,+co)上單調(diào)遞減，

.”=e時(shí)，g(x)取得最大值J,且g⑴=0,得圖象如圖:

即當(dāng)-時(shí)，/(%)=彳儂?有兩個(gè)不同實(shí)根毛，X?,

e2

兩根滿足g=(〃+1居,lnx2=(a+l)x2,

兩式相加得：111(%九2)=(〃+1)(石+%2)，兩式相減地In&'uS+DG-玉)，

玉

In(玉％)_玉+九2

上述兩式相除得m三=五二三，

為

不妨設(shè)不〈尤2，要證：士,尤2>e2,

_2盧-1)

只需證：ln(xe)=土衛(wèi)In是>2,即證也巴>2?三二五=—,

X2%西玉X2+X\三+]

設(shè)。=①>1,令=-2"T)=ln*,--2,

石z+1r+1

貝I]尸⑺=1一—1T="D：>0,

t(z+1)2Z(f+1)2

???函數(shù)/⑺在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增，且"1)=0,

F(r)>0,即1皿>2(1),

t+1

2

xi-x2>e.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：

1,通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系;

2,利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系;

3,適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

4,構(gòu)造"形似"函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

5.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(x)=lnx—or(aeR).

⑴若。=3,求函數(shù)“力的最值；

(2)若函數(shù)g(x)=W(x)-x+a有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作為,馬,且不<%,求證：

1叫+21nx2>3.

【答案】⑴無(wú)最小值，最大值為-ln3-1

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】(1)對(duì)函數(shù)/(x)=lnx-3x求導(dǎo)后得r(x)=T，x>0,分別求出尸(x)>0和

尸(力<0的解集，從而可求解.

(2)由g(x)=4(x)-x+a有兩個(gè)極值點(diǎn)工,當(dāng)ol叫=2叫,1噸=2嵇，從而要證

In—_龍21

1nx1+21nx,>302%+4。比2>3=。>-------o———>——-——'令'占">'構(gòu)建函

一一2xx+4%2X?—xx石+2X2

數(shù)可/)=1皿-合?，然后利用導(dǎo)數(shù)求解的最值，從而可求解證明.

【詳解】(1)由題意得〃x)=lnx—3x,貝U-⑺=二,x>0.

令7?'(力>0,解得0<x<；；令/(x)<0,解得x>:,

.??/(%)在]。，￡|上單調(diào)遞增，在g,上單調(diào)遞減，

/Wmax=/[|^|=ln1-3x|=-ln3-l,

無(wú)最小值，最大值為Tn3-1.

(2)'：g^x)—xf^x)-x+a=jAnx-a)c-x+a,貝!]g'(x)=]nx_2or,

又g(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)為，程，1g=2axx,\nx2=2ax2,

欲證1叫+21rix2>3,即證2叫+43>3,

3八

—無(wú)”原式等價(jià)于證明八①.

%In強(qiáng)

由1叫=23/ax2=2%,得-』)，貝U_再②.

花丁=2(々_現(xiàn))

In受

由①②可知原問(wèn)題等價(jià)于求證%,3

----->------

x2-xi%+2X2

3代一1

即證In迤>3(、一%)=上_2.

石%+2%[+弱1

令，=三，則，>1,上式等價(jià)于求證Inf>3"”

玉1+21

13(l+2r)-6(z-l)_(r-l)(4r-l)

令4⑺=1皿-21)則/?f)=

3,t(1+2/)2-/(1+2/)2

■：t>。恒成立，Mt)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

;."i時(shí)，//(?)>7/(1)=0,即扇>上%

.?.原不等式成立，即1叫+21噸>3.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①對(duì)于極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，首先找到兩極值點(diǎn)的相應(yīng)關(guān)系,然后構(gòu)造商數(shù)

/、

或加數(shù)關(guān)系/=①，/=%+吞；

I玉)

②通過(guò)要證明的不等式，將兩極值點(diǎn)變形后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，

③利用導(dǎo)數(shù)求解出構(gòu)造函數(shù)的最值，從而證明不等式或等式成立.

6.(2024?吉林,二模)在平面直角坐標(biāo)系x0y中，RtAOAB的直角頂點(diǎn)A在*軸上，另一個(gè)

頂點(diǎn)B在函數(shù)〃口=里圖象上

X

(1)當(dāng)頂點(diǎn)8在x軸上方時(shí)，求Rt^OAB以x軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊和邊。8旋轉(zhuǎn)一周形成的面

所圍成的幾何體的體積的最大值；

(2)已知函數(shù)g(x)=￥”一。+竺關(guān)于x的方程〃x)=g(x)有兩個(gè)不等實(shí)根占，x2

(為<%).

(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

2

(ii)證明：xf+xf>—.

【答案】⑴3

⑵(i)IO,|ej；(ii)證明過(guò)程見(jiàn)詳解.

【分析】(1)先確定所求幾何體何時(shí)能取到最大值，寫出函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單

調(diào)性，求最大值；

fl?2

(2)(i)根據(jù)題意知，e-ex+ax-1=Inx，進(jìn)行同構(gòu)—+#=泌"+Inex，將問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為方程辦2=ine尤有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，再進(jìn)行分離參數(shù)，研究/1(%)=上>的單調(diào)性和

極值，即可求出。的取值范圍.

2

(ii)由2解+考)>(石+%2)，知,先證%+%>需,即極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)

F[x)=h[x)-h\^-x\,求尸⑺,尸(工)在(0,J單調(diào)遞增，尸(耳</[；]=0,得

%)即j-xj，再由〃(x)的單一

h^x)<,從而可得—.

2

即可得到％+入2>丁.

Inx?y

【詳解】(1)因?yàn)?在X軸上方，所以：-—>0nx>\；

X

△Q4B為直角三角形，所以當(dāng)ABIx軸時(shí),所得圓錐的體積才可能最大.

設(shè)A(x,0),則V.兀(InxY7iIn2x1、

一?犬=------(Xz>1).

x)3x

設(shè)人(力=史上(x>l),貝！J//(x)=21n'[n',由“(%)>0=>21nx-h?%>0n

lnx(2-lnx)>0.

因?yàn)榱?gt;1,所以2—lnx>0=>x<e2

2

所以〃(X)在(Le2)上單調(diào)遞增，在卜產(chǎn),+8)上單調(diào)遞減，所以/!(%)_=/z(e)=室=4

從而：Knax=？?

(2)(i)因?yàn)?(x)=g(x),即e加一ex+〃f—i=inx，即峻lJ+ox2=eln￡r+lnex-

令〃Q)=e，+r,所以沅(加)=〃(1115),

因?yàn)?")=e'+f為增函數(shù)，所以?2=]nex即ax?=]nx+l,

所以方程=g(x)有兩個(gè)不等實(shí)根不，%等價(jià)于a=也畀

有兩個(gè)不等實(shí)根占，々，

X

令可力=電7,所以"。)=土產(chǎn)

當(dāng)時(shí)，h'(x)>0,力⑴單調(diào)遞增；當(dāng)|時(shí),〃(x)<0,力⑴單調(diào)遞

減?所以心心=45]=卜

當(dāng)x30時(shí)，當(dāng)xf+8時(shí)，由洛必達(dá)法則知lim/7（x）=lim」=O；

\/X-＞+00\/X-＞+oo

所以ae(0,ge]

(ii)由(i)知，(,+oo

令產(chǎn)(x)=h(x)-h,xe0,

、lnx+1e/、21nx+1

因?yàn)槭o(wú)）=，所以k(x)=-一二

因?yàn)閤e,+8,所以尸（x）＞0,即*x）在0,單調(diào)遞增,

F(x)<F=0,所以/?(%)〈4

因?yàn)橛馿,所以

又因?yàn)榱Γㄎ鳎?力5）,所以//（々）＜力]/-%

因?yàn)椤?+°0]29,+°°）上單調(diào)遞減,

,+8,且?jiàn)y工）在

22/、4

所以西，即工2+%＞京，所以2（尤;+尤；）＞（占+%）2-＞一

2

所以才+名〉一.

e

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般方法一一對(duì)稱化構(gòu)造的步驟如下：

（1）求極值點(diǎn)不：求出函數(shù)“X）的極值點(diǎn)與,結(jié)合函數(shù)〃元）的圖像，由〃與）=〃%）得

出尤2,西的取值范圍;

（2）構(gòu)造函數(shù)：對(duì)結(jié)論為馬+玉＞2%的情況，構(gòu)造函數(shù)尸（x）=〃x）—-力；

,

①尸3=/（x）+r（2x（1-x）＞0,貝F（x）單調(diào)遞增；

②注意到尸&）=o,貝!）尸a）=/（玉）-〃2Ao-%）＜o(jì)即/&）＜/（入—不）；

③/⑸=/（%）＜42%-%），根據(jù)/（無(wú)）在（七,y）單調(diào)減，則々＞2%-再

④得到結(jié)論超+無(wú)1＞2%.

7.(23-24高三上?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(x-2乂e*GR).

⑴若a=2,討論〃X)的單調(diào)性.

(2)已知關(guān)于％的方程〃x)=(x-3)e'+2也恰有2個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根/電.

(i)求。的取值范圍；

(ii)求證：xl+x2>4.

【答案】⑴〃尤)在(-s,l)，(21n2,y)上單調(diào)遞增，在(l,21n2)上單調(diào)遞減

<21

(2)(i)[~e"十°°；(")證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)后，根據(jù)廣(力的正負(fù)可確定的單調(diào)性；

(2)(i)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為'與g(x)=^(x>0)有兩個(gè)不同交點(diǎn)的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)可求得

g(x)的單調(diào)性和最值，從而得到g(x)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定。的范圍；

.一尤2二2

(")設(shè)2>玉>0,根據(jù)：9=以；，^=依；，采用取對(duì)數(shù)、兩式作差整理的方式可得如五~

無(wú)2

2^-1x

通過(guò)分析法可知只需證In土〈上~即可，令f=&e(O/)，構(gòu)造函數(shù)

々%+i%

x2

h(t)=lnt-^^(O<t<l),利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到〃⑺<無(wú)⑴=0,由此

可證得結(jié)論.

【詳解】⑴當(dāng)a=2時(shí)，〃x)=(x-2)(e=2x),貝|

/f(x)=e':-2x+(x-2)(er-2)=(x-l)(eJ-4)；

令((x)=°，解得:x=l或x=ln4=21n2，

.?.當(dāng)xe(ro,l)U(21n2,十功時(shí)，/軻>0；當(dāng)xe(l,21n2)時(shí)，f(x)<0；

\7(x)在(3,1),(21n2,W)上單調(diào)遞增，在(l,21n2)上單調(diào)遞減.

(2)(i)由/(X)=(x-3)e"+2ax得：ex—ax2=0,

?."(%)=(%-3”+2以恰有2個(gè)正實(shí)數(shù)根占,三，.[e*=辦2恰有2個(gè)正實(shí)數(shù)根為，尤”

令g(x)=^(x>0),則'與g(無(wú))有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

.?.當(dāng)x?0,2)時(shí),g'(x)<0；當(dāng)x?2,4w)時(shí),g'(x)>0；

2

，g（尤）在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增，又8⑵:,，

當(dāng)X從。的右側(cè)無(wú)限趨近于。時(shí)，g（無(wú)）趨近于+必當(dāng)X無(wú)限趨近于+8時(shí)，e*的增速遠(yuǎn)大于

/的增速，則g（x）趨近于+（?；

則g（x）圖象如下圖所示，

2

e

，當(dāng)a>一時(shí),y=。與g（x）有兩個(gè)不同交點(diǎn),

4

實(shí)數(shù)。的取值范圍為

%2

（ii）由（i）知：e*'=axf,e=ax1,>0,x2>0）

二.％=Ina+21n玉，x2=ln^+21nx2,

=2

不妨設(shè)三>三>。，則］n%，

x2

?,r>2（無(wú)］一巧）

要證%+%>4,只需證12比五，

尤2

.1In土<0,則只需證In2<2（__））=上_J

X2X2X+2+］

X21X2

%

令'=（五°，1）,則只需證當(dāng)，?0,1）時(shí)，1的<當(dāng)￥恒成立，

令//⑺=ln/_2（，］1）（0</<］）,

.〃W=1-2、+1）―2（1）=1+1］一二=（I）?>

"U?（Z+1）2（+了（+吁，

力⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，，〃⑺<力⑴=0,

.?.當(dāng)te(O,l)時(shí)，〈受F恒成立，，原不等式占+%>4得證.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性、方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題和極值點(diǎn)偏移問(wèn)

題的求解；本題求解極值點(diǎn)偏移的基本思路是通過(guò)引入第三變量”工，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變