2023中考數(shù)學(xué)常見幾何模型《角平分線的基本模型（一）全等類》含答案解析

專題07角平分線的重要模型（一）全等類

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識(shí)點(diǎn),

需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn),

本專題就角平分線的全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

模型1.角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型（角平分線+截線段等）

【模型解讀與圖示】

已知如圖1,。尸為NAOB的角平分線、尸河不具備特殊位置時(shí)，輔助線的作法大都為在。8

上截取ON=Q0,連結(jié)PN即可.即有AOMPgAONP，利用相關(guān)結(jié)論解一決問題.

ABIICDnAB+CD=BC

1.（2022?湖北十堰?九年級(jí)期末）在EIABC中，0ACB=2fflB,如圖①，當(dāng)班=90°,AD為團(tuán)BAC

的角平分線時(shí)，在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE,易證AB=AC+CD.

（1）如圖②，當(dāng)回090。，AD為IBBAC的角平分線時(shí)，線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？不需要證明，請(qǐng)直接寫出你的猜想；

（2）如圖③，當(dāng)AD為EIABC的外角平分線時(shí)，線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)

寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明.

2.（2022?山東煙臺(tái)?九年級(jí)期末）己知在AABC中，滿足NACB=2N3,

圖1圖2圖3

（1）【問題解決】如圖1，當(dāng)NC=90。，AD為44C的角平分線時(shí)，在A8上取一點(diǎn)E使得

AE=AC,連接DE,求證：AB=AC+CD.

（2）【問題拓展】如圖2,當(dāng)NCw9O。，AD為44。的角平分線時(shí)，在上取一點(diǎn)E使得

AE=AC,連接DE,（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你證明：若不成立，請(qǐng)說明理由.

（3）【猜想證明】如圖3,當(dāng)AP為AABC的外角平分線時(shí)，在54的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E使得

AE=AC,連接。E,線段A3、AC、CO又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你

的猜想給予證明.

3.（2022?浙江?九年級(jí)期中）（1）如圖1,在EIABC中，EC=90°,AD^BAC

的平分線交BC于。，求證：AB=AC+CD.（提示：在A8上截取AE=AC,連接DE）

（2）如圖2,當(dāng)國(guó)CR90。時(shí)，其他條件不變，線段A3、AC.CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接

寫出結(jié)果，不需要證明.（3）如圖3,當(dāng)0AC8H9O°,0ACB=20B,AD為0ABe的外角EICAF

的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則線段A3、AC、CZ）又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的

猜想，并加以證明.

4.（2022?北京九年級(jí)專題練習(xí)）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn).

（1）如圖（1）,若AC平分NR4E,ZACE=90°,則線段AE、AB,DE的長(zhǎng)度滿足的數(shù)

量關(guān)系為；（直接寫出答案）；（2）如圖（2）,AC平分N54E,EC平分NASD,若

NACE=120。，則線段48、BD、DE、AE的長(zhǎng)度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明.

模型2.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）

【模型解讀與圖示】

已知如圖1,0P為N。鉆的角平分線、9，。4于點(diǎn)拉時(shí)，輔助線的作法大都為過點(diǎn)

P作即可.即有=kOMP空NONP等,利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

鄰等對(duì)補(bǔ)模型：已知如圖2,AP是NCAB的角平分線，EP=DP

輔助線：過點(diǎn)P作尸G,AC、PF±AB

結(jié)論：①ZBAC+ZEPD=1SQ°（A、E、P、O四點(diǎn)共圓）；②DF=EG；③

AD=AE+2DF

1.（2022?北京?中考真題）如圖，在AABC中，平分ZBACOE，AB.若47=2,?！?1,則

^AACD=-

2.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，AABC的外角NAC。的平分線CP與內(nèi)角NABC的平分

線BP交于點(diǎn)P,若NBPC=40。，則/CAP=（）

C.50°D.60°

3.（2022,江蘇揚(yáng)州,中考真題）如圖，在DABCL（中，BE、DG分別平分ZABC、ZADC,交

AC于點(diǎn)E、G.

（1）求證：（2）過點(diǎn)E作EFJLAB,垂足為尸.若口AB8的周長(zhǎng)為56,

EF=6,求AABC的面積.

4.（2022?河北?九年級(jí)專題練習(xí)）已知OP平分回AOB,BDCE的頂點(diǎn)C在射線。尸上，射線

CD交射線。4于點(diǎn)F,射線CE交射線。8于點(diǎn)G.

（1）如圖1,若CZWM,CESOB,請(qǐng)直接寫出線段CP與CG的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,若0X02=120。，SDCE=^AOC,試判斷線段C尸與CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

模型3.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）

【模型解讀與圖示】

已知如圖1,。尸為NAQB的角平分線，于點(diǎn)尸時(shí)，輔助線的作法大都為延長(zhǎng)

"P交08于點(diǎn)N即可。即可構(gòu)造△P0N之△P0M,有A0MN.是等腰三角形、0P是三

線等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.常見模型如圖2。

L（2022?安徽合肥?一模）如圖，AABC中,4。平分是BC中點(diǎn)，AD±BD,AC=1,

2

CD.

-I2

2.（2022?綿陽市?九年級(jí)期中）在朋5。中，AB=ACf團(tuán)84090,平分朋3c交AC于點(diǎn)D

（1）如圖1,點(diǎn)尸為BC上一點(diǎn)，連接A尸交BD于點(diǎn)E.若求證：3。垂直平分

AF.

（2）如圖2,CESBD,垂足E在的延長(zhǎng)線上.試判斷線段CE1和3D的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

（3）如圖3,點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)、,BEFC=^^ABC,C^EF,垂足為E,EF與AC交于點(diǎn)M.直

接寫出線段CE與線段的數(shù)量關(guān)系.

3.（2022?福建?廈門九年級(jí)期中）如圖，在AABC中，AB=AC,ABAC=90°,

（1）如圖1,3。平分4BC交AC于點(diǎn)。，尸為3c上一點(diǎn)，連接M交于點(diǎn)E.

⑴若AB=BF,求證：3。垂直平分AF；（ii）若AF_LBD,求證：AD=CF.

（2）如圖2,3D平分NABC交AC于點(diǎn)CE±BD,垂足￡在C。的延長(zhǎng)線上，試判斷

線段CE和3。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（3）如圖3,F為BC上一點(diǎn)、,/EFC=-B,

CE±EF,垂足為E,E尸與AC交于點(diǎn)。，寫出線段CE和ED的數(shù)量關(guān)系.（不要求寫出

過程）

4.（2022?安徽黃山?九年級(jí)期中）如圖，在AABC中，ZS4C=90°,AB^AC,D是AC邊

上一動(dòng)點(diǎn)，CE^LBD于E.（1）如圖（1）,若3。平分NABC時(shí)，①求NEC。的度數(shù)；

②延長(zhǎng)CE交班的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，補(bǔ)全圖形，探究3D與EC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）如圖（2）,過點(diǎn)A作AF_LB￡■于點(diǎn)F,猜想線段BE,CE,AF之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明你的猜想.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2022?江蘇常州?一模）如圖，已知四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ)，且ABAC=ADAC,AB=15,

AF

AD=12.過頂點(diǎn)C作CEJ_AB于E,則二二的值為（）

A.A/73B.9C.6D.7.2

2.（202”四川成都?二模）已知，如圖，BC=DC,0B+0D=18O°.連接AC,在AB,AC,AD

上分別取點(diǎn)E,P,F,連接PE,PF.若AE=4,AF=6,EIAPE的面積為4,貝帆APF的面積是

B

A.2B.4C.6D.8

3.（2022?福建?福州立志中學(xué)一模）如圖,0ABC中,0ABe=45。,CD^AB于點(diǎn)、D,BE平分0ABC,

且8￡0AC于點(diǎn)8,交CD于點(diǎn)F,H是BC邊的中點(diǎn)，連接。“交BE于點(diǎn)G,現(xiàn)給出以下

結(jié)論：①0ACDEB尸8D；②AE=CE；③OOGF為等腰三角形；⑥S四邊形ADGE=S四邊形GHCE.其

中正確的有（寫出所有正確結(jié)論序號(hào)）.

4.（2020?重慶市松樹橋中學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，AABC的面積為9cm2,BP平分N4BC,

APJ_BP于P,連接PC,則APBC的面積為cm2.

5.（2020?江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)城西分校八年級(jí)月考）如圖，在AABC中，ZA=90°,AB=AC,

ZABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D.CEXBD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若BD=4,貝|CE=.

B

6.（2021?四川眉山市?八年級(jí)期末）在AABC中，AB=AC,ZBAC=90,BD平分/ABC交AC于

點(diǎn)D.

（1）如圖1,點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E.若AB=BF,求證：BD垂直平分AF.

（2）如圖2,CE±BD,垂足E在B。的延長(zhǎng)線上.試判斷線段CE和B。的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

（3）如圖3,點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，ZEFC=—ZABC,CE±EF,垂足為E,EF與AC交于點(diǎn)直

2

接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系.

7.（2022?北京西城?二模）在AABC中，AB=AC,過點(diǎn)C作射線CQ,使0AC8ML4CB（點(diǎn)夕

與點(diǎn)8在直線AC的異側(cè)）點(diǎn)。是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段BC上，

>EDA￡+a4CD=90°.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AD與CB'的位置關(guān)系是,若BC=a,則C￡）的長(zhǎng)

為;（用含。的式子表示）（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接。E.①用等式

表示44c與NZME之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段BE,CD,OE之間的數(shù)

量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

8.（2022?重慶?二模）已知：如圖1,四邊形A2C。中,ZASC=135°,連接AC、BD,交

于點(diǎn)E,BDLBC,AD=AC.

⑴求證：ND4C=90。；⑵如圖2,過點(diǎn)8作3尸，鉆，交。C于點(diǎn)尸，交AC于點(diǎn)G,若

S,DBF=2S.CBF，求證：AG=CG；⑶如圖3,在（2）的條件下，若4?=3,求線段G尸的

長(zhǎng).

9.（2022?陜西西安?一模）如圖，AAB。和ABCE都是等邊三角形，EL4BC<105°,AE與

oc交于點(diǎn)?

(1)求證：AE=DC；(2)求EIBFE的度數(shù)；(3)若AF=9.17cm,BF=1.53cm,CF=7.53cm,

求CD.

10.(2021?安徽?九年級(jí)期末)如圖，在3c中，AC=BC,A。平分NC4B.

(1)如圖1,若ACB=90°,求證：AB=AC+CD；(2)如圖2,^AB=AC+BD,

求NACB的度數(shù);

(3)如圖3,若NACB=100。，求證：AB=AD+CD.

11.(2022?自貢市九年級(jí)月考)根據(jù)圖片回答下列問題.

(1)如圖①，AD平分/BAC,ZB+ZC=180°,ZB=90°,易知：DBDC.

(2)如圖②，AD平分/BAC,ZABD+ZACD=180",ZABD000,求證：DB=DC.

B

圖③

12.（2022?江蘇?一模）如圖，已知NC=60。，AE,BD是AABC的角平分線，且交于點(diǎn)P.

（1）求NAPB的度數(shù).（2）求證：點(diǎn)尸在NC1的平分線上.（3）求證：（l）PD=PE；②

AB=AD+BE.

C

13.（2022?安徽蕪湖?九年級(jí)期中）如圖，已知，/班。=90。,裾=4。,3。是4/?。的平分線,

且交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：BD=2CE.

E

B

專題07角平分線的重要模型（一）全等類

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識(shí)點(diǎn),

需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn),

本專題就角平分線的全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

模型1.角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型（角平分線+截線段等）

【模型解讀與圖示】

已知如圖1,。尸為NAOB的角平分線、尸河不具備特殊位置時(shí)，輔助線的作法大都為在。8

上截取ON=Q0,連結(jié)PN即可.即有AOMPgAONP，利用相關(guān)結(jié)論解一決問題.

ABIICDnAB+CD=BC

1.（2022?湖北十堰?九年級(jí)期末）在EIABC中，0ACB=2fflB,如圖①，當(dāng)班=90°,AD為團(tuán)BAC

的角平分線時(shí)，在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE,易證AB=AC+CD.

（1）如圖②，當(dāng)回090。，AD為IBBAC的角平分線時(shí)，線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？不需要證明，請(qǐng)直接寫出你的猜想；

（2）如圖③，當(dāng)AD為EIABC的外角平分線時(shí)，線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)

寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明.

【答案】（1）AB=AC+CD-證明見解析；（2）AB+AC=CD-證明見解析.

【分析】（1）首先在AB上截取AE=AC,連接DE,易證I3ADEEHADC（SAS）,則可得EIAED=EIC,

ED=CD,又由回AED=I3ACB,回ACB=2EIB,所以I3AED=2E]B,即回B=E1BDE,易證DE=CD,則

可求得AB=AC+CD；

(2)首先在BA的延長(zhǎng)線上截取AE=AC,連接ED,易證EIEADEBCAD,可得ED=CD,0AED

=0ACD,又由EIACB=2EIB,易證DE=EB,貝l］可求得AC+AB=CD.

【詳解】(1)猜想：AB=AC+CD.

證明：如圖②，在AB上截取AE=AC,連結(jié)。E,

A

^\ZBAD=ZCAD,^AD=AD,

ElAADE^AADC(SAS),

0ZAED=ZC,ED=CD,

SZACB=2ZB,ta/AED=2/B.

aZB=NEDB,

0EB=ED,SEB=CD,

^AB=AE+DE=AC+CD.

(2)猜想：AB+AC=CD.

證明：在54的延長(zhǎng)線上截取AE=AC,連結(jié)ED.

在與ACAD中，AE=AC,ZEAD=ACAD,AD=AD,

E/\EAD^/\CAD.

^ED=CD,ZAED=ZACD.

SZFED=ZACB.

又ZACB=2NB,NFED=ZB+ZEDB,ZEDB=ZB.

^\EB=ED.

團(tuán)EA+AB=EB=ED=CD.

團(tuán)AC+AB=CD.

【點(diǎn)睛】此題考查三角形綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線

的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常

考題型.

2.(2022?山東煙臺(tái)?九年級(jí)期末)已知在AABC中，滿足NACB=2/B,

⑴【問題解決】如圖1,當(dāng)NC=90。，AD為々AC的角平分線時(shí)，在A3上取一點(diǎn)E使得

AE^AC,連接求證：AB=AC+CD.

⑵【問題拓展】如圖2,當(dāng)NC*9O。，AD為㈤。的角平分線時(shí)，在AB上取一點(diǎn)E使得

AE=AC,連接OK,(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你證明：若不成立，請(qǐng)說明理由.

⑶【猜想證明】如圖3,當(dāng)AD為AABC的外角平分線時(shí)，在胡的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E使得

AE^AC,連接。線段AB、AC、8又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你

的猜想給予證明.

【答案】(1)證明見解析

⑵成立，證明見解析

(3)猜想AB+AC=CD,證明見解析

【分析】(1)先根據(jù)&4S定理證出根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得￡E>=CD,

ZAED=ZACD,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得/B=NBDE=45。，然后根據(jù)等腰三角形的

判定可得EB=￡D,從而可得￡B=C。，最后根據(jù)線段和差、等量代換即可得證；

(2)先根據(jù)&4S定理證出AAED三AACD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得即=CD,

ZAED=ZC,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得NB=NBDE,然后根據(jù)等腰三角形的判定可得

EB=ED,從而可得￡B=CD,最后根據(jù)線段和差、等量代換即可得證；

(3)先根據(jù)&4s定理證出△隹￡＞二根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

ZAED:ZACD,從而可得NFED=NACB,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得NB=N3DE,然

后根據(jù)等腰三角形的判定可得歷=ED,從而可得E3=CD,最后根據(jù)線段和差、等量代換

即可得證.

(1)

證明：團(tuán)為44c的角平分線，

^\ZEAD=ZCAD,

AE=AC

在△AED與"⑺中，＜/EAO=/CA。，

AD=AD

回△AED=AACD(5A5),

國(guó)ED=CD,ZAED=ZACD,

又回NACB=90。，ZACB=2ZB9

0ZB=45°,ZA￡D=90°,

BZBDE=ZAED-ZB=45°,

田NB=NBDE,

⑦EB=ED,

國(guó)EB=CD,

0AB=AE+EB=AC+CD.

(2)

解：(1)中的結(jié)論還成立，證明如下：

EIAD為NBAC的角平分線時(shí)，SZEAD=ZCAD,

AE=AC

在△AEE＞與八4。中，，/E4。=/CAD,

AD=AD

^^AED^ACD(SAS),

BZAED=ZC,ED=CD,

⑦ZACB=2NB,

國(guó)NAED=2/B,

又國(guó)ZAED=ZB+ZEDB,

國(guó)NB=NEDB,

國(guó)EB=ED,

團(tuán)EB-CD,

國(guó)AB=AE+EB=AC+CD.

(3)

解：猜想AB+AC=CO,證明如下：

團(tuán)AD平分NEAC,

^ZEAD=ZCADf

AE=AC

在A4ED與"8中「/E4。=NCA。，

AD=AD

團(tuán)△AED^ACD(SAS),

國(guó)ED=CD,ZAED=ZACD,

如圖，團(tuán)180。一NAED=180。一NACD,WfiZFED=ZACB,

?ZACB=2NB,

田/FED=2/B,

又⑦NFED=NB+ZEDB,

⑦ZEDB=ZB,

⑦EB=ED,

^\AB+AE=EB=ED=CD,

團(tuán)AB+AC=CD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定，熟練掌握三角形全

等的判定方法是解題關(guān)鍵.

3.（2022?浙江?九年級(jí)期中）（1）如圖1,在M3C中，她匿=2勖，0C=9O°,AO為何5AC

的平分線交于。，求證：AB=AC+CD.（提示：在A3上截取AE=AC,連接。E）

圖1圖2圖3

(2)如圖2,當(dāng)國(guó)CR90。時(shí)，其他條件不變，線段42、AC,C。又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接

寫出結(jié)果，不需要證明.

(3)如圖3,當(dāng)0AC辦90°,0ACB=20B,為E1ABC的外角EICAE的平分線，交3c的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則線段AB、AC、O又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并加以證明.

【答案】(1)見解析；(2)AB=AC+C￡)；(3)AB=CZ)-AC

【分析】(1)在AB上截取AE=AC,連接DE,根據(jù)角平分線的定義得到回1=02.推出△ACDEHAED

(SAS).根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到I3AED=I3C=9O,CD=ED,根據(jù)已知條件得到回B=45。.求得

0EDB=0B=45°.得到DE=BE,等量代換得到CD=BE.即可得到結(jié)論；

(2)在AC取一點(diǎn)E使AB=AE,連接DE,易證△ABDEHAED,所以EIB=I3AED,BD=DE,又因?yàn)?/p>

0B=20C,所以E1AED=2I3C,因?yàn)镋IAED是AEDC的外角，所以E1EDC=EIC,所以ED=EC,BD=EC,

進(jìn)而可證明AB+BD=AE+EC=AC；

(3)在AB的延長(zhǎng)線AF上取一點(diǎn)E,使得AE=AC,連接DE.證明△ACDEHAED,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得到DE=BE,BE=CD,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在A2上取一點(diǎn)E,使AE=AC

SAD為回54c的平分線

^S\BAD=SCAD.

在△ACD和中,

AE=AC

</BAD=/CAD

AD=AD

^\ACDm\ED(SAS).

團(tuán)朋ED=團(tuán)。=90°,CD=ED,

又回胤4c8二2團(tuán)3,團(tuán)。二90°,

豳3=45°.甌EZ)樂團(tuán)3=45°.

⑦DE二BE,BCD=BE.

^AB=AE+BE,^AB=AC+CD.

(2)證明：在AB取一點(diǎn)E使AC=AE,

圖2

在4ACD和MED中，

AC^AE

<ZBAD=ZEAD/

AD=AD

RO1ACD團(tuán)團(tuán)AED,

釀C二團(tuán)AED,CD=DE,

又釀02團(tuán)B,

釀AED=2回B,

R01AED是AEDC的夕卜角，

甌EDB二團(tuán)B,

團(tuán)ED=EB,

0CD=EB,

團(tuán)AB=AC+CD；

(3)猜想：AB=CD-AC

證明：在5A的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使得AESC,連接OE,

在△AC。和△AED中,

AC=AE

<NCAD=/EAD,

AD=AD

^\ACD^\AED（SAS）,

回她CD=她ED,CD=DE,

^\ACB=^\FED,

又回她C8=2回8

團(tuán)團(tuán)尸瓦）二2回8,

又釀尸皮）二團(tuán)8+^EDB,

加ED3二團(tuán)8,

WE=BE,

國(guó)BE=CD,

^\AB=BE-AE

^\AB=CD-AC.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)于線段和差關(guān)系的證明，通常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短

法.

4.（2022?北京九年級(jí)專題練習(xí)）在四邊形ABDE中，。是5。邊的中點(diǎn).

（1）如圖（1）,若AC平分44E,ZACE=90°,則線段A￡\AB,。石的長(zhǎng)度滿足的數(shù)

量關(guān)系為;（直接寫出答案）

（2）如圖（2）,AC平分44E,￡C平分NA￡Z）,若NACE=120。，則線段A5、5。、。￡、

AE的長(zhǎng)度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明.

【答案】（1）AE=AB+DE；（2）AE=AB+DE+|BD,證明見解析.

【分析】（1）在AE上取一點(diǎn)F,使AF=AB,由三角形全等的判定可證得AACB之4ACF,根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC=FC,ZACB=ZACF,根據(jù)三角形全等的判定證得△CEFgZ\CED,

得到EF=ED,再由線段的和差可以得出結(jié)論；

（2）在AE上取點(diǎn)F,使AF=AB,連結(jié)CF,在AE上取點(diǎn)G,使EG=ED,連結(jié)CG,根據(jù)全

等三角形的判定證得AACB絲4ACF和AECD會(huì)AECG,由全等三角形的性質(zhì)證得CF=CG,進(jìn)

而證得ACFG是等邊三角形，就有FG=CG=gBD,從而可證得結(jié)論.

【詳解】解：（1）如圖（1）,在AE上取一點(diǎn)F,使AF=AB.

圖⑴

：AC平分/BAE,；.NBAC=NFAC.

AB=AF

在AACB和AACF中，^ZBAC=ZFAC.,.AACB^AACF(SAS).；.BC=FC,ZACB=ZACF.

AC=AC

：C是BD邊的中點(diǎn)，；.BC=CD.；.CF=CD.

：/ACE=90°,.?.ZACB+ZDCE=90°,ZACF+ZECF=90°./.ZECF=ZECD.

CF=CD

在ACEF和ACED中，＜ZECF=ZECD.-.ACEF^ACED(SAS).；.EF=ED.

CE=CE

：AE=AF+EF,；.AE=AB+DE.故答案為：AE=AB+DE；

(2)AE=AB+DE+：BD.

證明：如圖(2),在AE上取點(diǎn)F,使AF=AB,連結(jié)CF,在AE上取點(diǎn)G,使EG=ED,連結(jié)

CG.

圖⑵

：C是BD邊的中點(diǎn)，.,.CB=CD=1BD.

；AC平分/BAE,；./BAC=NFAC.

AB=AF

在AACB和AACF中，＜ZBAC=ZFACAAACB^AACF(SAS).；.CF=CB,/BCA=NFCA.

AC=AC

同理可證：△ECDg/\ECG；.CD=CG,ZDCE=ZGCE.

：CB=CD,/.CG=CF.

：NACE=120°,；.NBCA+NDCE=180°-120°=60°.

.*.ZFCA+ZGCE=60".ZFCG=60°.

ZkFGC是等邊三角形.**.FG=FC=yBD.

:AE=AF+EG+FG,;.AE=AB+DE+；BD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，能熟練應(yīng)用三角形全等的判定和

性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

模型2.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）

【模型解讀與圖示】

已知如圖1,0P為NOAB的角平分線、于點(diǎn)M時(shí)，輔助線的作法大都為過點(diǎn)

P作RVLOB即可.即有RW=7W、AOMP”NONP等,利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

A

D

圖3

鄰等對(duì)補(bǔ)模型：已知如圖2,AP是/CA8的角平分線，EP=DP

輔助線：過點(diǎn)尸作PG_LAC、PF±AB

結(jié)論：①ZBAC+ZEPD=1SQ°（A、E、P、O四點(diǎn)共圓）；②DF=EG；③

AD=AE+2DF

1.（2022?北京?中考真題）如圖，在AABC中，AD平分NBACOELAB.若4。=2,?！?1,則

SiACD=

【答案】1

【分析】作OFAC于點(diǎn)孔由角平分線的性質(zhì)推出小=止=1,再利用三角形面積公式

求解即可.

【詳解】解：如圖，作ObLAC于點(diǎn)兄

E1AD平分N&4C,DELAB,DF1AC,^\DF=DE=1,

05MCD=1AC-Z）F=1X2X1=1.故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，通過作輔助線求出三角形AC。中AC邊的高是解題的

關(guān)鍵.

2.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，AABC的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角/ABC的平分

線BP交于點(diǎn)P,若/BPC=40。，則/CAP=（）

【答案】C

【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出NBAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全

等的判定，得出NCAP=/"P,即可得出答案.

【詳解】解：延長(zhǎng)BA,作PN_LB。，PFLBA,PM±AC,設(shè)NPCD=x°,

:CP平分NACO,；.NACP=NPCO=x°,PM=PN,

：BP平分NABC,：.NABP=NPBC,PF=PN,：.PF=PM,

VZSPC=40°,:.NABP=NPBC=NPCD-/BPC=(x-40)°,

AZBAC^ZACD-ZABC^2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,NCAF=100°,

PA=PA

在RtAPEA和RtAP/VM中，｛八廠，

PM=PF

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識(shí),

根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解題的關(guān)鍵.

3.（2022,江蘇揚(yáng)州,中考真題）如圖，在DABCL（中，BE、DG分別平分ZABC、ZADC,交

AC于點(diǎn)E、G.

AD

(1)求證：BE//DG,BE=DG.

(2)過點(diǎn)E作垂足為F.若□ABC。的周長(zhǎng)為56,EF=6,求AABC的面積.

【答案］⑴見詳解⑵84

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)證AABE三ACDG(AS4)即可求證；

(2)作EQ，3C,由S^sc=5AAm+S&EBC即可求解；

(1)證明：在DA5co中，

0AB//Cr),^ZBAE=ZDCG,

DG分別平分NABC、ZADC,ZABC=ZADC,

^\ZABE=ZCDG,

在AASE和ACDG中，

'/BAE=NDCG

回＜AB=CD

AABE=ZCDG

SiAABE^ACDG(ASA),

0BE=DG,ZAEB=NCGD,

QBE〃DG.

(2)如圖，作EQ^BC,

1

團(tuán)口ABCD的周長(zhǎng)為56,

團(tuán)AB+5C=28,

團(tuán)旗平分ZA5C,

團(tuán)EQ=EF=6,

回5AAsc=S詡E+SAEBC=^EF-AB+^EQ-BC=^AB+BC）=84.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)

并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?河北?九年級(jí)專題練習(xí)）已知OP平分0A08,SDCE的頂點(diǎn)C在射線。尸上，射線

CD交射線。4于點(diǎn)凡射線CE交射線02于點(diǎn)G.

（1）如圖1,若CZMOA,CE^OB,請(qǐng)直接寫出線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,若M。3=120。，0DCE=0AOC,試判斷線段CV與CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

【答案】（1）CF=CG；⑵CF=CG,見解析

【分析】（1）結(jié)論CF=CG,由角平分線性質(zhì)定理即可判斷.

（2）結(jié)論：CF=CG,作CM0OA于必CN3O2于N,證明13cMEZBCNG,利用全等三角形

的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：（1）結(jié)論：CF=CG；

證明：OOP平分0A08,CR3OA,CG3O8,

團(tuán)C小CG（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）；

（2）CF=CG.理由如下：如圖，

A

C

D7OB

過點(diǎn)C作CM0OA,CN^OB,

OOP平分她08,CMSOA,CN^OB,EIA（?B=120",

團(tuán)CN=CN（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），

aa40c=回8。。=60。（角平分線的性質(zhì)），

EH￡）CE=a40C,

00A（9C=0BOC=0DCE=6O",

0BMCO=9O°-6O°=30°,E1NCO=90°-60°=30°,

EHMCN=30°+30°=60°,

^MCN^DCE,

^\MCF=^MCN-^\DCN,^NCG=^DCE-^\DCN,

^iMCF=^NCG,

在回MCB和I3NCG中，

'NCMF=NCNG

<CM=CN

4MCF=NNCG

EHMCFEBNCG（ASA）,

0CF=CG（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是掌握角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練證明三角形全等.

模型3.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）

【模型解讀與圖示】

己知如圖1,。尸為NAQB的角平分線，9,0。于點(diǎn)尸時(shí)，輔助線的作法大都為延長(zhǎng)

"P交。8于點(diǎn)N即可。即可構(gòu)造△「。代^△尸。^,有AOMN.是等腰三角形、OP是三

線等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.常見模型如圖2?

p圖10圖2

L(2022?安徽合肥?一模)如圖，A?1BC中,4。平分是BC中點(diǎn)，ADLBD,AC=1,

13

A.1B.2C.-D.-

22

【答案】D

【分析】延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F,先證明AABO=^AFD(ASA),得到BD=DF,。是BP的中

點(diǎn)，再由中位線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)8。交AC于點(diǎn)R如圖

?.,4。平分ZBAC,AD±BD

ZBAD=ZFAD,ZADB=ADF=90°

??,AD=AD

:.^ABD=^AFD(ASA)

.\AB=AF=4,BD=DF

???D是B廠的中點(diǎn),

??.E是BC中點(diǎn)，

113

,\DE=-FC=-(7-4)=-

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)

知識(shí)是解題關(guān)鍵.

2.(2022?綿陽市?九年級(jí)期中)在0ABe中，AB=AC,0BAC=9O,8。平分0ABe交AC于點(diǎn)。.

(1)如圖1,點(diǎn)尸為上一點(diǎn)，連接A尸交2。于點(diǎn)E.若求證：8。垂直平分

AF.

(2)如圖2,C￡03。，垂足E在8。的延長(zhǎng)線上.試判斷線段CE和8。的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

(3)如圖3,點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，CESEF,垂足為E,EF與AC交于點(diǎn)M.直

接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)見解析；(2)BD=2CE,理由見解析；(3)FM=2CE.

【分析】(1)由2。平分EIABC,可得回ABE=I3FBE,可證AABEEIEIFBEISAS),可得AE=FE,回AEB=I3FEB=

；'180。=90。即可；

(2)延長(zhǎng)CE,交BA的延長(zhǎng)線于G,由CE^BD,回ABE=EIFBE,可得GE=2CE=2GE,可證△BADEHCAG

(ASA),可得BD=CG=2CE；

(3)作FM的中垂線NH交CF于N,交FM于H,由FN=MN,MH=FH=；FM,可得E1NMH=I3NBH,

由EIEPC=；0ABe=22.5°,可求回ABC=EIACB=EIMNC=45°,可得NM=CM=FN,由夕卜角

0EMC=0MFC+0MCF=22.5°+45°=67.5°,可求l3ECM=90°-[aEMC=22.5°,可證△FNHH3cME(AAS),

可得FH=CE即可.

【詳解】證明(1)回3。平分0A8C,

0BABE=0FBE,

0BA=BF,BE=BE,

0AABE00FBE(SAS),

回AE=FE,0AEB=fflFEB=yx180°=90°,

0BD垂直平分AF.

(2)BD=2CE,理由如下：

延長(zhǎng)CE,交BA的延長(zhǎng)線于G,

0C￡0BD,I3ABE=I3FBE,

回GE=2CE=2GE,

H3CED=90°=回BAD,0ADB=EEDC,

EBABD=[3GCA,

又AB=AC,0BAD=ECAG,,

EBBADEBCAG(ASA),

回BD=CG=2CE,

(3)FM=2CE,理由如下：

作FM的中垂線NH交CF于N,交FM于H,

EFN=MN,MH=FH=yFM,

00NMH=EINBH,

00￡FC=10ABe=22.5°,

EBMNC=2回NFH=2xga4BC=0ABC,

^AB=AC,團(tuán)BAC=90,

EBABC=I3ACB=EIMNC=45°,

回NM=CM=FN,

H3EMC=EIMFC+l3MCF=22.5°+45°=67.5°,

fflECM=90°-EIEMC=22.5o,

00NFH=0MCE,

又EBFHN=E1E=9O°,

0AFNH00CME(AAS),

0FH=CE,

EFM=2FH=2CE.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段垂

直平分線，三角形外角性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳

角互余，線段垂直平分線是解題關(guān)鍵.

3.（2022?福建?廈門九年級(jí)期中）如圖，在AA5c中，AB^AC,4c=90。，

圖1圖2圖3

（1）如圖平分NABC交AC于點(diǎn)。，F(xiàn)為BC上一點(diǎn),連接AF交3D于點(diǎn)E.

（i）若AB=BF,求證：3D垂直平分AF；

（ii）若AF_LfiD,求證：AD=CF.

（2）如圖2,3。平分NABC交AC于點(diǎn)CE±BD,垂足￡在8的延長(zhǎng)線上，試判斷

線段CE和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖3,F為BC上一點(diǎn),NEFC=；NB,GE_LEF,垂足為E,Er與AC交于點(diǎn)O,

寫出線段CE和尸。的數(shù)量關(guān)系.（不要求寫出過程）

【答案】（1）（0）見解析；（回）見解析；（2）BD=2CE,理由見解析；（3）CE=gFD.

【分析】（1）（回）由等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論;

(0)過點(diǎn)。作CMBAF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)跖如圖1,先根據(jù)AAS證明她8EEBC4M,可

得AE=CM,然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)和等量代換可得aFCM=aEAD,進(jìn)而

可根據(jù)ASA證明0AE。13cM尸，于是可得結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F,如圖2,先利用ASA證明I38CE和回全等，可得CE=EF,

根據(jù)余角的性質(zhì)可得SABD=EIACP,然后利用ASA可證明財(cái)M和EL4cp全等，進(jìn)而可得

=CF,進(jìn)一步即得結(jié)論；

(3)過點(diǎn)/作/GSBA,交AC于"，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖3,先利用ASA證明

^CEF^GEF,可得CE=GE,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和ASA證明

^CGimFDH,于是可得CG=。凡從而可得結(jié)論.

【詳解】(1)(0)證明：SAB=BF,20平分她BC,

國(guó)BEMF,AE=EF,

即50垂直平分AR

(團(tuán))證明：過點(diǎn)C作CM13A尸交A尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)如圖1,

回回3AC=90°,AF^\BD,

團(tuán)朋3E+團(tuán)BAE=90°,^\CAM^BAE=90°9

釀CAM=MBE,

ZAEB=ZAMC

在勵(lì)BE和團(tuán)CAM中,|NABE=ZCAM,

AB=AC

甌ABEW1CAM(A4S),

l?L4E=CM,

^\AF^\BD,AF^CM,

團(tuán)5。團(tuán)CM,

^\FCM=BCBD,

團(tuán)30平分她BC,

^\ABD=BCBDf

SEFCM=^\ABD,

E0FCM=0E4D,

ZEAD=ZFCM

在EL4ED和13aMF中，｛AE=CM,

NAED=NCMF

EEAEDEECW(ASA),

0A￡)=CF；

(2)解:BD=2CE.

理由如下：如圖2,延長(zhǎng)84、CE相交于點(diǎn)尸,

圖2

回&)平分0ABC,

^\ABD=^\CBD,

ZCBE=ZFBE

在團(tuán)8CE和團(tuán)BFE中，,BE=BE

/BEC=/BEF=90°

^BCE^\BFE(ASA),

⑦CE=EF,

回勖AC=90°,CE^\BD,

回朋Cr+RLF=90°,RL45D+團(tuán)b=90°,

mABD=^\ACFf

/ABD=ZACF

在財(cái)8。和gCF中，|AB=AC

ABAC=ZCAF=9()

配L4HOML4c尸(ASA),

⑦BD=CF,

⑦CF=CE+EF=2CE,

⑦BD=2CE.

(3)解：CE=^FD.過點(diǎn)F作尸G08A,交AC于H,交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖3,

圖3

^FG3\AB,回EPC=；EIB,

ffl￡FC=EGF￡,

X0CE0FE,00CEF=0GEF=90%

ZCFE=ZGFE

在IBCEF和回GEF中，＜FE=FE,

ZF￡C=NFEG

^CEF^GEFCASA),

SCE=GE,EPCE=|CG,

0FGHAB,EIA=90°,AB^AC,

00C//G=0D/7F=9O°,CH=FH.

又ffi]GCH=EIDFW,

EHCG/ffi3/*H(ASA),

^\CG=DF.

團(tuán)CE=；F￡).

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三

角形的性質(zhì)等知識(shí)，具有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

4.(2022?安徽黃山?九年級(jí)期中)如圖，在AABC中，N54C=90。，AB^AC,D是AC邊

上一動(dòng)點(diǎn)，CE^LBD于E.

（1）如圖（1）,若平分NABC時(shí)，①求NEC。的度數(shù)；

②延長(zhǎng)CE交胡的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，補(bǔ)全圖形，探究與EC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）如圖（2）,過點(diǎn)A作于點(diǎn)F,猜想線段班，CE,AF之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明你的猜想.

【答案】（1）①NECD=22.5°,②BD=2EC,理由見詳解；（2）BE=CE+2AF,理由見詳解.

【分析】（1）①由題意易得EIABC=E]ACB=45°,則有EICBD=I3ABD=22.5°,進(jìn)而可求I3ECD=EIDBA,

則問題得解；

②由題意易得CE=EF,則可證團(tuán)ABD盟ACF,進(jìn)而可得BD=CF,最后根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求

解；

（2）在BE上截取BH=CE,連接AH,則易證回BHAH3CEA,則有AE=AH,0BAH=SCAE,進(jìn)而

可得回HAE=90。，然后根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系可求解.

【詳解】解：（1）fflZS4C=90°,AB=AC,

00ABC=0ACB=45°,

0BD平分IBABC,

00CBD=0ABD=22.5",

?00ABD+0BDA=EICDE+0ECD=9O<,,0CDE=0BDA,

EEABD=EIECD=22.5°；

②BD=2EC,理由如下：如圖所示：

0CE±B￡),

00CEB=EFEB=9O°,

回BE二BE,

釀CEB釀FEB(ASA),

團(tuán)CE=FE,

團(tuán)團(tuán)DBA+回F=90°,回FCA+回F=90°,

麗DBA二團(tuán)FCA,

回團(tuán)BAD=回CAF=90°,AB=AC,

團(tuán)團(tuán)ABD團(tuán)團(tuán)ACF(ASA),

團(tuán)BD=CF,

回BD=2CE；

(2)BE=CE+2AF,理由如下：

在BE上截取BH二CE,連接AH,如圖,

由(1)易得團(tuán)HBA二團(tuán)ECA,

回AB=AC