2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)某中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：共8個(gè)小題，每小題3分，共24分.

1.（3分）拋物線y=（x-l）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（1,2）B.（1,-2）C.（-1,2）D.（-1,-2）

2.（3分）用配方法解方程f+4x=2,變形后結(jié)果正確的是（）

A.（無一2）2=3B.（x+2>=3C.（無一2了=6D.（x+2）2=6

3.（3分）圖中的五角星圖案，繞著它的中心。旋轉(zhuǎn)w。后，能與自身重合，則〃的值至少是（）

B.72°C.60°D.50°

4.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程爐-4犬+加=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)%的值為（）

A.4C.±4D.2

5.（3分）將拋物線丁=3必+1的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線是（）

A.-2)2—3B.y=3(x+2)2—2C.y=3(x-2)2-3D.-2

6.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).若將AABC以某點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中

心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ADEF,其中A、B、C分別和E、F對(duì)應(yīng)，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是（）

C.(1,-1)D.(0.5,0.5)

-1-

7.（3分）A（-；,%）,3（1,%），04?3）三點(diǎn)都在二次函數(shù)）;=一（％-2）2+%的圖象上，則%，%，%的

大小關(guān)系為（）

A.%<%<%B.%<%<%C.、3<%<%D.丫3<%<%

8.（3分）四位同學(xué)在研究二次函數(shù)y="2+區(qū)一6（“片0）時(shí)，甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=l；

乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=3時(shí)，j=-6；丙同學(xué)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為-8；丁同學(xué)發(fā)現(xiàn)x=3是一元二次方程

以2+陵-6=0（。*0）的一個(gè)根，已知這四位同學(xué)中只有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，則該同學(xué)是（

）

A.甲B.乙C.丙D.丁

二、填空題：共8個(gè)小題，每小題3分，共24分.

9.（3分）方程x2-6x=0的根是.

10.（3分）請(qǐng)寫出一個(gè)開口向上，并且與y軸交于點(diǎn)（0,-1）的拋物線的表達(dá)式是—.

H.（3分）如圖，將AOAB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80。，得到AOC。，若NA=2ND=100。，則的度數(shù).

12.（3分）如圖，己知二次函數(shù)％=0（：2+法+以。40）與一次函數(shù)％=丘+以左30）的圖象相交于點(diǎn)A（-2,4）,

8（8,2）,則辦2+b尤+c=依+b的解是

13.（3分）杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，出自唐朝詩(shī)人白居易的名

句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因.吉祥物一開售，就深受大

家的喜愛.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某商店吉祥物“江南憶”6月份的銷售量為1200件，8月份的銷售量為1452件，設(shè)

吉祥物“江南憶”6月份到8月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為無，則可列方程為一.

14.（3分）若一兀二次方程（％-l）f+3x+左2-1=0有一個(gè)解為工=0,貝1］左=

-2-

15.（3分）汽車剎車后行駛的距離s（單位：加）關(guān)于行駛的時(shí)間f（單位：）的函數(shù)解析式是s=15t-6戶,

汽車剎車后到停下來前進(jìn)了米.

16.（3分）車間里有五臺(tái)車床同時(shí)出現(xiàn)故障.已知第一臺(tái)至第五臺(tái)修復(fù)的時(shí)間如表:

車床代號(hào)ABCDE

修復(fù)時(shí)間（分15829710

鐘）

若每臺(tái)車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失10元，修復(fù)后即可投入生產(chǎn).

（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一臺(tái)車床，則下列三個(gè)修復(fù)車床的順序：①。-BfEfAfC；

②DfAfCfEfB；③CfAfEf33D中，經(jīng)濟(jì)損失最少的是（填序號(hào)）；

（2）若由兩名修理工同時(shí)修理車床，且每臺(tái)車床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟(jì)損失為一元.

三.解答題：共52分，第17-24題，每題5分，第25-26題，每題6分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟

或證明過程.

17.（5分）解方程：2x2-7x+3=0.

18.（5分）若a是關(guān)于x的一兀二次方程爐-3x+9=0的根，求代數(shù)式（a+4）（a-4）-3（a-1）的值.

19.（5分）如圖，AA8C是直角三角形，ZC=90°,將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。.

（1）試作出旋轉(zhuǎn)后的ADCE,其中8與。是對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

（2）在作出的圖形中，已知AB=5,BC=3,求BE的長(zhǎng).

-3-

20.(5分)已知拋物線y=ax2+bx+c(aw0)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)尤與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:

X-2-10123

y50-3-4-30

(1)并畫出圖象；

(2)求此拋物線的解析式；

(3)結(jié)合圖象，直接寫出當(dāng)0<x<3時(shí)y的取值范圍.

21.(5分)已知關(guān)于x的一元二次方程是廠-(〃?+2)x+〃?+l=0.

(1)求證：無論，"取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根是另一個(gè)實(shí)數(shù)根的兩倍，求相的值.

22.(5分)景區(qū)內(nèi)有一塊8x5米的矩形郁金香園地(數(shù)據(jù)如圖所示，單位：米)，現(xiàn)在其中修建一條花道

(陰影所示)，供游人賞花.若改造后觀花道的面積為12平方米，求x的值.

-4-

23.(5分)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出一個(gè)探究問題：制作一個(gè)體積為10力底面為正方形的長(zhǎng)方體包裝

盒(如圖1),當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為多少時(shí)，需要的材料最省(底面邊長(zhǎng)不超過3而，且不考慮接縫).某小組經(jīng)

討論得出：材料最省，就是盡可能使得長(zhǎng)方體的表面積最小.下面是他們的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

(1)設(shè)長(zhǎng)方體包裝盒的底面邊長(zhǎng)為xdm,表面積為ydm2.可以用含尤的代數(shù)式表示長(zhǎng)方體的高為

二dm,根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式：長(zhǎng)方體表面積=2x底面積+側(cè)面積.得到y(tǒng)與尤的關(guān)系式:

X

(0<3)；

(2)列出y與x的幾組對(duì)應(yīng)值：(說明：表格中相關(guān)數(shù)值精確到十分位)

x/dm0.511.522.53

y/dm280.542.031.228.531.3

(3)在圖2的平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象;

(4)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：長(zhǎng)方體包裝盒的底面邊長(zhǎng)約為—加時(shí)，需要的材料最省.

y/dm2A

100

80

24.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=+法+以?！?)的對(duì)稱軸為直線1=%,點(diǎn)

B(2t,n),C(x0,%)在拋物線上.

(1)當(dāng)，=2時(shí)，直接寫出相與幾的大小關(guān)系；

(2)若對(duì)于5</<6,都有機(jī)>為>〃，求才的取值范圍.

-5-

25.(6分)在AA3C中，AB=AC,0°<ZBAC<90°,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)［得到線段AO,連

接30,CD.

(1)如圖1,當(dāng)NA4C=a時(shí)，則乙鉆。=(用含有a的式子表示)；

(2)如圖2,當(dāng)a=90。時(shí)，作的角平分線交5C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.交BD于點(diǎn)E,連接。尸.

①依題意在圖2中補(bǔ)全圖形，并求ND3C的度數(shù)；

②用等式表示線段Ab，CF,。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

26.(6分)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)尸和圖形給出如下定義：如果點(diǎn)尸繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90。得到點(diǎn)P,點(diǎn)P落在圖形M上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點(diǎn)P是圖形M關(guān)于原點(diǎn)。的“伴

隨點(diǎn)已知點(diǎn)A(1,1),B(3,1),C(3,2).

(1)在點(diǎn)尸1(-2,0),尸2(-1，1)，P3(-1，2)中，點(diǎn)是線段A8關(guān)于原點(diǎn)O的“伴

隨點(diǎn)”；

(2)如果點(diǎn)O(m,2)是△ABC關(guān)于原點(diǎn)。的“伴隨點(diǎn)”，直接寫出機(jī)的取值范圍；

(3)已知拋物線)=-(X-1)2+〃上存在關(guān)于原點(diǎn)。的“伴隨點(diǎn)”，求〃的最大值和最小值.

55

44

33

22

-5-4-3-2-1P2345力-5-4-3-2^1j°2345%

-2-2

-3-3

-4-4

-5-5

備用圖備用圖

-6-

參考答案

一、選擇題：共8個(gè)小題，每小題3分，共24分.

1.（3分）拋物線y=（x-l）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)

解：丫=（尤-1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）.

故選：A.

2.（3分）用配方法解方程尤？+4x=2,變形后結(jié)果正確的是（)

A.(x-2)2=3B.(X+2)2=3C.（無一2月=6D.(x+2)2=6

解：x2+4x+4=2+4

(x+2)2=6.

故選：D.

3.（3分）圖中的五角星圖案，繞著它的中心O旋轉(zhuǎn)力。后，能與自身重合，則”的值至少是（）

B.72°C.60°D.50°

解：該圖形被平分成五部分，旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合,

旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為72。,

故選：B.

4.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程/一4了+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

A.4B.-4C.±4D.2

解：.關(guān)于x的一元二次方程/-4x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

/.△=Z72-4ac=(-4)2-4m=0,

解得m=4.

故選：A.

5.（3分）將拋物線y=3必+1的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線是（）

-7-

A.y=3(x+2)2—3B.y=3(x+2)2—2C.y=3(x—2了—3D.y=3(x-2)2-2

解：拋物線丁=3k+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(o,i),

.?向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，

.?.平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-2),

：.得到的拋物線是y=3(x+2)2—2.

故選：B.

6.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).若將AABC以某點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中

心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ADEF,其中A、B、C分別和。、E、E對(duì)應(yīng)，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是()

A.A(0,0)B.(1,0)C.(1,-1)D.(0.5,0.5)

7.(3分)A(-1,%),2(1,%),C(4,%)三點(diǎn)都在二次函數(shù)＞=-。-2)2+上的圖象上，則%,%,%的

大小關(guān)系為()

-8-

A.B-C.%<%<%D.丫3<%<%

解：二次函數(shù)y=-(x-2)2+Z的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=2,點(diǎn)4(-)，%),8(1,%)在對(duì)稱軸的左側(cè)，

由y隨x的增大而增大，有％<%，

由％=-<，x=l,x=4離對(duì)稱軸x=2的遠(yuǎn)近可得，％<%,為<%，因此有％<為<%，

故選：B.

8.(3分)四位同學(xué)在研究二次函數(shù)>="2+匕尤一6(。/0)時(shí)，甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=l；

乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=3時(shí)，>=-6；丙同學(xué)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為-8；丁同學(xué)發(fā)現(xiàn)x=3是一元二次方程

辦2+陵-6=0(。*0)的一個(gè)根，已知這四位同學(xué)中只有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，則該同學(xué)是(

)

A.甲B.乙C.丙D.丁

解：當(dāng)甲同學(xué)的結(jié)論正確，

A

即當(dāng)函數(shù)的對(duì)稱軸是直線X=1時(shí)，=1,

2a

即。二-2a；

當(dāng)乙同學(xué)的結(jié)論正確，

即當(dāng)x=3時(shí)，y=—6時(shí)，9a+3b-6=-6,

可得〃=—3a；

當(dāng)丙同學(xué)的結(jié)論正確，

一J?2—24〃一J??

即當(dāng)函數(shù)的最小值為-8時(shí)，==-8,

4〃4〃

可得。2=8〃；

當(dāng)丁同學(xué)的結(jié)論正確，

即當(dāng)％=3時(shí)，一元二次方程a/+bx—6=0(aw0)的一個(gè)根時(shí)，9〃+3b-6=0,

可得〃=2-3。；

根據(jù)。=-3〃和人=2-3〃不能同時(shí)成立，可知乙同學(xué)和丁同學(xué)中有一位的結(jié)論是錯(cuò)誤的，

假設(shè)丁同學(xué)的結(jié)論錯(cuò)誤，聯(lián)立〃=-2。和b=-3。，

得〃=0,b=0,不滿足〃w0,

故假設(shè)不成立；

假設(shè)乙同學(xué)的結(jié)論錯(cuò)誤，聯(lián)立。=-2〃和。=2-3〃，

-9-

得a=2,b=—4,此時(shí)滿足i>2=8a?

故假設(shè)成立；

故選：B.

二、填空題：本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分.

9.（3分）方程尤2-6%=0的根是0或6.

解：x2—6x=0

BPx{x-6）=0,得尤=0或無=6.

10.（3分）請(qǐng)寫出一個(gè)開口向上,并且與y軸交于點(diǎn)（0,-1）的拋物線的表達(dá)式是=x2-1（答案不唯一）

解：拋物線的解析式為y=/-l.

故答案為：>=犬-1（答案不唯一）.

11.（3分）如圖，將NOAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°，得到NOCD，若NA=2ND=100°,則Za的度數(shù)_50。

解：ZA=2ZD=100°,

ND=50°,

將AOAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°，得到AOCD,

ND=NB=50°,NDOB=80°,

NAOB=180°-ZA-ZB=30°,

Za=ZDOB-ZAOB=50°,

故答案為：50°.

12.（3分）如圖，已知二次函數(shù)%=依2+芯+以。/0）與一次函數(shù)%=區(qū)+僅％片。）的圖象相交于點(diǎn)4-2,4）,

3（8,2）,貝！lax?+6x+c=fcc+b的解是-2或8.

-10-

2

解：：二次函數(shù)％=ax+bx+c(a豐0)與一次函數(shù)y2=kx+b(k^0)的圖象相交于點(diǎn)A(-2,4),2(8,2),

方程ax2+bx+c=kx+b的解是-2或8,

故答案為：-2或8.

13.(3分)杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，出自唐朝詩(shī)人白居易的名

句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因.吉祥物一開售，就深受大

家的喜愛.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某商店吉祥物“江南憶”6月份的銷售量為1200件，8月份的銷售量為1452件，設(shè)

吉祥物“江南憶”6月份到8月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x,則可列方程為_1200(1+x)2=1452-

解：根據(jù)題意得：1200(1+x)2=1452.

故答案為：1200(1+x)2=1452.

14.(3分)若一元二次方程(0l)d+3x+左2_1=0有一個(gè)解為x=o,貝蛛=__1_.

解:一元二次方程(左-1)/+3尤+二-1=0的一個(gè)解為0,

.?.(jt-l)x02+3x0+^2-l=0_a^-17t0,

解得％=-1.

故答案為：-1.

15.(3分)汽車剎車后行駛的距離s(單位：能)關(guān)于行駛的時(shí)間f(單位：)的函數(shù)解析式是，=15-6』,

汽車剎車后到停下來前進(jìn)了21米.

一8一

575

解:.s=15t—6^2=—6(/--)24---，

48

汽車剎車后到停下來前進(jìn)了—米.

8

故答案為：—.

8

16.(3分)車間里有五臺(tái)車床同時(shí)出現(xiàn)故障.已知第一臺(tái)至第五臺(tái)修復(fù)的時(shí)間如表:

車床代號(hào)ABCDE

-11-

修復(fù)時(shí)間(分15829710

鐘)

若每臺(tái)車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失10元，修復(fù)后即可投入生產(chǎn).

(1)若只有一名修理工，且每次只能修理一臺(tái)車床，則下列三個(gè)修復(fù)車床的順序：①。-BfEfAfC；

②DfAfCfE—B；③C—AfEfD中，經(jīng)濟(jì)損失最少的是①(填序號(hào));

(2)若由兩名修理工同時(shí)修理車床，且每臺(tái)車床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟(jì)損失為元.

解：(1)要經(jīng)濟(jì)損失最少，就要使總停產(chǎn)的時(shí)間盡量短，然先修復(fù)時(shí)間短的，即按7、8、10、15、29分

鐘順序修復(fù)，

故選：①；

(2)一名修理工修8分鐘和15分鐘，共需23分鐘，一名修理工修7分鐘和10分鐘和29分鐘共需46鐘，

五臺(tái)機(jī)器停產(chǎn)的總時(shí)間為：

(7x3+10x2+29)+(8x2+15)=101(分鐘)，

101x10=1010(元)

故答案為：1010.

三.解答題：共52分，第17-24題，每題5分，第25-26題，每題6分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟

或證明過程.

17.(5分)解方程：2X2-7X+3=0.

解：原方程可變形為(2x-l)(x-3)=0

2x—1=0或x—3=0,=—,x2=3.

18.(5分)若a是關(guān)于x的一元二次方程-3x+9=0的根，求代數(shù)式(々+4)(4-4)-3(°-1)的值.

解：將x=。代入尤2—3x+9=0得/—3a+9=0,

/./—3a——9,

(?+4)(47-4)-3(^-1)

=/—16—3〃+3

=a?—3a—13

=-9-13

=-22.

19.(5分)如圖，AABC是直角三角形，ZC=90°,將AA5C繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。.

(1)試作出旋轉(zhuǎn)后的ADC石，其中5與。是對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

-12-

(2)在作出的圖形中，已知AB=5,BC=3,求BE的長(zhǎng).

(2)-AB=5,BC=3,ZC=90°,

AC=yjAB2-BC2=正4=4.

NDCE由NABC旋轉(zhuǎn)而成,

CE=AC=4,

E

20.(5分)已知拋物線y="2+6x+c(a20)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:

X-2-10123

y50-3-4-30

(1)并畫出圖象；

(2)求此拋物線的解析式；

(3)結(jié)合圖象，直接寫出當(dāng)0<x<3時(shí)y的取值范圍.

-13-

—

J

—

r

r-1

—A

—

^—

34

rn

II

LJ

-t32-「

1

,1

—

x:

解：（1）根據(jù)列表畫出拋物線圖象如下,

(2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ox+Zzx+c(〃wO),

由題意得：當(dāng)%=0時(shí)，y=—3,

c=—3j

x=l時(shí)，y=-4,當(dāng)兀=一1時(shí)，y=0,

ftz—Z?—3=0

[Q+Z7-3=-4'

解得I，,

[b=-2

：.拋物線的解析式為y=f-2x-3；

(3)y^x2-2x-3^(x-l)2-4,

.,.當(dāng)x=1時(shí)y=-4,

-14-

當(dāng)x=0時(shí)，y=()2_2x0-3=-3,當(dāng)x=3時(shí)，y=3?-2x3-3=0,

.,.由圖象可得，當(dāng)0<x<3時(shí)，-4?y<0.

21.（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程是尤2-（7W+2）X+〃?+1=0.

（1）求證：無論加取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根是另一個(gè)實(shí)數(shù)根的兩倍，求機(jī)的值.

【解答】（1）證明：-△=（/i/+2）2-4xlx（m+l）

=m2+4m+4-4m-4

=m2..Q，

：.無論m取何值，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：設(shè)方程X2-（,〃+2）X+?I+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根玉，x2,

Xj+x2=+2）,XyX2=m+l,且占=2%

/.2m2-m-l=0,

m=--或加=1.

2

22.（5分）景區(qū)內(nèi)有一塊8x5米的矩形郁金香園地（數(shù)據(jù)如圖所示，單位：米），現(xiàn)在其中修建一條花道

（陰影所示），供游人賞花.若改造后觀花道的面積為12平方米，求元的值.

解：根據(jù)題意，得8x5—2x；(8-x)(5—x)=12,

整理，得/_13尤+12=0,

解得：玉=1,%=12,

一園地的寬為5米，而％2=12>5,

-15-

彳2=12不合題意，舍去.

答：x的值為1.

23.（5分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出一個(gè)探究問題：制作一個(gè)體積為10而？，底面為正方形的長(zhǎng)方體包裝

盒（如圖1）,當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為多少時(shí)，需要的材料最?。ǖ酌孢呴L(zhǎng)不超過3而7,且不考慮接縫）.某小組經(jīng)

討論得出：材料最省，就是盡可能使得長(zhǎng)方體的表面積最小.下面是他們的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）設(shè)長(zhǎng)方體包裝盒的底面邊長(zhǎng)為尤dm,表面積為ydm2.可以用含x的代數(shù)式表示長(zhǎng)方體的高為

而z,根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式：長(zhǎng)方體表面積=2x底面積+側(cè)面積.得到y(tǒng)與x的關(guān)系式：_2/+丑

XX

（0<3）；

（2）列出y與％的幾組對(duì)應(yīng)值：（說明：表格中相關(guān)數(shù)值精確到十分位）

x/dm0.511.522.53

y/dm280.542.031.228.531.3

（3）在圖2的平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象;

（4）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：長(zhǎng)方體包裝盒的底面邊長(zhǎng)約為—加時(shí)，需要的材料最省.

y/dm2A

100

80

60

40

20

~O

圖2

C2)1040

解：（1）由題意,y=2x+4xx—=2x2+——

xx

故答案為：y=2x2+—；

x

（2）當(dāng)x=2時(shí)，>=8+20=28.0；

故答案為：28.0；

（3）函數(shù)圖象如圖所示：

-16-

圖

1圖2

(4)觀察圖象可知,當(dāng)x約為2.2勿〃時(shí)，需要的材料最省.

故答案為：22

24.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax?+6x+c(a>0)的對(duì)稱軸為直線x=f,點(diǎn),

B(2t,n),C(x0,%)在拋物線上.

(1)當(dāng)t=2時(shí)，直接寫出〃7與〃的大小關(guān)系；

(2)若對(duì)于5</<6,都有優(yōu)>%>〃，求力的取值范圍.

解：⑴由題意，當(dāng)1=2時(shí)，對(duì)稱軸為直線x=2.

又拋物線。>0,

拋物線開口向上.

二.拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小.

又此時(shí)A(-2,⑼，8(4,〃)，

.-.2-(-2)>4-2.

A點(diǎn)離對(duì)稱軸的距離大于B點(diǎn)離對(duì)稱軸的距離.

m>n.

(2)由題意，1?對(duì)于5<%<6,都有〃

又拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小，

C(x0,%)到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)B到對(duì)稱軸的距離，小于點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離,

hxQ-t\>\2t-t\

[|毛-z|<|z-(-z)|

-17-

①當(dāng)￡>0時(shí)，

?<|x0-Z|<2z.

若％o>/，

/.2t<xQ<3t.

又5</<6,

/.2t?5且%.6.

/.2別—.

2

若不<’,

2t<t-x0<3t.

—2t<XQ<—t.

又5</<6,

/.-21,,5且-1..6.

t—6.

二.此時(shí)無解.

②當(dāng)/<0時(shí)，

—tXQ—11<—2t.

若>/，

—t<XQ—Z<—2t.

/.0<X。<T.

又5<%<6,

—t..6.

/.—6.

若％o</，

——t<ct——XQ<——2t.

-18-

，3t<x0<2t.

又5</<6,

3%,5且2力.6.

”,工且￡..3.

3

此時(shí)無解.

綜上，2別工或北，-6.

2

25.(6分)在AABC中，AB=AC,0°<ABAC<90°,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段A￡>,連

接BD,CD.

(1)如圖1,當(dāng)NBAC=a時(shí)，貝1|乙42。=_90。一a_(用含有夕的式子表示)；

(2)如圖2,當(dāng)。=90。時(shí)，作的角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.交8。于點(diǎn)E,連接。尸.

①依題意在圖2中補(bǔ)全圖形，并求4D8C的度數(shù)；

②用等式表示線段AF,CF,。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解：(1)「將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段

AC=AD,Z.CAD=CL,

/BAD=2a,

AB=AC,

AB=AD,

180。-2a

/ABD==90°-a

2

故答案為：90-a；

(2)①如圖所示:

-19-

D

圖2

AB=AC=AD,ABAD=ABAC+ACAD=90°+ABAC,

z.ZABC=90°-^^,/ABD=竺0°一/乙絲=45。-幺叫

222

ZDBC=ZABC-/ABD=45°；

@DF=42AF-FC,理由如下:

如圖2,過點(diǎn)。作C"_LAF于"，

AB=AD,A/平分/BAO,

，BE=DE,AF1BDf

=45°,

ZDBC=ZEFB=45°,

:.EB=EF=ED,

DF=42EF,

CHLAF,ZEFB=45°,

ZHCF=ZEFB=45°,

...CH=FH,

:.HF=—FC,

2

ZCAF=ZBAF-ABAC=29°+的0-ABAC=45°-

22

/.ZCAF=ZABD,

XZAEB=ZAHC=90°,AB=AC,

\ABE=\ACH{AAS),

CH=AE,

/.AE=HF,

-20-

DF=垃EF=V2(AF-HF)=?AF-芋FC)=42AF-FC.

26.(6分)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的點(diǎn)尸和圖形M,給出如下定義：如果點(diǎn)尸繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°得到點(diǎn)P,點(diǎn)P落在圖形"上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點(diǎn)尸是圖形M關(guān)于原點(diǎn)。的“伴

隨點(diǎn)”.已知點(diǎn)A(b1),B(3,1),C(3,2).

(1)在點(diǎn)Pi(-2,0),P2(-1,1),P3(-b2)中，點(diǎn)P2和尸3是線段。8關(guān)于原點(diǎn)。的“伴

隨點(diǎn)”;

(2)如果點(diǎn)。(m,2)是△ABC關(guān)于原點(diǎn)。的“伴隨點(diǎn)”，直接寫出機(jī)的取值范圍;

(3)已知拋物線y=(X-1)2+〃上存在△ABC關(guān)于原點(diǎn)。的“伴隨點(diǎn)”，求〃的最大值和最小值.

yfy八

5-5-

4-4-

3-3-

2-2-

1-1-

1111A

-5-4-3-2-11012345x-5-4-3-27211°12345a;

-2