2024-2025學(xué)年寶雞市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷附答案解析

2024-2025學(xué)年寶雞市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.設(shè)加，〃是不同的直線(xiàn)，a,/?是不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若冽//%冽///?,則。//6B.若ml/a,nL/3,TnLn,則

C.若冽ua,冽_L/?,則。_L〃D.若加//a,〃_L￡，加//〃，則1//，

2.已知三角形Z3C的三個(gè)頂點(diǎn)分別為4L0）,8（2,-3）,。（3,3）,則43邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方

程為（）

A.x-y=0B.x+y-6=0

C.3%—歹―6=0D.3x+y—12=0

3.過(guò)點(diǎn)尸（1,1）作直線(xiàn)/,與兩坐標(biāo)軸相交所得三角形面積為1,則直線(xiàn)/有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

4.已知圓C:（x-a『+（y-6）2=1過(guò)點(diǎn)則圓。的圓心的軌跡是（）

A.點(diǎn)B.直線(xiàn)C.線(xiàn)段D.圓

5.若a?+b?=2c2（cWO）,則直線(xiàn)ax+by+c=O被圓x?+y2=l所截得的弦長(zhǎng)為（）

1J2I-

A.-B.1C.—D.V2

22

6.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體/5CQ—45/CD,AB=\,BC=2,AAi=3,則點(diǎn)B

到直線(xiàn)小。的距離為（）

生G

fl

7.P是橢圓土+匕=1上一點(diǎn)，K、鳥(niǎo)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若忸周忸用=12,則4坐的

169

大小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

8.若圓G與圓C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過(guò)點(diǎn)（4,1）,則兩圓心的距離|CC2|等于（）

A.4B.4V2C.8D.872

二、多選題（本大題共3小題）

9.下列說(shuō)法中正確的是（

A.加=1是直線(xiàn)加工-歹二1與直線(xiàn)％-叩-1=0平行的充分不必要條件

B.加=1是直線(xiàn)必->=1與直線(xiàn)x+m2y-l=0垂直的充分不必要條件

C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（3,2）,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相反的直線(xiàn)方程是x-）-1=0

D.若一條直線(xiàn)沿％軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿〉軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來(lái)

2

的位置，則該直線(xiàn)的斜率為

10.已知圓:一+/=/，圓G：（%-。）2+（丁-92=/2,（r>0,且。，6不同時(shí)為。）交于不同的

兩點(diǎn)/（%,乂），8（%2，%），下列結(jié)論正確的是（）

A.。（占一工2）+6（%一%）=0

B.2axi+26%=a2+b2

C.再+%=。

D.%+%=2Z?

ii.一塊正方體形木料如圖所示，棱長(zhǎng)為打，點(diǎn)尸在線(xiàn)段4G上，且整=6-1,過(guò)點(diǎn)尸將木料

A.PC1BD

B.截得的兩個(gè)幾何體分別是三棱柱和四棱臺(tái)

C.截面的面積為2G

D.以A為球心，43為半徑的球面與截面的交線(xiàn)長(zhǎng)為叵

2

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，^（1,0,0）,3（0,-U）,若次+2湍與礪的夾角為120。，則實(shí)數(shù)2=

2

13.如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)片，心在五軸上，48是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn),

且軸，PFJ/AB,則此橢圓的離心率是.

14.已知直線(xiàn)/：〃a-了+2加=0與曲線(xiàn)C：y=2-"^P"有兩個(gè)交點(diǎn)，則加的取值范圍

為.

四、解答題（本大題共5小題）

15.設(shè)48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為卜石刀），（V5,0）.直線(xiàn)4攸，可相交于點(diǎn)且它們的斜率之積

是T

⑴求點(diǎn)河的軌跡方程.

⑵若尸（0,1）,在M的軌跡上任取一點(diǎn)。（異于點(diǎn)P）,求線(xiàn)段P。長(zhǎng)的最大值.

16.已知a,b,c分別為V48c三個(gè)內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊，JIacosC+V3asinC-6-c=0.

⑴求力;

（2）若a=2,則V4BC的面積為g,求6,c.

17.從兩名男生（記為及和與）、兩名女生（記為G|和&）中任意抽取兩人.

（1）分別寫(xiě)出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.

（2）在三種抽樣方式下，分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率.

18.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面A8C。為直角梯形，AD//BC,CDl^D,AD=CD=2BC=2,

平面PAD_L平面ABCD,PA_LPD,P4=PD.

(1)求證：CDVPA

3

(2)求平面APB與平面PBC夾角的余弦值；

PM

⑶在棱尸3上是否存在點(diǎn)使得平面尸N8?若存在，求正的值；若不存在，說(shuō)明理由.

19.已知點(diǎn)。為圓〃：(x-2)2+/=4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N(6,0),延長(zhǎng)N0至點(diǎn)S使得。為NS的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)S的軌跡方程.

⑵過(guò)圓W外點(diǎn)尸向圓M引兩條切線(xiàn)，且切點(diǎn)分別為43兩點(diǎn)，求用.而最小值.

⑶若直線(xiàn)/：y=H+3與圓M交于。E兩點(diǎn)，且直線(xiàn)的斜率分別為K，e，則匕+&是否為

定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

1.【答案】C

【詳解】對(duì)于A,由“〃/機(jī)//，可能得到%平行于久"的交線(xiàn)，不一定有a//￡,即A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,不妨取正方體的一部分如下圖所示：

此時(shí)機(jī)//%〃_1_夕,機(jī)_1_〃，可得e//。，即B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由面面垂直的判定定理即可得出C正確；

對(duì)于D,由加〃￡,〃_1夕,機(jī)//〃可得機(jī)-17?,可在平面a內(nèi)找一條直線(xiàn)/滿(mǎn)足/J■夕，可得a_L〃，即

D錯(cuò)誤.

故選：C

2.【答案】C

【詳解】邊的中點(diǎn)為

y-3_x-3

???43邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程三二二廠，即3x-y-6=0.

J3

2-----2

故選：C

3.【答案】B

【詳解】由題意可知，直線(xiàn)的斜率存在，則設(shè)直線(xiàn)的方程為歹-1=左(工-1)(左W0),

令x=0,解得)=1-左；令)=0,解得x=l_?.

k

4

化為(k-l)2=±2左，即*一4上+1=0①，F(xiàn)+l=0@,

由于方程①A>0,方程②無(wú)解，可得兩個(gè)方程共有2個(gè)不同的解.

因此直線(xiàn)/共有2條.

故選：B.

4.【答案】D

【詳解】圓C的圓心為(。力)，半徑為1.由于A在圓C上，故(1-『+62=1,也即圓C的圓心(。,6)

滿(mǎn)足方程所以圓C的圓心的軌跡方程是=1,所以圓C的圓心的軌跡是

圓.

故選：D

5.【答案】D

\C\1(1：

【詳解】試題分析：因?yàn)榱?忑，所以設(shè)弦長(zhǎng)為/,貝！I(+d2=r2,即/=2必工7=夜?

考點(diǎn)：本小題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系——相交.

6.【答案】B

【詳解】過(guò)點(diǎn)8作AB垂直4C,垂足為E,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,y,z),貝UN/(0,0,3),5(1,0,0),

C(l,2,0),丘=(1,2,-3),rk=(x,y,z-3),焦=。-1,y,z).

\A：E//A：C

因?yàn)?，所?2-3,

BE*AiC=QIjr—1+2v?—3z=。

r5

解得<y=y>所以麗=(一,，1)>

6

,Z=7

所以點(diǎn)3到直線(xiàn)AiC的距離|赤尸處回1,

7

故答案為B

7.【答案】B

22

【詳解】?:P是橢圓上+匕=1上一點(diǎn)，K、￡分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，

169

尸團(tuán)+|尸蜀=8,閨閶=24

5

???1^1-1^1=12,

.?.(忸用+|尸閭)2=64,

:.\PFf+\PF^-40,

在鉆尸石中，cosZ^=440——=-1,

2x122

/.ZF{PF2=60°,

故選3.

8.【答案】C

【解析】：兩圓與兩坐標(biāo)軸都相切，且都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,1),...兩圓圓心均在第一象限且每個(gè)圓心的橫、

縱坐標(biāo)相等.設(shè)兩圓的圓心坐標(biāo)分別為(生。),(6,6),則有(4七)2+(1七)2=后,(41)2+(11)2=死

即a,b為方程(4-x)2+(l-x)2=》2的兩個(gè)根,整理得x2-10x+17=0,/.a+b=\0,ab=17.

(a-b)2=(a+b)2-4a6=100-4x17=32,

|CiCi\=^(ci—b)2+(a—b)2=V32x2=8.

9.【答案】BD

777—1—1

【詳解】對(duì)A,若直線(xiàn)必―>=1與直線(xiàn)x—叼—1=0平行，即一二一w—o加=—1,

1—m—1

故機(jī)=1是直線(xiàn)mx-V=l與直線(xiàn)x-W-1=0平行的即不充分又不必要條件，A錯(cuò)；

對(duì)B,直線(xiàn)mx—=1與直線(xiàn)x+1"?>一1=0垂直,HPm-=0<=>m=0或〃？=1,

故機(jī)=1是直線(xiàn)蛆-了=1與直線(xiàn)工+機(jī)2了-1=0垂直的充分不必要條件，B對(duì)；

對(duì)C,截距相反的直線(xiàn)可能過(guò)原點(diǎn)，C錯(cuò)；

對(duì)D,該直線(xiàn)顯然有斜率，設(shè)直線(xiàn)為"+勿+c=0,則沿x軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿V軸向

上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后的直線(xiàn)為a(x+3)+b(y-2)+c=0,

即有a尤+6y+c+3tz—2Z>=0,由兩直線(xiàn)重合貝!］有3a—26=0=4==—,D對(duì).

b3

故選：BD

10.【答案】ABC

【詳解】根據(jù)題意：圓G：x2+/=/和圓C2:(x-ay+(y-b)2=/(廠>0)

交于不同的兩點(diǎn)N,B,

兩圓方程相減可得直線(xiàn)48的方程為：a2+b2-2ax-2by=0,

即2ax+2by-a2-b2=0,

6

分別把點(diǎn)4（無(wú)力yi）,B{X2,丫2）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入2QX+2勿-/一/二0得：

2axi+—tz2—Z>2=0,2ax?+2by?-a?—=0,

上面兩式相減得：2a（石-9）+2b（%-％）=0,即。（再-工2）+伙%）=。，所以選項(xiàng)A正確；

由上得：23+2加=/+/,所以選項(xiàng)B正確；

???兩圓的半徑相等，

，由圓的性質(zhì)可知，線(xiàn)段與線(xiàn)段互相平分，

EI-占+0+。。+歹20+6b

貝JJ==,==—，

222222

變形可得再+%=。，%+%=6，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.【答案】ACD

【詳解】對(duì)于A,/CG4是正方體/BCD-45c〃的對(duì)角面，則四邊形/CG4為矩形，ACHAXCX,

由C￡_L平面/BCD,BDu平面得CQ工BD,而4C上8D,

ACnCC^C,AC,CGu平面ACCXAX,則&D/平面ACCXAX,

又尸Cu平面NCG4，因此尸A正確；

對(duì)于B,過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)平行于用G交4g，G2分別于N,M,連接BN,CM,

顯然MN//4G//BC,則四邊形為過(guò)點(diǎn)尸及直線(xiàn)BC的正方體的截面，

截得的兩個(gè)幾何體分別是三棱柱和四棱柱，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由選項(xiàng)B得，（=m=W，則C]M=1,CM=J（V3）2+12=2?

因此截面矩形BC九W面積S=8C-CM=2VLC正確；

對(duì)于D,過(guò)A作力O_L3N于O,由3C_1_平面48片4,ZOu平面48耳4，

得40上BC,而B(niǎo)NCBC=B,BN,BCu平面BCMN,貝1J4。_L平面BCWV,

因此。為以A為球心，NB為半徑的球面被平面8CW所截小圓圓心，

球面與截面的交線(xiàn)為以。為圓心，8。為半徑的半圓弧，顯然NBAO=NB\BN=30。，

B0，AB=2,因此交線(xiàn)長(zhǎng)為叵，D正確.

222

故選：ACD

7

12.【答案】-逅

6

【詳解】。(0,0,0),A(l,0,0),5(0,-1,1),

04+203=(1,-A,㈤，OB=(0,-1,1),

UU±UULU,---,,..、r

CM+；IOB與03的夾角為120。,

.?.cosl200=(與―」)=〒衛(wèi)

Vl+2/l2-42V1+2A2-V22

解得八_逅.

6

故答案為：-逅

6

13?【答案】用

5

22

XV

【詳解】根據(jù)題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/十記=1(Q>b>0)f

如圖所示則有片（-。,0）,乙（G0）,4（。,0）1（0,6）,

直線(xiàn)3方程為一，代入方程可得所以尸卜，口，

又PF拼AB,所以上巡=薪，

即1°…,整理可得6=2c；

-c-c0一。

…r21

所以=Z?2+=4c2+c2=5c2，BP—=-,

a5

即可得橢圓的離心率為e，=J：=/=@

a\a2V55

故答案為：叵

5

14.【答案】

【詳解】由題意得，直線(xiàn)/的方程可化為y=〃?（x+2）,所以直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)4-2,0）,

8

又曲線(xiàn)了=2-，4二7可化為/+（〉一2）2=4（04^42）,其表示以（0,2）為圓心，半徑為2的圓的下

半部分，如圖.

\-2+2m\

當(dāng)/與該曲線(xiàn)相切時(shí)，點(diǎn)（0,2）到直線(xiàn)的距離解得加=o,

7m+1

72-01

設(shè)2（2,2）,則卜近2_（_2）=5'

由圖可得，若要使直線(xiàn)/與曲線(xiàn)y=2-4?有兩個(gè)交點(diǎn)，須得0＜加

即m的取值范圍為.

故答案為：［o,1.

2

15.【答案】⑴,+/=1(/土行)

（2）1

【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)無(wú)，》）,因?yàn)?卜囪,0）,如下圖所示:

所以直線(xiàn)的斜率勤=六（"

同理直線(xiàn)BM的斜率kBM=*丫加（xW逐卜

-1(x^±V5),化簡(jiǎn)可得］+/=l(xw

由已知可得=

X+A/5x-75

2

即點(diǎn)M的軌跡方程為獲+必=1卜/±碼，即點(diǎn)M的軌跡是除去卜石,0）,（技0）兩點(diǎn)的橢圓.

（2）設(shè)。（/，為），則^_+%2=1,

9

所以忸考+(%-1)2=5-5*+(%_琰，

即間「=-2yo+6=-4b°+；)+*,

根據(jù)橢圓范圍可得

1,75

所以為=-:時(shí)，I尸。I最大為寧,

所以線(xiàn)段尸。長(zhǎng)的最大值為g.

16.【答案】（1）5

（2）b=c=2

【詳解】（1）根據(jù)正弦定理可得sinZcosC+Gsin/sinC=sin3+sinC,

又易知sin易+C）=sinB,

所以sinAcosC+VJsinAsinC=sin（Z+C）+sinC,

可得sinAcosC+V3sin^4sinC=sinAcosC+cos74sinC+sinC,

又sinCwO,整理得6sin/-cosZ=l,即$出（/-。=；，又/e（0,兀），

所以N_巴=烏，即/=巴.

663

（2）由/=乙，S=—besinA=-\/3,得be=4.

32

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA,

所以6+c=4,又bc=4,所以6=c=2.

17.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）0.25;0.167;0

【解析】（1）設(shè)第一次抽取的人記為不，第二次抽取的人記為馬,則可用數(shù)組（網(wǎng),％）表示樣本點(diǎn).，

有放回地抽樣，任取一個(gè)，然后與所有的組合，包括自身；無(wú)放回抽樣，任取一個(gè)，然后與剩

下的所有組合；按性別等比例分層抽樣，取一個(gè)男的，只能與一個(gè)女的組合，同樣取一個(gè)女的，

只能與一個(gè)男的組合.這樣可一一列舉出所有樣本點(diǎn).

（2）分別求出各種抽樣中事件A所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后計(jì)算概率.

【詳解】解：設(shè)第一次抽取的人記為毛，第二次抽取的人記為馬,則可用數(shù)組（國(guó),%）表示樣本點(diǎn).

（1）根據(jù)相應(yīng)的抽樣方法可知：

有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間

10

Q=｛（4,⑷,（昂矽，（4GJ,（綜G2）,（巴,⑷,（鳥(niǎo)㈤）,（刀,G）,（鳥(niǎo),GJ,

（G，g）,（G，芻）,（G|,GJ,（GI,GJ,G，4）,6也）,（&q）,（0,G2）｝

不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間

5=｛（耳,鳥(niǎo)）,（旦居）,（耳?）,（不國(guó)）,（功,5）,（坊&）,（G由）,（G，與）,（GO，

@,4）,但也）,6，5）｝

按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再?gòu)呐谐橐蝗耍錁颖究臻g

R=｛（綜GJ,（綜G?）,區(qū),5）,（層?）｝

（2）設(shè)事件/="抽到兩名男生”，則

對(duì)于有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，/=｛（昂耳）,（昂當(dāng)），（2心），（%芻）｝，

因?yàn)槌橹袠颖究臻gR中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型.因此

4

P（A）=—=0.25.

v716

對(duì)于不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，/=｛（厚層）,（當(dāng)出）｝,

因?yàn)槌橹袠颖究臻g。2中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型.

21

因止匕尸（/）=歷=/。0.167

因?yàn)榘葱詣e等比例分層抽樣，不可能抽到兩名男生，所以工=0,因此P（，）=0.

18?【答案】（1）證明見(jiàn)詳解

⑵*

（3）不存在，理由見(jiàn)詳解

【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?8cD,平面平面=，

且CD_L4D,CDu平面/BCD,可得CD_L平面尸ND,

因?yàn)椤╱平面尸/O,所以CD,尸/.

（2）取/。中點(diǎn)。，連接。己。5,

因?yàn)?則尸OL4D,

因?yàn)槠矫媸?DJ■平面48CD,平面PADc平面48a>=40,POu平面P4D,

可得尸O_L平面/BCD,

由CM,O3u平面4BCD,可得尸OLGM,尸,

因?yàn)?。_LAD,BCHAD,AD=2BC,則BC//OD,BC=OD,

11

可知四邊形O3CD是平行四邊形，則O3L4D,

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4。8,。尸為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則0(0,0,0),4(1,0,0),2(0,2,0),C(-l,2,0),Z)(-l,0,0),尸(0,0,1).

可得不=(-1,0,1),麗=(0,2,-1),費(fèi)=(1,0,0),

元'4P——JQ+z—0

設(shè)平面4P2的法向量為k=(x,y,z),貝!){_."

n-PB=2y-z=Q

令3=1,貝l]x=z=2,可得拓=(2,1,2)；

m-CB=。=0

設(shè)平面PBC的法向量為所=(a,6,c),貝卜

m-PB=2b-c=Q

令6=1,則。=0,c=2,可得而=(0,1,2)；

E——n-m5V5

mcosn^m=ww\=^~^

所以平面APB與平面PBC夾角的余弦值為』L