藝考生專題講義01 集合

考點一集合知識梳理1．集合與元素(1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、Venn圖法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN＋(或N*)ZQR(5)集合的分類若按元素的個數(shù)分類，可分為有限集、無限集、空集；若按元素的屬性分類，可分為點集、數(shù)集等．特別注意空集是一個特殊而又重要的集合，如果一個集合不包含任何元素，這個集合就叫做空集，空集用符號“?”表示，規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解題時切勿忽視空集的情形．2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號語言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)A?B真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中AB集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互為子集A＝B子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：一個集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.3.全集與補集(1)如果一個集合包含了我們所要研究的各個集合的全部元素，這樣的集合就稱為全集，全集通常用字母U表示；(2)對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．4.集合的運算集合的并集集合的交集集合的補集圖形符號A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?UA＝{x|x∈U，且x?A}5.集合關(guān)系與運算的常用結(jié)論(1)子集個數(shù)公式：若有限集A中有n個元素，則A的子集個數(shù)為2n個，非空子集個數(shù)為2n－1個，真子集有2n－1個．(2)A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B．(3)(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．題型一元素的特征【例1】已知，則實數(shù)的值為()A． B． C．或 D．無解【答案】B【解析】因為，當(dāng)時，那么，違反集合元素的互異性，不滿足題意，當(dāng)時，，集合為滿足題意，實數(shù)的值為，故選B.【舉一反三】1．已知，則實數(shù)a的值為()A．1或 B．1 C． D．或0【答案】C【解析】當(dāng)時，得，此時，不滿集合中元素的互異性，不合題意；當(dāng)時，得，若，則，不滿集合中元素的互異性，不合題意；若，則，滿足.故選：C2．(多選)已知x∈{1，2，x2}，則有()A． B． C． D．【答案】BC【解析】由x∈{1，2，x2}，當(dāng)，不滿足集合中元素的互異性；當(dāng)，滿足集合中元素的互異性，符合題意；當(dāng)或(舍)，當(dāng)滿足集合中元素的互異性，符合題意；故選：BC.3．已知集合，則集合中元素的個數(shù)為()A．5B．4C．3D．2【答案】C【解析】由,得,故.集合中元素的個數(shù)為3,選C.4．已知集合，若，則__________．【答案】1【解析】依題意，分別令，，，由集合的互異性，解得，則.故答案為：題型二子集的個數(shù)【例2】已知集合，則集合A的子集個數(shù)為()A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【解析】由，得，得，所以，因為，所以或，所以，所以集合A的子集個數(shù)為.故選：A【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】先化簡集合，再判斷集合中元素的個數(shù)，然后代入對應(yīng)公式【舉一反三】1．集合的非空子集個數(shù)為()A．3 B．4 C．7 D．8【答案】A【解析】,集合共有個子集，非空子集個數(shù)為4-1=3個，故選：A2．已知集合，集合，則集合的子集個數(shù)為()A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】∵，，∴，∴集合的子集個數(shù)為8個，故選：D.3．已知集合，則集合的真子集個數(shù)為()A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以，集合的真子集個數(shù)為.故選：A.4．設(shè)集合，，，則M中元素的個數(shù)為()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由題意知，則x的可能取值為5,6,7,8.因此集合M共有4個元素，故選B.題型三集合間的關(guān)系【例3】(1)已知集合，，若，則實數(shù)的取值集合為()A． B． C． D．(2)設(shè)集合，，若，則的最大值為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】(1)D(2)B【解析】(1)∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N?M，∴當(dāng)a=0時，N=?，成立；當(dāng)a≠0時，N={}，∵N?M，∴或=1．解得a=﹣1或a=1，綜上，實數(shù)a的取值集合為{1，﹣1，0}．故選D．(2)由題，，∵，∴，∴的最大值為2.故選：B．【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】子集求參數(shù)時要注意兩點子集有參數(shù)時，分子集為空集和非空集只有里實外空不取等號【舉一反三】1．已知集合，則下列關(guān)系中：①；②；③；④；表述正確的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】集合，則；；；表述均正確.故選：.2．已知集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，則由實數(shù)a的所有可能的取值組成的集合為()A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時,，滿足條件，所以，當(dāng)時,，由B?A得或，所以或，因此由實數(shù)a的所有可能的取值組成的集合為故選：D3．(2020·定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高三月考(文))已知集合，非空集合，，則實數(shù)的取值范圍為().A． B． C． D．【答案】B【解析】，由且為非空集合可知，應(yīng)滿足，解得故選：B題型四集合間運算【例4】(1)已知集合P=，，則PQ=()A． B．C． D．(2)設(shè)集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，則A∪B=()A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}(3)設(shè)全集，集合，則()A． B． C． D．【答案】(1)B(2)C(3)C【解析】(1)故選：B(2)故選：C(3)由題意結(jié)合補集的定義可知：，則.故選：C.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】解指數(shù)對數(shù)不等式式注意以下幾點數(shù)字換成同底的指數(shù)或?qū)?shù)借助指數(shù)對數(shù)的單調(diào)性，即底數(shù)大于1，不等號方向不變；指數(shù)在（0,1）之間，不等號方向改變對數(shù)的真數(shù)要大于0，這是易錯點根式：開偶次方根，根式大于等于0分式：分母不等于0【舉一反三】1.設(shè)集合，，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】先解不等式得，解絕對值不等式得，所以.故選：B.2．已知集合，，那么()A． B．C． D．【答案】C【解析】根