課時(shí)作業(yè)24 導(dǎo)數(shù)與不等式、零點(diǎn)（教師版）

課時(shí)作業(yè)24導(dǎo)數(shù)與不等式、零點(diǎn)1．(2024·山東菏澤市·高三一模)已知函數(shù).(1)若有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍;(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)或；(2).【解析】(1)由有唯一零點(diǎn)，可得方程，即有唯一實(shí)根，令，則由，得由，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，又所以當(dāng)時(shí)，;又當(dāng)時(shí)，由得圖象可知，或.(2)恒成立，且，恒成立，令，則，令，則，在單調(diào)遞減，又，由零點(diǎn)存在性定知，存在唯一零點(diǎn)，使即，兩邊取對(duì)數(shù)可得即由函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，可得，所以當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以即的取值范圍為.2．(2024·浙江高三月考)已知函數(shù).(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的值；(2)若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】(I)，，又，故是的極大值點(diǎn)，所以，；另一方面，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，恒成立(II)當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，又，故在區(qū)間有唯一實(shí)根，①若，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，故在區(qū)間至多有一個(gè)實(shí)根，不符合題意，②若，令，()是方程的兩不同實(shí)根，則，則故在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.()，，，，同可證.取，.取，，.故在，，各存在一個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．(2024·湖北荊門市·高三月考)已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)記的極值點(diǎn)為，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】解：(1)由得，∵函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，∴在上不單調(diào)，∴，令得，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極大值為，∴，∴.∵時(shí)，時(shí)，∴的取值范圍是.(2)由(1)知，∵，∴，∴.令，，則，且，要證，只需證.下面先證明，這只要證明，設(shè)，所以只要證明，設(shè)，則，所以遞增，則成立.于是得到，因此只要證明，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上遞減，在上遞增，則，即成立.4．(2024·遼寧高三其他模擬())已知函數(shù)．(Ⅰ)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；(Ⅱ)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，.(Ⅱ)設(shè)函數(shù)，則，令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得，所以當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)，至多一個(gè)零點(diǎn)不符合題意舍去.當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，且．又因?yàn)椋?，所?得在，為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，，又因?yàn)?，，且圖象連續(xù)不斷，所以存在唯一，使得，存在唯一，使得，又因?yàn)椋?，?dāng)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，.5．(2024·山西晉中市·高三二模())已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)對(duì)，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【解析】(1)，令，①當(dāng)時(shí)，，在上，，所以單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí)，，令，得，且，所以當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減．③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上，，所以單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，令，得，且，所以當(dāng)或時(shí)，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減．綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)因?yàn)?，根?jù)(1)的討論可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以成立．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，所以存在使得，故此時(shí)不成立．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意．綜上可得：．6．(2024·湖南永州市·高三二模)已知函數(shù)，.(1)討論在上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)答案見解析；(2)有3個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增；若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時(shí)，，令，得，令，則，所以為奇函數(shù)，且，所以0是的一個(gè)零點(diǎn)，令，則，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，則當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上的零點(diǎn)為，所以在上有3個(gè)零點(diǎn)，分別為，0，，所以在上有3個(gè)零點(diǎn).7．(2024·全國高三開學(xué)考試())已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的極大值；(2)當(dāng)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，令，在區(qū)間上單調(diào)遞減；，存在，使得，所以函數(shù)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.所以函數(shù)存在唯一的極大值.(2)由，即令，在區(qū)間上單調(diào)減函數(shù)，，只要即可，即.8．(2024·全國高三開學(xué)考試())已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)對(duì)任意，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)由題意得，的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)要證，即證.令，則.令，則，易得在上單調(diào)遞增，且，，∴存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∵，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴.綜上，，即.9．(2024·湖北武漢市·高三月考)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，恒成立.【答案】(Ⅰ)0；(Ⅱ)證明見解析.【解析】(Ⅰ)時(shí)，，定義域?yàn)?，求?dǎo)，設(shè)，，在單調(diào)遞增.又，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故在處取得最小值.(Ⅱ)設(shè)，求導(dǎo).設(shè)，，，∴時(shí)，單調(diào)遞減，.，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，故，時(shí)，.即，在上單調(diào)遞減，則時(shí)，.由(Ⅰ)知，，故時(shí)，.即恒成立.10．(2024·全國高三其他模擬)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2)【解析】(1)，，，當(dāng)時(shí)，令，解得：或，當(dāng)，即，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，即，則，等號(hào)不恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)，即，即，即①，當(dāng)時(shí)，①式恒成立，；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，①式恒成立,；以下求當(dāng)時(shí)，不等式恒成立時(shí)正數(shù)的取值范圍，令，則，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，，，等號(hào)不恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故，，時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，①式恒成立；當(dāng)時(shí)，，，，故的兩個(gè)零點(diǎn)，即的兩個(gè)零點(diǎn)和，在區(qū)間上，，，是減函數(shù)，又，，即當(dāng)時(shí)，①式不能恒成立.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.11(2024·江西上饒市·高三一模())已知.(1)若，討論的單調(diào)性；(2)，，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】(1)答案見解析；(2).【解析】(1)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，則，當(dāng)，；當(dāng)，；∴在遞增，在上遞減，∴，∴，∴在上遞增．(2)，由，，∴可得，令，則在上遞增，由，且當(dāng)時(shí)，，∴，∴使得，且當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即，∴在遞增，在遞減，∴，由，∴，由得即，由得，∴，設(shè)，則，可知在上遞增∴，即∴實(shí)數(shù)的最小值為．12．(2024·四川成都市·石室中學(xué)高三月考())已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)函數(shù)定義域?yàn)?，且，，令，判別式，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以，∴在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，由，解得，，若，則，∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；若，則，∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；綜上所述：時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，且，∵函?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，∴在上有兩個(gè)不等實(shí)根，，記，則，∴，從而由且，可得，，構(gòu)造函數(shù)，，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，即證.13．(2024·江蘇連云港市·高三開學(xué)考試)已知函數(shù)，，.(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，；(2)討論在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)證明見解析；(2)當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)令，所以當(dāng)時(shí)，，，所以.所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)，有，∴在上恒成立.(2).所以，設(shè)，，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，而，所以，即恒成立，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).②當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，而，所以，所以在上遞增，因?yàn)?，所以是唯一零點(diǎn)，此時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).③當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，而，，所以存在，有，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，而，，又因?yàn)閳D象是連續(xù)不間斷的，由零點(diǎn)存在性定知，在上有唯一零點(diǎn)，又因?yàn)橐彩橇泓c(diǎn)，所以在上有2個(gè)零點(diǎn).綜上：當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn).14．(2024·貴州高三開學(xué)考試())已知函數(shù)(1)求