方法技巧專題01 數列求和問題 (解析版)

；方法技巧專題1數列求和問題解析版一、數列求和的常用方法知識框架二、數列求和方法【一】公式求和法1.等差數列前1.等差數列前n項和2.等比數列前n項和公比含字母時一定要討論3.其他常用求和公式①；②③；④1.例題【例1】求1＋2＋22＋…＋2n的和.【解析】這是一個首項為1，公比為2的等比數列前n＋1項的和，所以1＋2＋22＋…＋2n＝eq\f(1－2n＋1,1－2)＝2n＋1－1.（這里容易弄錯項數）【例2】已知等比數列{an}中，a3＝4，S3＝12，求數列{an}的通項公式.【解析】當q＝1時，a3＝4，a1＝a2＝a3＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝12，所以q＝1符合題意，an＝4.當q≠1時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝a1q2＝4，,S3＝\f(a11－q3,1－q)＝12，))解得q＝－eq\f(1,2)，an＝a3qn－3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－5.故數列通項公式為an＝4或an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－5.【注意：上述解法中忽視了等比數列前n項和公式中q＝1這一特殊情況.】【例3】在公差為的等差數列{}中，已知＝10，且，2＋2，5成等比數列．(1)求，；(2)若<0，求||＋||＋||＋…＋||.【解析】(1)由題意得·5＝(2＋2)，即所以或.所以或.(2)設數列{}的前n項和為.因為<0，由(1)得＝－1，，則當≤11時，||＋||＋||＋…＋||＝.當≥12時，||＋||＋||＋…＋||＝＝.綜上所述，||＋||＋||＋…＋||2.鞏固提升綜合練習【練習1】在中插入個數，使它們和組成等差數列，則（）A．B．C．D．【解析】，所以，故選B.【練習2】記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通項公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．【解析】(1)設的公差為d，由題意得由得，所以的通項公式為；(2)由(1)得，所以當時，取得最小值，最小值為－16.【練習3】在平面直角坐標系中，已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的坐標；【分析】（1）利用向量共線的坐標形式可求的值.（2）利用等差數列和等比數列的前項和公式可求的坐標.【解析】（1），因為，故，故.（2），所以.【練習4】公差不為0的等差數列的前項和為，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）求的前10項和【解析】因為，又成等比數列，所以，且，解得：，所以；因為，所以遞減，且，所以時，；所以.【二】分組求和法分組分解求和的基本思路：通過分解每一項重新組合，化歸為分組分解求和的基本思路：通過分解每一項重新組合，化歸為等差數列和等比數列求和.1.例題【例1】求和：1eq\f(1,2)＋2eq\f(1,22)＋3eq\f(1,23)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2n))).【解析】1eq\f(1,2)＋2eq\f(1,22)＋3eq\f(1,23)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2n)))＝(1＋2＋3＋…＋n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋\f(1,23)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(nn＋1,2)＋eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝eq\f(nn＋1,2)＋1－eq\f(1,2n).【例2】求數列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n項和Sn.(其中a≠0，n∈N*)【解析】當a＝1時，an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).當a≠1時，an＝eq\f(1－an,1－a)＝eq\f(1,1－a)(1－an).∴Sn＝eq\f(1,1－a)[n－(a＋a2＋…＋an)]＝eq\f(1,1－a)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n－\f(a1－an,1－a)))＝eq\f(n,1－a)－eq\f(a1－an,1－a2).∴Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)，a＝1，,\f(n,1－a)－\f(a1－an,1－a2)，a≠1.))【例3】求和【解析】，所以=略2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知數列{an}是各項均為正數的等比數列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＝32.(1)求數列{an}的通項公式；(2)設bn＝aeq\o\al(2,n)＋log2an，求數列{bn}的前n項和Tn.【解析】(1)設等比數列{an}的公比為q(q>0)，則an＝a1qn－1，且an>0，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a1q)))，,a1q2＋a1q3＝32\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1q2)＋\f(1,a1q3)))，))化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,1)qq＋1＝2q＋1，,a\o\al(2,1)q5q＋1＝32q＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,1)q＝2，,a\o\al(2,1)q5＝32，))又∵a1>0，q>0，∴a1＝1，q＝2，∴數列{an}的通項公式為an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝aeq\o\al(2,n)＋log2an＝4n－1＋n－1，∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n－1)＝eq\f(4n－1,4－1)＋eq\f(nn－1,2)＝eq\f(4n－1,3)＋eq\f(nn－1,2).【練習2】已知數列是等差數列，滿足，，數列是公比為等比數列，且．（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和．【解析】（1）∵數列是等差數列,滿足，，∴公差.∴數列的通項公式為.因為，，∴，又因為數列是公比為等比數列，∴.∴.（2）.【三】奇偶并項求和法奇偶并項求和的基本思路：有些數列單獨看求和困難，但相鄰項結合后會變成熟悉的等差數列、等比數列求和.但當求前奇偶并項求和的基本思路：有些數列單獨看求和困難，但相鄰項結合后會變成熟悉的等差數列、等比數列求和.但當求前n項和而n是奇數還是偶數不確定時，往往需要討論.1.例題【例1】求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.【解析】12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5050.【例2】已知正項等比數列{an}的前n項和為Sn，且S2＝6，S4＝30，n∈N*，數列{bn}滿足bn·bn＋1＝an，b1＝1.(1)求an，bn；(2)求數列{bn}的前n項和Tn.【解析】(1)設正項等比數列{an}的公比為q(q>0)，由題意可得a1＋a1q＝6，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝30，解得a1＝q＝2(負值舍去)，可得an＝a1qn－1＝2n，由bn·bn＋1＝an＝2n，b1＝1，可得b2＝2，即有bn＋1·bn＋2＝an＋1＝2n＋1，可得eq\f(bn＋2,bn)＝2，可得數列{bn}中奇數項、偶數項分別為公比為2的等比數列，即有(2)當n為偶數時，前n項和為Tn＝(1＋2＋…＋)＋(2＋4＋…＋)＝3.綜上可得，Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)n＋3－3，n為奇數，,3·\r(2)n－3，n為偶數.))2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知為數列的前項和，且滿足，，則_____．【解析】由知，當時，．所以，所以數列所有的奇數項構成以3為公比的等比數列，所有的偶數項也構成以3為公比的等比數列．又因為，所以，，．所以．【練習2】已知函數，且，則__________．【答案】【解析】當為奇數時，.當為偶數時，.所以【四】倒序相加法求和這是推導等差數列的前這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.1.例題【例1】求和【解析】設①②①+②得，所以【例2】設，.【解析】由于，故原式.2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知正數數列是公比不等于1的等比數列，且，若，則（）A．2018B．4036C．2019D．4038【解析】∵正數數列是公比不等于1的等比數列，且∴，即.∵函數，∴令，則∴∴，故選C.【練習2】已知函數，若，則的最小值為（）A．B．C．D．【解析】由題知令又于是有因此所以當且僅當時取等號。本題正確選項：【五】錯位相減求和數列{數列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差數列和等比數列.求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列的公比；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉化為同倍數的等比數列求和，這種方法就是錯位相減法。1.例題【例1】求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，n∈N*.【解析】設Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，則2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，∴－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝eq\f(21－2n,1－2)－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2，∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.【例2】在數列，中，，，.等差數列的前兩項依次為，.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.【解析】（1）∵，∴，，則的公差為故的通項公式為.（2），①，②①②得.又，從而是首項為2，公比為2的等比數列，故.，，，即，即.2.鞏固提升綜合練習【練習1】求和：【解析】當時，當時，當且時，①②①－②得所以【練習2】已知數列{an}滿足an≠0，a1＝eq\f(1,3)，an－an＋1＝2anan＋1，n∈N+.(1)求證：是等差數列，并求出數列{an}的通項公式；(2)若數列{bn}滿足bn＝eq\f(2n,an)，求數列{bn}的前n項和Tn.【解】(1)由已知可得，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝2，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項為3，公差為2的等差數列，∴eq\f(1,an)＝3＋2(n－1)＝2n＋1，∴an＝eq\f(1,2n＋1).(2)由(1)知bn＝(2n＋1)2n，∴Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)2n－1＋(2n＋1)2n……①2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)2n＋(2n＋1)·2n＋1……②①－②得，－Tn＝6＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)2n＋1＝6＋eq\f(8－2×2n×2,1－2)－(2n＋1)2n＋1＝－2－(2n－1)2n＋1，∴Tn＝2＋(2n－1)2n＋1.【練習3】已知等比數列的前項和為，若，則數列的前項和為（）A．B．C．D．【解析】當時，不成立，當時，，兩式相除得，解得：，即，，，，兩式相減得到：，所以，故選D.【練習4】已知數列是公差不為0的等差數列，且成等比數列.(1)求的通項公式;(2)若,求的前項和.【解析】（1）數列是公差不為0的等差數列，，且，，成等比數列，，解得，或（舍，．（2），，①，②①②，得，．【六】裂項求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：（1）[一般]（2）（3）（4）（5）（6）（6）（7）（8）1.例題【例1】已知等差數列為遞增數列，且滿足,．（1）求數列的通項公式；（2）令，為數列的前n項和，求．【解析】（1）由題意知，或為遞增數列，，故數列的通項公式為（2）.【例2】求和：eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n2－1)，n≥2，n∈N*.【解析】∵eq\f(1,n2－1)＝eq\f(1,n－1n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))，∴原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋1,2nn＋1)(n≥2，n∈N*).【例3】已知數列的前項和滿足，且.（1）證明數列為等差數列，并求的通項公式；（2）設，為數列的前項和，求使成立的最小正整數的值.【解析】（1）當時，，又，所以，當時，，所以，可得，所以為等差數列.又，得，又，所以.（2），所以.要使，即，解得，所以.【例4】已知數列的通項公式為，求它的前n項和。解：設則所以，，解得，所以2.鞏固提升綜合練習【練習1】設數列是公差不為零的等差數列，其前項和為，.若，，成等比數列.（I）求及；（Ⅱ）設，求數列的前項和.【解析】（Ⅰ）由題意，得，即，，解得，所以，；（Ⅱ）因為，所以.【練習2】在數列{an}中，已知a1＝1＋，且，n∈N*.(1)記bn＝(an－1)2，n∈N*，證明數列{bn}是等差數列；(2)設{bn}的前n項和為Sn，證明.【解析】證明：(1)，因為bn＋1－bn＝＝2，所以數列{bn}是以3為首項，2為公差的等差數列．(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋2)，所以所以.【練習3】已知數列的首項，前項和為，且（Ⅰ）設，證明數列是等比數列；（Ⅱ）設，求的前項和的取值范圍.【解析】（Ⅰ）由知：當時兩式相減得：又，故是公比為，首項為的等比數列（Ⅱ）由（Ⅰ）知：由得：是單調遞增的，故的取值范圍是【練習4】已知數列的前項和，等比數列的公比，且，是，的等差中項.（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和.【解析】（1）解：∵，∴時，.又時，滿足上式，∴，∵，，∴，，又∵，，解得，，∴，.（2）∵，∴【七】其他方法1.例題【例1】已知數列滿足對時，，其對，有，則數列的前50項的和為__________．【答案】【解析】數列{an}滿足對1≤n≤3時，an=n，且對?n∈N*，有an+3+an+1=an+2+an，可得a1=1，a2=2，a3=3，a4=1+3﹣2=2，a5=2+2﹣3=1，a6=2，a7=3，a8=2，a9=1，a10=2，…，則數列{an}為周期為4的數列，且以1，2，3，2反復出現，可得數列{n?an}的前50項的和為（1+5+…+49）+2（2+6+…+50）+3（3+7+…+47）+2（4+8+…+48）=×（1+49）×13+2××（2+50）×13+3×（3+47）×12+2×（4+48）×12=2525．故答案為：2525．【例2】數列的首項為1，其余各項為1或2，且在第個1和第個1之間有個2，即數列為：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，記數列的前項和為，則__________．（用數字作答）【答案】3993【解析】第個1為數列第項，當時；當時；所以前2019項有45個1和個2，因此【例3】若數列滿足，，數列的通項公式，則數列的前10項和___________【答案】【解析】由，當n=1，代入得-4,依次得發(fā)現規(guī)律，利用，得b=-，，求出.故答案為：【例4】等差數列中，，.若記表示不超過的最大整數，（如）.令，則數列的前2000項和為__________．【答案】5445.【解析】設等差數列{an}的公差為d，∵a3+a4=12，S7=49．∴2a1+5d=12，d=49，解得a1=1，d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．bn=[lgan]=[lg（2n﹣1）]，n=1，2，3，4，5時，bn=0．6≤n≤50時，bn=1；51≤n≤500時，bn=2；501≤n≤2000時，bn=3．∴數列{bn}的前2000項和=45+450×2+1500×3=5445．故答案為：5445.【例5】“斐波那契”數列由十三世紀意大利數學家斐波那契發(fā)現．數列中的一系列數字常被人們稱之為神奇數．具體數列為1，1，2，3，5，8，即從該數列的第三項數字開始，每個數字等于前兩個相鄰數字之和．已知數列為“斐波那契”數列，為數列的前項和，若則__________．(用M表示)【答案】【解析】由“斐波那契”數列可知。所以，所以三、課后自我檢測1．已知是上的奇函數，，則數列的通項公式為()A．B．C．D．【解析】[由在上為奇函數，知，令，則，得到．由此能夠求出數列{的通項公式]由題已知是上的奇函數故，代入得：∴函數關于點對稱，，令，則，得到．∵，倒序相加可得，即，故選：B．2．設f(x)是R上的奇函數，當x＞0時，f(x)＝2x＋ln，記an＝f(n－5)，則數列{an}的前8項和為________．【答案】－16【解析】數列{an}的前8項和為f(－4)＋f(－3)＋…＋f(3)＝f(－4)＋(f(－3)＋f(3))＋(f(－2)＋f(2))＋(f(－1)＋f(1))＋f(0)＝f(－4)＝－f(4)＝－＝－16.3．.求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1).【解析】當n為奇數時，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·eq\f(n－1,2)＋(－2n＋1)＝－n.當n為偶數時，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·eq\f(n,2)＝n.∴Sn＝(－1)nn(n∈N*).4．已知等差數列和等比數列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（1）求的通項公式；（2）求和：．【解析】（1）設等差數列{an}的公差為d.因為a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n?1.（2）設等比數列的公比為q.因為b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.從而.5．等差數列的前項和為，已知，公差為大于0的整數，當且僅當=4時，取得最小值.（1）求公差及數列的通項公式；（2）求數列的前20項和.（1）設的公差為，則由題可知：.，即.解得.因為為整數，=2所以數列的通項公式為（2）當時，；當時，=2726．已知數列滿足：，，.（1）求、、；（2）求證：數列為等比數列，并求其通項公式；（3）求和.【解析】（1），，可得；，；（2）證明：，可得數列為公比為，首項為等比數列，即；（3）由（2）可得，．7．已知數列是首項為，公差為的等差數列.（1）若，，，數列的前項積記為，且，求的值；（2）若，且恒成立，求的通項公式.【解析】（1）設的前項和為，則，∴，令；（2）當時，，∴或（舍）.當時，，解得或.若，當時，，解得或（舍去）.此時不成等差數列，故舍去.當時，依題意可知：數列是等差數列，故，∴；8．已知數列有，是它的前項和，且．（1）求證：數列為等差數列.（2）求的前項和.【解析】（1）當時，所以，，兩式對應相減得，所以又n=2時，所以，所以，所以數列為等差數列.（2）當為偶數時，當為奇數時，綜上：9．已知數列滿足,.（1）證明:數列為等比數列;（2）求數列的前項和.【解析】（1），，則，又，是以為首項，為公比的等比數列.（2）由（1）知，，故其前項和為:.數列的前項和為:.10．在正項等比數列{}中，且成等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）若數列{}滿足，求數列{}的前項和．【解析】設正項等比數列{an}的公比為(,（1）∵∴,所以∴q＝2，(舍去)，所以；（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴.11．已知正項數列其前n項和滿足，且是和的等比中項.（1）求證：數列為等差數列，并計算數列的通項公式；（2）符號[x]表示不超過實數x的最大整數，記，求.【分析】（1）由得，從而得到，由此利用是和的等比中項，能求出數列的通項公式（2）由，令，得到，由此利用錯位相減法能求出.【解析】（1）∵正項數列，前n項和Sn滿足，①，②由①-②，得，整理，得，∵是正數數列，，∴是公差為4的等差數列，由得或，當時，，不滿足是和的等比中項，當時，，滿足是和的等比中項，.（2），由符號[x]表示不超過實數x的最大整數，知當時，，令，，，③，④③-④，得，，.12．已知公差不為0的等差數列的前n項和為，，且，，成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和公式．【解析】（1）公差d不為0的等差數列的前n項和為，，可得，且，，成等比數列，可得，即，解得，，則；，，則數列的前n項和為．13．已知正項數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝aeq\o\al(2,n)＋3an＋2(t∈R)．(1)求數列{an}的通項公式；(2)若數列{bn}滿足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2bn＋7n)))的前n項和Tn.【解析】(1)因為a1＝1，且(t＋1)Sn＝aeq\o\al(2,n)＋3an＋2，所以(t＋1)S1＝aeq\o\al(2,1)＋3a1＋2，所以t＝5.所以6Sn＝aeq\o\al(2,n)＋3an＋2.(ⅰ)當n≥2時，有6Sn－1＝aeq\o\al(2,n－1)＋3an－1＋2，(ⅱ)①－②得6an＝aeq\o\al(2,n)＋3an－aeq\o\al(2,n－1)－3an－1，所