廣東省珠海市大灣區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題

第一學(xué)期末普通高中二年級(jí)聯(lián)合考試高二數(shù)學(xué)本卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.數(shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位數(shù)為（）A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用第50百分位數(shù)的定義計(jì)算即得.【解析】依題意，一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)即為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以數(shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1第50百分位數(shù)為.故選：B2.拋物線的焦點(diǎn)是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷焦點(diǎn)的位置，再?gòu)臉?biāo)準(zhǔn)型中找出即得焦點(diǎn)坐標(biāo).【解析】焦點(diǎn)在軸上，又，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【小結(jié)】求圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，首先要把圓錐曲線的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到焦點(diǎn)的位置和焦點(diǎn)的坐標(biāo).3.在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方向量分別為，則（）A. B. C.與異面 D.與相交【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量垂直表示即可確定直線的位置關(guān)系.【解析】由，故，所以.故選：A4.直線與間的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩平行線間的距離公式計(jì)算即可得.【解析】由、，故，則.故選：C.5.若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到方程組，解得答案.【解析】方程表示橢圓，則，解得.故選：B6.任意拋擲一次骰子，朝上面的點(diǎn)數(shù)記為X，則，定義事件：，，，則（）A. B.C. D.B，C相互獨(dú)立【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率計(jì)算判斷ABC；利用相互獨(dú)立事件的定義判斷D.解析】對(duì)于A，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)AB知，，即B，C相互不獨(dú)立，D錯(cuò)誤.故選：C7.已知為空間的組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，結(jié)合選項(xiàng)，判斷每組向量是否共面，即可求解.【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，，共面，不能作為空間的基底；對(duì)于選項(xiàng)B，假設(shè)，，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使得，即，所以，無解，所以，，不共面，可以作為空間的基底，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，共面，不能作為空間基底；對(duì)于D，因?yàn)椋?，，共面，不能作為空間的基底.故選：B.8.下圖中的多邊形均為正多邊形，M，N是所在邊的中點(diǎn)，雙曲線均以，為焦點(diǎn)，且經(jīng)過M，N兩點(diǎn)．設(shè)圖1，圖2，圖3中雙曲線的離心率分別為，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線定義有、，結(jié)合正多邊形的性質(zhì)求得關(guān)于c的表達(dá)式，即可求各圖對(duì)應(yīng)雙曲線的離心率.【解析】在圖1中，，又，則．在圖2中，，，，，則．在圖3中，，，由余弦定理得：，，則．因?yàn)?，所以．故選：A二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.下列直線中，與圓：相切的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先找出圓的圓心和半徑，然后利用幾何法逐項(xiàng)判斷即可.【解析】圓的圓心為，半徑為，選項(xiàng)A：點(diǎn)到直線的距離，故直線與圓相切，故A正確；選項(xiàng)B：點(diǎn)到直線的距離，故直線與圓相切，故B正確；選項(xiàng)C：點(diǎn)到直線的距離，故直線與圓不相切，故C不正確；選項(xiàng)D：點(diǎn)到直線的距離.故直線與圓相切，故D正確；故選：ABD.10.在下列四個(gè)選項(xiàng)，其中正確的有（）A.與向量同方向的單位向量B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C.兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線D.已知向量，，則在上的投影向量為【答案】ACD【解析】【分析】由與同方向的單位向量為計(jì)算即可得A；根據(jù)空間向量的有關(guān)定義及其結(jié)論，可判斷B、C項(xiàng)；根據(jù)投影向量的概念，計(jì)算可得D項(xiàng).【解析】對(duì)A：由向量，則與其同方向的單位向量為，故A正確；對(duì)B：由，故不能得到P，A，B，C四點(diǎn)共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)槿齻€(gè)不共面的向量可以成為空間的一個(gè)基底，所以當(dāng)兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底時(shí)，則這兩個(gè)向量共線，故C正確；對(duì)D：在上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.11.袋子中有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)藍(lán)球，1個(gè)黑球，從中取三次球，每次取一個(gè)球，取球后不放回，設(shè)事件，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.A與B相互獨(dú)立 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法，結(jié)合古典概率逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.【解析】紅球，黃球，藍(lán)球，黑球分別記為，不放回取球三次的試驗(yàn)的樣本空間：，共24個(gè)，它們等可能，，共6個(gè)，，共6個(gè)，，共6個(gè)，，共2個(gè)，，共10個(gè)，，AB正確；，A與B相互不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；，D正確，故選：ABD12.在平面上，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F作直線與C交于，兩點(diǎn)，且滿足.設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，N為l上一點(diǎn)，且.則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)關(guān)系判斷A，再由解出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線定義判斷B，由中位線可判斷C，再由拋物線定義求判斷D.【解析】因?yàn)?，所以，拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)直線方程為（由題意直線斜率存在），聯(lián)立可得，，故A錯(cuò)誤；又，所以，即，不妨設(shè)，則解得，，則，，所以，故B正確；由中點(diǎn)為M知，，故C錯(cuò)誤；由拋物線定義，，所以，故D正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題．13.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且其漸近線方程為，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)雙曲線的方程為()，將點(diǎn)代入曲線方程求出即可.【解析】由題意得，雙曲線的漸近線方程為，設(shè)所求雙曲線的方程為().點(diǎn)為該雙曲線上的點(diǎn)，.該雙曲線的方程為：，即.故答案為：.14.已知點(diǎn)，，若點(diǎn)P滿足，則P的軌跡方程為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由題意計(jì)算即可得.【解析】設(shè)，由，故，化簡(jiǎn)得：，故P的軌跡方程為.故答案為：.15.如圖，的二面角的棱上有，兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于已知，，，則的長(zhǎng)為__________【答案】【解析】【分析】由向量的線性表示，根據(jù)向量模長(zhǎng)根式即可代入求解.【解析】解：由條件，知，,所以，所以,故答案為：16.某學(xué)校有男生3000人，女生2000人，為調(diào)查該校全體學(xué)生每天睡眠時(shí)間，采用分層抽樣的方法抽取樣本，計(jì)算得男生每天睡眠時(shí)間均值為8小時(shí)，方差為1，女生每天睡眠時(shí)間為7.5小時(shí)，方差為0.5．若男、女樣本量按比例分配，則可估計(jì)總體均值為______小時(shí)，總體方差為______．【答案】①.7.8②.0.86【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的平均數(shù)和方差公式計(jì)算即得.【解析】依題意，估計(jì)總體均值為（小時(shí)），總體的方差為.故答案為：7.8；0.86四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.圓內(nèi)有一點(diǎn)，過P的直線交圓于A，B兩點(diǎn)．（1）當(dāng)P為弦AB中點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；（2）若圓O與圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合圓的性質(zhì)，求出直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解即得.（2）求出兩圓的公共弦所在直線方程，再利用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即得.【小問1解析】圓的圓心，半徑，由P為圓的弦AB中點(diǎn)，得，而直線的斜率為2，因此直線的斜率為，方程為，即，所以直線的方程為.【小問2解析】圓的圓心，半徑，而，即圓與圓相交，兩圓方程相減得直線的方程：，點(diǎn)到直線的距離，所以弦的長(zhǎng).18.某快餐配送平臺(tái)針對(duì)外賣員送餐準(zhǔn)點(diǎn)情況制定了積分制的考核方案：每一單自接單后在規(guī)定時(shí)間內(nèi)送達(dá)、延遲5分鐘內(nèi)送達(dá)、延遲5至10分鐘送達(dá)、其他延遲情況，分別評(píng)定為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，各等級(jí)依次獎(jiǎng)30分、獎(jiǎng)0分、扣30分、扣60分、根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，評(píng)定為等級(jí)A，B，C的概率分別是，，．（1）若某外賣員接了一個(gè)訂單，求其延遲送達(dá)且被罰款的概率；（2）若某外賣員接了兩個(gè)訂單，且兩個(gè)訂單互不影響，求這兩單獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和為0分的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式計(jì)算即可得；（2）借助相互獨(dú)立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式計(jì)算即可得.【小問1解析】設(shè)事件A，B，C，D分別表示“被評(píng)為等級(jí)A，B，C，D”，則，故其延遲送達(dá)且被罰款的概率為；【小問2解析】設(shè)事件，，，表示“第單被評(píng)為等級(jí)A，B，C，D”，，，則“兩單獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和為0分”為事件，，，則，即這兩單獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和為0分的概率為.19.某玻璃工藝品加工廠有2條生產(chǎn)線用于生產(chǎn)其款產(chǎn)品，每條生產(chǎn)線一天能生產(chǎn)200件該產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場(chǎng)評(píng)級(jí)規(guī)定：評(píng)分在10分及以上的為等品，低于10分的為等品.廠家將等品售價(jià)定為2000元/件，等品售價(jià)定為1200元/件.下面是檢驗(yàn)員在現(xiàn)有生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取的16件產(chǎn)品的評(píng)分：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第件產(chǎn)品的評(píng)分，.該廠計(jì)劃通過增加生產(chǎn)工序來改進(jìn)生產(chǎn)工藝，已知對(duì)一條生產(chǎn)線增加生產(chǎn)工序每年需花費(fèi)1500萬(wàn)元，改進(jìn)后該條生產(chǎn)線產(chǎn)能不變，但生產(chǎn)出的每件產(chǎn)品評(píng)分均提高0.05.已知該廠現(xiàn)有一筆1500萬(wàn)元的資金.（1）若廠家用這1500萬(wàn)元改進(jìn)一條生產(chǎn)線，根據(jù)隨機(jī)抽取的16件產(chǎn)品的評(píng)分.（i）估計(jì)改進(jìn)后該生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中等品所占的比例；（ii）估計(jì)改進(jìn)后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評(píng)分的平均數(shù)和方差.（2）某金融機(jī)構(gòu)向該廠推銷一款年收益率為的理財(cái)產(chǎn)品，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)分析，將這1500萬(wàn)元用于購(gòu)買該款理財(cái)產(chǎn)品所獲得的收益，與通過改進(jìn)一條生產(chǎn)線使產(chǎn)品評(píng)分提高所增加的收益相對(duì)比，一年后哪種方案的收益更大？（一年按365天計(jì)算）【答案】（1）（i）；（ii）9.995，；（2）將這1500萬(wàn)元用于改進(jìn)一條生產(chǎn)線一年后收益更大.【解析】【分析】（1）（i）首先求得改進(jìn)后隨機(jī)抽取的件產(chǎn)品的評(píng)分，由此計(jì)算出等品所占的比例.（ii）首先求得改進(jìn)后的生產(chǎn)線的產(chǎn)品評(píng)分的平均數(shù)，由此求得改進(jìn)一條生產(chǎn)線后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評(píng)分的平均數(shù).根據(jù)方差的計(jì)算公式，計(jì)算出改進(jìn)一條生產(chǎn)線后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評(píng)分的方差.（2）分別計(jì)算出改進(jìn)生產(chǎn)線和投資理財(cái)產(chǎn)品的一年收益，由此確定收益更大的方案.【解析】（1）（i）改進(jìn)后，隨機(jī)抽取的16件產(chǎn)品的評(píng)分依次變?yōu)椋?0.0010.1710.0110.0110.069.9710.0310.0910.319.9610.1810.079.2710.0910.1010.00其中，等品共有13個(gè)，所以，估計(jì)改進(jìn)后該生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中等品所占的比例為；（ii）設(shè)一條生產(chǎn)線改進(jìn)前一天生產(chǎn)出的產(chǎn)品評(píng)分為，改進(jìn)后生產(chǎn)出的產(chǎn)品評(píng)分為，其中.由已知得，用樣本估計(jì)總體可知，所以，所以估計(jì)改進(jìn)一條生產(chǎn)線后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評(píng)分的平均數(shù)為：，由已知得，用樣本估計(jì)總體可知，所以.估計(jì)改進(jìn)后該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品評(píng)分的方差為：因?yàn)?，所以，同理，所以?（2）將這1500萬(wàn)元用于改進(jìn)一條生產(chǎn)線，一年后因產(chǎn)品評(píng)分提高而增加的收益為：（元）；將這1500萬(wàn)元購(gòu)買該款理財(cái)產(chǎn)品，一年后的收益為：（元），因?yàn)椋詫⑦@1500萬(wàn)元用于改進(jìn)一條生產(chǎn)線一年后收益更大.【小結(jié)】本小題主要考查平均數(shù)、方差的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20.已知平面上的線段及點(diǎn)，任取上一點(diǎn)，線段長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)到線段的距離，記作.（1）求點(diǎn)到線段的距離；（2）設(shè)是長(zhǎng)為的線段，求點(diǎn)的集合所表示的圖形的面積為多少？（3）求到兩條線段、距離相等的點(diǎn)的集合，并在直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的軌跡.其中，，，，，.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)是線段上一點(diǎn)，表示出，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，即可求出結(jié)果；（2）因?yàn)楸硎驹诰€段上時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值不超過1，由此得到點(diǎn)集所表示的圖形是一個(gè)正方形和兩個(gè)半圓組成，進(jìn)而可求出其面積；（3）根據(jù)題意，得到兩直線方程，確定直線之間關(guān)系，進(jìn)而可得出結(jié)果.【解析】（1）設(shè)是線段上一點(diǎn)，則，，因此，當(dāng)時(shí)，；（2）由題意，設(shè)的端點(diǎn)為，以所在直線為軸，以垂直平分線所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，則點(diǎn)的集合由如下曲線圍成：；；；，其面積為：；（3）因?yàn)椋?，，，，，所以；；因?yàn)榈絻蓷l線段、距離相等的點(diǎn)的集合，根據(jù)兩條直的方程可知，兩條直線間的關(guān)系是平行，所以得到兩條線段距離相等的點(diǎn)是軸非負(fù)半軸，拋物線，直線，如圖所示：【小結(jié)】本題主要考查直線方程的應(yīng)用，直線與直線位置關(guān)系，熟記直線的方程，直線與直線位置關(guān)系，以及二次函數(shù)性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.21.已知四棱錐，底面為正方形，且底面，過的平面與側(cè)面的交線為，且滿足（表示的面積）.（1）證明：平面；（2）當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為，求的值.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）.【解析】【解析】試題分析：（1）由正方形性質(zhì)可得，從而得平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，由三角形中位線定理可得，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理可得平面；（2）∵底面為正方形，且底面，兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，分別求出平面的一個(gè)法向量及平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得，從而可得結(jié)果.試題解析：（1）由題知四邊形ABCD為正方形∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD∴AB//平面PCD又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF∴EF//AB，又AB//CD∴EF//CD，由S△PEF：S四邊形CDEF=1:3知E、F分別為PC、PD的中點(diǎn)連接BD交AC與G，則G為BD中點(diǎn)，在△PBD中EG為中位線，∴EG//PB∵EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE∴PB//平面ACE.（2）∵底面ABCD為正方形，且PA⊥底面ABCD，∴PA、AB、AD兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)AB=AD=2a，AP=2b，則A（0，0，0），D（0，2a，0），C（2a，2a，0）G（a，a，0），P（0，0，2b），F(xiàn)（a，a，b），∵PA⊥底面ABCD，DG底面ABCD，∴DG⊥PA，∵四邊形ABCD為正方形∴AC⊥BD,即DG⊥AC，AC∩PA=A∴DG⊥平面CAF，∴平面CAF的一個(gè)法向量為設(shè)平面AFD的一個(gè)法向量為而由得取可得為平面AFD的一個(gè)法向量，設(shè)二面角C—AF—D的大小為則得又∴∴當(dāng)二面角C—AF—D的余弦值為時(shí).【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.22.已知，為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，與拋物線：有